Розглянемо класичне завдання. Даний куб, ребра якого є провідники з якимось однаковим опором. Цей куб включається в електричний ланцюг між усілякими його точками. Питання: чому одно опір кубау кожному з цих випадків? У цій статті репетитор з фізики та математики розповідає про те, як вирішується це класичне завдання. Є також відеоурок, в якому ви знайдете не тільки докладне пояснення розв'язання задачі, але й реальну фізичну демонстрацію, що підтверджує всі обчислення.
Отже, куб може бути включений у ланцюг трьома різними способами.
Опір куба між протилежними вершинами
В цьому випадку струм, дійшовши до точки A, Розподіляється між трьома ребрами куба. При цьому, оскільки всі три ребра еквівалентні з погляду симетрії, жодному з ребер не можна надати більшу чи меншу «значимість». Тому струм між цими ребрами повинен обов'язково розподілитися порівну. Тобто сила струму в кожному ребрі дорівнює:
В результаті виходить, що падіння напруги на кожному з цих трьох ребер однаково і рівне, де - Опір кожного ребра. Але падіння напруги між двома точками дорівнює різниці потенціалів між цими точками. Тобто потенціали точок C, Dі Eоднакові та рівні. З міркувань симетрії потенціали точок F, Gі Kтакож однакові.
Крапки з однаковим потенціалом можна з'єднувати провідниками. Це нічого не змінить, тому що цими провідниками все одно не потече ніякий струм:
В результаті отримаємо, що ребра AC, ADі AE T. Так само ребра FB, GBі KBз'єднаються в одній точці. Назвемо її точкою M. Що стосується 6 ребер, що залишилися, то всі їх «початки» виявляться з'єднані в точці T, а всі кінці - у точці M. В результаті ми отримаємо наступну еквівалентну схему:
Опір куба між протилежними кутами однієї грані
В даному випадку еквівалентними є ребра ADі AC. По них потече однаковий струм. Крім того, еквівалентними також є KEі KF. По них потече однаковий струм. Ще раз повторимо, що струм між еквівалентними ребрами повинен розподілитися порівну, інакше порушиться симетрія:
Таким чином, в даному випадку однаковий потенціал мають точки Cі D, а також точки Eі F. Значить, ці точки можна об'єднати. Нехай крапки Cі Dоб'єднаються у точці M, а крапки Eі F- У точці T. Тоді вийде наступна еквівалентна схема:
На вертикальній ділянці (безпосередньо між точками Tі M) Струм не тече. Справді, ситуація аналогічна врівноваженому вимірювальному мосту. Це означає, що цю ланку можна виключити із ланцюга. Після цього порахувати загальний опір не складе труднощів:
Опір верхньої ланки дорівнює , нижньої - . Тоді загальний опір дорівнює:
Опір куба між прилеглими вершинами однієї грані
Це останній можливий варіантпідключення куба в електричний ланцюг. У цьому випадку еквівалентними ребрами, через які протікає однаковий струм, є ребра ACі AD. І, відповідно, однакові потенціали матимуть точки Cі D, а також симетричні їм точки Eі F:
Знову попарно з'єднуємо точки з однаковими потенціалами. Ми можемо це зробити, тому що струм між цими точками не потече, навіть якщо з'єднати їх провідником. Нехай крапки Cі Dоб'єднаються в крапку T, а крапки Eі F- в ціль M. Тоді можна намалювати наступну еквівалентну схему:
Загальне опір отриманої схеми розраховується стандартними способами. Кожен сегмент із двох паралельно з'єднаних резисторів замінюємо на резистор опором. Тоді опір «верхнього» сегмента, що складається з послідовно з'єднаних резисторів , і , і .
