Кривими другого порядкуна площині називаються лінії, що визначаються рівняннями, в яких змінні координати xі yмістяться у другому ступені. До них відносяться еліпс, гіпербола та парабола.

Загальний вид рівняння кривої другого порядку:

де A, B, C, D, E, F- числа і хоча б один із коефіцієнтів A, B, Cне дорівнює нулю.

При вирішенні завдань із кривими другого порядку найчастіше розглядаються канонічні рівняння еліпса, гіперболи та параболи. До них легко перейти від загальних рівнянь, цьому буде присвячено приклад 1 задач з еліпсами.

Еліпс, заданий канонічним рівнянням

Визначення еліпса.Еліпсом називається безліч усіх точок площини, таких, для яких сума відстаней до точок, званих фокусами, є постійна величина і більша, ніж відстань між фокусами.

Фокуси позначені як і малюнку нижче.

Канонічне рівняння еліпса має вигляд:

де aі b (a > b) - Довжини півосей, тобто половини довжин відрізків, що відсікаються еліпсом на осях координат.

Пряма, що проходить через фокуси еліпса, є його віссю симетрії. Інший віссю симетрії еліпса є пряма, що проходить через середину відрізка перпендикулярно цьому відрізку. Крапка ПроПеретин цих прямих служить центром симетрії еліпса або просто центром еліпса.

Вісь абсцис еліпс перетинає в точках ( a, Про) та (- a, Про), а вісь ординат - у точках ( b, Про) та (- b, Про). Ці чотири точки називаються вершинами еліпса. Відрізок між вершинами еліпса на осі абсцис називається його великою віссю, але в осі ординат - малою віссю. Їхні відрізки від вершини до центру еліпса називаються півосями.

Якщо a = b, то рівняння еліпса набуває вигляду . Це рівняння кола радіусу a, А коло - окремий випадок еліпса. Еліпс можна отримати з кола радіусу a, якщо стиснути її в a/bраз уздовж осі Ой .

приклад 1.Перевірити, чи є лінія, задана загальним рівнянням , еліпсом.

Рішення. Проводимо перетворення загального рівняння. Застосовуємо перенесення вільного члена в праву частину, почленное розподіл рівняння одне й те число і скорочення дробів:

Відповідь. Отримане в результаті перетворення рівняння є канонічним рівнянням еліпса. Отже, ця лінія - еліпс.

приклад 2.Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо його півосі відповідно дорівнюють 5 і 4.

Рішення. Дивимося на формулу канонічного рівняння еліпса і підставляємо: Велика піввісь - це a= 5, менша піввісь - це b= 4 . Отримуємо канонічне рівняння еліпса:

Точки і , позначені зеленим на більшій осі, де

називаються фокусами.

називається ексцентриситетомеліпса.

Ставлення b/aхарактеризує "сплюснутість" еліпса. Що менше це відношення, то сильніше еліпс витягнутий вздовж великої осі. Однак ступінь витягнутості еліпса частіше прийнято виражати через ексцентриситет, формула якого наведена вище. Для різних еліпсів ексцентриситет змінюється від 0 до 1, залишаючись завжди менше одиниці.

приклад 3.Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо відстань між фокусами дорівнює 8 і більша вісь дорівнює 10.

Рішення. Робимо нескладні висновки:

Якщо більша вісь дорівнює 10, то її половина, тобто піввісь a = 5 ,

Якщо відстань між фокусами дорівнює 8, то число cз координат фокусів дорівнює 4.

Підставляємо та обчислюємо:

Результат - канонічне рівняння еліпса:

приклад 4.Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо його більша вісь дорівнює 26 і ексцентриситет.

Рішення. Як випливає і з розміру більшої осі, і з рівняння ексцентриситету, велика піввісь еліпса a= 13 . З рівняння ецентриситету виражаємо число c, необхідне обчислення довжини меншої півосі:

.

Обчислюємо квадрат довжини меншої півосі:

Складаємо канонічне рівняння еліпса:

Приклад 5.Визначити фокуси еліпса, заданого канонічним рівнянням.

Рішення. Слід знайти число c, Що визначає перші координати фокусів еліпса:

.

Отримуємо фокуси еліпса:

Приклад 6.Фокуси еліпса розташовані на осі Oxсиметрично щодо початку координат. Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо:

1) відстань між фокусами 30, а велика вісь 34

2) мала вісь 24, а один із фокусів знаходиться в точці (-5; 0)

3) ексцентриситет, а один із фокусів знаходиться в точці (6; 0)

Продовжуємо вирішувати завдання на еліпс разом

Якщо - довільна точка еліпса (на кресленні позначена зеленим у правій верхній частині еліпса) і - відстані до цієї точки від фокусів , то формули для відстаней - наступні:

Для кожної точки, що належить еліпсу, сума відстаней від фокусів є постійна величина, рівна 2 a.

