Geometriyada figuraning maydoni tekis tananing asosiy raqamli xususiyatlaridan biridir. Hudud nima, uni turli raqamlar uchun qanday aniqlash mumkin, shuningdek, u qanday xususiyatlarga ega - biz ushbu savollarning barchasini ushbu maqolada ko'rib chiqamiz.
Hudud nima: ta'rif
Shaklning maydoni - bu rasmdagi birlik kvadratlar soni; norasmiy tarzda aytganda, bu raqamning o'lchamidir. Ko'pincha raqamning maydoni "S" bilan belgilanadi. Uni palitra yoki planimetr yordamida o'lchash mumkin. Shaklning asosiy o'lchamlarini bilib, uning maydonini ham hisoblashingiz mumkin. Masalan, uchburchakning maydonini uchta turli formulalar yordamida hisoblash mumkin:
To'rtburchakning maydoni uning kengligining uzunligi bo'yicha ko'paytmasiga teng, aylananing maydoni esa radius kvadrati va p = 3,14 sonining mahsulotiga teng.
Shakl maydonining xossalari
- maydon teng raqamlar uchun teng;
- maydon har doim salbiy emas;
- Maydon uchun o'lchov birligi - uzunligi 1 birlikka teng bo'lgan kvadratning maydoni;
- agar raqam ikki qismga bo'lingan bo'lsa, unda rasmning umumiy maydoni uning tarkibiy qismlarining maydonlarining yig'indisiga teng bo'ladi;
- maydoni bo'yicha teng raqamlar maydoni bo'yicha teng deyiladi;
- agar bitta raqam boshqa raqamga tegishli bo'lsa, birinchisining maydoni ikkinchisining maydonidan oshmasligi kerak.
Teorema 1.
Kvadratning maydoni uning tomonining kvadratiga teng.
Tomoni a bo'lgan kvadratning S maydoni 2 ga teng ekanligini isbotlaylik. Tomoni 1 bo'lgan kvadratni olib, uni 1-rasmda ko'rsatilgandek n ta teng kvadratga ajratamiz. geometriya maydoni figura teoremasi
1-rasm.
Kvadratning yon tomoni 1 ga teng bo'lganligi sababli, har bir kichik kvadratning maydoni teng bo'ladi. Har bir kichik kvadratning yon tomoni teng, ya'ni. a ga teng. Bundan kelib chiqadi. Teorema isbotlangan.
Teorema 2.
Paralelogrammaning maydoni uning tomoni va bu tomonga chizilgan balandlikning mahsulotiga teng (2-rasm):
S = a * h.
ABCD berilgan parallelogramm bo'lsin. Agar u to'rtburchak bo'lmasa, uning A yoki B burchaklaridan biri o'tkirdir. Aniqlik uchun A burchak o'tkir bo'lsin (2-rasm).
2-rasm.
A cho'qqisidan CB chizig'iga perpendikulyar AE tushiramiz. AECD trapetsiyasining maydoni ABCD parallelogrammasi va AEB uchburchagi maydonlarining yig'indisiga teng. D cho'qqisidan CD chizig'iga perpendikulyar DF ni tushiramiz. Keyin AECD trapesiyaning maydoni AEFD to'rtburchaklar va DFC uchburchaklari maydonlarining yig'indisiga teng bo'ladi. AEB va DFC to'g'ri burchakli uchburchaklar mos keladi va shuning uchun teng maydonlarga ega. Bundan kelib chiqadiki, ABCD paralelogrammasining maydoni AEFD to'rtburchaklar maydoniga teng, ya'ni. AE * AD ga teng. Segment AE - AD tomoniga tushirilgan parallelogrammning balandligi va shuning uchun S = a * h. Teorema isbotlangan.
Teorema 3
Uchburchakning maydoni uning tomoni va balandligi ko'paytmasining yarmiga teng(3-rasm):
3-rasm.
Isbot.
ABC berilgan uchburchak bo'lsin. Uni rasmda ko'rsatilganidek, ABCD parallelogrammasiga qo'shamiz (3.1-rasm).
3.1-rasm.
