Nuqtadan chiziqqa formula. Tekislikda berilgan nuqtadan berilgan to‘g‘ri chiziqgacha bo‘lgan masofani topish masalalarini yechish

Tekislikdagi to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak.

Ta'rif.

Nuqtadan chiziqgacha bo‘lgan masofa formulasini chiqarish

Variant 1

Tekislikda to'g'ri chiziq berilgan bo'lsin l: bolta + tomonidan + c= 0 va nuqta M 1(x 1;y 1), bu qatorga tegishli emas. Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani topamiz. Nuqtadan r masofasi ostida M 1 to'g'ri chiziqqa l segment uzunligini tushunish M0M 1⏊ l.

Masofani aniqlash uchun chiziqning normal vektoriga kollinear birlik vektoridan foydalanish qulay.

Tushuntirish: nuqtadan boshlab M0 to'g'ri chiziqda yotadi l, u holda uning koordinatalari ushbu chiziq tenglamasini qondirishi kerak, ya'ni. bolta 0 + 0 tomonidan + c= 0Variant 2

Agar M(x 0, y 0) nuqta berilsa, Ax + B + C = 0 chiziqqa masofa quyidagicha aniqlanadi. .

Isbot. M nuqtadan berilgan to‘g‘ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyarning asosi M 1 (x 1, y 1) nuqta bo‘lsin. Keyin M va M nuqtalari orasidagi masofa 1:(1) Koordinatalar x 1 va y 1 ni tenglamalar tizimining yechimi sifatida topish mumkin: Tizimning ikkinchi tenglamasi berilgan chiziqqa perpendikulyar M 0 nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasidir. Agar tizimning birinchi tenglamasini quyidagi shaklga aylantirsak: A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + 0 ga + C = 0, keyin, yechish, biz olamiz: Ushbu ifodalarni (1) tenglamaga almashtirib, biz quyidagilarni topamiz: . Teorema isbotlangan.

Turli geometrik jismlar orasidagi masofani topish qobiliyati shakllarning sirt maydoni va ularning hajmlarini hisoblashda muhimdir. Ushbu maqolada biz kosmosda va tekislikdagi nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani qanday topish masalasini ko'rib chiqamiz.

Chiziqning matematik tavsifi

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani qanday topishni tushunish uchun siz ushbu geometrik ob'ektlarning matematik ta'rifi haqidagi savolni tushunishingiz kerak.

Nuqta bilan hamma narsa oddiy, u koordinatalar to'plami bilan tavsiflanadi, ularning soni bo'shliq o'lchamiga mos keladi. Masalan, tekislikda bu ikkita koordinata, uch o'lchovli fazoda - uchta.

Bir o'lchovli ob'ekt - to'g'ri chiziqqa kelsak, uni tasvirlash uchun bir necha turdagi tenglamalar qo'llaniladi. Keling, ulardan faqat ikkitasini ko'rib chiqaylik.

Birinchi tur vektor tenglama deyiladi. Quyida uch o'lchovli va ikki o'lchovli fazodagi chiziqlar uchun ifodalar keltirilgan:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + a × (a; b; c);

(x; y) = (x 0 ; y 0) + a × (a; b)

Bu ifodalarda nol indeksli koordinatalar berilgan chiziq o‘tadigan nuqtani tasvirlaydi, (a; b; c) va (a; b) koordinatalar to‘plami mos keladigan chiziq uchun yo‘nalish vektorlari deb ataladi, a - a har qanday haqiqiy qiymatni qabul qilishi mumkin bo'lgan parametr.

Vektor tenglamasi shu ma'noda qulayki, u to'g'ridan-to'g'ri chiziqning yo'nalishi vektorini o'z ichiga oladi, uning koordinatalaridan turli geometrik jismlarning parallelligi yoki perpendikulyarligi masalalarini echishda foydalanish mumkin, masalan, ikkita to'g'ri chiziq.

Chiziq uchun ko'rib chiqadigan ikkinchi turdagi tenglama umumiy deyiladi. Fazoda bu tur ikki tekislikning umumiy tenglamalari bilan berilgan. Samolyotda u quyidagi shaklga ega:

A × x + B × y + C = 0

Grafikni tuzishda u ko'pincha X/Y ga bog'liqlik sifatida yoziladi, ya'ni:

y = -A / B × x +(-C / B)

Bu erda erkin atama -C / B chiziqning y o'qi bilan kesishish koordinatasiga mos keladi va -A / B koeffitsienti chiziqning x o'qiga moyillik burchagi bilan bog'liq.

Chiziq va nuqta orasidagi masofa haqida tushuncha

Tenglamalar bilan shug'ullanib, siz to'g'ridan-to'g'ri nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani qanday topish mumkinligi haqidagi savolga javob berishga o'tishingiz mumkin. 7-sinfda maktablar tegishli qiymatni aniqlash orqali ushbu masalani ko'rib chiqishni boshlaydilar.

Chiziq va nuqta orasidagi masofa bu chiziqqa perpendikulyar bo'lgan segmentning uzunligi bo'lib, u ko'rib chiqilayotgan nuqtadan olib tashlangan. Quyidagi rasmda r to'g'ri chiziq va A nuqta ko'rsatilgan. r to'g'ri chiziqqa perpendikulyar segment ko'k rangda ko'rsatilgan. Uning uzunligi kerakli masofadir.

