Ratsional sonlar sistemasining ifodali geometrik tasvirini quyidagicha olish mumkin.
Guruch. 8. Raqamlar o'qi
Muayyan to'g'ri chiziqda, "raqamli o'q" biz segmentni 0 dan 1 gacha belgilaymiz (8-rasm). Bu, umuman olganda, o'zboshimchalik bilan tanlanishi mumkin bo'lgan birlik segmentining uzunligini belgilaydi. Keyin musbat va manfiy butun sonlar sonlar o‘qida teng oraliqda joylashgan nuqtalar to‘plami bilan tasvirlanadi, ya’ni 0 nuqtaning o‘ng tomonida musbat sonlar, chap tomonida manfiy sonlar belgilanadi. Raqamlarni maxraj bilan tasvirlash uchun biz har birini ajratamiz. natijada birlik uzunlikdagi segmentlar teng qismlarga; bo'linish nuqtalari maxrajli kasrlarni ifodalaydi.Agar buni barcha natural sonlarga mos keladigan qiymatlar uchun qilsak, har bir ratsional son son o'qining qaysidir nuqtasi bilan tasvirlangan bo'ladi. Biz ushbu fikrlarni "oqilona" deb atashga rozi bo'lamiz; Umuman olganda, biz "ratsional son" va "ratsional nuqta" atamalarini sinonim sifatida ishlatamiz.
I bobning 1-bandida natural sonlar uchun tengsizlik munosabati aniqlangan. Raqamli o'qda bu munosabat quyidagicha aks ettiriladi: agar natural son A natural soni B dan kichik, u holda A nuqta B nuqtaning chap tomonida yotadi. Ko‘rsatilgan geometrik munosabat har qanday ratsional nuqtalar juftligi uchun o‘rnatilganligi sababli, arifmetik tengsizlik munosabatini shunday umumlashtirishga harakat qilish tabiiy. ko'rib chiqilayotgan nuqtalar uchun ushbu geometrik tartibni saqlash. Agar biz quyidagi ta'rifni qabul qilsak, bu mumkin bo'ladi: biz A ratsional sonni Ratsional sondan kichik deb aytamiz yoki farq ijobiy bo'lsa, B soni raqamdan kattaroqdir. Bundan kelib chiqadiki (at ) orasidagi nuqtalar (raqamlar) o'shalardir
bir vaqtning o'zida Har bir bunday nuqta juftligi, ular orasidagi barcha nuqtalar bilan birgalikda segment (yoki segment) deb ataladi va belgilanadi (va faqat oraliq nuqtalar to'plami interval (yoki interval) deb ataladi)
Ixtiyoriy A nuqtaning musbat son sifatida qabul qilingan 0 boshdan uzoqligi A ning mutlaq qiymati deyiladi va belgi bilan belgilanadi.
“Absolyut qiymat” tushunchasiga quyidagicha ta’rif beriladi: agar , agar u holda bo‘lsa, agar raqamlar bir xil belgiga ega bo‘lsa, tenglik to‘g‘ri bo‘lishi aniq. turli belgilar, Bu. Ushbu ikkita natijani birlashtirib, biz umumiy tengsizlikka erishamiz
belgilaridan qat'iy nazar, bu to'g'ri
Asosiy ahamiyatga ega bo'lgan fakt quyidagi jumla bilan ifodalanadi: ratsional nuqtalar son chizig'ining hamma joyida zich joylashgan. Ushbu bayonotning ma'nosi shundaki, har bir interval, qanchalik kichik bo'lmasin, ratsional nuqtalarni o'z ichiga oladi. Ko'rsatilgan bayonotning to'g'riligini tekshirish uchun shunchalik katta raqamni olish kifoya qiladiki, interval ( berilgan oraliqdan kichik bo'ladi; u holda shaklning kamida bitta nuqtasi berilgan interval ichida bo'ladi. Demak, u erda soni o'qi bo'yicha bunday oraliq yo'q (hatto eng kichigini tasavvur qilish mumkin), uning ichida hech qanday ratsional nuqtalar bo'lmaydi.Bu erdan yana bir xulosa kelib chiqadi: har bir oraliq cheksiz sonli ratsional nuqtalarni o'z ichiga oladi. faqat cheklangan miqdordagi ratsional nuqtalar bo'lsa, unda ikkita qo'shni bunday nuqtalar hosil qilgan interval ichida endi ratsional nuqtalar bo'lmaydi va bu hozirgina isbotlangan narsalarga zid keladi.
“To‘plam”, “element”, “elementning to‘plamga tegishliligi” tushunchalari matematikaning birlamchi tushunchalaridir. Bir guruh- har qanday ob'ektlarning har qanday to'plami (to'plami). .
A - B to'plamining kichik to'plami, agar A to'plamning har bir elementi B to'plamning elementi bo'lsa, ya'ni. AÌB Û (HOA Þ HOV).
Ikki to'plam teng, agar ular bir xil elementlardan iborat bo'lsa. Biz to'plam-nazariy tenglik haqida gapiramiz (raqamlar orasidagi tenglik bilan adashtirmaslik kerak): A=B Û AÌB Ù VA.
Ikki to'plamning birlashishi to'plamlarning kamida bittasiga tegishli elementlardan iborat, ya'ni. KHOAÈV Û KHOAÚ XOV.
Chorraha bir vaqtning o'zida A va B to'plamga tegishli barcha elementlardan iborat: xOAXV Û xOA Ù xoV.
Farq B ga tegishli bo'lmagan A ning barcha elementlaridan iborat, ya'ni. xO A\B Û xOA ÙxPV.
Dekart mahsuloti A va B to'plamlarning C=A´B barcha mumkin bo'lgan juftliklar to'plamidir ( x,y), bu erda birinchi element X har bir juftlikda A va uning ikkinchi elementi mavjud da V ga tegishli.
Dekart ko'paytmasining F kichik to'plami A'B deyiladi A to'plamini B o'rnatish uchun xaritalash , agar shart bajarilsa: (" X OA)($! juft ( x.y)ÎF). Shu bilan birga ular yozadilar: A V.
"Displey" va "funksiya" atamalari sinonimdir. Agar ("xOA)($! uUV): ( x,y)OF, keyin element daÎ IN chaqirdi yo'l X F ni ko'rsatganda va uni quyidagicha yozing: da=F( X). Element X ayni paytda prototip (mumkin bo'lganlardan biri) element y.
Keling, ko'rib chiqaylik ratsional sonlar to'plami Q - barcha butun sonlar to'plami va barcha kasrlar to'plami (musbat va manfiy). Har bir ratsional sonni qism sifatida ifodalash mumkin, masalan, 1 =4/3=8/6=12/9=…. Bunday vakilliklar juda ko'p, ammo ulardan faqat bittasini qisqartirib bo'lmaydi .
IN Har qanday ratsional son p/q kasr sifatida yagona tarzda ifodalanishi mumkin, bunda pÎZ, qÎN, p, q sonlar ko‘paytiriladi.
Q to‘plamining xossalari:
1. Arifmetik amallar ostidagi yopiqlik. Qo'shish, ayirish, ko'paytirish, ko'tarish natijasi tabiiy daraja, ratsional sonlarni bo'lish (0 ga bo'lishdan tashqari) ratsional son: ; ; 
.