Прямі, що визначаються рівняннями

називаються директрисамиеліпса (на кресленні – червоні лінії по краях).

З двох вищенаведених рівнянь випливає, що для будь-якої точки еліпса

,

де і - відстань цієї точки до директрис і .

Приклад 7.Даний еліпс. Скласти рівняння його директрис.

Рішення. Дивимося на рівняння директоріс і виявляємо, що потрібно знайти ексцентриситет еліпса, тобто . Усі дані для цього є. Обчислюємо:

.

Отримуємо рівняння директоріс еліпса:

Приклад 8.Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо його фокусами є точки , а директорами є прямі .

Лінії другого порядку.
Еліпс та його канонічне рівняння. Окружність

Після ґрунтовного опрацювання прямих на площиніпродовжуємо вивчати геометрію двовимірного світу. Ставки подвоюються, і я запрошую вас відвідати мальовничу галерею еліпсів, гіпербол, парабол, які є типовими представниками ліній другого порядку. Екскурсія вже розпочалася, і спочатку коротка інформація про всю експозицію на різних поверхах музею:

Поняття алгебраїчної лінії та її порядку

Лінію на площині називають алгебраїчної, якщо в афінної системи координатїї рівняння має вигляд , де – многочлен, що складається з доданків виду ( – дійсне число, – цілі неотрицательные числа).

Як бачите, рівняння лінії алгебри не містить синусів, косінусів, логарифмів та іншого функціонального бомонду. Тільки «ікси» та «ігреки» в цілих невід'ємнихступенях.

Порядок лініїдорівнює максимальному значенню складових, що входять до нього.

За відповідною теоремою, поняття алгебраїчної лінії, а також її порядок не залежать від вибору афінної системи координат, тому для легкості буття вважаємо, що всі наступні викладки мають місце в декартових координатах.

Загальне рівняннялінії другого порядку має вигляд , де – довільні дійсні числа (прийнято записувати з множником-«двійкою»), причому коефіцієнти не дорівнюють одночасно нулю.

Якщо , то рівняння спрощується до , і якщо коефіцієнти одночасно не дорівнюють нулю, то це точно загальне рівняння «плоської» прямої, яка є лінію першого порядку.

Багато хто зрозумів сенс нових термінів, але, проте, з метою 100%-го засвоєння матеріалу сунемо пальці в розетку. Щоб визначити порядок лінії, потрібно перебрати всі доданкиїї рівняння та у кожного з них знайти суму ступеніввхідних змінних.

Наприклад:

доданок містить «ікс» в 1-му ступені;
доданок містить «гравець» в 1-му ступені;
у складі змінні відсутні, тому сума їх ступенів дорівнює нулю.

Тепер розберемося, чому рівняння задає лінію другогопорядку:

доданок містить «ікс» у 2-му ступені;
у доданку сума ступенів змінних: 1 + 1 = 2;
доданок містить «гравець» у 2-му ступені;
решта доданків – меншоюступеня.

Максимальне значення: 2

Якщо до нашого рівняння додатково приплюсувати, скажімо, то воно вже буде визначати лінію третього порядку. Очевидно, що загальний вигляд рівняння лінії 3-го порядку містить «повний комплект» доданків, сума ступенів змінних у яких дорівнює трьом:
, Де коефіцієнти не рівні одночасно нулю.

У тому випадку, якщо додати одне або кілька відповідних доданків, які містять , то мова вже зайде про лінії 4-го порядку, і т.д.

З лініями алгебри 3-го, 4-го і більш високих порядків нам доведеться зіткнутися ще не раз, зокрема, при знайомстві з полярною системою координат.

Однак повернемося до загального рівняння та згадаємо його найпростіші шкільні варіації. Як приклади напрошується парабола, рівняння якої легко привести до загального вигляду, і гіпербола з еквівалентним рівнянням. Однак не все так гладко.

Істотний недолік загального рівняння полягає в тому, що майже завжди не зрозуміло, яку задає лінію. Навіть у найпростішому випадку не відразу зрозумієш, що це гіпербола. Такі розклади хороші лише на маскараді, тому в курсі аналітичної геометрії розглядається типове завдання приведення рівняння лінії 2-го порядку до канонічного вигляду.

Що таке канонічний вид рівняння?

Це загальноприйнятий стандартний вид рівняння, коли за лічені секунди стає ясно, який геометричний об'єкт воно визначає. Крім того, канонічний вигляд дуже зручний для вирішення багатьох практичних завдань. Так, наприклад, за канонічним рівнянням «плоский» прямий, по-перше, відразу зрозуміло, що це пряма, а по-друге – елементарно проглядається точка, що належить їй, і напрямний вектор .