Parallelogrammning maydoni ABC va CDA uchburchaklar maydonlarining yig'indisiga teng. Bu uchburchaklar teng bo'lganligi sababli, parallelogrammning maydoni ABC uchburchak maydonining ikki barobariga teng. CB tomoniga mos keladigan parallelogramm balandligi CB tomoniga chizilgan uchburchakning balandligiga teng. Bu teoremaning bayonini bildiradi.Teorema isbotlangan.
3.1 teorema.
Uchburchakning maydoni uning ikki tomoni va ular orasidagi burchak sinusining yarmiga teng.(3.2-rasm).
3.2-rasm.
Isbot.
B musbat yarim o'q C x ustida yotadigan, A nuqta esa musbat ordinataga ega bo'lishi uchun koordinatalar sistemasini koordinatalar sistemasini kiritaylik, koordinatalar koordinatasi C nuqtada. Berilgan uchburchakning maydonini formuladan foydalanib hisoblash mumkin, bu erda h - uchburchakning balandligi. Lekin h A nuqtaning ordinatasiga teng, ya'ni. h=b sin C. Shuning uchun, . Teorema isbotlangan.
Teorema 4.
Trapetsiyaning maydoni uning asoslari va balandligi yig'indisining yarmining ko'paytmasiga teng(4-rasm).
4-rasm.
Isbot.
Berilgan trapesiya ABCD bo'lsin (4.1-rasm).
4.1-rasm.
Trapetsiyaning diagonali AC uni ikkita uchburchakka ajratadi: ABC va CDA.
Shunday qilib, trapezoidning maydoni bu uchburchaklar maydonlarining yig'indisiga teng.
ACD uchburchagining maydoni ABC uchburchagining maydoniga teng. Ushbu uchburchaklarning AF va CE balandliklari BC va AD parallel chiziqlar orasidagi h masofaga teng, ya'ni. trapetsiya balandligi. Demak, . Teorema isbotlangan.
Shakllar sohalari fandagi kabi geometriyada ham katta ahamiyatga ega. Axir, maydon geometriyadagi eng muhim miqdorlardan biridir. Sohalarni bilmasdan ko'p geometrik masalalarni yechish, teoremalarni isbotlash va aksiomalarni asoslab bo'lmaydi. Raqamlar sohalari ko'p asrlar oldin katta ahamiyatga ega bo'lgan, ammo o'z ahamiyatini yo'qotmagan zamonaviy dunyo. Hudud tushunchalari ko'plab kasblarda qo'llaniladi. Ular qurilish, loyihalash va inson faoliyatining boshqa ko'plab turlarida qo'llaniladi. Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, geometriya, xususan, soha tushunchalari rivojlanmaganda, insoniyat fan va texnika sohasida bunday katta yutuqni amalga oshira olmas edi.
Ko'rsatmalar
Agar sizning raqamingiz ko'pburchak bo'lsa, harakat qilish qulay. Siz uni har doim cheklangan songa bo'lishingiz mumkin va siz faqat bitta formulani - uchburchakning maydonini eslab qolishingiz kerak. Shunday qilib, uchburchak uning tomoni uzunligi va shu tomonga chizilgan balandlik uzunligining yarmiga ko'paytiriladi. Sizning xohishingiz bilan murakkabroq uchburchak aylantirilgan individual uchburchaklarning maydonlarini jamlab, siz kerakli natijani bilib olasiz.
Ixtiyoriy figuraning maydonini aniqlash masalasini hal qilish qiyinroq. Bunday raqam nafaqat, balki kavisli chegaralarga ham ega bo'lishi mumkin. Taxminiy hisob-kitob qilish usullari mavjud. Oddiy.
Birinchidan, siz palitradan foydalanishingiz mumkin. Bu shaffof materialdan yasalgan asbob bo'lib, uning yuzasiga kvadratchalar yoki uchburchaklar panjarasi qo'llaniladi. ma'lum hudud. Palitrani izlayotgan shaklning tepasiga qo'yish orqali siz tasvirni bir-biriga yopishgan o'lchov birliklari sonini qayta hisoblaysiz. To'liq bo'lmagan o'lchov birliklarini bir-biri bilan birlashtirib, ularni to'ldirish uchun ongingizda to'ldiring. Keyinchalik, bitta palitra shaklining maydonini siz hisoblagan raqamga ko'paytirish orqali siz o'zingizning ixtiyoriy shaklingizning taxminiy maydonini bilib olasiz. Ko'rinib turibdiki, palitraga qanchalik zichroq panjara qo'llanilsa, natija shunchalik aniq bo'ladi.