2. Tartiblilik: (" x, yÎQ, x¹y)®( x
Bundan tashqari: 1) a>b, b>c Þ a>c; 2)a -b.
3. Zichlik. Har qanday ikkita ratsional sonlar orasida x, y uchinchi ratsional son mavjud (masalan, c= ):
("x, yÎQ, x<y)($cÎQ) : ( X
Q to'plamida siz 4 ta arifmetik amalni bajarishingiz, chiziqli tenglamalar tizimini echishingiz mumkin, lekin shakldagi kvadrat tenglamalarni x 2 =a, aÎ Q to‘plamida N har doim ham yechilmaydi.
Teorema. Raqam yo'q xÎQ, uning kvadrati 2 ga teng.
g shunday kasr bo'lsin X=p/q, bu yerda p va q sonlari koʻp tub va X 2 =2. Keyin (p/q) 2 =2. Demak,
(1) ning o'ng tomoni 2 ga bo'linadi, ya'ni p 2 juft sondir. Shunday qilib, p=2n (n-butun). U holda q toq son bo'lishi kerak.
(1) ga qaytsak, bizda 4n 2 =2q 2 bor. Shuning uchun q 2 =2n 2. Xuddi shunday, biz q ning 2 ga bo'linishiga ishonch hosil qilamiz, ya'ni. q juft son. Teorema qarama-qarshilik bilan isbotlangan.n
ratsional sonlarning geometrik tasviri. 1, 2, 3... koordinatalar boshidan birlik segmentini o'ngga qo'yib, koordinata chizig'ida natural sonlarga mos keladigan nuqtalarni olamiz. Xuddi shunday chapga siljigan holda, biz manfiy butun sonlarga mos keladigan nuqtalarni olamiz. Keling, olamiz 1/q(q= 2,3,4 … ) birlik segmentining bir qismi va biz uni boshlang'ichning ikkala tomoniga joylashtiramiz R bir marta. Shakl raqamlariga mos keladigan chiziq nuqtalarini olamiz ±p/q (pOZ, qON). Agar p, q nisbatan tub sonlarning barcha juftlari orqali o'tsa, to'g'ri chiziqda biz kasr sonlarga mos keladigan barcha nuqtalarga egamiz. Shunday qilib, Qabul qilingan usulga ko'ra, har bir ratsional son koordinata chizig'idagi bitta nuqtaga to'g'ri keladi.
Har bir nuqta uchun bitta ratsional sonni belgilash mumkinmi? Chiziq to'liq ratsional sonlar bilan to'ldirilganmi?
Ma'lum bo'lishicha, koordinata chizig'ida hech qanday ratsional sonlarga mos kelmaydigan nuqtalar mavjud. Birlik segmentida teng yonli to'g'ri burchakli uchburchak quramiz. N nuqtasi ratsional songa mos kelmaydi, chunki agar ON=x- demak, oqilona x 2 = 2, bu bo'lishi mumkin emas.
To'g'ri chiziqda N nuqtaga o'xshash cheksiz ko'p nuqtalar mavjud. Keling, segmentning oqilona qismlarini olaylik x=ON, bular. X. Agar biz ularni o'ngga siljitsak, bu segmentlarning birortasi uchiga hech qanday ratsional son mos kelmaydi. Segment uzunligi ratsional son bilan ifodalangan deb faraz qilamiz x=, biz buni tushunamiz x=- oqilona. Bu yuqorida isbotlangan narsaga zid keladi.
Ratsional sonlar ma'lum bir ratsional sonni koordinata chizig'idagi har bir nuqta bilan bog'lash uchun etarli emas.
Keling, quraylik haqiqiy sonlar to'plami R orqali cheksiz o'nli kasrlar.
"Burchak" bo'linish algoritmiga ko'ra, har qanday ratsional sonni chekli yoki cheksiz davriy o'nli kasr sifatida ko'rsatish mumkin. p/q kasrning maxrajida 2 va 5 dan boshqa tub omillar bo'lmasa, ya'ni. q=2 m ×5 k, natijada yakuniy o'nlik kasr p/q=a 0,a 1 a 2 …a n bo'ladi. Boshqa kasrlar faqat cheksiz o'nli kengaytmalarga ega bo'lishi mumkin.
Cheksiz davriy o'nli kasrni bilib, uning ko'rinishi bo'lgan ratsional sonni topishingiz mumkin. Ammo har qanday chekli o'nli kasr quyidagi usullardan biri bilan cheksiz o'nli kasr sifatida ifodalanishi mumkin:
a 0 ,a 1 a 2 …a n = a 0 ,a 1 a 2 …a n 000…=a 0 ,a 1 a 2 …(a n -1)999… (2)
Masalan, cheksiz o'nli kasr uchun X=0,(9) bizda 10 ta X=9,(9). Agar asl sonni 10x dan ayirsak, biz 9 ni olamiz X=9 yoki 1=1,(0)=0,(9).
Barcha ratsional sonlar to'plami va barcha cheksiz davriy o'nli kasrlar to'plami o'rtasida birma-bir yozishma o'rnatiladi, agar biz cheksiz o'nli kasrni davrda 9 raqami bilan mos keladigan cheksiz o'nli kasr bilan 0 raqami bilan aniqlaymiz. (2) qoidaga muvofiq muddat.
Davrda 9 raqami bo'lmagan shunday cheksiz davriy kasrlardan foydalanishga rozi bo'laylik. Agar mulohaza yuritish jarayonida davrda 9 raqami bo'lgan cheksiz davriy o'nli kasr paydo bo'lsa, biz uni davrda nol bilan cheksiz o'nli kasr bilan almashtiramiz, ya'ni. 1999 o'rniga... 2000 ni olamiz...
Irratsional sonning ta’rifi. Cheksiz o'nli davriy kasrlarga qo'shimcha ravishda davriy bo'lmagan o'nli kasrlar mavjud. Masalan, 0,1010010001... yoki 27,1234567891011... (natural sonlar kasrdan keyin ketma-ket paydo bo'ladi).
±a 0, a 1 a 2 …a n … (3) ko‘rinishdagi cheksiz o‘nli kasrni ko‘rib chiqaylik.
Bu kasr “+” yoki “–” belgisi, manfiy bo'lmagan butun son a 0 va o'nli kasrlar ketma-ketligi a 1 , a 2 ,…, a n ,… (o'nlik kasrlar to'plami o'nta raqamdan iborat) bilan aniqlanadi. : 0, 1, 2,…, 9).
Keling, (3) shaklning istalgan qismini chaqiraylik. haqiqiy (haqiqiy) raqam. Agar kasr (3) oldida "+" belgisi bo'lsa, u odatda tashlab qo'yiladi va 0, a 1 a 2 ...a n ... (4) yoziladi.
Shaklning bir raqamiga qo'ng'iroq qilamiz (4) manfiy bo'lmagan haqiqiy son, a 0 , a 1 , a 2 , …, a n raqamlaridan kamida bittasi noldan farqli bo‘lsa, – ijobiy haqiqiy son. Agar (3) ifodada "-" belgisi olingan bo'lsa, bu manfiy raqamdir.
Ratsional va irratsional sonlar to‘plamining birlashuvi haqiqiy sonlar to‘plamini hosil qiladi (QÈJ=R). Agar cheksiz o'nli kasr (3) davriy bo'lsa, u holda u ratsional son, kasr davriy bo'lmaganda, u irratsionaldir.