Очевидно, що будь-яка лінія 1-го порядкує прямою. На другому поверсі нас чекає вже не вахтер, а набагато різноманітніша компанія з дев'яти статуй:

Класифікація ліній другого порядку

За допомогою спеціального комплексу дій будь-яке рівняння лінії другого порядку наводиться до одного з таких видів:

(і – позитивні дійсні числа)

1) - канонічне рівняння еліпса;

2) - канонічне рівняння гіперболи;

3) - канонічне рівняння параболи;

4) – уявнийеліпс;

5) - пара прямих, що перетинаються;

6) – пара уявнихпрямих, що перетинаються (з єдиною дійсною точкою перетину на початку координат);

7) – пара паралельних прямих;

8) – пара уявнихпаралельних прямих;

9) - пара прямих, що збіглися.

У ряду читачів може скластися враження неповноти списку. Наприклад, у пункті № 7 рівняння задає пару прямих, паралельних осі , і виникає питання: а де ж рівняння , що визначає прямі , паралельні осі ординат? Відповідь: воно не вважається канонічним. Прямі являють собою той самий стандартний випадок, повернутий на 90 градусів, і додатковий запис у класифікації надмірна, оскільки не несе нічого принципово нового.

Таким чином, існує дев'ять і лише дев'ять різних видів ліній 2-го порядку, але на практиці найчастіше зустрічаються еліпс, гіпербола та парабола.

Спочатку розглянемо еліпс. Як завжди, я акцентую увагу на тих моментах, які мають велике значення для вирішення завдань, і якщо вам необхідний докладний висновок формул, докази теорем, будь ласка, зверніться, наприклад, до підручника Базилєва/Атанасяна або Александрова.

Еліпс та його канонічне рівняння

Правопис… будь ласка, не повторюйте помилок деяких користувачів Яндекса, яких цікавить «як побудувати елібз», «відмінність еліпса від овалу» та «ексцентриситет елебсу».

Канонічне рівняння еліпса має вигляд , де - Позитивні дійсні числа, причому . Саме визначення еліпса я сформулюю пізніше, а поки саме час відпочити від говорілки і вирішити поширене завдання:

Як побудувати еліпс?

Так, ось взяти його і просто накреслити. Завдання зустрічається часто, і значна частина студентів не зовсім добре справляються з кресленням:

Приклад 1

Побудувати еліпс, заданий рівнянням

Рішення: спочатку наведемо рівняння до канонічного вигляду:

Навіщо наводити? Одна з переваг канонічного рівняння полягає в тому, що воно дозволяє миттєво визначити вершини еліпса, що у точках . Легко помітити, що координати кожної з цих точок задовольняють рівняння .

В даному випадку :


Відрізокназивають великою віссюеліпса;
відрізок – малою віссю;
число називають великою піввіссюеліпса;
число – малою піввіссю.
у прикладі: .

Щоб швидко уявити, як виглядає той чи інший еліпс, достатньо подивитися на значення «а» і «бе» його канонічного рівняння.

Все добре, складно та красиво, але є один нюанс: я виконав креслення за допомогою програми . І ви можете виконати креслення за допомогою будь-якої програми. Однак у суворій дійсності на столі лежить картатий аркуш паперу, і на наших руках водять хороводи миші. Люди з художнім талантом, звичайно, можуть посперечатися, але миші є і у вас теж (щоправда, менше). Такі недаремно людство винайшло лінійку, циркуль, транспортир та інші нехитрі пристрої для креслення.

Тому нам навряд чи вдасться акуратно накреслити еліпс, знаючи одні вершини. Ще куди не йшло, якщо еліпс невеликий, наприклад, з півосями. Як варіант, можна зменшити масштаб і, відповідно, розміри креслення. Але загалом вкрай бажано знайти додаткові точки.

Існує два підходи до побудови еліпса – геометричний та алгебраїчний. Побудова за допомогою циркуля і лінійки мені не подобається через не короткий алгоритм і суттєву захаращеність креслення. У разі крайньої необхідності, будь ласка, зверніться до підручника, а насправді ж набагато раціональніше скористатися засобами алгебри. З рівняння еліпса на чернетці швиденько висловлюємо:

Далі рівняння розпадається на дві функції:
- Визначає верхню дугу еліпса;
- Визначає нижню дугу еліпса.

Заданий канонічним рівнянням еліпс симетричний щодо координатних осей, і навіть щодо початку координат . І це добре - симетрія в більшості випадків провісник халяви. Очевидно, що достатньо розібратися з 1-ою координатною чвертю, тому нам потрібна функція . Напрошується знаходження додаткових крапок з абсцисами . Настукаємо три смс-ки на калькуляторі:

Безумовно, приємно й те, що якщо допущено серйозну помилку в обчисленнях, то це відразу з'ясується в ході побудови.

Зазначимо на кресленні точки (червоний колір), симетричні точки на решті дуг (синій колір) і акуратно з'єднаємо лінією всю компанію:


Початковий малюнок краще прокреслити тонко-тонко, і лише потім надати натиск олівця. В результаті має вийти цілком гідний еліпс. До речі, чи не хочете дізнатися, що це за крива?