Ikkinchidan, siz maydonni aniqlayotgan ixtiyoriy raqam chegaralaridagi uchburchaklarning maksimal sonini belgilashingiz mumkin. Har birining maydonini aniqlang va ularning maydonlarini qo'shing. Bu juda qo'pol natija bo'ladi. Agar xohlasangiz, yoylar bilan chegaralangan segmentlar maydonini alohida aniqlashingiz mumkin. Buning uchun segment aylananing bir qismi ekanligini tasavvur qiling. Ushbu doirani tuzing, so'ngra uning markazidan yoyning chetlariga radiuslarni torting. Segmentlar o'zaro a burchak hosil qiladi. Butun sektorning maydoni p*R^2*a/360 formulasi bilan aniqlanadi. Shaklingizning har bir kichik qismi uchun siz maydonni aniqlaysiz va olasiz umumiy natija, natijada olingan qiymatlarni qo'shish.
Uchinchi usul qiyinroq, ammo aniqroq va ba'zilari uchun osonroq. Har qanday raqamning maydoni integral hisob yordamida aniqlanishi mumkin. Funktsiyaning aniq integrali funksiya grafigidan abtsissagacha bo'lgan maydonni ko'rsatadi. Ikki grafik orasiga o'ralgan maydonni bir xil chegaralardagi, lekin kattaroq qiymatga ega bo'lgan ma'lum bir integraldan kichikroq qiymatga ega bo'lgan integralni ayirish yo'li bilan aniqlash mumkin. Ushbu usuldan foydalanish uchun o'zingizning ixtiyoriy raqamingizni koordinatalar tizimiga o'tkazish va keyin ularning funktsiyalarini aniqlash va yuqori matematika usullaridan foydalangan holda harakat qilish qulay, biz bu erda va hozir ko'rib chiqmaymiz.
Agar siz o'zingiz ta'mirlashni rejalashtirmoqchi bo'lsangiz, unda siz qurilish va pardozlash materiallari uchun smeta tuzishingiz kerak bo'ladi. Buning uchun siz ta'mirlash ishlarini bajarishni rejalashtirgan xonaning maydonini hisoblashingiz kerak bo'ladi. Bunda asosiy yordamchi maxsus ishlab chiqilgan formuladir. Xonaning maydoni, ya'ni uni hisoblash sizga ko'p pul tejash imkonini beradi qurilish materiallari va bo'shatilgan moliyaviy resurslarni yanada to'g'ri yo'nalishga yo'naltirish.
Xonaning geometrik shakli
Xonaning maydonini hisoblash formulasi bevosita uning shakliga bog'liq. Uy binolari uchun eng tipik to'rtburchaklar va kvadrat xonalardir. Biroq, qayta qurish jarayonida standart shakl buzilishi mumkin. Xonalar quyidagilardir:
- To'rtburchak.
- Kvadrat.
- Murakkab konfiguratsiya (masalan, dumaloq).
- Nişlar va prognozlar bilan.
Ularning har biri o'z hisoblash xususiyatlariga ega, ammo, qoida tariqasida, bir xil formuladan foydalaniladi. Har qanday shakl va o'lchamdagi xonaning maydoni, u yoki bu tarzda hisoblanishi mumkin.
To'rtburchaklar yoki kvadrat xona
To'rtburchaklar yoki kvadrat xonaning maydonini hisoblash uchun maktab geometriya darslarini eslab qolish kifoya. Shuning uchun xonaning maydonini aniqlash siz uchun qiyin bo'lmasligi kerak. Hisoblash formulasi quyidagicha ko'rinadi:
S xonalari=A*B, bu yerda
A - xonaning uzunligi.
B - xonaning kengligi.