Ikki manfiy bo'lmagan haqiqiy son a=a 0 ,a 1 a 2 …a n …, b=b 0 ,b 1 b 2 …b n …. chaqirdi teng(yozadilar a=b), Agar a n = b n da n=0,1,2… a soni b sonidan kichik(yozadilar a<b), agar ham a 0 yoki a 0 = b 0 va bunday raqam mavjud m, Nima a k =b k (k=0,1,2,…m-1), A a m , ya'ni. a Û (a 0 Ú ($mÎN: a k =b k (k= ), a m ). Kontseptsiya " A>b».
Ixtiyoriy haqiqiy sonlarni solishtirish uchun biz "kontseptsiyani kiritamiz" a sonining moduli» . Haqiqiy sonning moduli a=±a 0 , a 1 a 2 …a n … Bu bir xil cheksiz o'nli kasr bilan ifodalanishi mumkin bo'lgan manfiy bo'lmagan haqiqiy son, lekin "+" belgisi bilan olinadi, ya'ni. ½ A½= a 0, a 1 a 2 …a n… va ½ A½³0. Agar A - salbiy bo'lmagan, b manfiy son bo'lsa, o'ylab ko'ring a>b. Agar ikkala raqam manfiy bo'lsa ( a<0, b<0 ), unda biz quyidagilarni qabul qilamiz: 1) a=b, agar ½ A½ = ½ b½; 2) A , agar ½ A½ > ½ b½.
R to'plamining xossalari:
I. Buyurtmaning xususiyatlari:
1. Haqiqiy sonlarning har bir jufti uchun A Va b bitta va bitta munosabat mavjud: a=b, a
2. Agar a
3. Agar a , keyin shunday c soni bor a< с .
II. Qo'shish va ayirish amallarining xossalari:
4. a+b=b+a(kommutativlik).
5. (a+b)+c=a+(b+c) (assotsiativlik).
6. a+0=a.
7. a+(-a)= 0.
8. dan a Þ a+c
III. Ko'paytirish va bo'lish amallarining xossalari:
9. a×b=b×a .
10. (a×b)×c=a×(b×c).
11. a×1=a.
12. a×(1/a)=1 (a¹0).
13. (a+b)×c = ac + bc(distributivlik).
14. agar a va c>0, keyin a×s
IV. Arximed mulki("cÎR)($nÎN): (n>c).
cÎR soni qanday bo'lishidan qat'iy nazar, nÎN shunday bo'ladiki, n>c.
V. Haqiqiy sonlarning uzluksizlik xossasi. Ikki bo'sh bo'lmagan to'plamlar AÌR va BÌR shunday bo'lsinki, har qanday element A OA endi bo'lmaydi ( a£ b) har qanday elementning bOB. Keyin Dedekindning uzluksizlik printsipi c sonining mavjudligini tasdiqlaydi, shunda hamma uchun A OA va bOB quyidagi shartlarni bajaradi: a£c£ b:
("AÌR, BÌR):(" aÎA, bÎB ® a£b)($cÎR): (" aÎA, bÎB® a£c£b).
Biz R to'plamini sonlar chizig'idagi nuqtalar to'plami bilan aniqlaymiz va haqiqiy sonlarni nuqtalar deb ataymiz.
HAQIQIY SONLAR II
§ 37 Ratsional sonlarning geometrik tasviri
Mayli Δ uzunlik birligi sifatida olingan segment va l - ixtiyoriy to'g'ri chiziq (51-rasm). Keling, bir nuqtani ko'rib chiqaylik va uni O harfi bilan belgilaymiz.
Har bir ijobiy ratsional son m / n nuqtani to‘g‘ri chiziqqa moslashtiramiz l , masofada C ning o'ng tomonida yotgan m / n uzunlik birliklari.
Masalan, 2 raqami O ning o'ng tomonida 2 uzunlik birlik masofada joylashgan A nuqtaga va 5/4 soni O ning o'ng tomonida 5 masofada joylashgan B nuqtaga to'g'ri keladi. /4 uzunlik birligi. Har bir manfiy ratsional son k / l nuqtani O ning chap tomonida | masofada yotgan to‘g‘ri chiziq bilan bog‘laymiz k / l | uzunlik birliklari. Shunday qilib, - 3 raqami O ning chap tomonida 3 birlik uzunlikdagi masofada joylashgan C nuqtaga va 3/2 soni O ning chap tomonida 3/ masofada joylashgan D nuqtasiga to'g'ri keladi. 2 uzunlik birligi. Nihoyat, biz "nol" ratsional sonini O nuqtasi bilan bog'laymiz.
Shubhasiz, tanlangan yozishmalar bilan teng ratsional sonlar (masalan, 1/2 va 2/4) bir xil nuqtaga to'g'ri keladi va chiziqning turli nuqtalari teng raqamlarga mos kelmaydi. Faraz qilaylik, raqam m / n P nuqtasi mos keladi va raqam k / l nuqta Q. Keyin agar m / n > k / l , keyin P nuqta Q nuqtadan o'ng tomonda yotadi (52-rasm, a); agar m / n < k / l , keyin P nuqta Q nuqtasining chap tomonida joylashgan bo'ladi (52-rasm, b).
Demak, har qanday ratsional sonni geometrik shaklda chiziqda aniq belgilangan nuqta sifatida ifodalash mumkin. Qarama-qarshi bayonot to'g'rimi? Chiziqning har bir nuqtasini qandaydir ratsional sonning geometrik tasviri deb hisoblash mumkinmi? Biz bu masalani hal qilishni § 44gacha qoldiramiz.
Mashqlar
296. Quyidagi ratsional sonlarni to‘g‘ri chiziqda nuqtalar qilib chizing:
3; - 7 / 2 ; 0 ; 2,6.
297. Ma'lumki, A nuqta (53-rasm) xizmat qiladi geometrik tasvir ratsional son 1/3. Qanday raqamlar B, C va D nuqtalarini ifodalaydi?
298. Chiziqda ikkita nuqta berilgan, ular ratsional sonlarning geometrik tasviri vazifasini bajaradi A Va b a + b Va a - b .
299. Chiziqda ikkita nuqta berilgan, ular ratsional sonlarning geometrik tasviri vazifasini bajaradi a + b Va a - b . Bu chiziqdagi raqamlarni ifodalovchi nuqtalarni toping A Va b .
1-BILET
Ratsional raqamlar - p/q ko'rinishida yozilgan raqamlar, bu erda q - natural son. son, p esa butun son.
Agar p1q2=p2q1 bo'lsa, a=p1/q1 va b=p2/q2 ikkita son teng deb nomlanadi va p2q1 va agar p1q2 bo'lsa a>b
BILET 2
Kompleks sonlar. Kompleks sonlar
Algebraik tenglama quyidagi shakldagi tenglamadir: P n ( x) = 0, bu erda P n ( x) - polinom n- oh daraja. Bir nechta haqiqiy raqamlar x Va da Ulardan qaysi biri birinchi, qaysi biri ikkinchi sanalishi ko'rsatilgan bo'lsa, uni tartibli deb ataymiz. Buyurtma qilingan juftlik belgisi: ( x, y). Kompleks son - haqiqiy sonlarning ixtiyoriy tartiblangan juftligi. z = (x, y)-kompleks son.
x- haqiqiy qism z, y- xayoliy qism z. Agar x= 0 va y= 0, keyin z= 0. z 1 = (x 1 , y 1) va z 2 = (x 2 , y 2) ni hisobga oling.