Цей сегмент з'єднаний із «середнім» сегментом, що складається з одного резистора опором, паралельно. Опір ланцюга, що складається з двох паралельно з'єднаних резисторів опором і дорівнює:
Тобто схема спрощується до ще простішого вигляду:
Як бачимо, опір «верхнього» П-образного сегмента одно:
Ну а загальний опір двох паралельно з'єднаних резисторів опором і дорівнює:
Експеримент на вимірі опору куба
Щоб показати, що все це не математичний трюк і що за цими обчисленнями стоїть реальна фізика, я вирішив провести прямий фізичний експеримент з вимірювання опору куба. Ви можете переглянути цей експеримент у відео, що знаходиться на початку статті. Тут я розміщу фотографії експериментальної установки.
Спеціально для цього експерименту спаяв куб, ребрами якого є однакові резистори. Також у мене є мультиметр, який я увімкнув у режимі вимірювання опору. Опір одиночного резистора дорівнює 38.3 кОм:
Цілі: навчальна: систематизувати знання та вміння учнів вирішувати задачі ан розрахунок еквівалентних опорів за допомогою моделей, каркасів і т.д.
Розвиваюча: розвиток навичок логічного мислення абстрактного мислення, умінь замінювати схеми еквівалентності, спрощувати розрахунок схем
Виховна: виховання почуття відповідальності, самостійності, необхідності навичок набутих на уроці у майбутньому
Обладнання: дротяний каркас куба, тетраедера, сітки нескінченного ланцюжка опорів.
ХІД УРОКУ
Актуалізація:
1. Вчитель: "Згадаймо послідовне з'єднання опорів".
Учні на дошці малюють схему.
та записують
U про =U 1 +U 2
Y про = Y 1 = Y 2
Вчитель: Згадаймо паралельне з'єднання опорів.
Учень на дошці замальовує елементарну схему:
Y про = Y 1 = Y 2
; для n рівних
Вчитель: А тепер вирішуватимемо завдання на розрахунок еквівалентного опору ділянка ланцюга представлена у вигляді геометричної фігуриабо металевої сітки.
Завдання №1
Дротовий каркас у вигляді куба, ребра якого є рівними опорами R. Розрахувати еквівалентний опір між точками А і В. Щоб розрахувати еквівалентний опір даного каркаса необхідно замінити еквівалентною схемою. Крапки 1, 2, 3 мають однаковий потенціал, їх можна поєднати в один вузол. А точки (вершини) куба 4, 5, 6 можна з'єднати до іншого вузол з тієї ж причини. Учні мають кожній парті таку модель. Після виконання описаних дій замальовують еквівалентну схему.
На ділянці АС еквівалентний опір; на СD; на DB; і остаточно для послідовного з'єднання опорів маємо: 
За тим же принципом потенціали точок А та 6 рівні, В та 3 рівні. Учні поєднують ці точки на своїй моделі та отримують еквівалентну схему:
Розрахунок еквівалентного опору такого ланцюга простий 
Завдання №3
Ця модель куба, з включенням в ланцюг між точками 2 і У. Учні з'єднують точки з рівними потенціалами 1 і 3; 6 і 4. Тоді схема виглядатиме так:
Крапки 1,3 і 6,4 мають рівні потенціали, і струм по опорам між цими точками не потече і схема спрощується до вигляду; еквівалентний опір якої розраховується так:
Завдання № 4
Рівностороння трикутна піраміда, ребро якої має опір R. Розрахувати еквівалентний опір при включенні до ланцюга.
Точки 3 і 4 мають рівний потенціал, тому по ребру 3,4 струм не потече. Учні прибирають його.
Тоді схема виглядатиме так:
Еквівалентний опір розраховується так:
Завдання № 5
Металева сітка з опором ланки рівному R. Розрахувати еквівалентний опір між точками 1 та 2.
У точці 0 можна ланки відокремити, тоді схема матиме вигляд:
- Опір однієї половини симетричної по 1-2 точках. Паралельно їй така сама гілка, тому 
Завдання №6
Зірка складається з 5-и рівносторонніх трикутників, опір кожного 
.