Ikki o'lchovli holat bu erda ko'rsatilgan, ammo masofaning bu ta'rifi uch o'lchovli masala uchun ham amal qiladi.

Kerakli formulalar

Chiziq tenglamasi qanday shaklda yozilishi va masala qaysi fazoda yechilganiga qarab, chiziq va nuqta orasidagi masofani qanday topish mumkin degan savolga javob beradigan ikkita asosiy formulani berish mumkin.

Ma'lum nuqtani P 2 belgisi bilan belgilaymiz. Agar to'g'ri chiziq tenglamasi vektor ko'rinishida berilgan bo'lsa, u holda d uchun ko'rib chiqilayotgan ob'ektlar orasidagi masofa to'g'ri keladi:

d = || / |v¯|

Ya'ni, d ni aniqlash uchun siz v¯ to'g'ri chiziq vektori va P 1 P 2¯ vektori uchun yo'riqnomaning vektor mahsulotining modulini hisoblashingiz kerak, uning boshlanishi to'g'ri chiziqning ixtiyoriy P 1 nuqtasida joylashgan. , va oxiri P 2 nuqtasida, keyin bu modulni v ¯ uzunligiga bo'ling. Ushbu formula tekis va uch o'lchamli makon uchun universaldir.

Agar masala xy koordinata tizimidagi tekislikda ko‘rib chiqilsa va chiziq tenglamasi umumiy ko‘rinishda berilgan bo‘lsa, unda quyidagi formula chiziqdan nuqtagacha bo‘lgan masofani quyidagicha topish imkonini beradi:

To'g'ri chiziq: A × x + B × y + C = 0;

Nuqta: P 2 (x 2; y 2; z 2);

Masofa: d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2)

Yuqoridagi formula juda oddiy, ammo uni ishlatish yuqorida qayd etilgan shartlar bilan cheklangan.

Nuqtaning to'g'ri chiziqqa proyeksiyasining koordinatalari va masofasi

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani qanday topish mumkinligi haqidagi savolga berilgan formulalarni yodlashni nazarda tutmaydigan boshqa usulda ham javob berishingiz mumkin. Bu usul chiziqdagi dastlabki nuqtaning proyeksiyasi bo'lgan nuqtani aniqlashni o'z ichiga oladi.

Faraz qilaylik, M nuqta va r chiziq bor. M nuqtaning r ga proyeksiyasi ma'lum bir M 1 nuqtaga to'g'ri keladi. M dan r gacha bo'lgan masofa MM 1 ¯ vektorining uzunligiga teng.

M 1 koordinatalarini qanday topish mumkin? Juda oddiy. V¯ chiziq vektori MM 1 ¯ ga perpendikulyar bo'lishini eslash kifoya, ya'ni ularning skalyar mahsuloti nolga teng bo'lishi kerak. Bu shartga M 1 koordinatalari r to‘g‘ri chiziq tenglamasini qanoatlantirishi kerakligini qo‘shib, oddiy sistema hosil qilamiz. chiziqli tenglamalar. Uning yechimi natijasida M nuqtaning r ga proyeksiyasining koordinatalari olinadi.

Chiziqdan nuqtagacha bo'lgan masofani topish uchun ushbu paragrafda tasvirlangan usul tekislik va fazo uchun ishlatilishi mumkin, ammo undan foydalanish chiziq uchun vektor tenglamasini bilishni talab qiladi.

Samolyot muammosi

Keling, haqiqiy muammolarni hal qilish uchun taqdim etilgan matematik apparatdan qanday foydalanishni ko'rsatish vaqti keldi. Faraz qilaylik, tekislikda M(-4; 5) nuqta berilgan. M nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani topish kerak, bu umumiy tenglama bilan tavsiflanadi:

3 × (-4) + 6 = -6 ≠ 5

Ya'ni, M chiziq ustida yotmaydi.

To'g'ri chiziq tenglamasi umumiy shaklda berilmaganligi sababli, tegishli formuladan foydalanish imkoniyatiga ega bo'lish uchun uni shunday ko'rinishga keltiramiz, bizda:

y = 3 × x + 6 =>

3 × x - y + 6 = 0

Endi siz ma'lum raqamlarni d formulasiga almashtirishingiz mumkin:

d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 +B 2) =

= |3 × (-4) -1 × 5+6| / √(3 2 +(-1) 2) = 11 / √10 ≈ 3,48

Kosmosdagi muammo

Endi kosmosdagi ishni ko'rib chiqaylik. To'g'ri chiziq quyidagi tenglama bilan tasvirlansin:

(x; y; z) = (1; -1; 0) + a × (3; -2; 1)

Undan M(0; 2; -3) nuqtagacha bo'lgan masofa qancha?