Ta'rif 1. z 1 = z 2, agar x 1 = x 2 va y 1 = y 2 bo'lsa.
Tushunchalar > va< для комплексных чисел не вводятся.
Kompleks sonlarning geometrik tasviri va trigonometrik shakli.
M( x, y) « z = x + iy.
½ OM½ = r =½ z½ = .(rasm)
r kompleks sonning moduli deyiladi z.
j kompleks sonning argumenti deyiladi z. ± 2p aniqlik bilan aniqlanadi n.
X= rcosj, y= rsinj.
z= x+ iy= r (cosj + i sinj) kompleks sonlarning trigonometrik shaklidir.
Bayonot 3.
= (cos + i gunoh),
= (cos + i gunoh), keyin
= (cos(+) + i gunoh (+)),
= (cos( - )+ i sin( - )) da ¹0.
Bayonot 4.
Agar z=r(cosj+ i sinj), keyin "tabiiy n:
= (cos nj + i gunoh nj),
BILET 3
Mayli X- kamida bitta raqamni o'z ichiga olgan raqamli to'plam (bo'sh bo'lmagan to'plam).
xÎ X- x tarkibida mavjud X. ; xÏ X- x tegishli emas X.
Ta'rif: Bir guruh X Agar raqam bo'lsa, yuqorida (pastda) chegaralangan deb ataladi M(m) har qanday uchun shunday x Î X tengsizlik mavjud x £ M (x ³ m), raqam esa M to'plamning yuqori (pastki) chegarasi deb ataladi X. Bir guruh X$, agar yuqorida chegaralangan deyiladi M, " x Î X: x £ M. Ta'rif yuqoridan cheksiz to'plam. Bir guruh X yuqoridan cheksiz deyiladi, agar " M $ x Î X: x> M. Ta'rif bir guruh X yuqoridan va pastdan chegaralangan bo'lsa, chegaralangan deb ataladi, ya'ni $ M, m shu kabi " x Î X: m £ x £ M. Ogre mn-va ning ekvivalent ta'rifi: Set X$ bo'lsa, chegaralangan deb ataladi A > 0, " x Î X: ½ x½£ A. Ta'rif: Yuqorida chegaralangan to'plamning eng kichik yuqori chegarasi X uning supremumi deyiladi va Sup bilan belgilanadi X
(supremum). =Sup X. Xuddi shunday, aniq aniqlash mumkin
pastki cheti. Ekvivalent ta'rifi aniq yuqori chegara:
Raqam to'plamning yuqori qismi deb ataladi X, Agar: 1) " x Î X: X£ (bu shart yuqori chegaralardan biri ekanligini ko'rsatadi). 2) " < $ x Î X: X> (bu holat shuni ko'rsatadiki -
yuqori yuzlarning eng kichigi).
Sup X= :
1. " xÎ X: x £ .
2. " < $ xÎ X: x> .
inf X(infimum) - aynan infimum. Keling, savol beraylik: har bir chegaralangan to'plamning aniq qirralari bormi?
Misol: X= {x: x>0) eng kichik raqamga ega emas.
Aniq yuqori (pastki) yuzning mavjudligi haqidagi teorema. Har qanday bo'sh bo'lmagan yuqori (pastki) chegara xÎR aniq yuqori (pastki) yuzga ega.
Raqamli sonlarning ajratilishi haqidagi teorema:▀▀▄
BILET 4
Agar har bir natural n soniga (n=1,2,3..) mos Xn son berilgan bo‘lsa, ular aniqlangan va berilgan deyishadi. keyingi ketma-ketlik x1, x2..., (Xn), (Xn) yozing.Misol: Xn=(-1)^n: -1,1,-1,1,...Cheklov nomi. yuqoridan (pastdan) agar son o'qda yotgan x=x1,x2,…xn nuqtalar to'plami yuqoridan (pastdan) cheklangan bo'lsa, ya'ni. $C:Xn£C" Ketma-ketlik chegarasi: a soni, agar har qanday e>0 $ uchun ketma-ketlikning chegarasi deyiladi: N (N=N/(e)). "n>N tengsizlik |Xn-a|<ε. Т.е. – ε
da n>N.
Limitning o'ziga xosligi chegaralangan va yaqinlashuvchi ketma-ketlik
1-xususiya: konvergent ketma-ketlik faqat bitta chegaraga ega.
Isbot: qarama-qarshilik bilan A Va b konvergent ketma-ketlikning chegaralari (x n) va a b ga teng emas. cheksiz kichik ketma-ketliklarni (a n )=(x n -a) va (b n )=(x n -b) ko‘rib chiqamiz. Chunki barcha elementlar b.m. ketma-ketliklar (a n -b n ) bir xil qiymatga ega b-a, keyin b.m. xossasi bilan. ketma-ketliklar b-a=0, ya'ni. b=a va biz ziddiyatga keldik.
2-xossa: konvergent ketma-ketlik chegaralangan.
Isbot: a yaqinlashuvchi ketma-ketlikning chegarasi (x n) bo‘lsin, u holda a n =x n -a b.m.ning elementi bo‘ladi. ketma-ketliklar. Har qanday e>0 ni olamiz va undan N e ni topish uchun foydalanamiz: / x n -a/< ε при n>N e . e+/a/, /x1/, /x2/,…,/x N e-1 /,x N e sonlarning eng kattasini b bilan belgilaymiz. Ko'rinib turibdiki, / x n /
Eslatma: chegaralangan ketma-ketlik konvergent bo'lmasligi mumkin.
BILET 6
a n ketma-ketligi cheksiz kichik deb ataladi, ya'ni bu ketma-ketlikning keyingi chegarasi 0 ga teng.
a n – cheksiz kichik Û lim(n ® + ¥)a n =0, ya’ni har qanday e>0 uchun shunday N mavjudki, har qanday n>N |a n |<ε
Teorema. Cheksiz kichikning yig'indisi cheksiz kichikdir.
a n b n ®infinitesimal Þ a n +b n – cheksiz kichik.
Isbot.
a n - cheksiz kichik Û "e>0 $ N 1:" n >N 1 Þ |a n |<ε
b n - cheksiz kichik Û "e>0 $ N 2:" n >N 2 Þ |b n |<ε
N=max(N 1 ,N 2 ) ni belgilaymiz, u holda har qanday n>N Þ uchun ikkala tengsizlik bir vaqtda bajariladi:
|a n |<ε |a n +b n |£|a n |+|b n |<ε+ε=2ε=ε 1 "n>N
"e 1 >0, e=e 1 /2 ni o'rnatamiz. Keyin har qanday e 1 >0 $N=maxN 1 N 2 uchun: " n>N Þ |a n +b n |<ε 1 Û lim(n ® ¥)(a n +b n)=0, то
a n + b n – cheksiz kichikdir.
Teorema Cheksiz kichikning mahsuloti cheksiz kichikdir.
a n ,b n – cheksiz kichik Þ a n b n – cheksiz kichik.