Між точками 1 і 2 один трикутник паралельний чотирьом, послідовно з'єднаним між собою
Маючи досвід розрахунку еквівалентного опору дротяних каркасів можна приступити до розрахунку опорів ланцюга, що містить нескінченну кількість опорів. Наприклад:
Якщо відокремити ланку
від загальної схеми, то схема не зміниться, тоді можна уявити у вигляді
або 
,
розв'язуємо дане рівняння щодо R екв.
Підсумок уроку: ми навчилися абстрактно представляти схеми ділянок ланцюга, замінювати їх еквівалентними схемами, які дозволяють легко розрахувати еквівалентний опір.
Вказівку: Цю модель подати у вигляді:
А чи добре знайомий вам закон Ома (з'єднання провідників)? //Квант. – 2012. – № 1. – C. 32-33.
За спеціальною домовленістю з редколегією та редакцією журналу "Квант"
Струми продовжуються невизначено довго з постійною швидкістю, але вони завжди припиняються в той момент, коли контур розривається.
Андре Ампер
Перехід електрики між двома найближчими елементами за інших рівних умов пропорційний різниці електроскопічних сил у цих елементах.
Георг Ом
Якщо дана система nпровідників, які довільним чином з'єднані між собою, і до кожного провідника прикладена довільна електрорушійна сила, то необхідну кількість лінійних рівнянь для визначення струмів, що йдуть по провідниках, можна отримати, використовуючи дві теореми.
Густав Кірхгоф
...перекладаючи істотні риси реальних елементів схем мовою ідеалізацій, можна проаналізувати електричний ланцюг порівняно просто.
Річард Фейнман
Перші наші зустрічі з електричними схемами відбуваються, коли ми вдома вмикаємо в розетку побутові прилади або натикаємося на хитросплетіння проводків під кришкою якогось електронного пристрою або коли помічаємо лінії електропередач на високих опорах і товсті дроти, якими ковзають струмознімачі електропоїздів, тролів. Пізніше ми малюємо в школі схеми, ставимо найпростіші досліди і дізнаємося про закони електричного, перш за все постійного струму, поточного - як же інакше! - по дротах.
Але в той же час ми користуємося мобільними телефонами, бездротовими локальними мережами, «встромляємося в повітря», щоб підключитися до Інтернету, і все частіше чуємо, що не за горами – бездротова передача не лише інформації, а й електроенергії. Якими ж тоді архаїчними здадуться всі ці громіздкі схеми, проводи, клеми, реостати та закони, що їх описують!
Не поспішайте. По-перше, що б ми не передавали - сигнали чи енергію, є випромінювачі та приймачі, які поки без струмів, що протікають по напханим у них провідникам, не діятимуть. По-друге, в повному обсязі піддається мініатюризації, наприклад - транспорт чи електростанції. Тому нам з електричними мережами, а значить, і зі з'єднаннями провідників різного типу ще довго доведеться мати справу. Ми продовжимо цю тему і в наступному випуску «Калейдоскопа», наприкінці якого помістимо загальний список «Квантівських» публікацій на тему «Закон Ома».
Запитання та завдання
1. Чому птахи можуть безпечно сідати на дроти, що знаходяться під високою напругою?
2. З послідовно з'єднаних лампочок для кишенькового ліхтаря зібрана гірлянда, розрахована на включення в мережу напругою 220 В. На кожну з лампочок припадає напруга всього близько 3 В, проте якщо викрутити одну з лампочок з патрона і засунути туди палець, то сильно «смикне» . Чому?
3. Акумулятор замкнутий трьома провідниками однакової довжини, з'єднаними послідовно. На малюнку 1 зображено графік, що показує падіння напруги у них. Який із провідників має найбільший і який – найменший опір?
4. Обчисліть загальний опір ланцюга, представленого на малюнку 2, якщо R= 1 Ом.
5. П'ять провідників однакового опору з'єднали так, що під дією загальної напруги 5 В сила струму в ланцюзі дорівнювала 1 А. Визначте опір одного провідника. Чи єдине рішення має завдання?
