Kvadratchalar farqi
$a^2-b^2$ kvadratlar farqi formulasini chiqaramiz.
Buning uchun quyidagi qoidani yodda tuting:
Ifodaga har qanday monomial qo'shilsa va bir xil monomialni ayirsak, biz to'g'ri identifikatsiyani olamiz.
Keling, ifodamizga qo'shamiz va undan $ab$ monomialini ayiramiz:
Umuman olganda, biz quyidagilarni olamiz:
Ya'ni, ikkita monomialning kvadratlari orasidagi farq ularning ayirmasi va yig'indisining ko'paytmasiga teng.
1-misol
$(4x)^2-y^2$ mahsulot sifatida taqdim eting
\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]
\[((2x))^2-y^2=\chap(2x-y\o'ng)(2x+y)\]
Kublar yig'indisi
$a^3+b^3$ kublar yigʻindisi formulasini chiqaramiz.
Qavslar ichidan umumiy omillarni chiqaramiz:
Qavslar ichidan $\left(a+b\right)$ chiqaramiz:
Umuman olganda, biz quyidagilarni olamiz:
Ya'ni, ikkita monomialning kublari yig'indisi ularning yig'indisi va ayirmasining qisman kvadratiga teng.
2-misol
$(8x)^3+y^3$ mahsulot sifatida taqdim eting
Bu ifodani quyidagicha qayta yozish mumkin:
\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]
Kvadratlar farqi formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
\[((2x))^3+y^3=\chap(2x+y\o'ng)(4x^2-2xy+y^2)\]
Kublarning farqi
$a^3-b^3$ kublar ayirmasining formulasini chiqaramiz.
Buning uchun biz yuqoridagi qoidadan foydalanamiz.
Keling, ifodamizga qo'shilib, undan $a^2b\ va \ (ab)^2$ monomlarini ayirib chiqamiz:
Qavslar ichidan umumiy omillarni chiqaramiz:
Qavslar ichidan $\left(a-b\right)$ chiqaramiz:
Umuman olganda, biz quyidagilarni olamiz:
Ya'ni, ikkita monomial kublarining farqi ularning ayirmasining yig'indisining to'liq bo'lmagan kvadratiga ko'paytmasiga teng.
3-misol
$(8x)^3-y^3$ mahsulot sifatida taqdim etiladi
Bu ifodani quyidagicha qayta yozish mumkin:
\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]
Kvadratlar farqi formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
\[((2x))^3-y^3=\chap(2x-y\o'ng)(4x^2+2xy+y^2)\]
Kvadratlar ayirmasi va yig‘indisi va kublar ayirmasi formulalaridan foydalaniladigan masalalarga misol
4-misol
Uni hisobga oling.
a) $((a+5))^2-9$
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
Yechim:
a) $((a+5))^2-9$
\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]
Kvadratlar farqi formulasini qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz:
\[((a+5))^2-3^2=\chap(a+5-3\o'ng)\chap(a+5+3\o'ng)=\chap(a+2\o'ng)(a +8)\]
Ushbu ifodani quyidagi shaklda yozamiz:
Keling, kublar formulasini qo'llaymiz:
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
Ushbu ifodani quyidagi shaklda yozamiz:
\[-x^3+\frac(1)(27)=(\chap(\frac(1)(3)\o'ng))^3-x^3\]
Keling, kublar formulasini qo'llaymiz:
\[(\left(\frac(1)(3)\o'ng))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\o‘ng)\]
Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari yoki qoidalari arifmetikada, aniqrog'i algebrada katta algebraik ifodalarni baholash jarayonini tezlashtirish uchun ishlatiladi. Formulalarning o'zi bir nechta polinomlarni ko'paytirish uchun algebrada mavjud qoidalardan olingan.
Ushbu formulalardan foydalanish etarli darajada ta'minlaydi operativ yechim turli matematik masalalar, shuningdek, ifodalarni soddalashtirishga yordam beradi. Algebraik o'zgartirishlar qoidalari sizga ifodalar bilan ba'zi manipulyatsiyalarni bajarishga imkon beradi, shundan so'ng siz tenglikning chap tomonida o'ng tomonidagi ifodani olishingiz yoki tenglikning o'ng tomonini o'zgartirishingiz mumkin (chap tomondagi ifodani olish uchun) teng belgisidan keyin).
Qisqartirilgan ko'paytirish uchun ishlatiladigan formulalarni xotiradan bilish qulay, chunki ular ko'pincha masala va tenglamalarni echishda qo'llaniladi. Quyida ushbu ro'yxatga kiritilgan asosiy formulalar va ularning nomlari keltirilgan.