Xuddi oldingi holatda bo'lgani kabi, M ning berilgan qatorga tegishli yoki yo'qligini tekshiramiz. Buning uchun koordinatalarni tenglamaga almashtiramiz va uni aniq qayta yozamiz:

x = 0 = 1 + 3 × a => a = -1/3;

y = 2 = -1 -2 × a => a = -3/2;

Turli a parametrlari olinganligi uchun M bu chiziqda yotmaydi. Keling, undan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblaylik.

d formulasidan foydalanish uchun chiziqning ixtiyoriy nuqtasini oling, masalan, P(1; -1; 0), keyin:

PM¯ va v¯ chiziq orasidagi vektor mahsulotini hisoblaymiz. Biz olamiz:

= [(-1; 3; -3) * (3; -2; 1)] = (-3; -8; -7)

Endi topilgan vektor va v¯ vektor modullarini d ning formulasiga almashtiramiz:

d = √(9 + 64 + 49) / √(9 + 4 + 1) ≈ 2,95

Bu javobni yuqorida tavsiflangan usul yordamida olish mumkin, bu chiziqli tenglamalar tizimini echishni o'z ichiga oladi. Ushbu va oldingi masalalarda to'g'ri chiziqdan nuqtagacha bo'lgan masofaning hisoblangan qiymatlari mos keladigan koordinata tizimining birliklarida keltirilgan.

Oh-oh-oh-oh-oh ... yaxshi, bu qiyin, go'yo u o'ziga bir jumlani o'qiyotgandek =) Biroq, dam olish keyinchalik yordam beradi, ayniqsa, bugun men tegishli aksessuarlarni sotib oldim. Shuning uchun, keling, birinchi bo'limga o'tamiz, umid qilamanki, maqolaning oxirigacha men quvnoq kayfiyatni saqlab qolaman.

Ikki to'g'ri chiziqning o'zaro o'rni

Tomoshabinlar xorda qo'shiq kuylaganda shunday bo'ladi. Ikki to'g'ri chiziq bo'lishi mumkin:

1) mos kelish;

2) parallel bo'lsin: ;

3) yoki bitta nuqtada kesishadi: .

Dummies uchun yordam : Iltimos, matematik kesishish belgisini eslang, u tez-tez paydo bo'ladi. Belgilanish, chiziqning nuqtadagi chiziq bilan kesishishini bildiradi.

Ikki chiziqning nisbiy o'rnini qanday aniqlash mumkin?

Birinchi holatdan boshlaylik:

Ikki chiziq mos keladi, agar ularning koeffitsientlari proportsional bo'lsa, ya'ni tenglik qanoatlantiriladigan "lambda" soni mavjud

To'g'ri chiziqlarni ko'rib chiqamiz va mos keladigan koeffitsientlardan uchta tenglama tuzamiz: . Har bir tenglamadan kelib chiqadiki, shuning uchun bu chiziqlar bir-biriga mos keladi.

Haqiqatan ham, agar tenglamaning barcha koeffitsientlari bo'lsa -1 ga ko'paytiring (belgilarni o'zgartiring) va tenglamaning barcha koeffitsientlarini 2 ga kamaytiring, siz bir xil tenglamani olasiz: .

Ikkinchi holat, chiziqlar parallel bo'lganda:

Ikki chiziq parallel bo'ladi, agar ularning o'zgaruvchilar koeffitsientlari proportsional bo'lsa: , Lekin.

Misol tariqasida ikkita to'g'ri chiziqni ko'rib chiqing. O'zgaruvchilar uchun mos keladigan koeffitsientlarning mutanosibligini tekshiramiz:

Biroq, bu juda aniq.

Uchinchi holat, chiziqlar kesishganda:

Ikki chiziq kesishadi, agar ularning o'zgaruvchilar koeffitsientlari proportsional bo'lmasa, ya'ni "lambda" ning tengliklari qondiriladigan bunday qiymati YO'Q

Shunday qilib, to'g'ri chiziqlar uchun biz tizim yaratamiz:

Birinchi tenglamadan , ikkinchi tenglamadan esa: , degani kelib chiqadi tizim mos kelmaydi(echimlar yo'q). Shunday qilib, o'zgaruvchilarning koeffitsientlari proportsional emas.

Xulosa: chiziqlar kesishadi

Amaliy masalalarda siz hozirgina muhokama qilingan yechim sxemasidan foydalanishingiz mumkin. Aytgancha, bu biz sinfda ko'rib chiqqan vektorlarni kollinearlik uchun tekshirish algoritmini juda eslatadi. Vektorlarning chiziqli (in) bog'liqligi tushunchasi. Vektorlar asoslari. Ammo yanada madaniyatli qadoqlash mavjud:

1-misol

Chiziqlarning nisbiy o'rnini toping:

Yechim to'g'ri chiziqlarning yo'naltiruvchi vektorlarini o'rganishga asoslangan:

a) Tenglamalardan biz chiziqlarning yo'nalish vektorlarini topamiz: .

, ya'ni vektorlar kollinear emas va chiziqlar kesishadi.

Har holda, chorrahada belgilar bilan tosh qo'yaman:

Qolganlari toshdan sakrab, to'g'ridan-to'g'ri O'lmas Kashcheyga ergashadilar =)

b) chiziqlarning yo'nalish vektorlarini toping:

Chiziqlar bir xil yo'nalish vektoriga ega, ya'ni ular parallel yoki mos keladi. Bu erda determinantni hisoblashning hojati yo'q.

Ko'rinib turibdiki, noma'lumlarning koeffitsientlari proportsionaldir va .

Keling, tenglik to'g'ri yoki yo'qligini bilib olaylik:

Shunday qilib,

c) chiziqlarning yo'nalish vektorlarini toping:

Ushbu vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinantni hisoblaymiz:
, shuning uchun yo'nalish vektorlari kollineardir. Chiziqlar parallel yoki mos keladi.