Визначення еліпса. Фокуси еліпса та ексцентриситет еліпса

Еліпс - це окремий випадок овалу. Слово «овал» не слід розуміти в обивательському сенсі («дитина намалювала овал» і т.п.). Це математичний термін, що має розгорнуте формулювання. Метою даного уроку не є розгляд теорії овалів та різних їх видів, яким практично не приділяється уваги у стандартному курсі аналітичної геометрії. І, відповідно до більш актуальних потреб, ми відразу переходимо до суворого визначення еліпса:

Еліпс– це безліч усіх точок площини, сума відстаней до кожної з яких від двох даних точок, званих фокусамиеліпса, - є величина постійна, чисельно рівна довжині великої осі цього еліпса: .
При цьому відстані між фокусами менші від даного значення: .

Тепер стане все зрозуміліше:

Уявіть, що синя крапка «їздить» еліпсом. Так от, яку б точку еліпса ми не взяли, сума довжин відрізків завжди буде однією і тією ж:

Переконаємося, що у нашому прикладі значення суми справді дорівнює восьми. Подумки помістіть точку «ем» у праву вершину еліпса, тоді: , що потрібно перевірити.

На визначенні еліпса заснований ще один спосіб його креслення. Вища математика часом причина напруги і стресу, тому саме час провести черговий сеанс розвантаження. Будь ласка, візьміть ватман або великий лист картону і приколоти його до столу двома гвоздиками. Це будуть фокуси. До капелюшків цвяхів, що стирчать, прив'яжіть зелену нитку і до упору відтягніть її олівцем. Гриф олівця опиниться в деякій точці, яка належить еліпсу. Тепер починайте олівець по аркушу паперу, зберігаючи зелену нитку сильно натягнутою. Продовжуйте процес доти, доки не повернетеся у вихідну точку… відмінно… креслення можна здати на перевірку лікареві викладачеві =)

Як знайти фокуси еліпса?

У наведеному прикладі я зобразив «готові» точки фокусу, і зараз ми навчимося видобувати їх із надр геометрії.

Якщо еліпс заданий канонічним рівнянням, його фокуси мають координати , де це відстань від кожного з фокусів до центру симетрії еліпса.

Обчислення простіше пареної ріпи:

! Зі значенням «це» не можна ототожнювати конкретні координати фокусів!Повторюся, що це ВІДСТАНЬ від кожного з фокусів до центру(який у випадку ні розташовуватися саме на початку координат).
І, отже, відстань між фокусами теж не можна прив'язувати до канонічного становища еліпса. Іншими словами, еліпс можна перенести в інше місце і значення залишиться постійним, тоді як фокуси, звичайно, змінять свої координати. Будь ласка, враховуйте цей момент під час подальшого вивчення теми.

Ексцентриситет еліпса та його геометричний зміст

Ексцентриситетом еліпса називають відношення, яке може набувати значень у межах.

У нашому випадку:

З'ясуймо, як форма еліпса залежить від його ексцентриситету. Для цього зафіксуємо ліву та праву вершинианалізованого еліпса, тобто значення великої півосі залишатиметься постійним. Тоді формула ексцентриситету набуде вигляду: .

Почнемо наближати значення ексцентриситету до одиниці. Це можливо лише в тому випадку, якщо . Що це означає? …згадуємо про фокуси . Це означає, що фокуси еліпса «роз'їжджатимуться» по осі абсцис до бічних вершин. І, оскільки «зелені відрізки не гумові», то еліпс неминуче почне сплющуватися, перетворюючись на все більш тонку сосиску, нанизану на вісь.

Таким чином, чим ближче значення ексцентриситету еліпса до одиниці, тим еліпс більш довгастий.

Тепер змоделюємо протилежний процес: фокуси еліпса пішли назустріч один одному, наближаючись до центру. Це означає, що значення «це» стає дедалі менше і, відповідно, ексцентриситет прагне нулю: .
При цьому "зеленим відрізкам" буде, навпаки - "ставати тісно" і вони почнуть "виштовхувати" лінію еліпса вгору і вниз.

Таким чином, чим ближче значення ексцентриситету до нуля, тим еліпс більше схожий… дивимося граничний випадок, коли фокуси успішно возз'єдналися на початку координат:

Окружність – це окремий випадок еліпса

Справді, у разі рівності півосей канонічне рівняння еліпса набуває вигляду , який рефлекторно перетворюється на добре відомому зі школи рівнянню кола з центром на початку координат радіуса «а».

Насправді частіше використовують запис із «говорящей» буквою «ер»: . Радіусом називають довжину відрізка, при цьому кожна точка кола віддалена від центру на відстань радіуса.

