Harakat tezligi. Harakat turlari Tezlik proyeksiyasining eng katta modulini qanday topish mumkin

3.1. To'g'ri chiziqda bir tekis harakat.

3.1.1. To'g'ri chiziqda bir tekis harakat- kattaligi va yo'nalishi bo'yicha tezlanish doimiy bo'lgan to'g'ri chiziq bo'ylab harakat:

3.1.2. Tezlashtirish()- 1 soniyada tezlik qanchalik o'zgarishini ko'rsatadigan fizik vektor miqdori.

Vektor shaklida:

tananing boshlang'ich tezligi qayerda, vaqtning momentidagi tananing tezligi t.

O'qga proyeksiyada ho'kiz:

boshlang'ich tezlikning o'qga proyeksiyasi qayerda ho'kiz, - tana tezligining o'qga proyeksiyasi ho'kiz bir vaqtning o'zida t.

Proyeksiyalarning belgilari vektorlar va o'qning yo'nalishiga bog'liq ho'kiz.

3.1.3. Tezlanishning vaqtga nisbatan proyeksiya grafigi.

Bir tekis o'zgaruvchan harakatda tezlanish doimiy bo'ladi, shuning uchun u vaqt o'qiga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqlar ko'rinadi (rasmga qarang):

3.1.4. Bir tekis harakat paytida tezlik.

Vektor shaklida:

O'qga proyeksiyada ho'kiz:

Bir tekis tezlashtirilgan harakat uchun:

Yagona sekin harakatlanish uchun:

3.1.5. Tezlikning vaqtga nisbatan proyeksiya grafigi.

Tezlikning vaqtga nisbatan proyeksiyasining grafigi to'g'ri chiziqdir.

Harakat yo'nalishi: agar grafik (yoki uning bir qismi) vaqt o'qidan yuqori bo'lsa, u holda tana o'qning musbat yo'nalishi bo'yicha harakat qiladi. ho'kiz.

Tezlashtirish qiymati: nishab burchagi tangensi qanchalik katta bo'lsa (u qanchalik baland bo'lsa yoki pastga tushadi), tezlashtirish moduli shunchalik katta bo'ladi; vaqt davomida tezlikning o'zgarishi qayerda

Vaqt o'qi bilan kesishish: agar grafik vaqt o'qini kesib o'tsa, u holda kesishish nuqtasidan oldin tana sekinlashdi (bir xil sekin harakat), kesishgan nuqtadan keyin esa teskari yo'nalishda tezlasha boshladi (bir xil tezlashtirilgan harakat).

3.1.6. Grafik ostidagi maydonning o'qlardagi geometrik ma'nosi

O'qda bo'lganda grafik ostidagi maydon Oy tezlik kechiktiriladi va eksa bo'yicha ho'kiz- vaqt - bu tananing bosib o'tgan yo'lidir.

Shaklda. 3.5 bir tekis tezlashtirilgan harakat holatini ko'rsatadi. Bu holda yo'l trapezoidning maydoniga teng bo'ladi: (3.9)

3.1.7. Yo'lni hisoblash uchun formulalar

Jadvalda keltirilgan barcha formulalar faqat harakat yo'nalishi saqlanib qolganda, ya'ni to'g'ri chiziq tezlik proyeksiyasining vaqtga nisbatan grafigidagi vaqt o'qi bilan kesishmaguncha ishlaydi.

Agar kesishish sodir bo'lsa, harakatni ikki bosqichga bo'lish osonroq bo'ladi:

kesib o'tishdan oldin (tormozlash):

Kesishgandan keyin (tezlanish, teskari yo'nalishda harakat)

Yuqoridagi formulalarda - harakat boshidan vaqt o'qi bilan kesishishgacha bo'lgan vaqt (to'xtashgacha bo'lgan vaqt), - tananing harakat boshidan vaqt o'qi bilan kesishishigacha bo'lgan yo'li, - o'tgan vaqt. vaqt o'qini kesib o'tgan paytdan boshlab hozirgi kungacha t, - vaqt o'qini kesib o'tgan paytdan to hozirgi kungacha o'tgan vaqt davomida tananing teskari yo'nalishda bosib o'tgan yo'li. t, - butun harakat vaqti uchun siljish vektorining moduli, L- butun harakat davomida tananing bosib o'tgan yo'li.

3.1.8. Ikkinchi soniyada harakat.

Bu vaqt ichida tana quyidagi masofani bosib o'tadi:

Bu vaqt ichida tana quyidagi masofani bosib o'tadi:

Keyin tanaffus oralig'ida quyidagi masofani bosib o'tadi:

Har qanday vaqt oralig'i interval sifatida olinishi mumkin. Ko'pincha bilan.

Keyin 1 soniyada tana quyidagi masofani bosib o'tadi:

2 soniyada:

3 soniyada:

Agar diqqat bilan qarasak, buni ko'ramiz va hokazo.