"Lambda" proportsionallik koeffitsientini to'g'ridan-to'g'ri kollinear yo'nalish vektorlari nisbatidan ko'rish oson. Biroq, uni tenglamalarning koeffitsientlari orqali ham topish mumkin: .

Endi tenglik to'g'ri yoki yo'qligini bilib olaylik. Ikkala bepul shart ham nolga teng, shuning uchun:

Olingan qiymat bu tenglamani qanoatlantiradi (umuman har qanday raqam uni qanoatlantiradi).

Shunday qilib, chiziqlar bir-biriga mos keladi.

Javob:

Tez orada siz og'zaki muhokama qilingan muammoni bir necha soniya ichida hal qilishni o'rganasiz (yoki hatto allaqachon o'rgangansiz). Shu munosabat bilan, men mustaqil yechim uchun biror narsa taklif qilishning ma'nosini ko'rmayapman, geometrik poydevorga yana bir muhim g'isht qo'yish yaxshiroqdir:

Berilgan chiziqqa parallel chiziqni qanday qurish mumkin?

Buni bilmaslik uchun eng oddiy vazifa Qaroqchi bulbul qattiq jazolaydi.

2-misol

To'g'ri chiziq tenglama bilan berilgan. Nuqtadan o‘tuvchi parallel chiziq tenglamasini yozing.

Yechim: Noma'lum qatorni harf bilan belgilaymiz. Vaziyat u haqida nima deydi? To'g'ri chiziq nuqtadan o'tadi. Va agar chiziqlar parallel bo'lsa, "tse" to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori "de" to'g'ri chiziqni qurish uchun ham mos kelishi aniq.

Yo'nalish vektorini tenglamadan chiqaramiz:

Javob:

Misol geometriyasi oddiy ko'rinadi:

Analitik test quyidagi bosqichlardan iborat:

1) Biz chiziqlar bir xil yo'nalish vektoriga ega ekanligini tekshiramiz (agar chiziq tenglamasi to'g'ri soddalashtirilmagan bo'lsa, u holda vektorlar kollinear bo'ladi).

2) Nuqta natijaviy tenglamani qanoatlantirishini tekshiring.

Aksariyat hollarda analitik test og'zaki tarzda osonlik bilan amalga oshirilishi mumkin. Ikki tenglamani ko'rib chiqing va ko'pchiligingiz hech qanday chizmasiz chiziqlarning parallelligini tezda aniqlaydi.

Bugungi kunda mustaqil echimlar uchun misollar ijodiy bo'ladi. Chunki siz hali ham Baba Yaga bilan raqobatlashishingiz kerak bo'ladi va u, bilasizmi, har xil topishmoqlarni yaxshi ko'radi.

3-misol

Agar chiziqqa parallel nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasini yozing

Uni hal qilishning oqilona va unchalik oqilona bo'lmagan usuli mavjud. Eng qisqa yo'l - dars oxirida.

Biz parallel chiziqlar bilan biroz ishladik va ularga keyinroq qaytamiz. Bir-biriga mos keladigan chiziqlar masalasi unchalik qiziq emas, shuning uchun maktab o'quv dasturidan sizga juda tanish bo'lgan muammoni ko'rib chiqaylik:

Ikki chiziqning kesishish nuqtasini qanday topish mumkin?

To'g'ri bo'lsa nuqtada kesishsa, u holda uning koordinatalari yechim hisoblanadi chiziqli tenglamalar tizimlari

Chiziqlarning kesishish nuqtasini qanday topish mumkin? Tizimni hal qiling.

Mana ikkita noma'lumli ikkita chiziqli tenglamalar tizimining geometrik ma'nosi- bu tekislikdagi ikkita kesishuvchi (ko'pincha) chiziqlar.

4-misol

Chiziqlarning kesishish nuqtasini toping

Yechim: Yechishning ikkita usuli bor - grafik va analitik.

Grafik usul oddiygina berilgan chiziqlarni chizish va kesishish nuqtasini to'g'ridan-to'g'ri chizmadan topishdir:

Mana bizning fikrimiz: . Tekshirish uchun siz uning koordinatalarini chiziqning har bir tenglamasiga almashtirishingiz kerak, ular u erda ham, u erda ham mos kelishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, nuqtaning koordinatalari tizimning yechimidir. Asosan, biz grafik echimni ko'rib chiqdik chiziqli tenglamalar tizimlari ikkita tenglama, ikkita noma'lum.

Grafik usul, albatta, yomon emas, lekin sezilarli kamchiliklar mavjud. Yo‘q, gap yettinchi sinf o‘quvchilari shunday qaror qabul qilishlarida emas, gap shundaki, to‘g‘ri va ANIQ chizma yaratish uchun vaqt kerak bo‘ladi. Bundan tashqari, ba'zi to'g'ri chiziqlarni qurish unchalik oson emas va kesishish nuqtasi o'ttizinchi shohlikning biron bir joyida daftar varag'idan tashqarida joylashgan bo'lishi mumkin.

Shuning uchun kesishish nuqtasini analitik usul yordamida izlash maqsadga muvofiqdir. Keling, tizimni hal qilaylik:

Tizimni yechish uchun tenglamalarni muddat bo'yicha qo'shish usuli qo'llanildi. Tegishli ko'nikmalarni rivojlantirish uchun saboq oling Tenglamalar tizimini qanday yechish mumkin?