Зауважте, що визначення еліпса залишається повністю коректним: фокуси збіглися, і сума довжин відрізків, що збіглися, для кожної точки кола – є величина постійна. Оскільки відстань між фокусами, то ексцентриситет будь-якого кола дорівнює нулю.

Будується коло легко і швидко, достатньо озброїтися циркулем. Тим не менш, іноді буває потрібно з'ясувати координати деяких її точок, у цьому випадку йдемо знайомим шляхом - наводимо рівняння до бадьорого матанівського вигляду:

– функція верхнього півкола;
– функція нижнього півкола.

Після чого знаходимо потрібні значення, диференціюємо, інтегруємоі робимо інші добрі речі.

Стаття, звичайно, має довідковий характер, але як на світі без кохання прожити? Творче завдання для самостійного вирішення

Приклад 2

Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо відомий один із його фокусів і мала піввісь (центр знаходиться на початку координат). Знайти вершини, додаткові точки та зобразити лінію на кресленні. Обчислити ексцентриситет.

Рішення та креслення наприкінці уроку

Додамо екшену:

Поворот та паралельне перенесення еліпса

Повернемося до канонічного рівняння еліпса , зокрема, до умови , загадка якого мучить допитливі уми ще з часів першої згадки про цю криву. Ось ми розглянули еліпс але хіба на практиці не може зустрітися рівняння ? Адже тут, однак, це начебто як і еліпс!

Подібне рівняння нечасте, але справді трапляється. І воно справді визначає еліпс. Розвіємо містику:

Внаслідок побудови отримано наш рідний еліпс, повернутий на 90 градусів. Тобто, – це неканонічний записеліпса . Запис!- Рівняння не ставить якийсь інший еліпс, оскільки на осі немає точок (фокусів), які б задовольняли визначенню еліпса.

Канонічне рівняння еліпса має вигляд

де a – велика піввісь; b – мала піввісь. Точки F1(c,0) та F2(-c,0) − c називаються

a, b – півосі еліпса.

Знаходження фокусів, ексцентриситету, директриса еліпса, якщо відомо його канонічне рівняння.

Визначення гіперболи. Фокус гіперболи.

Визначення. Гіперболою називається безліч точок площини, для яких модуль різниці відстаней від двох даних точок, званих фокусами, є величина постійна, менша відстані між фокусами.

За визначенням | r1 - r2 | = 2a. F1, F2 – фокуси гіпербол. F1F2 = 2c.

Канонічне рівняння гіперболи. Напівосі гіперболи. Побудова гіперболи, якщо відома її канонічна рівняння.

Канонічне рівняння:

Велика піввісь гіперболи становить половину мінімальної відстані між двома гілками гіперболи, на позитивній та негативній сторонах осі (ліворуч і праворуч щодо початку координат). Для гілки розташованої на позитивній стороні, піввісь дорівнюватиме:

Якщо виразити її через конічний перетин та ексцентриситет, тоді вираз набуде вигляду:

Знаходження фокусів, ексцентриситету, дирекрису гіперболи, якщо відомо її канонічне рівняння.

Ексцентриситет гіперболи

Визначення. Відношення називається ексцентриситетом гіперболи, де

половина відстані між фокусами, а – дійсна піввісь.

З огляду на те, що с2 – а2 = b2:

Якщо а = b, e = , то гіпербола називається рівнобічною (рівносторонньою).

Директриси гіперболи

Визначення. Дві прямі, перпендикулярні до дійсної осі гіперболи і розташовані симетрично щодо центру на відстані a/e від нього, називаються директрисами гіперболи. Їх рівняння: .

Теорема. Якщо r – відстань від довільної точки М гіперболи до якогось фокусу, d – відстань від тієї ж точки до відповідної цьому фокусу директриси, то відношення r/d – величина постійна, рівна ексцентриситету.

Визначення параболи. Фокус і параболи директриса.

Парабола. Параболою називається геометричне місце точок, кожна з яких однаково віддалена від заданої фіксованої точки та від заданої фіксованої прямої. Крапка, про яку йдеться у визначенні, називається фокусом параболи, а пряма – її директрисою.

Канонічне рівняння параболи. Параметр параболи. Побудова параболи.

Канонічне рівняння параболи в прямокутній системі координат: (або якщо поміняти місцями осі).

Побудова параболи за заданої величини параметра p виконується в наступній послідовності:

Проводять вісь симетрії параболи та відкладають на ній відрізок KF=p;

Через точку K перпендикулярно осі симетрії проводять директрису DD1;

Відрізок KF ділять навпіл отримують вершину параболи 0;

Від вершини відміряють ряд довільних точок 1, 2, 3, 5, 6 з відстанню між ними, що поступово збільшується;

Через ці точки проводять допоміжні прямі перпендикулярні до осі параболи;

На допоміжних прямих роблять засічки радіусом рівним відстані від прямої до директриси;

Отримані точки з'єднують плавною кривою.