Shunday qilib, biz formulaga kelamiz:

So'z bilan aytganda: tananing ketma-ket vaqt oralig'ida bosib o'tgan yo'llari bir-biri bilan toq sonlar qatori sifatida bog'lanadi va bu tananing qanday tezlashishiga bog'liq emas. Biz bu munosabat uchun amal qilishini ta'kidlaymiz

3.1.9. Bir tekis harakat uchun tana koordinatalari tenglamasi

Koordinata tenglamasi

Dastlabki tezlik va tezlanish proyeksiyalarining belgilari mos keladigan vektorlar va o'qning nisbiy holatiga bog'liq. ho'kiz.

Muammolarni hal qilish uchun tenglamaga tezlik proyeksiyasini o'qga o'zgartirish tenglamasini qo'shish kerak:

3.2. To'g'ri chiziqli harakat uchun kinematik kattaliklarning grafiklari

3.3. Erkin tushish tanasi

Erkin tushish deganda biz quyidagi jismoniy modelni nazarda tutamiz:

1) Yiqilish tortishish kuchi ta'sirida sodir bo'ladi:

2) Havo qarshiligi yo'q (muammolarda ular ba'zan "havo qarshiligini e'tiborsiz qoldirish" deb yozadilar);

3) Barcha jismlar, massasidan qat'i nazar, bir xil tezlanish bilan tushadilar (ba'zan ular "tananing shaklidan qat'iy nazar" qo'shadilar, lekin biz faqat moddiy nuqtaning harakatini ko'rib chiqamiz, shuning uchun tananing shakli endi olinmaydi hisobga);

4) Gravitatsiyaning tezlashishi qat'iy pastga yo'naltirilgan va Yer yuzasida tengdir (biz ko'pincha hisob-kitoblar qulayligi uchun hisoblaymiz);

3.3.1. Eksaga proyeksiyada harakat tenglamalari Oy

Gorizontal to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanishdan farqli o'laroq, barcha vazifalar harakat yo'nalishini o'zgartirishni nazarda tutmasa, erkin tushishda darhol o'qga proektsiyalarda yozilgan tenglamalardan foydalanish yaxshidir. Oy.

Tananing koordinata tenglamasi:

Tezlik proyeksiyasi tenglamasi:

Qoida tariqasida, muammolarda o'qni tanlash qulay Oy quyida bayon qilinganidek:

Eksa Oy vertikal yuqoriga yo'naltirilgan;

Kelib chiqishi Yer darajasiga yoki traektoriyaning eng past nuqtasiga to'g'ri keladi.

Ushbu tanlov bilan tenglamalar va quyidagi shaklda qayta yoziladi:

3.4. Samolyotda harakatlanish Oksi.

Biz jismning to'g'ri chiziq bo'ylab tezlanishi bilan harakatini ko'rib chiqdik. Biroq, bir xil o'zgaruvchan harakat bu bilan cheklanmaydi. Masalan, gorizontalga burchak ostida tashlangan tana. Bunday muammolarda bir vaqtning o'zida ikkita eksa bo'ylab harakatlanishni hisobga olish kerak:

Yoki vektor shaklida:

Va ikkala o'qda tezlik proektsiyasini o'zgartirish:

3.5. Hosil va integral tushunchasini qo'llash

Biz bu erda hosila va integralning batafsil ta'rifini bermaymiz. Muammolarni hal qilish uchun bizga faqat kichik formulalar to'plami kerak bo'ladi.

Hosil:

Qayerda A, B va ya'ni doimiy qiymatlar.

Integral:

Endi hosila va integral tushunchalari fizik kattaliklarga qanday taalluqliligini ko‘rib chiqamiz. Matematikada hosila “” bilan, fizikada vaqtga nisbatan hosila funksiya ustidagi “∙” bilan belgilanadi.

Tezlik:

ya'ni tezlik radius vektorining hosilasidir.

Tezlikni proyeksiya qilish uchun:

Tezlashtirish:

ya'ni tezlanish tezlikning hosilasidir.

Tezlashtirish proyeksiyasi uchun:

Shunday qilib, agar harakat qonuni ma'lum bo'lsa, biz tananing tezligini ham, tezlanishini ham osongina topishimiz mumkin.

Endi integral tushunchasidan foydalanamiz.

Tezlik:

ya'ni tezlikni tezlanishning vaqt integrali sifatida topish mumkin.

Radius vektori:

ya'ni radius vektorini tezlik funksiyasining integralini olish orqali topish mumkin.

Shunday qilib, agar funktsiya ma'lum bo'lsa, biz tananing tezligini ham, harakat qonunini ham osongina topishimiz mumkin.

Formulalardagi konstantalar dastlabki shartlardan - qiymatlardan va vaqt momentidan aniqlanadi

3.6. Tezlik uchburchagi va siljish uchburchagi

3.6.1. Tezlik uchburchagi

Doimiy tezlanishli vektor shaklida tezlikni o'zgartirish qonuni (3.5) ko'rinishga ega:

Bu formula vektor vektorning vektor yig'indisiga teng ekanligini anglatadi va vektor yig'indisi har doim rasmda tasvirlanishi mumkin (rasmga qarang).

Har bir masalada, shartlarga qarab, tezlik uchburchagi o'z shakliga ega bo'ladi. Bu tasvir yechimda geometrik mulohazalardan foydalanishga imkon beradi, bu esa ko'pincha masalaning yechimini soddalashtiradi.