Ushbu qiymatlarni o'lchash uchun sizga oddiy lenta o'lchovi kerak bo'ladi. Eng aniq hisob-kitoblarni olish uchun har ikki tomonning devorini o'lchashga arziydi. Agar qiymatlar mos kelmasa, olingan ma'lumotlarning o'rtacha qiymatini asos qilib oling. Ammo esda tutingki, har qanday hisob-kitoblarning o'z xatolari bor, shuning uchun materialni zaxira bilan sotib olish kerak.
Murakkab konfiguratsiyaga ega xona
Xonangiz "odatiy" ta'rifiga mos kelmasa, ya'ni. doira, uchburchak, ko'pburchak shakliga ega, keyin hisob-kitoblar uchun boshqa formula kerak bo'lishi mumkin. Ushbu xususiyatga ega xonaning maydonini taxminan to'rtburchaklar elementlarga ajratishga harakat qilishingiz va standart usul yordamida hisob-kitoblarni amalga oshirishingiz mumkin. Agar sizda bunday imkoniyat bo'lmasa, quyidagi usullardan foydalaning:
- Doira maydonini topish formulasi:
S xonasi=p*R 2, bu yerda
R - xonaning radiusi.
- Uchburchakning maydonini topish formulasi:
S xonasi = √ (P(P - A) x (P - B) x (P - C)), bu erda
P - uchburchakning yarim perimetri.
A, B, C - uning tomonlari uzunligi.
Demak, P=A+B+C/2
Agar siz hisoblash jarayonida qiyinchiliklarga duch kelsangiz, unda o'zingizni qiynamaslik va mutaxassislarga murojaat qilish yaxshiroqdir.
Proyeksiyalar va bo'shliqlar bilan xonaning maydoni
Ko'pincha devorlar turli xil nişler yoki proektsiyalar ko'rinishidagi dekorativ elementlar bilan bezatilgan. Bundan tashqari, ularning mavjudligi xonangizning ba'zi estetik bo'lmagan elementlarini yashirish zarurati bilan bog'liq bo'lishi mumkin. Devoringizda to'siqlar yoki bo'shliqlar mavjudligi hisoblashni bosqichma-bosqich amalga oshirish kerakligini anglatadi. Bular. Birinchidan, devorning tekis qismining maydoni topiladi, so'ngra unga tokcha yoki protrusion maydoni qo'shiladi.
Devorning maydoni quyidagi formula bo'yicha topiladi:
S devorlari = P x C, bu erda
P - perimetri
C - balandlik
Bundan tashqari, deraza va eshiklar mavjudligini hisobga olishingiz kerak. Olingan qiymatdan ularning maydonini olib tashlash kerak.
Ko'p darajali shiftli xona
Ko'p darajali shift birinchi qarashda ko'rinadigan darajada hisob-kitoblarni murakkablashtirmaydi. Agar u bor bo'lsa oddiy dizayn, keyin siz bo'shliqlar va proektsiyalar bilan murakkab bo'lgan devorlarning maydonini topish printsipi asosida hisob-kitoblarni amalga oshirishingiz mumkin.
Biroq, agar sizning ship dizayningiz kamar va to'lqinga o'xshash elementlarga ega bo'lsa, unda zamin maydoni yordamida uning maydonini aniqlash ko'proq mos keladi. Buni amalga oshirish uchun sizga kerak:
- Devorlarning barcha to'g'ri uchastkalarining o'lchamlarini toping.
- Zamin maydonini toping.
- Vertikal qismlarning uzunligi va balandligini ko'paytiring.
- Olingan qiymatni zamin maydoni bilan jamlang.
Umumiyni aniqlash bo'yicha bosqichma-bosqich ko'rsatmalar
xona maydoni
- Xonani keraksiz narsalardan tozalang. O'lchov jarayonida siz xonangizning barcha joylariga bepul kirishingiz kerak bo'ladi, shuning uchun siz bunga xalaqit beradigan har qanday narsadan xalos bo'lishingiz kerak.
- Vizual ravishda xonani to'g'ri va bo'limlarga ajrating tartibsiz shakl. Xonangiz qat'iy kvadrat yoki bo'lsa to'rtburchaklar shakli, keyin bu bosqichni o'tkazib yuborishingiz mumkin.
- Xonaning tasodifiy tartibini yarating. Ushbu chizma barcha ma'lumotlar doimo qo'lda bo'lishi uchun kerak. Bundan tashqari, bu sizga ko'p o'lchovlarda chalkashib ketish imkoniyatini bermaydi.