6. З однакових резисторів опором по 10 Ом потрібно скласти ланцюг опором 6 Ом. Яка найменша кількість резисторів для цього знадобиться? Накресліть схему ланцюга.
7. Наведіть приклад ланцюга, який не зводиться до комбінації послідовних та паралельних сполук.
8. Як зміниться опір ланцюга, що складається з п'яти однакових провідників опором rкожен, якщо додати ще два такі ж провідники, як показано штриховими лініями на малюнку 3?
9. Який опір R кожного з двох однакових резисторів (рис.4), якщо вольтметр опором R V= 3 ком при включенні за схемами а) і б) показує однакову напругу? Напруга в ланцюгу в обох випадках те саме.
10. Електричний ланцюг, що складається з резисторів опорами R 1 , R 2 і R 3 , підключений до двох джерел постійної напруги U 1 і U 2 , як показано на малюнку 5. За яких умов сила струму через резистор опором R 1 дорівнюватиме нулю?
11. Знайдіть опір «зірки» (рис. 6) між точками А і В, якщо опір кожної ланки дорівнює r.
12. З тонких однорідних листів жерсті спаяли порожнистий куб, до двох протилежних вершин великої діагоналі якого припаяли провідники, як зображено малюнку 7. Опір куба між цими провідниками дорівнював 7 Ом. Знайдіть силу електричного струму, що перетинає ребро АВ куба, якщо куб підключено до джерела напругою 42 В.
13. Визначте струми в кожній стороні осередку, зображеного на малюнку 8, повний струм від вузла А до вузла В та повний опір між цими вузлами. Кожна сторона осередку має опір r, А струм, що протікає по зазначеній стороні, дорівнює i.
14. В електричний ланцюг, що складається з шести однакових резисторів опором R, впаяли дві перемички РЄ та DF, як зображено на малюнку 9. Яким став опір між висновками А та В?
15. Гальванічний елемент замкнутий на два паралельні провідники опорами R 1 і R 2 . Чи зменшаться струми в цих провідниках, якщо збільшити їх опір?
Мікродосвід
Як можна визначити довжину ізольованого мідного дроту, згорнутого у великий моток, не розмотуючи його?
Цікаво, що...
Ома, що здаються сьогодні тривіальними експерименти, чудові тим, що започаткували прояснення першопричин електричних явищ, що залишалися трохи менше двохсот років вельми туманними і позбавленими будь-яких досвідчених обґрунтувань.
Не будучи знайомий із законом Ома, французький фізик Пуйє, експериментуючи, дійшов подібних висновків у 1837 році. Дізнавшись, що закон відкритий десятиліття тому, Пуйє ретельно перевірив його. Закон було підтверджено з високою точністю, а «побічним результатом» стало вивчення закону Ома французькими школярами аж до XX століття під ім'ям закону Пуйє.
…при виведенні свого закону Ом ввів поняття «опір», «сила струму», «падіння напруги» та «провідність». Поряд з Ампером, який ввів терміни «електричний ланцюг» та «електричний струм» і визначив напрям струму в замкнутому ланцюзі, Ом заклав основи подальших електродинамічних досліджень на шляху до практичного використанняелектрики.
…У 1843 році англійський фізик Чарлз Уітстон, застосувавши закон Ома, винайшов метод виміру опору, відомий тепер як місток Уітстона.
…тотожність входять у формулювання закону Ома «електроскопічних сил» з електричними потенціалами було доведено Кірхгофом. Дещо раніше він же встановив закони розподілу струмів у розгалужених ланцюгах, а пізніше побудував загальну теорію руху струму в провідниках, припускаючи існування в них двох рівних зустрічних потоків позитивної та негативної електрики.
…інтенсивній розробці методів електричних вимірювань у XIX столітті сприяли запити техніки: створення повітряних телеграфних ліній, прокладання підземних кабелів, передача електричного струму повітряними неізольованими проводами та, нарешті, будівництво підводного трансатлантичного телеграфу. Теоретиком останнього проекту був визначний англійський фізик Вільям Томсон (лорд Кельвін).