3.6.2. Harakatlar uchburchagi

Vektor shaklida doimiy tezlanish bilan harakat qonuni quyidagi ko'rinishga ega:

Muammoni hal qilishda siz mos yozuvlar tizimini eng qulay usulda tanlashingiz mumkin, shuning uchun biz umumiylikni yo'qotmasdan, biz mos yozuvlar tizimini shunday tanlashimiz mumkinki, ya'ni koordinatalar tizimining kelib chiqishini nuqtaga joylashtiramiz. tanasi dastlabki daqiqada joylashgan. Keyin

ya'ni vektor vektorlarning vektor yig'indisiga teng va uni rasmda tasvirlaymiz (rasmga qarang).

Oldingi holatda bo'lgani kabi, shartlarga qarab, siljish uchburchagi o'z shakliga ega bo'ladi. Bu tasvir yechimda geometrik mulohazalardan foydalanishga imkon beradi, bu esa ko'pincha masalaning yechimini soddalashtiradi.

Yagona harakat– bu doimiy tezlikdagi harakat, ya’ni tezlik o‘zgarmagan (v = const) va tezlanish yoki sekinlashuv sodir bo‘lmaganda (a = 0).

To'g'ri chiziqli harakat- bu to'g'ri chiziqdagi harakat, ya'ni to'g'ri chiziqli harakat traektoriyasi to'g'ri chiziqdir.

Bir tekis chiziqli harakat- bu tana har qanday teng vaqt oralig'ida teng harakatlarni amalga oshiradigan harakatdir. Misol uchun, agar biz ma'lum bir vaqt oralig'ini bir soniyali oraliqlarga ajratsak, u holda bir xil harakat bilan tana bu vaqt oralig'ining har biri uchun bir xil masofani bosib o'tadi.

Bir tekis to'g'ri chiziqli harakat tezligi vaqtga bog'liq emas va traektoriyaning har bir nuqtasida tananing harakati kabi yo'naltiriladi. Ya'ni, siljish vektori tezlik vektori bilan yo'nalish bo'yicha mos keladi. Bunday holda, har qanday vaqt oralig'idagi o'rtacha tezlik oniy tezlikka teng bo'ladi: v cp = v Bir tekis to'g'ri chiziqli harakat tezligi- fizik vektor kattalik bo'lib, jismning istalgan vaqt oralig'idagi harakatining ushbu interval t qiymatiga nisbatiga teng:

Shunday qilib, bir xil to'g'ri chiziqli harakat tezligi moddiy nuqta vaqt birligida qancha harakat qilishini ko'rsatadi.

Harakatlanuvchi bir tekis chiziqli harakat quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Bosib o'tgan masofa chiziqli harakatda siljish moduliga teng. Agar OX o'qining musbat yo'nalishi harakat yo'nalishiga to'g'ri kelsa, u holda tezlikning OX o'qiga proyeksiyasi tezlikning kattaligiga teng bo'ladi va ijobiy bo'ladi:

V x = v, ya'ni v > 0 OX o'qiga siljish proyeksiyasi teng: s = vt = x – x 0 bunda x 0 - tananing boshlang'ich koordinatasi, x - tananing oxirgi koordinatasi. (yoki istalgan vaqtda tananing koordinatasi)

Harakat tenglamasi, ya'ni jism koordinatalarining vaqtga bog'liqligi x = x(t), ko'rinishni oladi:

X = x 0 + vt Agar OX o'qining musbat yo'nalishi jismning harakat yo'nalishiga qarama-qarshi bo'lsa, u holda jism tezligining OX o'qiga proyeksiyasi manfiy, tezligi noldan kichik (v x = x 0). - vt

Tezlik, koordinatalar va yo'lning vaqtga bog'liqligi

Tana tezligi proyeksiyasining vaqtga bog'liqligi rasmda ko'rsatilgan. 1.11. Tezlik doimiy (v = const) bo'lgani uchun tezlik grafigi Ot vaqt o'qiga parallel to'g'ri chiziqdir.

Guruch. 1.11. Bir tekis to'g'ri chiziqli harakat uchun tana tezligi proyeksiyasining vaqtga bog'liqligi.

Harakatning koordinata o'qiga proyeksiyasi son jihatdan OABC to'rtburchaklar maydoniga teng (1.12-rasm), chunki harakat vektorining kattaligi tezlik vektorining mahsulotiga va harakat sodir bo'lgan vaqtga teng. qilingan.

Guruch. 1.12. Bir tekis to'g'ri chiziqli harakat uchun tananing siljishi proyeksiyasining vaqtga bog'liqligi.

Vaqtga nisbatan siljish grafigi rasmda ko'rsatilgan. 1.13. Grafik tezlikning proyeksiyasi teng ekanligini ko'rsatadi

V = s 1 / t 1 = tan a bu erda a - grafikning vaqt o'qiga moyillik burchagi. a burchak qanchalik katta bo'lsa, jism shunchalik tez harakat qiladi, ya'ni uning tezligi shunchalik katta bo'ladi (tana kamroq vaqt ichida qancha masofani bosib o'tadi). Koordinata grafigining vaqtga nisbatan tangensi tezlikka teng: tg a = v.

Guruch. 1.13. Bir tekis to'g'ri chiziqli harakat uchun tananing siljishi proyeksiyasining vaqtga bog'liqligi.