Javob:

Tekshirish ahamiyatsiz - kesishish nuqtasining koordinatalari tizimning har bir tenglamasini qondirishi kerak.

5-misol

Chiziqlar kesishsa, ularning kesishish nuqtasini toping.

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Vazifani bir necha bosqichlarga bo'lish qulay. Vaziyatni tahlil qilish zarurligini ko'rsatadi:
1) To'g'ri chiziq tenglamasini yozing.
2) To‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing.
3) Chiziqlarning nisbiy holatini aniqlang.
4) Agar chiziqlar kesishsa, u holda kesishish nuqtasini toping.

Harakatlar algoritmini ishlab chiqish ko'pgina geometrik masalalar uchun xosdir va men bunga qayta-qayta e'tibor qarataman.

To'liq yechim va dars oxirida javob:

Darsning ikkinchi qismiga borgunimizcha bir juft poyabzal ham eskirgan emas:

Perpendikulyar chiziqlar. Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa.
To'g'ri chiziqlar orasidagi burchak

Oddiy va juda muhim vazifadan boshlaylik. Birinchi qismda biz bunga parallel ravishda qanday qilib to'g'ri chiziq qurishni bilib oldik va endi tovuq oyoqlaridagi kulba 90 gradusga aylanadi:

Berilgan chiziqqa perpendikulyar chiziqni qanday qurish mumkin?

6-misol

To'g'ri chiziq tenglama bilan berilgan. Nuqtadan o`tuvchi chiziqqa perpendikulyar tenglama yozing.

Yechim: Shartga ko'ra ma'lumki. Chiziqning yo'naltiruvchi vektorini topish yaxshi bo'lar edi. Chiziqlar perpendikulyar bo'lgani uchun hiyla oddiy:

Tenglamadan normal vektorni "olib tashlaymiz": , bu to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori bo'ladi.

Nuqta va yo‘nalish vektoridan foydalanib to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzamiz:

Javob:

Keling, geometrik eskizni kengaytiramiz:

Hm... To'q sariq osmon, to'q sariq dengiz, to'q sariq tuya.

Yechimni analitik tekshirish:

1) Tenglamalardan yo'nalish vektorlarini chiqaramiz va yordami bilan vektorlarning skalyar mahsuloti chiziqlar chindan ham perpendikulyar degan xulosaga kelamiz:.

Aytgancha, siz oddiy vektorlardan foydalanishingiz mumkin, bu yanada osonroq.

2) Nuqta natijaviy tenglamani qanoatlantirishini tekshiring .

Test, yana, og'zaki bajarish oson.

7-misol

Agar tenglama ma'lum bo'lsa, perpendikulyar chiziqlarning kesishish nuqtasini toping va davr.

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Muammoda bir nechta harakatlar mavjud, shuning uchun yechimni nuqta bo'yicha shakllantirish qulay.

Bizning qiziqarli sayohatimiz davom etadi:

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa

Bizning oldimizda daryoning to'g'ri chizig'i bor va bizning vazifamiz unga eng qisqa yo'l bilan borishdir. Hech qanday to'siq yo'q va eng maqbul yo'nalish perpendikulyar bo'ylab harakatlanish bo'ladi. Ya'ni, nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa perpendikulyar segmentning uzunligidir.

Geometriyada masofa an'anaviy ravishda yunoncha "rho" harfi bilan belgilanadi, masalan: - "em" nuqtasidan "de" to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa.

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa formula bilan ifodalanadi

8-misol

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani toping

Yechim: Buning uchun faqat raqamlarni formulaga ehtiyotkorlik bilan almashtirish va hisob-kitoblarni bajarish kerak:

Javob:

Keling, rasm chizamiz:

Nuqtadan chiziqgacha topilgan masofa aynan qizil segmentning uzunligiga teng. Agar siz katak qog'ozga 1 birlik masshtabida chizma tuzsangiz. = 1 sm (2 hujayra), keyin masofani oddiy o'lchagich bilan o'lchash mumkin.

Xuddi shu rasmga asoslangan boshqa vazifani ko'rib chiqaylik:

Vazifa to'g'ri chiziqqa nisbatan nuqtaga simmetrik bo'lgan nuqtaning koordinatalarini topishdir . Men qadamlarni o'zingiz bajarishni taklif qilaman, lekin men oraliq natijalar bilan hal qilish algoritmini tasvirlab beraman:

1) Chiziqga perpendikulyar bo'lgan chiziqni toping.

2) Chiziqlarning kesishish nuqtasini toping: .

Ushbu darsda ikkala harakat ham batafsil muhokama qilinadi.

3) nuqta segmentning o'rta nuqtasidir. Biz o'rta va uchlaridan birining koordinatalarini bilamiz. tomonidan segmentning o'rta nuqtasining koordinatalari uchun formulalar topamiz.

Masofa ham 2,2 birlik ekanligini tekshirish yaxshi bo'lardi.

Bu erda hisob-kitoblarda qiyinchiliklar paydo bo'lishi mumkin, ammo mikrokalkulyator oddiy kasrlarni hisoblash imkonini beruvchi minorada katta yordam beradi. Men sizga ko'p marta maslahat berdim va yana tavsiya qilaman.