Dalil:
“e 1 >0 ni o‘rnatamiz, e=Öe 1 ni qo‘yamiz, chunki bu e>0 uchun a n va b n cheksiz kichikdir, u holda N 1 bo‘ladi: “ n>N Þ |a n |<ε
$N 2: " n>N 2 Þ |b n |<ε
N=max (N 1 ;N 2 ) ni olaylik, keyin "n>N = |a n |<ε
|a n b n |=|a n ||b n |<ε 2 =ε 1
" e 1 >0 $N:"n>N |a n b n |<ε 2 =ε 1
lim a n b n =0 Û a n b n – cheksiz kichik, bu isbotlanishi kerak bo‘lgan narsa.
Teorema Chegaralangan ketma-ketlik va cheksiz kichik ketma-ketlikning mahsuloti cheksiz kichik ketma-ketlikdir.
n esa chegaralangan ketma-ketlikdir
a n – cheksiz kichik ketma-ketlik Þ a n a n – cheksiz kichik ketma-ketlik.
Isbot: a n Û $S>0 chegaralanganligi uchun: "nO NÞ |a n |£C
“e 1 >0 o‘rnatamiz; e=e 1 /C o‘rnatamiz; a n cheksiz kichik bo‘lgani uchun e>0 $N:”n>NÞ |a n |<εÞ |a n a n |=|a n ||a n | "e 1 >0 $N: "n>N Þ |a n a n |=Ce=e 1 Þ lim(n ® ¥) a n a n =0Û a n a n – cheksiz kichik Ketma-ket deyiladi BBP(ketma-ketlikda) yozsalar. Shubhasiz, BBP cheklanmagan. Qarama-qarshi bayonot odatda yolg'ondir (misol). Agar kattalar uchun n a'zolari, keyin bu bilanoq, degan ma'noni anglatadi yozish. Kirishning ma'nosi ham xuddi shunday aniqlanadi Cheksiz katta ketma-ketliklar a n =2 n ;
b n =(-1) n 2 n ;c n =-2 n Ta'rif(cheksiz katta ketma-ketliklar) 1) lim(n ® ¥)a n =+¥, agar "e>0$N:"n>N Þ a n >e bo'lsa, bu erda e ixtiyoriy kichik. 2) lim(n ® ¥)a n =-¥, agar "e>0 $N:"n>N Þ a n bo'lsa<-ε 3) lim(n ® ¥)a n =¥ Û "e>0 $N:"n>N Þ |a n |>e BILET 7 Teorema “Monotonning yaqinlashuvi haqida. oxirgi" Har qanday monotonik ketma-ketlik konvergent, ya'ni. chegaralari bor. Hujjat Ketma-ketlik (xn) monoton ortib borsin. va yuqoridan cheklangan. X - konventsiyaga muvofiq ushbu ketma-ketlikning elementini qabul qiladigan barcha raqamlar to'plami. Teoremalar soni cheklangan, shuning uchun, ko'ra Teorema u cheklangan aniq yuqori chegaraga ega. yuz supX xn®supX (biz supXni x* bilan belgilaymiz). Chunki x* aniq tepa. yuz, keyin xn£x* " n. " e >0 nerv chiqib $ xm (m qopqoqli n bo'lsin): xm>x*-e bilan " n>m => ko'rsatilgan 2 tengsizlikdan olamiz. n>m uchun ikkinchi x*-e£xn£x*+e tengsizlik ½xn-x*1 ga ekvivalent. BILET 8 Ko'rsatkich yoki raqam e R-Rim raqami umumiy terminli ketma-ketlik xn=(1+1/n)^n (n)(1) darajaga . Ma’lum bo‘lishicha, (1) ketma-ketlik monoton ravishda ortib boradi, yuqoridan chegaralanadi va yaqinlashadi, bu ketma-ketlikning chegarasi eksponensial deb ataladi va e»2.7128... belgisi bilan belgilanadi. Raqam e BILET 9 Ichki segmentlar printsipi Son qatoriga ,,...,,... segmentlar ketma-ketligi berilsin. Bundan tashqari, ushbu segmentlar quyidagilarni qondiradi. shart: 1) har bir keyingi oldingisiga joylashtirilgan, ya'ni. M, "n=1,2,…; 2) ®0 segmentlarining uzunligi n ortishi bilan, ya'ni. lim(n®¥)(bn-an)=0. Belgilangan azizlar bilan ketma-ketliklar uyalar deb ataladi. Teorema Har qanday ichki segmentlar ketma-ketligi bir vaqtning o'zida ketma-ketlikning barcha segmentlariga tegishli bo'lgan yagona c nuqtasini o'z ichiga oladi, ular qisqargan barcha segmentlarning umumiy nuqtasi bilan. Hujjat(an) - hodisalar segmentlarining chap uchlari ketma-ketligi. monoton kamaymaydi va yuqorida b1 raqami bilan chegaralanadi. (bn) - o'ng uchlari ketma-ketligi monoton ravishda ortib bormaydi, shuning uchun bu hodisalar ketma-ketligi. konvergent, ya'ni. c1=lim(n®¥)an va c2=lim(n®¥)bn => c1=c2 => c raqamlari mavjud - ularning umumiy qiymati. Darhaqiqat, u 2-shartga ko'ra lim(n®¥)(bn-an)= lim(n®¥)(bn)- lim(n®¥)(an) chegarasiga ega) o= lim(n®¥) (bn- an)=s2-s1=> s1=s2=s t.c barcha segmentlar uchun umumiy ekanligi aniq, chunki "n an£c£bn. Endi biz uning bitta ekanligini isbotlaymiz. Faraz qilaylik, $ barcha segmentlar qisqargan yana bir c'dir. Agar biz kesishmaydigan c va c' segmentlarni olsak, u holda bir tomonda (an), (bn) ketma-ketliklarning butun "dumi" c'' nuqtaga yaqin joyda joylashgan bo'lishi kerak (chunki a va bn ga yaqinlashadi. c va c' bir vaqtning o'zida). Qarama-qarshilik haqiqatdir. BILET 10 Bolzano-Vayershtrass teoremasi
Har qanday kesishdan. Shundan so'ng siz yig'ilishni tanlashingiz mumkin. Subsyllabus 1. Ketma-ketlik chegaralanganligi uchun $ m va M, shundayki, " m£xn£M," n. D1= – barcha t-ki ketma-ketliklari yotadigan segment. Keling, uni yarmiga bo'lamiz. Yarimlarning kamida bittasida cheksiz bo'ladi t-k raqami keyin. D2 - cheksiz sonli t-k ketma-ketliklari yotadigan yarmi. Biz uni yarmiga ajratamiz. Hech bo'lmaganda yarmidan birida neg. D2 cheksiz sonli ketma-ketlikka ega. Bu yarmi D3. D3 segmentini ajrating... va hokazo. biz uzunliklari 0 ga moyil bo'lgan ichki o'rnatilgan segmentlar ketma-ketligini olamiz. Ichki segmentlar haqidagi qoidaga ko'ra, $ birliklari. t-ka S, mushuk. tegishli barcha segmentlar D1, har qanday t-tu Dn1. D2 segmentida xn2 nuqtani tanlayman, shuning uchun n2>n1. D3 segmentida... va hokazo. Natijada, oxirgi so'z xnkÎDk. BILET 11 BILET 12 asosiy Xulosa qilib, biz sonli ketma-ketlikning yaqinlashish mezoni masalasini ko'rib chiqamiz. Keling, ya'ni: Biz quyidagi bayonotni oldik: Agar ketma-ketlik yaqinlashsa, shart bajariladi Koshi: Koshi shartini qanoatlantiradigan sonlar ketma-ketligi deyiladi asosiy. Qarama-qarshilik ham to'g'ri ekanligini isbotlash mumkin. Shunday qilib, bizda ketma-ketlikning yaqinlashuvi uchun mezon (zarur va etarli shart) mavjud. Koshi mezoni. Ketma-ketlik chegarasiga ega bo'lishi uchun uning asosiy bo'lishi zarur va etarlidir. Koshi mezonining ikkinchi ma'nosi. Ketma-ket a'zolar va qayerda n Va m– har qanday cheklovsiz yaqinlashish . BILET 13 Bir tomonlama chegaralar. Ta'rif 13.11. Raqam A funksiyaning chegarasi deyiladi y = f (x) da X, intilish x 0 chap (o'ng), agar shunday bo'lsa | f(x)-A|<ε при x 0 - x< δ