Koordinataning vaqtga bog'liqligi rasmda ko'rsatilgan. 1.14. Rasmdan ko'rinib turibdiki

Tg a 1 > tan a 2 shuning uchun 1 jismning tezligi 2 jismning tezligidan yuqori (v 1 > v 2). tg a 3 = v 3 Agar tana tinch holatda bo'lsa, u holda koordinata grafigi vaqt o'qiga parallel to'g'ri chiziq bo'ladi, ya'ni x = x 0.

Guruch. 1.14. Bir tekis to'g'ri chiziqli harakat uchun tana koordinatalarining vaqtga bog'liqligi.

1.2. To'g'ri chiziqli harakat

1.2.3. Kinematik kattaliklarni grafik hisoblash

Harakatning ba'zi kinematik xususiyatlarini grafik tarzda hisoblash mumkin.

Prognozlangan tezlik ta'rifi

Koordinataning x (t) vaqtga (yoki S (t) vaqt bo'yicha bosib o'tilgan masofa) bog'liqligi grafiklaridan foydalanib, siz mos keladigan qiymatni hisoblashingiz mumkin. tezlik proyeksiyasi v x vaqtning ma'lum bir nuqtasida (1.11-rasm), masalan t = t 1.

Buning uchun sizga kerak:

1) vaqt o'qi bo'yicha t 1 vaqt momentining ko'rsatilgan qiymatini belgilang;

2) x (t) grafigi bilan kesishmaga perpendikulyarni tiklang;

5) tezlikning Ox o'qiga proyeksiyasini tangens burchakning vaqt o'qining musbat yo'nalishiga tangensi sifatida aniqlang:

v x (t 1) = tan a 1 .

Shuni ta'kidlash kerakki, tezlikning proyeksiyasi v x

• grafaga teguvchi t o'qi yo'nalishi bilan o'tkir burchak hosil qilsa, ijobiy (1.11-rasmga qarang);
• manfiy bo'ladi, agar grafikga tegish t o'qi yo'nalishi bilan o'tmas burchak hosil qilsa (1.12-rasm).

Shaklda. 1.12-rasmda koordinataning x (t) vaqtga nisbatan grafigi ko'rsatilgan. t 3 vaqtda Ox o'qiga tezlikning proyeksiyasini aniqlash uchun t = t 3 perpendikulyar chiziladi. Perpendikulyarning x (t) bog'liqligi bilan kesishgan nuqtasida teginish chizig'i o'tkaziladi. U t o'qi bilan o'tmas burchak hosil qiladi. Shuning uchun ko'rsatilgan vaqtda v x tezligining Ox o'qiga proyeksiyasi manfiy qiymatdir:

v x (t 3) = - | tan a 3 | .

Guruch. 1.12

Tezlanish proyeksiyasining ta’rifi

Tezlik proyeksiyasining v x (t) vaqtga nisbatan grafigidan foydalanib, vaqtning ma’lum bir nuqtasida mos keladigan o’q bo’yicha a x tezlanish proyeksiyasini hisoblash mumkin (1.13-rasm), masalan, t = t 2.

Buning uchun sizga kerak:

1) vaqt o'qi bo'yicha t 2 vaqt momentining ko'rsatilgan qiymatini belgilang;

2) v x (t) grafigi bilan kesishmaga perpendikulyarni tiklang;

3) grafikning perpendikulyar bilan kesishgan nuqtasida unga teginish chizig'ini o'tkazing;

5) tezlanishning Ox o'qiga proyeksiyasini tangens burchakning vaqt o'qining musbat yo'nalishiga tangensi sifatida aniqlang:

a x (t 2) = tan a 2 .

Shuni ta'kidlash kerakki, tezlanishning proyeksiyasi a x

• agar grafaga teguvchi t o'qi yo'nalishi bilan o'tkir burchak hosil qilsa, ijobiy (1.13-rasmga qarang);

Guruch. 1.13

• manfiy bo'ladi, agar grafikga tegish t o'qi yo'nalishi bilan o'tmas burchak hosil qilsa (1.14-rasm).

Guruch. 1.14

Algoritmdan foydalanishni tushuntirish. Shaklda. 1.14-rasmda tezlik proyeksiyasining v x (t) vaqtga nisbatan grafigi keltirilgan. Tezlanishning t 4 vaqtda Ox o'qiga proyeksiyasini aniqlash uchun t = t 4 perpendikulyar chiziladi. Perpendikulyarning v x (t) bog'liqligi bilan kesishgan nuqtasida teginish chizig'i o'tkaziladi. U t o'qi bilan o'tmas burchak hosil qiladi. Shuning uchun a x tezlashuvining Ox o'qiga belgilangan vaqtda proyeksiyasi manfiy qiymatdir:

a x (t 4) = - | tg a 4 | .

Bosib o'tgan masofani va siljish modulini aniqlash (bir tekis va bir xil tezlashtirilgan harakatning kombinatsiyasi)

Tezlik proyeksiyasining grafigidan v x (t) vaqtga bog'liq holda siz bosib o'tgan masofani va sayohat moduli moddiy nuqta (tana) ma'lum vaqt oralig'ida ∆t = t 2 - t 1.