Ikki parallel chiziq orasidagi masofani qanday topish mumkin?

9-misol

Ikki parallel chiziq orasidagi masofani toping

Bu o'zingiz qaror qilishingiz uchun yana bir misol. Men sizga bir oz maslahat beraman: buni hal qilishning cheksiz ko'p usullari mavjud. Dars oxirida brifing, lekin o'zingiz uchun taxmin qilishga harakat qilganingiz ma'qul, menimcha, sizning zukkoligingiz yaxshi rivojlangan.

Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchak

Har bir burchak jambdir:


Geometriyada ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchak KICHIK burchak sifatida qabul qilinadi, undan avtomatik ravishda u to'g'ri bo'lishi mumkin emas degan xulosaga keladi. Rasmda qizil yoy bilan ko'rsatilgan burchak kesishgan chiziqlar orasidagi burchak hisoblanmaydi. Va uning "yashil" qo'shnisi yoki qarama-qarshi yo'naltirilgan"malina" burchagi.

Agar chiziqlar perpendikulyar bo'lsa, ular orasidagi burchak sifatida 4 ta burchakdan istalgan birini olish mumkin.

Burchaklar qanday farqlanadi? Orientatsiya. Birinchidan, burchakning "aylanishi" yo'nalishi juda muhimdir. Ikkinchidan, salbiy yo'naltirilgan burchak minus belgisi bilan yoziladi, masalan, agar .

Nega buni senga aytdim? Ko'rinishidan, biz odatiy burchak tushunchasi bilan shug'ullanishimiz mumkin. Gap shundaki, biz burchaklarni topadigan formulalar osongina salbiy natijaga olib kelishi mumkin va bu sizni ajablantirmasligi kerak. Minus belgisi bo'lgan burchak bundan ham yomon emas va juda aniq geometrik ma'noga ega. Chizmada salbiy burchak uchun uning yo'nalishini o'q bilan (soat yo'nalishi bo'yicha) ko'rsatishni unutmang.

Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchakni qanday topish mumkin? Ikkita ishlaydigan formulalar mavjud:

10-misol

Chiziqlar orasidagi burchakni toping

Yechim Va Birinchi usul

Keling, umumiy shaklda tenglamalar bilan aniqlangan ikkita to'g'ri chiziqni ko'rib chiqaylik:

To'g'ri bo'lsa perpendikulyar emas, Bu yo'naltirilgan Ularning orasidagi burchakni quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin:

Keling, maxrajga e'tibor qarataylik - bu aniq skalyar mahsulot to'g'ri chiziqlarning yo'naltiruvchi vektorlari:

Agar , u holda formulaning maxraji nolga aylanadi va vektorlar ortogonal, chiziqlar esa perpendikulyar bo'ladi. Shuning uchun formulada to'g'ri chiziqlarning perpendikulyar emasligi haqida shart qo'yilgan.

Yuqoridagilarga asoslanib, yechimni ikki bosqichda rasmiylashtirish qulay:

1) Chiziqlar yo‘nalish vektorlarining skalyar ko‘paytmasini hisoblaymiz:
, ya'ni chiziqlar perpendikulyar emas.

2) To'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni formuladan foydalanib toping:

Yordamida teskari funktsiya Burchakning o'zini topish oson. Bunday holda, biz arktangentning g'alatiligidan foydalanamiz (qarang. Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari):

Javob:

Sizning javobingizda biz kalkulyator yordamida hisoblangan aniq qiymatni, shuningdek, taxminiy qiymatni (har ikkala daraja va radianda afzalroq) ko'rsatamiz.

Xo'sh, minus, minus, katta narsa yo'q. Mana geometrik tasvir:

Burchakning salbiy yo'nalishga ega bo'lishi ajablanarli emas, chunki muammo bayonotida birinchi raqam to'g'ri chiziq bo'lib, burchakning "ochilishi" aynan shu bilan boshlangan.

Agar siz haqiqatan ham ijobiy burchakka ega bo'lishni istasangiz, siz chiziqlarni almashtirishingiz kerak, ya'ni ikkinchi tenglamadan koeffitsientlarni olishingiz kerak. , va birinchi tenglamadan koeffitsientlarni oling. Muxtasar qilib aytganda, siz to'g'ridan-to'g'ri boshlashingiz kerak .

Tekislikdagi nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblash formulasi

Agar Ax + By + C = 0 chiziq tenglamasi berilgan bo'lsa, M(M x , M y) nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani quyidagi formula yordamida topish mumkin.

Tekislikdagi nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblash masalalariga misollar

1-misol.

3x + 4y - 6 = 0 chiziq bilan M(-1, 3) nuqta orasidagi masofani toping.

Yechim. Chiziq koeffitsientlari va nuqta koordinatalarini formulaga almashtiramiz

Javob: nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa 0,6 ga teng.

vektorga perpendikulyar nuqtalardan o'tuvchi tekislik tenglamasi.Teklikning umumiy tenglamasi

Berilgan tekislikka perpendikulyar nolga teng bo'lmagan vektor deyiladi normal vektor (yoki qisqasi, normal ) bu samolyot uchun.

Koordinatalar fazosida (to'rtburchaklar koordinatalar tizimida) quyidagilar berilgan bo'lsin:

a) nuqta ;

b) nolga teng bo'lmagan vektor (4.8-rasm, a).