(x - x 0< δ
). Belgilar: 13.1 teorema (chegaraning ikkinchi ta'rifi). Funktsiya y=f(x) da bor X, uchun intilish X 0, chegara teng A, agar uning ikkala bir tomonlama chegarasi bu nuqtada mavjud bo'lsa va teng bo'lsa A. Isbot. 1) Agar , keyin va uchun x 0 - x< δ, и для x - x 0< δ
|f(x) - A|<ε, то есть 1) Agar , u holda d 1 mavjud: | f(x) - A| < ε при x 0 - x< δ 1 и δ 2: |f(x) - A| < ε при x - x 0<
d2. d 1 va d 2 raqamlaridan kichigini tanlab, uni d deb qabul qilib, | x - x 0| < δ |f(x) - A| < ε, то есть . Теорема доказана. Izoh. 13.7 chegara ta'rifida mavjud bo'lgan talablarning ekvivalentligi va bir tomonlama chegaralarning mavjudligi va tengligi uchun shartlar isbotlanganligi sababli, bu shartni chegaraning ikkinchi ta'rifi deb hisoblash mumkin. Ta'rif 4 (Geynega ko'ra) Raqam A Agar argument qiymatlarining har qanday BBP ga mos keladigan funktsiya qiymatlari ketma-ketligi yaqinlashsa, funktsiya chegarasi deyiladi. A. Ta'rif 4 (Kushiga ko'ra). Raqam A agar chaqiriladi. Bu ta'riflar ekvivalent ekanligi isbotlangan. BILET 14 va 15 Funksiyaning xossalari nuqtada chegaralanadi 1) Agar chegara bo'lsa, u yagonadir 2) Agar tka x0 da f(x) lim(x®x0)f(x)=A funksiya chegarasi lim(x®x0)g(x)£B=> u holda bu holda $ yig'indi, ayirma, ko'paytma va qismning chegarasi hisoblanadi. Ushbu 2 funktsiyani ajratish. a) lim(x®x0)(f(x)±g(x))=A±B b) lim(x®x0)(f(x)*g(x))=A*B c) lim(x®x0)(f(x):g(x))=A/B d) lim(x®x0)C=C e) lim(x®x0)C*f(x)=C*A Teorema 3. Agar ( javob A ) keyin $ tengsizlik mavjud bo'lgan mahalla >B (resp 3-teoremada faraz qilish B=0, biz olamiz: agar ( javob), keyin $ , barcha nuqtalarda, qaysi bo'ladi >0 (javob<0),
bular. funktsiya o'z chegarasining belgisini saqlaydi. Teorema 4(tengsizlikda chegaraga o'tishda). Agar nuqtaning ba'zi qo'shnilarida (ehtimol, bu nuqtaning o'zidan tashqari) shart bajarilsa va bu funktsiyalar nuqtada chegaralarga ega bo'lsa, u holda . Tilda va. Funktsiya bilan tanishtiramiz. Ma'lumki, t. yaqinida. Keyin, funktsiyaning saqlanish teoremasi bo'yicha biz uning chegarasining qiymatiga ega bo'lamiz, lekin Teorema 5.(oraliq funktsiya chegarasida). (1) Agar BILET 16 Ta'rif 14.1. Funktsiya y=a(x) da cheksiz kichik deb ataladi x→x 0, Agar Cheksiz kichiklarning xossalari. 1. Ikki cheksiz kichiklar yig‘indisi cheksiz kichikdir. Isbot. Agar a(x) Va b(x) – cheksiz kichik da x→x 0, u holda d 1 va d 2 mavjud shundayki, | a(x)|<ε/2 и |β(x)|<ε/2 для выбранного значения ε. Тогда |a(x)+b(x)|≤|a(x)|+|b(x)|<ε, то есть |(a(x)+b(x))-0|<ε. Следовательно, Izoh. Bundan kelib chiqadiki, har qanday cheklangan sonli cheksiz kichiklar yig'indisi cheksiz kichikdir. 2. Agar a( X) – cheksiz kichik da x→x 0, A f(x) – ma’lum bir mahallada chegaralangan funksiya x 0, Bu a(x)f(x) – cheksiz kichik da x→x 0. Isbot. Keling, raqamni tanlaylik M shunday | f(x)| Xulosa 1. Cheksiz kichik sonning chekli songa ko‘paytmasi cheksiz kichikdir. Xulosa 2. Ikki yoki undan ortiq cheksiz kichik sonlarning hosilasi cheksiz kichikdir. Xulosa 3. Cheksiz kichiklarning chiziqli birikmasi cheksiz kichikdir. 3. (Limitning uchinchi ta'rifi). Agar bo'lsa, buning uchun zarur va etarli shart - bu funktsiya f(x) shaklida ifodalanishi mumkin f(x)=A+a(x), Qayerda a(x) – cheksiz kichik da x→x 0. Isbot. 1)
Unday bo'lsin | f(x)-A|<ε при x→x 0, ya'ni a(x)=f(x)-A- cheksiz kichik da x→x 0. Shuning uchun , f(x)=A+a(x). 2) ruxsat bering f(x)=A+a(x). Keyin Izoh. Shunday qilib, oldingi ikkitasiga teng keladigan chegaraning yana bir ta'rifi olinadi. Cheksiz katta funksiyalar. Ta'rif 15.1. f(x) funksiyasi x x 0 uchun cheksiz katta deyiladi Cheksiz kattalar uchun siz cheksiz kichik uchun bir xil tasnif tizimini joriy qilishingiz mumkin, xususan: 1. Cheksiz katta f(x) va g(x) bir xil tartibli miqdorlar hisoblanadi, agar 2. Agar , f(x) g(x) dan yuqori tartibli cheksiz katta deb hisoblanadi. 3. Cheksiz katta f(x) cheksiz katta g(x) ga nisbatan k-tartibli miqdor deyiladi, agar . Izoh. E'tibor bering, x har qanday k uchun x k dan yuqori tartibli cheksiz katta (a>1 va x uchun) va log a x har qanday x k kuchidan cheksiz kattaroqdir. 