Теорема. У канонічній для еліпса системі координат рівняння еліпса має вигляд:

Доведення. Доказ проведемо у два етапи. На першому етапі ми доведемо, що координати будь-якої точки, що лежить на еліпсі, задовольняють рівняння (4). На другому етапі ми доведемо, що будь-яке рішення рівняння (4) дає координати точки, що лежить на еліпсі. Звідси випливатиме, що рівнянню (4) задовольняють ті й лише ті точки координатної площини, які лежать на еліпсі. Звідси і визначення рівняння кривої слідуватиме, що рівняння (4) є рівнянням еліпса.

1) Нехай точка М(х, у) є точкою еліпса, тобто. сума її фокальних радіусів дорівнює 2а:

Скористаємося формулою відстані між двома точками координатної площини і знайдемо за цією формулою фокальні радіуси даної точки М:

Звідки отримуємо:

Перенесемо один корінь у праву частину рівності і зведемо у квадрат:

Скорочуючи, отримуємо:

Наводимо подібні, скорочуємо на 4 і усамітнюємо радикал:

.

Зводимо у квадрат

Розкриваємо дужки і скорочуємо на:

звідки отримуємо:

Використовуючи рівність (2), отримуємо:

.

Розділивши останню рівність на , отримуємо рівність (4), ч.т.д.

2) Нехай тепер пара чисел (х, у) задовольняє рівняння (4) і нехай М(х, у) – відповідна точка на координатній площині Оху.

Тоді з (4) випливає:

Підставляємо цю рівність для фокальних радіусів точки М:

.

Тут ми скористалися рівністю (2) та (3).

Таким чином, . Аналогічно, .

Тепер зауважимо, що з рівності (4) випливає, що

Або і т.к. , то звідси випливає нерівність:

Звідси, у свою чергу, випливає, що

З рівностей (5) випливає, що , тобто. точка М(х, у) є точкою еліпса, т.д.

Теорему доведено.

Визначення. Рівняння (4) називається канонічним рівнянням еліпса.

Визначення. Канонічні для еліпса осі координат називають головними осями еліпса.

Визначення. Початок канонічної для еліпса системи координат називається центром еліпса.

Еліпсомназивається геометричне місце точок площини, для кожної з яких сума відстаней до двох даних точок тієї ж площини, які називаються фокусами еліпса, є постійна величина. Для еліпса можна надати ще кілька еквівалентних визначень. Охочі можуть познайомитися з ними у серйозніших підручниках з аналітичної геометрії. Тут відзначимо тільки те, що еліпс - це крива, що виходить як проекція на площину кола, що лежить у площині, яка утворює гострий кут з площиною. На відміну від кола, записати в "зручному" вигляді рівняння еліпса в довільній системі координат не вдається. Тому для фіксованого еліпса доводиться підбирати систему координат так, щоб його рівняння було досить простим. Нехай і – фокуси еліпса. Початок системи координат розташуємо на середині відрізка. Вісь направимо вздовж цього відрізка, вісь - перпендикулярно до цього відрізка

24)Гіперболу

Зі шкільного курсу математики відомо, що крива, що задається рівнянням, де - число, називається гіперболою. Однак це - окремий випадок гіперболи (рівностороння гіпербола). Визначення 12 . 5 Гіперболою називається геометричне місце точок площини, для кожної з яких абсолютна величина різниці відстаней до двох фіксованих точок тієї ж площини, званих фокусами гіперболи, є постійна величина. Так само, як і у випадку еліпса, для отримання рівняння гіперболи виберемо відповідну систему координат. Початок координат розташуємо на середині відрізка між фокусами, вісь направимо вздовж цього відрізка, а вісь ординат - перпендикулярно до нього. Теорема 12 . 3 Нехай відстань між фокусами та гіперболами дорівнює, а абсолютна величина різниці відстаней від точки гіперболи до фокусів дорівнює. Тоді гіпербола у вибраній системі координат має рівняння (12 .8) де (12.9) Доказ. Нехай - поточна точка гіперболи (рис. 12.9). Мал. 12 . 9 . Оскільки різниця двох сторін трикутника менша за третю сторону, то , тобто , . У силу останньої нерівності речове число, що визначається формулою (12.9), існує. За умовою, фокуси - , . За формулою (10.4) для випадку площини отримуємо За визначенням гіперболи Це рівняння запишемо у вигляді Обидві частини зведемо у квадрат: Після приведення подібних членів та поділу на 4, приходимо до рівності Знову обидві частини зведемо в квадрат: Розкриваючи дужку і наводячи подібні члени, отримаємо З урахуванням формули (12.9) рівняння набуває вигляду Розділимо обидві частини рівняння і отримаємо рівняння (12.8) Рівняння (12.8) називається канонічним рівнянням гіперболи. Пропозиція 12 . 3 Гіпербола має дві взаємно перпендикулярні осі симетрії, на одній з яких лежать фокуси гіперболи, і центром симетрії. Якщо гіпербола задана канонічним рівнянням, її осями симетрії служать