- O'lchovlar bir necha marta amalga oshirilishi kerak. Bu muhim qoida hisob-kitoblardagi xatolarni bartaraf etish. Bundan tashqari, agar siz uni ishlatsangiz, nurning devor yuzasida tekis yotishiga ishonch hosil qiling.
- Xonaning umumiy maydonini toping. Xonaning umumiy maydoni formulasi xonaning alohida bo'limlarining barcha maydonlarining yig'indisini topishdir. Bular. S jami = S devorlar + S qavat + S shift
Geometrik figuraning maydoni- bu raqamning o'lchamini ko'rsatadigan geometrik shaklning raqamli xarakteristikasi (bu raqamning yopiq konturi bilan chegaralangan sirtning bir qismi). Maydonning o'lchami undagi kvadrat birliklar soni bilan ifodalanadi.
Uchburchak maydoni formulalari
- Yon va balandlikdagi uchburchakning maydoni uchun formula
Uchburchakning maydoni uchburchakning bir tomoni uzunligi va bu tomonga chizilgan balandlik uzunligi ko'paytmasining yarmiga teng - Uch tomon va aylana radiusiga asoslangan uchburchakning maydoni uchun formula
- Uch tomon va chizilgan doira radiusiga asoslangan uchburchakning maydoni uchun formula
Uchburchakning maydoni uchburchakning yarim perimetri va chizilgan aylana radiusining mahsulotiga teng. Bu erda S - uchburchakning maydoni,
- uchburchak tomonlarining uzunliklari,
- uchburchakning balandligi,
- tomonlar orasidagi burchak va,
- chizilgan doira radiusi,
R - aylana radiusi,
Kvadrat maydon formulalari
- Yon uzunlikdagi kvadrat maydoni uchun formula
Kvadrat maydon uning tomoni uzunligi kvadratiga teng. - Diagonal uzunlikdagi kvadrat maydoni uchun formula
Kvadrat maydon uning diagonali uzunligi kvadratining yarmiga teng.S= 1 2 2 bu erda S - kvadratning maydoni,
- kvadrat tomonining uzunligi,
- kvadrat diagonalining uzunligi.
To'rtburchaklar maydoni formulasi
- To'rtburchakning maydoni uning ikki qo'shni tomonining uzunliklari ko'paytmasiga teng
Bu erda S - to'rtburchakning maydoni,
- to'rtburchak tomonlarining uzunliklari.
Paralelogramma maydoni formulalari
- Yon uzunligi va balandligiga asoslangan parallelogramm maydoni uchun formula
Parallelogrammning maydoni - Ikki tomon va ular orasidagi burchakka asoslangan parallelogramm maydoni uchun formula
Parallelogrammning maydoni uning tomonlari uzunliklarini ular orasidagi burchak sinusiga ko'paytmasiga teng.a b sin a
bu erda S - parallelogrammning maydoni,
- parallelogramm tomonlarining uzunliklari;
- parallelogramm balandligi uzunligi,
- parallelogrammning tomonlari orasidagi burchak.
Romb maydoni uchun formulalar
- Yon uzunligi va balandligi asosida romb maydoni uchun formula
Rombning maydoni uning tomoni uzunligi va bu tomonga tushirilgan balandlik uzunligi mahsulotiga teng. - Yon uzunligi va burchakka asoslangan romb maydoni uchun formula
Rombning maydoni uning tomoni uzunligi kvadrati va romb tomonlari orasidagi burchak sinusining ko'paytmasiga teng. - Rombning maydoni uchun uning diagonallari uzunligiga asoslangan formula
Rombning maydoni uning diagonallari uzunliklari mahsulotining yarmiga teng. bu erda S - rombning maydoni,
- romb tomonining uzunligi,
- romb balandligi uzunligi,
- rombning yon tomonlari orasidagi burchak;
1, 2 - diagonallarning uzunliklari.
Trapetsiya maydoni formulalari
- Trapesiya uchun Heron formulasi
Bu erda S - trapetsiya maydoni,
- trapetsiya asoslarining uzunligi;
- trapetsiya tomonlarining uzunligi;