15.1 teorema. Agar a(x) x→x 0 kabi cheksiz kichik bo‘lsa, 1/a(x) x→x 0 kabi cheksiz katta. Isbot. Buni |x - x 0 | uchun isbotlaymiz< δ. Для этого достаточно выбрать в качестве ε 1/M. Тогда при |x - x 0 | < δ |α(x)|<1/M, следовательно, |1/a(x)|>M. Bu degani, ya'ni 1/a(x) cheksiz katta bo'lib, x→x 0 bo'ladi. BILET 17 14.7 teorema (birinchi diqqatga sazovor chegara). . Isbot. Boshida markazi bo'lgan birlik radiusi doirasini ko'rib chiqing va AOB burchagi x (radian) ga teng deb faraz qiling. OS toʻgʻri chiziq (1;0) nuqtadan oʻtuvchi aylanaga tangens boʻlgan AOB uchburchak, AOB sektori va AOC uchburchak maydonlarini solishtiramiz. Bu aniq. Raqamlar sohalari uchun mos keladigan geometrik formulalardan foydalanib, biz bundan olamiz §1.1. Haqiqiy raqamlar Haqiqiy sonlar ikki sinfga bo'linadi: ratsional sonlar sinfi va irratsional sonlar sinfi. Ratsional shakliga ega bo'lgan raqamlardir, bu erda m Va n koʻpaytiruvchi butun sonlar, lekin Masalan, raqam Haqiqiy sonlarni algebraik raqamlarga bo'lish mumkin - ratsional koeffitsientli ko'phadning ildizlari (bularga, xususan, barcha ratsional sonlar - tenglamaning ildizlari kiradi) Barcha natural, butun va haqiqiy sonlar to'plami mos ravishda quyidagicha belgilanadi: NZ, R §1.2. Raqamlar qatoridagi haqiqiy sonlar tasviri. Intervallar Geometrik (aniqlik uchun) haqiqiy sonlar cheksiz (har ikki yo'nalishda) to'g'ri chiziq ustidagi nuqtalar bilan ifodalanadi. raqamli
o'qi. Buning uchun ko'rib chiqilayotgan chiziqda nuqta olinadi (bosh nuqta 0), ijobiy yo'nalish ko'rsatiladi, o'q bilan tasvirlanadi (odatda o'ngda) va cheksiz muddatga chetga qo'yilgan masshtab birligi tanlanadi. 0 nuqtaning ikkala tomonida. Butun sonlar shunday tasvirlangan. Bitta kasrli raqamni ifodalash uchun siz har bir segmentni o'n qismga bo'lishingiz kerak va hokazo. Shunday qilib, har bir haqiqiy son sonlar chizig'idagi nuqta bilan ifodalanadi. Har bir nuqtaga qaytish Belgi Guruch. 1.1. Raqam o'qi. Guruch. 1.2. Interval Guruch. 1.3. Yopiq interval "Barcha raqamlar to'plami (nuqta)" so'zlarini olib tashlash x shunday" va boshqalarni qo'shimcha ravishda ta'kidlaymiz: §1.3. Haqiqiy sonning mutlaq qiymati (yoki moduli). Masalan, Geometrik jihatdan nuqta masofasini bildiradi a kelib chiqishiga. Agar bizda ikkita nuqta va bo'lsa, ular orasidagi masofani quyidagicha ifodalash mumkin Mutlaq miqdorlarning xossalari. 1. Ta'rifdan kelib chiqadiki 2. Yig'indi va farqning mutlaq qiymati mutlaq qiymatlar yig'indisidan oshmaydi: 3. 4. 5. 6. Tengsizlik 7. Tengsizlik 8. §1.4. Ba'zi tushunchalar va belgilar 1
. Kontseptsiya to'plamlar matematikadagi asosiylardan biri, boshlang'ich, universal - va shuning uchun aniqlab bo'lmaydi. Uni faqat tavsiflash mumkin (sinonimlar bilan almashtiriladi): bu ba'zi xususiyatlar bilan birlashtirilgan ba'zi narsalar, narsalar to'plami, to'plami. Ushbu ob'ektlar deyiladi elementlar ko'pchilik. Misollar: qirg'oqdagi ko'plab qum donalari, koinotdagi yulduzlar, sinfdagi o'quvchilar, tenglamaning ildizlari, segment nuqtalari. Elementlari raqamlar bo'lgan to'plamlar deyiladi raqamli to'plamlar. Ba'zi standart to'plamlar uchun maxsus belgilar kiritilgan, masalan, N,Z,R-§ 1.1 ga qarang. Mayli A- ko'p va x uning elementi bo'lsa, ular yozadilar: Agar x to'plam elementlari uchun umumiy belgidir A, keyin ular yozadilar To'plam deyiladi final, agar u cheklangan miqdordagi elementlardan iborat bo'lsa. Agar N qanday natural son olinmasin, to'plamda A unda N dan ko'proq elementlar mavjud A chaqirdi cheksiz to'plam: unda cheksiz ko'p elementlar mavjud. To'plamning har bir elementi bo'lsa ^A ko'pchilikka tegishli B, Bu Ikkala to'plamning elementlari to'plami A Va B chaqirdi birlashtirish to'plamlar va belgilanadi Agar to'plamlar elementlari o'rtasida yakkama-yakka muvofiqlik o'rnatilishi mumkin bo'lsa, ular bu to'plamlarni ekvivalent deb aytadilar va yozadilar. 2
. Ikkita bayonot, ikkita fakt bo'lsin: va Kirish: 
Oxirgi tengsizlikka natural son bilan bir qatorda boshqa natural sonni ham qo‘yishingiz mumkin 
, Keyin
va nuqtaning ba'zi qo'shnilarida (ehtimol, nuqtaning o'zidan tashqari) shart (2) bajarilgan bo'lsa, u holda funktsiya nuqtada chegaraga ega va bu chegara teng bo'ladi. A. shart bo'yicha (1) $ uchun (bu erda nuqtaning eng kichik qo'shnisi). Ammo keyin (2) shartga ko'ra qiymat ham nuqtaning - qo'shnisida joylashgan bo'ladi A, bular. .
, ya'ni a(x)+b(x) - cheksiz kichik.
anglatadi | f(x)-A|<ε при |x - x 0| < δ(ε). Cледовательно, .
, yoki sinx
Haqiqiy raqamlar bilan birinchi tanishish maktab matematika kursida sodir bo'ladi. Har bir haqiqiy son chekli yoki cheksiz o'nli kasr bilan ifodalanadi.
. (Ratsional sonlar to'plami harf bilan belgilanadi Q). Qolgan haqiqiy sonlar chaqiriladi mantiqsiz. Ratsional sonlar chekli yoki cheksiz davriy kasr bilan ifodalanadi (oddiy kasrlar bilan bir xil), u holda cheksiz davriy bo'lmagan kasrlar bilan ifodalanishi mumkin bo'lgan haqiqiy sonlar irratsional bo'ladi.
- oqilona va 
, 
, 
va h.k. - irratsional sonlar.
) - va transsendentallarga - qolganlari (masalan, raqamlar 
va boshqalar).