Yig'inning kvadrati
Yig'indi kvadratini hisoblash uchun birinchi hadning kvadratidan, birinchi hadning ikki barobari va ikkinchi va ikkinchisining kvadratidan iborat yig'indini topish kerak. Ifoda shaklida bu qoida quyidagicha yoziladi: (a + c)² = a² + 2ac + c².
Kvadrat farq
Farqning kvadratini hisoblash uchun siz birinchi raqamning kvadratidan, birinchi raqamning ikki baravar ko'paytmasidan va ikkinchi (qarama-qarshi belgi bilan olingan) va ikkinchi raqamning kvadratidan tashkil topgan summani hisoblashingiz kerak. Ifoda shaklida bu qoida quyidagicha ko'rinadi: (a - c)² = a² - 2ac + c².
Kvadratchalar farqi
Ikki sonning kvadrati ayirmasining formulasi bu sonlar yig‘indisi va ularning ayirmasi ko‘paytmasiga teng. Ifoda shaklida bu qoida quyidagicha ko'rinadi: a² - s² = (a + s)·(a - s).
Jami kub
Ikki hadning yig'indisining kubini hisoblash uchun siz birinchi hadning kubidan tashkil topgan yig'indini hisoblashingiz kerak, birinchi hadning kvadrati va ikkinchisining ko'paytmasini uch marta, birinchi hadning va ikkinchisining ko'paytmasini uch marta ko'paytirishingiz kerak. kvadrat va ikkinchi hadning kubi. Ifoda shaklida bu qoida quyidagicha ko'rinadi: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
Kublar yig'indisi
Formulaga ko'ra, bu hadlar yig'indisi va ularning to'liq bo'lmagan kvadrat ayirmasining ko'paytmasiga teng. Ifoda shaklida bu qoida quyidagicha ko'rinadi: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).
Misol. Ikki kubni qo'shish orqali hosil bo'lgan raqamning hajmini hisoblash kerak. Faqat tomonlarning o'lchamlari ma'lum.
Agar yon qiymatlar kichik bo'lsa, hisob-kitoblar oddiy.
Agar tomonlarning uzunligi noqulay raqamlar bilan ifodalangan bo'lsa, unda bu holda "Kublar yig'indisi" formulasidan foydalanish osonroq bo'ladi, bu esa hisob-kitoblarni sezilarli darajada soddalashtiradi.
Farq kubi
Kub farqining ifodasi shunday eshitiladi: birinchi hadning uchinchi darajali yig'indisi sifatida birinchi hadning kvadratining manfiy ko'paytmasini ikkinchisiga, birinchi hadning ko'paytmasini ikkinchisining kvadratiga uch marta ko'paytiring. va ikkinchi hadning manfiy kubi. Matematik ifoda ko'rinishida farqning kubi quyidagicha ko'rinadi: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
Kublarning farqi
Kublar formulasining farqi kublar yig'indisidan faqat bitta belgi bilan farq qiladi. Shunday qilib, kublarning farqi bu raqamlarning farqi va yig'indining to'liq bo'lmagan kvadratiga teng bo'lgan formuladir. Shaklda kublarning farqi quyidagicha ko'rinadi: a 3 - c 3 = (a - c) (a 2 + ac + c 2).
Misol. Ko'k kub hajmidan sariq rangli hajmli raqamni, bu ham kubni ayirgandan keyin qoladigan raqam hajmini hisoblash kerak. Kichik va katta kubning faqat yon o'lchami ma'lum.
Agar yon qiymatlar kichik bo'lsa, hisob-kitoblar juda oddiy. Va agar tomonlarning uzunligi sezilarli raqamlar bilan ifodalangan bo'lsa, u holda hisob-kitoblarni sezilarli darajada soddalashtiradigan "Kubiklar farqi" (yoki "Farq kubi") formulasini qo'llashga arziydi.
Oldingi darslarda ko‘phadni ko‘paytiruvchining ikkita usulini ko‘rib chiqdik: umumiy ko‘rsatkichni qavs ichidan chiqarish va guruhlash usuli.
Ushbu darsda biz ko'phadni ko'paytiruvchining boshqa usulini ko'rib chiqamiz qisqartirilgan ko'paytirish formulalari yordamida.
Har bir formulani kamida 12 marta yozishingizni tavsiya qilamiz. Yaxshiroq yodlash uchun barcha qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini kichik cheat varag'iga yozing.
Keling, kublar formulasining farqi qanday ko'rinishini eslaylik.
a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)Kublar formulasining farqini eslab qolish juda oson emas, shuning uchun uni eslab qolish uchun maxsus usuldan foydalanishni tavsiya etamiz.