Nuqtadan o'tadigan tekislik uchun tenglamani yaratishingiz kerak vektorga perpendikulyar Dalilning oxiri.

Keling, endi ko'rib chiqaylik Har xil turlar tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamalari.

1) Tekislikning umumiy tenglamasiP .

Tenglamaning kelib chiqishidan shu narsa kelib chiqadiki, bir vaqtning o'zida A, B Va C 0 ga teng emas (sababini tushuntiring).

Nuqta samolyotga tegishli P faqat uning koordinatalari tekislik tenglamasini qanoatlantirsagina. Imkoniyatlarga qarab A, B, C Va D samolyot P u yoki bu pozitsiyani egallaydi:

- tekislik koordinatalar sistemasining boshi orqali o'tadi, - tekislik koordinatalar sistemasining boshi orqali o'tmaydi;

- o'qga parallel tekislik X,

X,

- o'qga parallel tekislik Y,

- tekislik o'qga parallel emas Y,

- o'qga parallel tekislik Z,

- tekislik o'qga parallel emas Z.

Bu gaplarni o'zingiz isbotlang.

(6) tenglama (5) tenglamadan osonlik bilan olinadi. Haqiqatan ham, nuqta samolyotda bo'lsin P. U holda uning koordinatalari tenglamani qanoatlantiradi.(5) tenglamadan (7) tenglamani ayirib, hadlarni guruhlab (6) tenglamaga erishamiz. Keling, mos ravishda koordinatali ikkita vektorni ko'rib chiqaylik. (6) formuladan ularning skalyar mahsuloti nolga teng ekanligi kelib chiqadi. Demak, vektor vektorga perpendikulyar.Oxirgi vektorning boshi va oxiri mos ravishda tekislikka tegishli nuqtalarda joylashgan. P. Shuning uchun vektor tekislikka perpendikulyar P. Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa P, umumiy tenglama qaysi formula bilan aniqlanadi Ushbu formulaning isboti nuqta va chiziq orasidagi masofa formulasining isbotiga butunlay o'xshaydi (2-rasmga qarang).
Guruch. 2. Tekislik va to‘g‘ri chiziq orasidagi masofa formulasini chiqarish.

Darhaqiqat, masofa d to'g'ri chiziq va tekislik orasidagi teng

samolyotda yotgan nuqta qayerda. Bu yerdan 11-ma'ruzadagi kabi yuqoridagi formula olinadi. Ikki tekislik parallel bo'ladi, agar ularning normal vektorlari parallel bo'lsa. Bu yerdan biz ikkita tekislikning parallellik shartini olamiz - tekisliklarning umumiy tenglamalari koeffitsientlari. Ikki tekislik, agar ularning normal vektorlari perpendikulyar bo'lsa, perpendikulyar bo'ladi, shuning uchun ikkita tekislikning umumiy tenglamalari ma'lum bo'lsa, ularning perpendikulyarligi shartini olamiz.

Burchak f ikki samolyot o'rtasida burchakka teng ularning normal vektorlari o'rtasida (3-rasmga qarang) va shuning uchun formuladan foydalanib hisoblash mumkin
Samolyotlar orasidagi burchakni aniqlash.

(11)

Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa va uni topish usullari

Nuqtadan masofa samolyot– nuqtadan shu tekislikka tushgan perpendikulyar uzunligi. Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani topishning kamida ikkita usuli mavjud: geometrik Va algebraik.

Geometrik usul bilan Avval nuqtadan tekislikka perpendikulyar qanday joylashganligini tushunishingiz kerak: ehtimol u qandaydir qulay tekislikda yotadi, ba'zi qulay (yoki unchalik qulay bo'lmagan) uchburchakdagi balandlikdir yoki bu perpendikulyar odatda qandaydir piramidadagi balandlikdir.

Ushbu birinchi va eng murakkab bosqichdan so'ng, muammo bir nechta aniq planimetrik muammolarga bo'linadi (ehtimol, turli tekisliklarda).

Algebraik usul bilan nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani topish uchun koordinatalar tizimiga kirish, nuqtaning koordinatalarini va tekislik tenglamasini topish, so'ngra nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa formulasini qo'llash kerak.

Misol yechishda tekislikda berilgan nuqtadan berilgan to‘g‘ri chiziqgacha bo‘lgan masofani topishning muhokama qilingan usullaridan foydalanishni ko‘rib chiqamiz.

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani toping:

Birinchidan, birinchi usul yordamida muammoni hal qilaylik.

Masala qo‘yilishida bizga a to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasi quyidagi shaklda berilgan:

To'g'ri chiziqqa perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tuvchi b to'g'rining umumiy tenglamasi topilsin:

b chiziq a chiziqqa perpendikulyar bo'lgani uchun b chiziqning yo'nalish vektori berilgan chiziqning normal vektori bo'ladi:

ya'ni b to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori koordinatalariga ega. Endi biz tekislikka b chiziqning kanonik tenglamasini yozishimiz mumkin, chunki biz b chiziq o'tadigan M 1 nuqtaning koordinatalarini va b chiziqning yo'nalish vektorining koordinatalarini bilamiz:

Qabul qilingandan kanonik tenglama to'g'ri chiziq b to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasiga o'tamiz:

Endi a va b chiziqlarning umumiy tenglamalaridan tashkil topgan tenglamalar sistemasini yechish orqali a va b chiziqlarning kesishish nuqtasi koordinatalarini topamiz (uni H 1 deb belgilaymiz) (agar kerak bo‘lsa, chiziqli chiziqli chiziqli chiziqlarning echish tizimlari maqolasiga qarang). tenglamalar):

Shunday qilib, H 1 nuqtasi koordinatalarga ega.