Belgilangan xususiyatlarni faqat bo'limlarni o'z ichiga olgan grafik yordamida hisoblash uchun bir xilda tezlashtirilgan va bir tekis harakat, u quyidagicha:

4) bosib o'tgan masofani S va siljish moduli ∆r yig'indisi sifatida hisoblang:

∆r = S 1 + S 2 + ... + S n,

Bu erda S 1, S 2, ..., S n - bir tekis tezlashtirilgan va bir tekis harakat uchastkalarining har birida moddiy nuqta tomonidan o'tgan yo'llar.

Shaklda. 1.15-rasmda AB kesmada bir tekis tezlashtirilgan, BC kesmada bir tekis tezlashtirilgan, CD kesmada bir xil tezlashtirilgan, lekin AB kesmadagi tezlanishdan farqli tezlashuvga ega bo‘lgan moddiy nuqta (jism) uchun tezlik proyeksiyasining vaqtga bog‘liqligi ko‘rsatilgan.

Guruch. 1.15

Bunday holda, bosib o'tgan masofa S va siljish moduli ∆r mos keladi va formulalar yordamida hisoblanadi:

S = S 1 + S 2 + S 3,

∆r = S 1 + S 2 + S 3,

bu erda S 1 - AB kesmadagi moddiy nuqta (tana) bosib o'tgan yo'l; S 2 - miloddan avvalgi uchastkada o'tgan yo'l; S 3 - CD bo'limida o'tgan yo'l; S 1, S 2, S 3 yuqorida keltirilgan algoritm bo'yicha hisoblanadi.

Bosib o'tgan masofani va siljish modulini aniqlash (bir xil, bir xil tezlashtirilgan va bir xil sekinlashtirilgan harakatlarning kombinatsiyasi)

Ko'rsatilgan xususiyatlarni v x (t) grafigi yordamida hisoblash uchun nafaqat bir xil tezlashtirilgan va bir xil bo'limlarni o'z ichiga olgan, balki bir xil darajada sekin harakat qilish uchun siz:

1) vaqt o'qida belgilangan vaqt oralig'ini ∆t belgilang;

2) t = t 1 va t = t 2 nuqtalardan perpendikulyarlarni v x (t) grafigi bilan kesishguncha tiklaymiz;

4) bosib o'tgan S masofani yig'indisi sifatida hisoblang:

S = S 1 + S 2 + ... + S n,

bu erda S 1, S 2, ..., S n - har bir uchastkada moddiy nuqta tomonidan o'tgan yo'llar;

5) hisoblash sayohat moduli moddiy nuqtaning to'xtash nuqtasigacha bo'lgan umumiy yo'li va to'xtagandan keyin moddiy nuqta bosib o'tgan yo'l o'rtasidagi farq sifatida.

Algoritmdan foydalanishni tushuntirish. Shaklda. 1.16-rasmda AB kesmada bir tekis tezlashtirilgan, BC kesmada bir xilda, CF kesmada bir tekis sekin harakatlanuvchi moddiy nuqta (tana) tezligining vaqtga bog‘liqligi ko‘rsatilgan.

Guruch. 1.16

Bir tekis sekin harakatlanish uchastkasi (shu jumladan to'xtash nuqtasi - D nuqtasi) mavjud bo'lganda, bosib o'tgan masofa S va siljish moduli ∆r mos kelmaydi. Bosib o'tgan masofa formula bo'yicha hisoblanadi

S = S 1 + S 2 + S 3 + S 4,

bu erda S 1 - AB kesmadagi moddiy nuqta (tana) bosib o'tgan yo'l; S 2 - miloddan avvalgi uchastkada o'tgan yo'l; S 3 - CD bo'limida o'tgan yo'l; S 4 - DF kesimida o'tgan yo'l; S 1 , S 2 , S 3 , S 4 yuqorida keltirilgan algoritm boʻyicha hisoblanadi; Shuni ta'kidlash kerakki, S 4 qiymati ijobiydir.

O'zgartirish moduli formuladan foydalanib hisoblanadi

∆r = S 1 + S 2 + S 3 - S 4,

Tezlikni o'zgartirish modulini aniqlash

Tezlanishning vaqtga nisbatan proyeksiyasi grafigidan x (t) ni topish mumkin tezlikni o'zgartirish moduli Moddiy nuqtaning (jismning) ma'lum vaqt oralig'idagi ∆v ∆t = t 2 - t 1 (1.17-rasm).

Buning uchun sizga kerak:

1) vaqt o'qida belgilangan vaqt oralig'ini ∆t belgilang;

2) t = t 1 va t = t 2 nuqtalardan perpendikulyarlarni a x (t) grafigi bilan kesishguncha tiklaymiz;

4) maydon sifatida belgilangan vaqt oralig'ida tezlikning o'zgarishi modulini hisoblang.

4-misol. Birinchi jism tezligining Ox o'qiga proyeksiyasining vaqtga nisbatan grafigi (0; 6) va (3; 0) nuqtalardan, ikkinchisi - nuqtalardan (() o'tadigan to'g'ri chiziq bilan tasvirlangan. 0; 0) va (8; 4), bu erda tezlik sekundiga metrda, vaqt - soniyalarda berilgan. Birinchi va ikkinchi jismlarning tezlanish modullari necha marta farq qiladi?