Отже, графік функції має асимптоту . З симетрії гіперболи випливає, що теж асимптота. Залишається неясним характер кривої в околиці точки, а саме, чи утворює графік і симетрична йому щодо осі частина гіперболи у цій точці кут чи гіпербола у цій точці - гладка крива (є дотична). Для вирішення цього питання висловимо з рівняння (12.8) через: Очевидно, що дана функція має похідну в точці , , і в точці гіперболи є вертикальна дотична. За отриманими даними малюємо графік функції (Рис. 12.10). Мал. 12 . 10. Графік функції Остаточно, використовуючи симетрію гіперболи, отримуємо криву малюнку 12.11. Мал. 12 . 11 .Гіпербола Визначення 12 . 6 Точки перетину гіперболи, заданої канонічним рівнянням (12.8), з віссю називають вершинами гіперболи, відрізок між ними називається дійсною віссю гіперболи. Відрізок осі ординат між точками і називається уявною віссю. Числа і називаються відповідно до дійсної і уявної півосями гіперболи. Початок координат називається її центром. Розмір називається ексцентриситетом гіперболи. 12 . 3 З рівності (12.9) випливає, що , тобто у гіперболи. Ексцентриситет характеризує кут між асимптотами, що ближче до 1, то менше цей кут. 12 . 4 На відміну від еліпса в канонічному рівнянні гіперболи співвідношення між величинами і може бути довільним. Зокрема, ми отримаємо рівносторонню гіперболу, відому зі шкільного курсу математики. Її рівняння має знайомий вигляд, якщо взяти, а осі і направити по бісектрисах четвертого та першого координатних кутів (рис. 12.12). Мал. 12 . 12.Рівностороння гіпербола Для відображення на малюнку якісних характеристик гіперболи достатньо визначити її вершини, намалювати асимптоти і намалювати гладку криву, що проходить через вершини, що наближається до асимптотів і схожу на криву малюнка 12.10. Приклад 12 . 4 Побудуйте гіперболу, знайдіть її фокуси та ексцентриситет. Рішення. Розділимо обидві частини рівняння на 4. Отримаємо канонічне рівняння . Проводимо асимптоти та будуємо гіперболу (рис. 12.13). Мал. 12 . 13. Гіпербола З формули (12.9) отримаємо. Тоді фокуси -,,,. Приклад 12 . 5 Побудуйте гіперболу. Знайдіть її фокуси та ексцентриситет. Рішення. Перетворюємо рівняння до виду Дане рівняння не є канонічним рівнянням гіперболи, оскільки знаки перед та протилежні знакам у канонічному рівнянні. Проте, якщо перепозначити змінні , то нових змінних отримаємо канонічне рівняння Дійсна вісь цієї гіперболи лежить на осі , тобто на осі вихідної системи координат, асимптоти мають рівняння , тобто рівняння у вихідних координатах. Дійсна піввісь дорівнює 5, уявна - 2. Відповідно до цих даних проводимо побудову (рис. 12.14). Мал. 12 . 14 .Гіпербола з рівнянням З формули (12.9) отримаємо , , фокуси лежать на дійсній осі - , , де координати вказані у вихідній системі координат.