...деякі практичні завдання економіки та логістики - такі, наприклад, як пошук мінімального за вартістю розподілу товарів, знайшли своє рішення під час моделювання транспортних потоків за допомогою електричних мереж.
Запитання та завдання
1. Опір тіла птиці набагато більше опору паралельної їй ділянки дроту між її ногами, тому сила струму в тілі птиці мала і нешкідлива.
2. Палець має дуже великий опір у порівнянні з опіром лампочки. При «включенні» його послідовно з лампочками через палець і лампочки тече один і той же струм, тому падіння напруги на пальці буде значно більше за падіння напруги на лампочках, тобто. практично вся напруга мережі буде прикладена до пальця.
3. Провідник 3 має найбільший опір, провідник 2 - найменшим.
4. R заг = R = 1 Ом.
5. При послідовному з'єднанні п'яти провідників опір кожного провідника дорівнює R = 1 Ом. Можливе й інше рішення: провідники з'єднані паралельно між собою в 2 групи, в одній з яких 3 провідники, в іншій - 2, і ці групи з'єднані один з одним послідовно. Тоді R = 6 Ом.
6. Чотири резистори; див. рис. 10.
7. На малюнку 11 представлена так звана місткова схема, коли струми протікають по всіх резисторах.
Для розвитку творчих здібностей учнів становлять інтерес завдання вирішення резисторних схем постійного струму шляхом рівнопотенційних вузлів. Вирішення цих завдань супроводжується послідовним перетворенням вихідної схеми. Причому найбільшої зміни вона зазнає після першого кроку, коли використовується даний метод. Подальші перетворення пов'язані з еквівалентною заміною послідовних чи паралельних резисторів.
Для перетворення ланцюга користуються тим властивістю, що у кожному ланцюга точки з однаковими потенціалами можна з'єднувати у вузли. І навпаки: вузли ланцюга можна розділити, якщо після цього потенціали точок, що входять у вузол, не зміняться.
У методичній літературі часто пишуть так: якщо схема містить провідники з однаковими опорами, розташованими симетричнощодо якоїсь осі або площини симетрії, то точки цих провідників, симетричні щодо цієї осі або площини, мають однаковий потенціал. Але вся складність у тому, що таку вісь чи площину ніхто на схемі не позначає і знайти її непросто.
Пропоную інший, спрощений спосіб вирішення подібних завдань.
Завдання 1. Дротовий кубик (рис. 1) включений у ланцюг між точкамиА до Ст.
Знайдіть його загальний опір, якщо опір кожного ребра дорівнює R.
Поставимо кубик на ребро АВ(рис. 2) і "розпиляємо" його на двіпаралельні половинкиплощиною АА 1 B 1 В, що проходить через нижнє та верхнє ребро.
Розглянемо праву половинку куба. Врахуємо, що нижнє і верхнє ребро розщепилися навпіл і стали в 2 рази тоншими, а їх опори збільшилися в 2 рази і стали в 2 рази. R(Рис. 3).
1) Знаходимо опірR 1трьох верхніх провідників, з'єднаних послідовно:
4) Знаходимо загальний опір цієї половинки куба (рис. 6):
Знаходимо загальний опір куба:
Вийшло порівняно просто, зрозуміло та доступно для всіх.
Завдання 2. Дротовий кубик підключений у ланцюг не рубом, а діагоналлюАС будь-якої грані. Знайдіть його загальний опір, якщо опір кожного ребра дорівнює R (рис. 7).
Знову ставимо кубик на ребро АВ. "Розпилюємо" кубик на двіпаралельні половинкитією самою вертикальною площиною (див. рис. 2).
Знову розглядаємо праву половинку дротяного куба. Враховуємо, що верхнє та нижнє ребро розщепилися навпіл і їх опори стали по 2 R.
З урахуванням умови завдання маємо таку сполуку (рис. 8).