Yechim. Ikkala jism uchun tezlik proyeksiyalarining vaqtga nisbatan grafiklari rasmda ko'rsatilgan.

Birinchi jismning tezlanish proyeksiyasi o'tmas burchakning tangensi sifatida aniqlanadi a 1 ; uning moduli formula bo'yicha hisoblanadi

| a x 1 | = | tan a 1 | = | tg (180 - a 3) | = 6 3 = 2 m/s 2.

Birinchi tana bir xil darajada sekin harakat qiladi; uning tezlanishining kattaligi 1 = = 2 m/s 2 ga teng.

Ikkinchi jismning tezlanish proyeksiyasi o'tkir burchakning tangensi sifatida aniqlanadi a 2 ; uning moduli formula bo'yicha hisoblanadi

a x 2 = tan a 2 = 4 8 = 0,5 m/s 2.

Ikkinchi tana bir xil tezlanish bilan harakat qiladi; uning tezlanishining kattaligi 2 = 0,5 m/s 2 ga teng.

Birinchi va ikkinchi jismlarning tezlashtirish modullarining kerakli nisbati quyidagilarga teng:

a 1 a 2 = 2 0,5 = 4.

Birinchi jismning tezlanishi ikkinchi jismning tezlanishidan 4 marta katta.

5-misol. Birinchi jism uchun y-koordinataning vaqtga nisbatan grafigi (0; 0) va (5; 3) nuqtalardan, ikkinchisi (3; 0) va nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq shaklida tasvirlangan. (6; 6), bu erda koordinata metrlarda, vaqt - soniyalarda berilgan. Ko'rsatilgan jismlarning tezlik proyeksiyalari modullarining nisbatini aniqlang.

Yechim. Ikkala jism uchun y-koordinataning vaqtga nisbatan grafiklari rasmda ko'rsatilgan.

Birinchi jism tezligining proyeksiyasi a 1 burchakning tangensi sifatida aniqlanadi; uning moduli formula bo'yicha hisoblanadi

v y 1 = tan a 1 = 3 5 = 0,6 m/s.

Ikkinchi jismning tezligining proyeksiyasi a 2 burchakning tangensi sifatida aniqlanadi; uning moduli formula bo'yicha hisoblanadi

v y 2 = tan a 2 = 6 3 = 2 m/s.

Har ikkala tezlik proyeksiyasi ham ijobiy belgiga ega; shuning uchun ikkala jism ham bir xil tezlanish bilan harakat qiladi.

Ko'rsatilgan jismlarning tezlik proyeksiyalari modullarining nisbati:

| v y 2 | | v y 1 | = 2 0,6 ≈ 3.

Ikkinchi jismning tezligi proyeksiyasining kattaligi ikkinchi jismning tezligi proyeksiyasining kattaligidan taxminan 3 baravar katta.

Misol 6. Jism tezligining vaqtga bog'liqligi grafigi (0; 4,0) va (2,5; 0) nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq shaklida tasvirlangan, bu erda tezlik sekundiga metrda berilgan, vaqt - soniyalarda. 6,0 s harakatda tananing bosib o'tgan masofasi siljish modulidan necha marta katta?

Yechim. Tana tezligining vaqtga nisbatan grafigi rasmda ko'rsatilgan. To'xtash nuqtasi t dam = 2,5 s 0 s dan 6,0 s gacha bo'lgan oraliqda tushadi.

Shuning uchun bosib o'tgan masofa yig'indisidir

S = S 1 + S 2,

| D r → | = | S 1 - S 2 | ,

bu erda S 1 - 0 s dan 2,5 s gacha bo'lgan vaqt oralig'ida tananing bosib o'tgan yo'li; S 2 - tananing 2,5 s dan 6,0 s gacha bo'lgan vaqt oralig'ida bosib o'tgan yo'li.

Rasmda ko'rsatilgan uchburchaklar maydoni sifatida S 1 va S 2 qiymatlarini grafik tarzda hisoblaymiz:

S 1 = 1 2 ⋅ 4,0 ⋅ 2,5 = 5,0 m;

S 2 = 1 2 ⋅ (6,0 - 2,5) ⋅ 5,6 = 9,8 m.

Eslatma: t = 6,0 s vaqtida v = 5,6 m/s tezlik qiymati uchburchaklarning o'xshashligidan olinadi, ya'ni. munosabatdan

v 4,0 = 6,0 - 2,5 2,5 - 0.

Keling, bosib o'tgan masofani hisoblaymiz:

S = S 1 + S 2 = 5,0 + 9,8 = 14,8 m

| D r → | = | S 1 - S 2 | = | 5,0 − 9,8 | = 4,8 m.

Bosib o'tgan masofa va siljish modulining kerakli nisbatini topamiz:

S | D r → | = 14,8 4,8 ≈ 3,1.

Bosib o'tgan masofa siljishdan taxminan 3,1 marta ko'p.

Yagona harakat– bu doimiy tezlikdagi harakat, ya’ni tezlik o‘zgarmagan (v = const) va tezlanish yoki sekinlashuv sodir bo‘lmaganda (a = 0).