Парабола

У шкільному курсі математики досить докладно вивчалася парабола, яка, за визначенням, була графіком квадратного тричлена. Тут ми дамо інше (геометричне) визначення параболи. Визначення 12 . 7 Параболою називається геометричне місце точок площини, для кожної з яких відстань до фіксованої точки цієї площини, яка називається фокусом, дорівнює відстані до фіксованої прямої, що лежить в тій же площині і називається директори параболи. Щоб отримати рівняння кривої, що відповідає цьому визначенню, введемо відповідну систему координат. Для цього з фокусу опустимо перпендикуляр на директрису. Початок координат розташуємо на середині відрізка, вісь направимо вздовж відрізка так, щоб її напрямок збігався з напрямком вектора. Ось проведемо перпендикулярно до осі (рис. 12.15). Мал. 12 . 15 . Теорема 12 . 4 Нехай відстань між фокусом і директрисою параболи дорівнює . Тоді у вибраній системі координат парабола має рівняння (12.10) Доказ. У вибраній системі координат фокусом параболи є точка , а директриса має рівняння (рис. 12.15). Нехай - поточна точка параболи. Тоді за формулою (10.4) для плоского випадку знаходимо Відстанню від точки до директорки служить довжина перпендикуляра, опущеного на директорку з точки. З малюнка 12.15 очевидно, що . Тоді за визначенням параболи, тобто Зведемо обидві частини останнього рівняння квадрат: звідки Після наведення таких членів отримаємо рівняння (12.10). Рівняння (12.10) називається канонічним рівнянням параболи. Пропозиція 12 . 4 Парабола має віссю симетрії. Якщо парабола задана канонічним рівнянням, вісь симетрії збігається з віссю . Доведення. Проводиться так само, як і доказ (пропозиції 12.1). Точка перетину осі симетрії з параболою називається вершиною параболи. Якщо перепозначити змінні , то рівняння (12.10) можна записати у вигляді який збігається зі звичайним рівнянням параболи в шкільному курсі математики. Тому параболу намалюємо без додаткових досліджень (рис. 12.16). Мал. 12 . 16 .Парабола Приклад 12 . 6 Побудуйте параболу. Знайдіть її фокус та директорку. Рішення. Рівняння є канонічним рівнянням параболи, , . Осю параболи служить вісь, вершина знаходиться на початку координат, гілки параболи спрямовані вздовж осі. Для побудови знайдемо кілька точок параболи. Для цього надаємо значення змінному і знаходимо значення. Візьмемо крапки , , . Враховуючи симетрію щодо осі, малюємо криву (рис. 12.17) Мал. 12 . 17 .Парабола, задана рівнянням Фокус лежить на осі з відривом від вершини, тобто має координати . Директриса має рівняння, тобто. Парабола так само, як і еліпс, має властивість, пов'язану з відображенням світла (рис. 12.18). Властивість сформулюємо знову без підтвердження. Пропозиція 12 . 5 Нехай - фокус параболи, - довільна точка параболи, - промінь з початком у точці паралельний осі параболи. Тоді нормаль до параболі в точці ділить кут, утворений відрізком і променем, навпіл. Мал. 12 . 18. Відображення світлового променя від параболи Ця властивість означає, що промінь світла, що вийшов з фокусу, відбившись від параболи, далі піде паралельно осі цієї параболи. І навпаки, всі промені, що приходять з нескінченності та паралельні осі параболи, зійдуться у її фокусі. Ця властивість широко використовується у техніці. У прожекторах зазвичай ставлять дзеркало, поверхня якого виходить при обертанні параболи навколо осі симетрії (параболічне дзеркало). Джерело світла в прожекторах розміщують у фокусі параболи. В результаті прожектор дає пучок майже паралельних променів світла. Ця ж властивість використовується і в приймальних антенах космічного зв'язку та в дзеркалах телескопів, які збирають потік паралельних променів радіохвиль або потік паралельних променів світла та концентрують його у фокусі дзеркала.

26) Визначення матриці. Матрицею називається прямокутна таблиця з чисел, що містить кілька m рядків і кілька n стовпців.

Основні поняття матриці: Числа m та n називаються порядками матриці. Якщо m=n, матриця називається квадратнийа число m=n - її порядком.

Надалі для запису матриці будуть застосовуватись позначення:

Хоча іноді в літературі зустрічається позначення:

Втім, для короткого позначення матриці часто використовується одна велика літера латинського алфавіту, (наприклад, А), або символ ||a ij ||, інколи ж і з поясненням: A=||a ij ||=(a ij) (i =1,2,...,m;j=1,2,...n)

Числа a ij , що входять до складу даної матриці, називають її елементами. У записі a ij перший індекс i означає номер рядка, а другий індекс j – номер стовпця.

Наприклад, матриця

це матриця порядку 2×3, її елементи a 11 = 1, a 12 = x, a 13 = 3, a 21 = -2y, ...

Отже, ми запровадили визначення матриці. Розглянемо види матриць та дамо відповідні до них визначення.

Види матриць

Введемо поняття матриць: квадратних, діагональних, одиничних та нульових.

Визначення квадратної матриці: Квадратною матрицею n-го порядку називається матриця розміру n×n.

У разі квадратної матриці

вводяться поняття головної та побічної діагоналей. Головною діагоналлюматриці називається діагональ, що йде з лівого верхнього кута матриці в нижній правий її кут.

Побічною діагоналлюТієї ж матриці називається діагональ, що йде з лівого нижнього кута в правий верхній кут.

Поняття діагональної матриці: Діагональноїназивається квадратна матриця, яка має всі елементи поза головною діагоналі рівні нулю.

Поняття одиничної матриці: Одиничною(позначається іноді Е) називається діагональна матриця з одиницями на головній діагоналі.

Поняття нульової матриці:Нульовийназивається матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю.

Дві матриці А і В називаються рівними (А = В), якщо вони однакового розміру (тобто мають однакову кількість строю та однакову кількість стовпців та їх відповідні елементи рівні). Так, якщо

то А=B, якщо a 11 =b 11 , a 12 =b 12 , a 21 =b 21 , a 22 =b 22

Матриці спеціального вигляду

Квадратна матриця називається верхній трикутній, якщо при i>j, і нижньої трикутної, якщо при i