Har qanday qisqartirilgan ko'paytirish formulasi ham ishlashini tushunish muhimdir teskari tomon.
(a - b) (a 2 + ab + b 2) = a 3 - b 3Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. Kublarning farqini hisobga olish kerak.
E'tibor bering, "27a 3" "(3a) 3", ya'ni kublar formulasi farqi uchun "a" o'rniga "3a" dan foydalanamiz.
Biz kublar farqi formulasidan foydalanamiz. "A 3" o'rnida bizda "27a 3", formulada bo'lgani kabi "b 3" o'rniga "b 3" mavjud.
Kublar farqini teskari yo'nalishda qo'llash
Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik. Qisqartirilgan ko'paytirish formulasidan foydalanib, ko'phadlar mahsulotini kublar farqiga aylantirishingiz kerak.
E'tibor bering, "(x - 1)(x 2 + x + 1)" ko'paytmasi kublar farqining o'ng tomoniga "formula" o'xshaydi, faqat "a" o'rniga "x" mavjud va o'rnida “b” dan “1” mavjud.
"(x − 1)(x 2 + x + 1)" uchun biz kublar formulasini teskari yo'nalishda ishlatamiz.
Keling, yanada murakkab misolni ko'rib chiqaylik. Polinomlar mahsulotini soddalashtirish talab qilinadi.
Agar “(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)” bilan solishtirsak. o'ng tomon kub formulalarining farqi
« a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)", keyin siz birinchi qavsdagi "a" o'rnida "y 2" va "b" o'rnida "1" borligini tushunishingiz mumkin.
Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari.
Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini o'rganish: yig'indining kvadrati va ikki ifodaning ayirmasining kvadrati; ikki ifoda kvadratlarining farqi; ikki ifodaning yig‘indisining kubi va ayirmasining kubi; ikki ifoda kublarining yig‘indisi va ayirmalari.
Misollarni yechishda qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llash.
Ifodalarni soddalashtirish, koʻpaytmali koʻphadlar va koʻphadlarni standart koʻrinishga keltirish uchun qisqartirilgan koʻpaytirish formulalari qoʻllaniladi. Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini yoddan bilish kerak.
a, b R bo'lsin. Keyin:
1. Ikki ifoda yig‘indisining kvadrati ga teng birinchi ifodaning kvadratiga plyus birinchi ifodaning ikki barobar ko'paytmasi va ikkinchi ortiqcha ikkinchi ifodaning kvadrati.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Ikki ifoda ayirmasining kvadrati ga teng birinchi ifodaning kvadratiga minus birinchi ifodaning ikki barobar ko'paytmasi va ikkinchi ortiqcha ikkinchi ifodaning kvadrati.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Kvadratchalar farqi ikkita ifoda bu ifodalar ayirmasi va ularning yig‘indisi ko‘paytmasiga teng.
a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)
4. Jami kub ikkita ifoda birinchi ifodaning kubiga plyus birinchi ifoda kvadratining uch baravar ko‘paytmasiga, ikkinchisi esa birinchi ifodaning ko‘paytmasini va ikkinchisining kvadratiga plyus ikkinchi ifoda kubining uch baravariga teng.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Farq kubi ikkita ifoda birinchi ifodaning kubini minus birinchi ifoda kvadratining uch karrasini va ikkinchi ortiqcha birinchi ifodaning ko‘paytmasini va ikkinchisining kvadratini minus ikkinchi ifoda kubining uch baravariga teng.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Kublar yig'indisi ikkita ifoda birinchi va ikkinchi ifodalar yig‘indisi va bu ifodalar ayirmasining to‘liq bo‘lmagan kvadratining ko‘paytmasiga teng.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Kublarning farqi ikkita ifoda birinchi va ikkinchi ifodalar ayirmasining shu ifodalar yig‘indisining to‘liq bo‘lmagan kvadratiga ko‘paytmasiga teng.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Misollarni yechishda qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llash.
1-misol.
Hisoblash
a) Ikki ifoda yig‘indisining kvadrati formulasidan foydalanib, biz bor
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Ikki ifodaning ayirmasining kvadrati formulasidan foydalanib, olamiz
98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604
2-misol.
Hisoblash
Ikki ifoda kvadratlarining farqi uchun formuladan foydalanib, biz olamiz
3-misol.
Ifodani soddalashtiring
(x - y) 2 + (x + y) 2
Ikki ifodaning yig‘indisining kvadrati va ayirmasining kvadrati uchun formulalardan foydalanamiz
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
Bitta jadvalda qisqartirilgan ko'paytirish formulalari:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