To'g'ri chiziqli harakat- bu to'g'ri chiziqdagi harakat, ya'ni to'g'ri chiziqli harakat traektoriyasi to'g'ri chiziqdir.

Bir tekis chiziqli harakat- bu tana har qanday teng vaqt oralig'ida teng harakatlarni amalga oshiradigan harakatdir. Misol uchun, agar biz ma'lum bir vaqt oralig'ini bir soniyali oraliqlarga ajratsak, u holda bir xil harakat bilan tana bu vaqt oralig'ining har biri uchun bir xil masofani bosib o'tadi.

Bir tekis to'g'ri chiziqli harakat tezligi vaqtga bog'liq emas va traektoriyaning har bir nuqtasida tananing harakati kabi yo'naltiriladi. Ya'ni, siljish vektori tezlik vektori bilan yo'nalish bo'yicha mos keladi. Bunday holda, har qanday vaqt oralig'idagi o'rtacha tezlik oniy tezlikka teng bo'ladi:

V cp = v

Bosib o'tgan masofa chiziqli harakatda siljish moduliga teng. Agar OX o'qining musbat yo'nalishi harakat yo'nalishiga to'g'ri kelsa, u holda tezlikning OX o'qiga proyeksiyasi tezlikning kattaligiga teng bo'ladi va ijobiy bo'ladi:

V x = v, ya'ni v > 0

OX o'qiga siljish proyeksiyasi quyidagilarga teng:

S = vt = x – x 0

bu erda x 0 - tananing boshlang'ich koordinatasi, x - tananing yakuniy koordinatasi (yoki istalgan vaqtda tananing koordinatasi)

Harakat tenglamasi, ya'ni jism koordinatalarining vaqtga bog'liqligi x = x(t), ko'rinishni oladi:

X = x 0 + vt

Agar OX o'qining musbat yo'nalishi tananing harakat yo'nalishiga qarama-qarshi bo'lsa, u holda tananing tezligining OX o'qiga proyeksiyasi manfiy, tezligi noldan kichik (v).< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

X = x 0 - vt

Tezlik, koordinatalar va yo'lning vaqtga bog'liqligi

Tana tezligi proyeksiyasining vaqtga bog'liqligi rasmda ko'rsatilgan. 1.11. Tezlik doimiy (v = const) bo'lgani uchun tezlik grafigi Ot vaqt o'qiga parallel to'g'ri chiziqdir.

Guruch. 1.11. Bir tekis to'g'ri chiziqli harakat uchun tana tezligi proyeksiyasining vaqtga bog'liqligi.

Harakatning koordinata o'qiga proyeksiyasi son jihatdan OABC to'rtburchaklar maydoniga teng (1.12-rasm), chunki harakat vektorining kattaligi tezlik vektorining mahsulotiga va harakat sodir bo'lgan vaqtga teng. qilingan.

Guruch. 1.12. Bir tekis to'g'ri chiziqli harakat uchun tananing siljishi proyeksiyasining vaqtga bog'liqligi.

Vaqtga nisbatan siljish grafigi rasmda ko'rsatilgan. 1.13. Grafik tezlikning proyeksiyasi teng ekanligini ko'rsatadi

V = s 1 / t 1 = tan a

Bu yerda a - grafikning vaqt o'qiga qiyaligi burchagi a burchak qanchalik katta bo'lsa, jism shunchalik tez harakat qiladi, ya'ni uning tezligi shunchalik katta bo'ladi (tana qisqa vaqt ichida qancha masofani bosib o'tadi). Koordinata grafigiga teginishning vaqtga nisbatan tangensi tezlikka teng:

Tg a = v

Guruch. 1.13. Bir tekis to'g'ri chiziqli harakat uchun tananing siljishi proyeksiyasining vaqtga bog'liqligi.

Koordinataning vaqtga bog'liqligi rasmda ko'rsatilgan. 1.14. Rasmdan ko'rinib turibdiki

Tg a 1 > tg a 2

shuning uchun 1 jismning tezligi 2 jismning tezligidan yuqori (v 1 > v 2).

Tg a 3 = v 3< 0

Agar tana tinch holatda bo'lsa, u holda koordinata grafigi vaqt o'qiga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqdir, ya'ni

X = x 0

Guruch. 1.14. Bir tekis to'g'ri chiziqli harakat uchun tana koordinatalarining vaqtga bog'liqligi.

Chizmalarda geometrik jismlarning tasvirlari proyeksiya usuli yordamida quriladi. Ammo buning uchun bitta rasm etarli emas, kamida ikkita proektsiya kerak. Ularning yordami bilan kosmosdagi nuqtalar aniqlanadi. Shuning uchun siz nuqta proyeksiyasini qanday topishni bilishingiz kerak.

Nuqtaning proyeksiyasi

Buning uchun dihedral burchakning bo'sh joyini hisobga olishingiz kerak bo'ladi, bunda nuqta (A) ichida joylashgan. Bu erda gorizontal P1 va vertikal P2 proyeksiya tekisliklari qo'llaniladi. (A) nuqta proyeksiya tekisliklariga ortogonal proyeksiyalanadi. Perpendikulyar proyeksiya nurlariga kelsak, ular proyeksiya tekisliklariga perpendikulyar proyeksiyalar tekisligiga birlashtiriladi. Shunday qilib, P2 / P1 o'qi bo'ylab aylanish orqali gorizontal P1 va frontal P2 tekisliklarini birlashtirganda, biz tekis chizilgan hosil qilamiz.