M 1 nuqtadan a to'g'ri chiziqqa kerakli masofani nuqtalar orasidagi masofa sifatida hisoblash qoladi va:

Muammoni hal qilishning ikkinchi usuli.

Berilgan chiziqning normal tenglamasini olamiz. Buning uchun biz normallashtiruvchi omilning qiymatini hisoblaymiz va unga to'g'ri chiziqning dastlabki umumiy tenglamasining ikkala tomonini ko'paytiramiz:

(bu haqda chiziqning umumiy tenglamasini normal ko'rinishga keltirish bo'limida gapirgan edik).

Normallashtiruvchi omil ga teng

u holda chiziqning normal tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Endi biz chiziqning hosil bo'lgan normal tenglamasining chap tomonidagi ifodani olamiz va uning qiymatini quyidagicha hisoblaymiz:

Berilgan nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan talab qilinadigan masofa:

teng mutlaq qiymat natijada olingan qiymat, ya'ni besh ().

nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa:

Shubhasiz, chiziqning normal tenglamasidan foydalanishga asoslangan tekislikdagi nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani topish usulining afzalligi hisoblash ishlarining nisbatan kichikroq hajmidir. O'z navbatida, nuqtadan chiziqqa masofani topishning birinchi usuli intuitiv bo'lib, izchillik va mantiq bilan ajralib turadi.

To'rtburchaklar koordinatalar tizimi Oksi tekislikda o'rnatiladi, nuqta va to'g'ri chiziq belgilanadi:

Berilgan nuqtadan berilgan to‘g‘ri chiziqgacha bo‘lgan masofani toping.

Birinchi yo'l.

Nishabli to'g'ri chiziqning berilgan tenglamasidan ushbu to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasiga o'tishingiz va yuqorida ko'rib chiqilgan misoldagi kabi harakat qilishingiz mumkin.

Lekin siz buni boshqacha qilishingiz mumkin.

Biz bilamizki, perpendikulyar chiziqlarning burchak koeffitsientlari mahsuloti 1 ga teng (perpendikulyar chiziqlar, chiziqlarning perpendikulyarligi maqolasiga qarang). Shunday qilib, berilgan chiziqqa perpendikulyar bo'lgan chiziqning burchak koeffitsienti:

2 ga teng. U holda berilgan to‘g‘riga perpendikulyar va nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:

Endi H 1 nuqtaning koordinatalarini topamiz - chiziqlar kesishish nuqtasi:

Shunday qilib, nuqtadan chiziqgacha bo'lgan talab qilinadigan masofa:

nuqtalar orasidagi masofaga teng va:

Ikkinchi yo'l.

Burchak koeffitsientli to'g'ri chiziqning berilgan tenglamasidan ushbu to'g'ri chiziqning normal tenglamasiga o'tamiz:

normallashtiruvchi omil quyidagilarga teng:

shuning uchun berilgan chiziqning normal tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

Endi biz nuqtadan chiziqqa kerakli masofani hisoblaymiz:

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblang:

va to'g'ri chiziqqa:

Chiziqning normal tenglamasini olamiz:

Endi nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblaymiz:

To'g'ri chiziqli tenglama uchun normallashtiruvchi omil:

1 ga teng. U holda bu chiziqning normal tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Endi biz nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblashimiz mumkin:

teng.

Javob: va 5.

Xulosa qilib aytganda, tekislikning berilgan nuqtasidan Ox va Oy koordinata chiziqlarigacha bo'lgan masofani qanday topishni alohida ko'rib chiqamiz.

To‘g‘ri burchakli Oxy koordinata sistemasida Oy koordinata chizig‘i x=0 to‘g‘ri chiziqning to‘liq bo‘lmagan umumiy tenglamasi bilan, Ox koordinata chizig‘i esa y=0 tenglama bilan berilgan. Ushbu tenglamalar Oy va Ox chiziqlarining normal tenglamalari, shuning uchun nuqtadan ushbu chiziqlargacha bo'lgan masofa formulalar yordamida hisoblanadi:

mos ravishda.

5-rasm

To'g'ri burchakli koordinatalar tizimi Oksi tekislikda kiritilgan. Nuqtadan koordinata chiziqlarigacha bo‘lgan masofalarni toping.

Berilgan M 1 nuqtadan Ox koordinata chizig'igacha bo'lgan masofa (u y=0 tenglama bilan berilgan) M 1 nuqtaning ordinata moduliga teng, ya'ni .

Berilgan M 1 nuqtadan Oy koordinata chizig‘igacha bo‘lgan masofa (x=0 tenglama unga to‘g‘ri keladi) M 1 nuqta abtsissasining mutlaq qiymatiga teng: .

Javob: M 1 nuqtadan Ox to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa 6 ga, berilgan nuqtadan Oy koordinata chizig'igacha bo'lgan masofa teng.