(Naturel, Zahl, Reel so‘zlarining bosh harflari).
segment uzunligiga teng haqiqiy songa mos keladi 
va nuqtaning o'ng yoki chap tomonida joylashganligiga qarab "+" yoki "-" belgisi bilan olinadi. Shunday qilib, barcha haqiqiy sonlar to'plami va sonlar o'qidagi barcha nuqtalar to'plami o'rtasida yakkama-yakka muvofiqlik o'rnatiladi. "Haqiqiy raqam" va "son o'qi nuqtasi" atamalari sifatida ishlatiladi sinonimlar. 
Haqiqiy sonni ham, unga mos keladigan nuqtani ham belgilaymiz. Ijobiy raqamlar 0 nuqtaning o'ng tomonida, manfiy raqamlar chap tomonda joylashgan. Agar 
, keyin raqam o'qida nuqta 
nuqtaning chap tomonida yotadi 
. Nuqtaga ruxsat bering 
raqamga mos keladi, keyin raqam nuqtaning koordinatasi deb ataladi, yozing 
; Ko'pincha nuqtaning o'zi raqam bilan bir xil harf bilan belgilanadi. 0 nuqta - koordinatalarning kelib chiqishi. Eksa ham harf bilan belgilanadi 
(1.1-rasm).
Barcha yolg'on raqamlar to'plami orasida berilgan sonlar va interval yoki interval deyiladi; uchlari unga tegishli bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin. Keling, bunga oydinlik kiritaylik. Mayli 
. Shartni qanoatlantiradigan raqamlar to'plami 
, intervalli (tor ma'noda) yoki ochiq intervalli deb ataladi, belgi bilan belgilanadi 
(1.2-rasm).
Bunday raqamlar to'plami 
yopiq interval (segment, segment) deb ataladi va bilan belgilanadi 
; raqam o'qida u quyidagicha belgilanadi:
Ochiq bo'shliqdan faqat ikkita nuqta (uchlari) bilan farq qiladi va . Ammo bu farq fundamental, ahamiyatli, buni keyinroq ko'rib chiqamiz, masalan, funktsiyalarning xususiyatlarini o'rganishda.
Va 
, belgilangan 
Va 
yarim ochiq yoki yarim yopiq intervallar (ba'zan: yarim oraliqlar);
yoki 
anglatadi: 
yoki 
va belgilanadi 
yoki 
;
yoki 
anglatadi 
yoki 
va belgilanadi 
yoki 
;
, belgilangan 
barcha haqiqiy sonlar to'plami. Belgilar 
"cheksizlik" belgilari; ular noto'g'ri yoki ideal sonlar deb ataladi. 
Ta'rif. Mutlaq qiymat (yoki modul) agar raqamning o'zi deyiladi 
yoki 
Agar 
. Mutlaq qiymat belgi bilan ko'rsatilgan 
. Shunday qilib, 
, 
, 
.
(yoki 
). Masalan, 
keyin masofa 
.
, 
, ya'ni 
.
. 
1) Agar 
, Bu 
. 2) Agar 
, Bu. ▲
.
, keyin 2-xususiyat bo'yicha: 
, ya'ni. 
. Xuddi shunday, agar siz tasavvur qilsangiz 
, keyin biz tengsizlikka kelamiz 
▲ 
– ta’rifdan kelib chiqadi: ishlarni ko‘rib chiqish 
Va 
. 
, sharti bilan 
Xuddi shu narsa ta'rifdan kelib chiqadi.
,
, degan ma'noni anglatadi 
. Bu tengsizlik o'rtasida joylashgan nuqtalar bilan qondiriladi 
Va 
.
tengsizlikka teng 
, ya'ni. . Bu uzunlik nuqtasida markazlashtirilgan intervaldir 
. U deyiladi 
nuqtaning qo'shnisi (raqam). Agar 
, keyin mahalla teshilgan deb ataladi: bu yoki 
. (1.4-rasm).
bundan tengsizlik kelib chiqadi 
(
) tengsizlikka teng 
yoki 
; va tengsizlik 
uchun nuqtalar to'plamini belgilaydi 
, ya'ni. bu segmentdan tashqarida joylashgan nuqtalardir 
, aniq: 
Va 
.
Keling, to'plamlar nazariyasi, matematik mantiq va zamonaviy matematikaning boshqa bo'limlaridan ba'zi keng qo'llaniladigan tushunchalar va belgilarni keltiramiz.
; o'qiydi" x tegishli A» ( 
elementlar uchun kiritish belgisi). Agar ob'ekt x tarkibiga kiritilmagan A, keyin ular yozadilar 
; o'qiydi: " x tegishli emas A" Masalan, 
N; 8,51
N; lekin 8.51 
R.
. Agar barcha elementlarning belgilanishini yozish mumkin bo'lsa, yozing 
, 
h.k.. Tarkibida bitta element boʻlmagan toʻplam boʻsh toʻplam deyiladi va belgisi bilan belgilanadi; masalan, tenglamaning ildizlari (haqiqiy) to'plami 
bo'sh joy bor.
to'plamning bir qismi yoki kichik to'plami deb ataladi B va yozing 
; o'qiydi" A tarkibida mavjud B» ( 
to'plamlar uchun inklyuziya belgisi mavjud). Masalan, NZR. Agar 
, keyin ular to'plamlar deb aytishadi A Va B teng bo'ladi va yozadi 
. Aks holda ular yozadilar 
. Masalan, agar 
, A 
tenglamaning ildizlari to'plami 
, Bu.
(Ba'zan 
). va ga tegishli elementlar to'plami A Va B, chaqirildi chorraha to'plamlar va belgilanadi 
. To'plamning barcha elementlari to'plami ^A, tarkibiga kirmagan B, chaqirildi farq to'plamlar va belgilanadi 
. Ushbu operatsiyalar sxematik tarzda quyidagicha ifodalanishi mumkin:
. Har qanday to'plam A, natural sonlar toʻplamiga ekvivalent N= chaqirildi sanaladigan yoki sanaladigan. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, to'plam, agar uning elementlarini cheksiz raqamlash va tartibga solish mumkin bo'lsa, hisoblanuvchi deyiladi keyingi ketma-ketlik 
, ularning barcha a'zolari boshqacha: 
da 
, va u shaklida yozilishi mumkin. Boshqa cheksiz to'plamlar deyiladi son-sanoqsiz. Hisoblash mumkin, to'plamning o'zidan tashqari N, masalan, to'plamlar bo'ladi 
, Z. Ma’lum bo‘lishicha, barcha ratsional va algebraik sonlar to‘plami sanab bo‘ladigan, har qanday oraliqdagi barcha irratsional, transsendental, haqiqiy sonlar va nuqtalarning ekvivalent to‘plamlari esa sanoqsizdir. Ularning ta'kidlashicha, ikkinchisi doimiylik kuchiga ega (kuch - bu cheksiz to'plam uchun elementlarning soni (soni) tushunchasini umumlashtirish).
. Belgi 
degani: “agar rost boʻlsa, u holda rost va” yoki “bundan keyin”, “tenglama ildizi ingliz tilidan xossaga ega ekanligini bildiradi. Mavjud- mavjud.
, yoki 
, degan ma'noni anglatadi: mulkka ega bo'lgan (kamida bitta) ob'ekt mavjud 
. Va yozib olish 
, yoki 
, degani: har kimning mulki bor. Xususan, biz yozishimiz mumkin: 
Va .