Keyin uning ustida joylashgan proyeksiya nuqtalari bo'lgan chiziq o'qga perpendikulyar ko'rsatilgan. Bu murakkab chizma hosil qiladi. Undagi qurilgan segmentlar va vertikal ulanish chizig'i tufayli siz nuqtaning proyeksiya tekisliklariga nisbatan o'rnini osongina aniqlashingiz mumkin.

Proyeksiyani qanday topishni tushunishni osonlashtirish uchun siz to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqishingiz kerak. Uning qisqa tomoni oyoq, uzun tomoni esa gipotenuzadir. Agar siz oyog'ingizni gipotenuzaga proyeksiya qilsangiz, u ikki segmentga bo'linadi. Ularning qiymatini aniqlash uchun siz dastlabki ma'lumotlar to'plamini hisoblashingiz kerak. Keling, ushbu uchburchakda asosiy proektsiyalarni qanday hisoblashni ko'rib chiqaylik.

Qoida tariqasida, bu masalada ular N oyoqning uzunligini va proyeksiyasini topish uchun zarur bo'lgan D gipotenuza uzunligini ko'rsatadilar. Buning uchun oyoqning proyeksiyasini qanday topish mumkinligini bilib olamiz.

Oyoq uzunligini (A) topish usulini ko'rib chiqamiz. Oyoq proyeksiyasining geometrik o'rtacha qiymati va gipotenuzaning uzunligi biz izlayotgan oyoq qiymatiga teng ekanligini hisobga olsak: N = √(D*Nd).

Proyeksiya uzunligini qanday topish mumkin

Mahsulotning ildizini kerakli oyoq uzunligini (N) kvadratiga bo'lish va keyin uni gipotenuzaning uzunligiga bo'lish orqali topish mumkin: Nd = (N / √ D)² = N² / D. Qiymatlarni belgilashda ​Manba ma'lumotlarida faqat D va N oyoqlarining uzunligi proektsiyalarini Pifagor teoremasi yordamida topish kerak.
Gipotenuzaning D uzunligini topamiz. Buning uchun oyoqlarning √ (N² + T²) qiymatlaridan foydalanish kerak va keyin olingan qiymatni proyeksiyani topish uchun quyidagi formulaga almashtiring: Nd = N² / √ (N² + T²).

Manba ma'lumotlarida RD oyog'ining proektsiyasining uzunligi to'g'risidagi ma'lumotlar, shuningdek D gipotenuzasining qiymati to'g'risidagi ma'lumotlar mavjud bo'lsa, ikkinchi oyog'i ND proektsiyasining uzunligi oddiy ayirish formulasi yordamida hisoblanishi kerak: ND = D - RD.

Tezlik proyeksiyasi

Keling, tezlik proyeksiyasini qanday topishni ko'rib chiqaylik. Berilgan vektor harakat tavsifini ko'rsatishi uchun uni koordinata o'qlariga proyeksiyada joylashtirish kerak. Bir koordinata o'qi (nur), ikkita koordinata o'qi (tekislik) va uchta koordinata o'qi (fazo) mavjud. Proyeksiyani topishda vektorning uchlaridan o'qga perpendikulyarlarni tushirish kerak.

Proyeksiyaning ma'nosini tushunish uchun vektorning proyeksiyasini qanday topishni bilish kerak.

Vektor proyeksiyasi

Tana o'qga perpendikulyar harakat qilganda, proyeksiya nuqta sifatida ifodalanadi va nolga teng qiymatga ega bo'ladi. Agar harakat koordinata o'qiga parallel ravishda amalga oshirilsa, u holda proyeksiya vektor moduliga to'g'ri keladi. Agar jism tezlik vektori (x) o'qiga nisbatan ph burchakka yo'naltirilgan tarzda harakat qilsa, bu o'qga proyeksiya segment bo'ladi: V(x) = V cos(ph), Bu yerda V - tezlik vektorining modeli.Tezlik vektori va koordinata o'qining yo'nalishlari bir-biriga to'g'ri kelsa, proyeksiya musbat bo'ladi va aksincha.

Quyidagi koordinata tenglamasini olaylik: x = x(t), y = y(t), z = z(t). Bunda tezlik funksiyasi uchta o'qga proyeksiya qilinadi va quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: V(x) = dx / dt = x"(t), V(y) = dy / dt = y"(t), V(z) = dz / dt = z"(t). Bundan kelib chiqadiki, tezlikni topish uchun hosilalarni olish kerak. Tezlik vektorining o'zi quyidagi ko'rinishdagi tenglama bilan ifodalanadi: V = V(x) i. + V(y) j + V(z) k.Bu yerda i,j,k mos ravishda x,y,z koordinata o‘qlarining birlik vektorlari.Shunday qilib, tezlik moduli quyidagi formula bo‘yicha hisoblanadi: V = √ ( V(x) ^ 2 + V(y) ^ 2 + V(z )^2).