Trigonometriyada ko'p formulalarni yodlashdan ko'ra olish osonroq. Ikki burchakli kosinus ajoyib formuladir! Bu darajalarni kamaytirish uchun formulalar va yarim burchaklar uchun formulalarni olish imkonini beradi.
Shunday qilib, bizga qo'sh burchakning kosinasi va trigonometrik birlik kerak:
Ular hatto o'xshashdir: ikki burchakli kosinus formulasida bu kosinus va sinus kvadratlari orasidagi farq, trigonometrik birlikda esa ularning yig'indisi. Agar kosinusni trigonometrik birlikdan ifodalasak:
va uni qo'sh burchakning kosinusiga almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:
Bu yana bir ikki burchakli kosinus formulasi:
Ushbu formula kamaytirish formulasini olish uchun kalit hisoblanadi:
Shunday qilib, sinus darajasini pasaytirish formulasi:
Agar unda alfa burchagi yarim burchakli alfa bilan yarmiga almashtirilsa va ikki burchakli ikki alfa alfa burchagi bilan almashtirilsa, sinus uchun yarim burchak formulasini olamiz:
Endi biz sinusni trigonometrik birlikdan ifodalashimiz mumkin:
Keling, bu ifodani ikki burchakli kosinus formulasiga almashtiramiz:
Ikki burchakli kosinusning boshqa formulasini oldik:
Bu formula kosinusning kuchini va kosinusning yarim burchagini kamaytirish formulasini topishning kalitidir.
Shunday qilib, kosinus darajasini pasaytirish formulasi:
Agar a ni a/2 bilan, 2a ni a bilan almashtirsak, kosinusning yarim argumenti formulasini olamiz:
Tangens sinusning kosinusga nisbati bo'lganligi sababli, teginish formulasi:
Kotangent - kosinusning sinusga nisbati. Shunday qilib, kotangent formulasi:
Albatta, trigonometrik ifodalarni soddalashtirish jarayonida har safar yarim burchak uchun formulani chiqarish yoki darajani kamaytirishning ma'nosi yo'q. Oldingizga formulalar yozilgan varaqni qo'yish ancha oson. Va soddalashtirish tezroq harakat qiladi va vizual xotira yodlashni yoqadi.
Ammo bu formulalarni bir necha marta olish kerak. Shunda siz imtihon paytida, cheat varag'idan foydalanishning iloji bo'lmaganda, agar kerak bo'lsa, ularni osongina olishingizga ishonchingiz komil bo'ladi.
Asosiy trigonometrik funktsiyalar - sinus, kosinus, tangens va kotangens o'rtasidagi munosabatlar berilgan. trigonometrik formulalar. Va trigonometrik funktsiyalar o'rtasida juda ko'p bog'lanishlar mavjudligi sababli, bu trigonometrik formulalarning ko'pligini tushuntiradi. Ba'zi formulalar bir xil burchakning trigonometrik funktsiyalarini bog'laydi, boshqalari - bir nechta burchakning funktsiyalari, boshqalari - darajani kamaytirishga imkon beradi, to'rtinchisi - barcha funktsiyalarni yarim burchakning tangensi orqali ifodalaydi va hokazo.
Ushbu maqolada biz trigonometriya muammolarining katta qismini hal qilish uchun etarli bo'lgan barcha asosiy trigonometrik formulalarni tartibda sanab o'tamiz. Yodlash va foydalanish qulayligi uchun biz ularni maqsadlari bo'yicha guruhlaymiz va jadvallarga kiritamiz.
Sahifani navigatsiya qilish.
Asosiy trigonometrik identifikatsiyalar
Asosiy trigonometrik identifikatsiyalar bir burchakning sinus, kosinus, tangens va kotangens o'rtasidagi munosabatni aniqlang. Ular sinus, kosinus, tangens va kotangensning ta'rifidan, shuningdek, birlik doirasi tushunchasidan kelib chiqadi. Ular bitta trigonometrik funktsiyani boshqa har qanday ko'rinishda ifodalash imkonini beradi.
Ushbu trigonometriya formulalarining batafsil tavsifi, ularni olish va qo'llash misollari uchun maqolaga qarang.
Qisqartirish formulalari
Qisqartirish formulalari sinus, kosinus, tangens va kotangens xossalaridan kelib chiqadi, ya'ni ular davriylik xususiyatini aks ettiradi. trigonometrik funktsiyalar, simmetriya xossasi, shuningdek, berilgan burchak bilan siljish xossasi. Ushbu trigonometrik formulalar ixtiyoriy burchaklar bilan ishlashdan noldan 90 gradusgacha bo'lgan burchaklar bilan ishlashga o'tishga imkon beradi.
Ushbu formulalarning mantiqiy asoslari, ularni yodlashning mnemonik qoidasi va ularni qo'llash misollari maqolada o'rganilishi mumkin.
Qo'shish formulalari
Trigonometrik formulalar qo'shimcha Ikki burchak yig‘indisining yoki ayirmasining trigonometrik funksiyalari shu burchaklarning trigonometrik funksiyalari bilan qanday ifodalanishini ko‘rsating. Bu formulalar quyidagi trigonometrik formulalarni olish uchun asos bo'lib xizmat qiladi.
Ikki, uch va boshqalar uchun formulalar. burchak
Ikki, uch va boshqalar uchun formulalar. burchak (ular ko'p burchak formulalari deb ham ataladi) ikki, uch va boshqalarning trigonometrik funktsiyalarini ko'rsatadi. burchaklar () bitta burchakning trigonometrik funktsiyalari bilan ifodalanadi. Ularning hosilasi qo'shish formulalariga asoslanadi.
Batafsil ma'lumot ikki, uch va boshqalar uchun maqola formulalarida to'plangan. burchak
Yarim burchak formulalari
Yarim burchak formulalari yarim burchakning trigonometrik funksiyalari butun burchakning kosinusida qanday ifodalanishini ko'rsating. Bu trigonometrik formulalar ikki burchakli formulalardan kelib chiqadi.
Ularning xulosasi va qo'llash misollarini maqolada topish mumkin.
Darajani pasaytirish formulalari
Darajani kamaytirish uchun trigonometrik formulalar dan o'tishni osonlashtirish uchun mo'ljallangan tabiiy darajalar trigonometrik funktsiyalarni sinus va kosinuslarga birinchi darajali, lekin bir nechta burchaklar. Boshqacha qilib aytganda, ular trigonometrik funktsiyalarning kuchlarini birinchi darajaga kamaytirishga imkon beradi.
Trigonometrik funksiyalarning yig‘indisi va ayirmasining formulalari
Asosiy maqsad trigonometrik funksiyalarning yig‘indisi va ayirmasi formulalari trigonometrik ifodalarni soddalashtirishda juda foydali bo'lgan funksiyalar mahsulotiga o'tishdir. Bu formulalardan yechishda ham keng foydalaniladi trigonometrik tenglamalar, chunki ular sinus va kosinuslarning yig'indisi va farqini faktorlarga ajratish imkonini beradi.
Sinuslar, kosinuslar va kosinuslar bo'yicha ko'paytma uchun formulalar
Trigonometrik funksiyalarning ko`paytmasidan yig`indiga yoki ayirmaga o`tish sinuslar, kosinuslar va sinuslarning kosinus bo`yicha ko`paytmasi formulalari yordamida amalga oshiriladi.
Universal trigonometrik almashtirish
Biz trigonometriyaning asosiy formulalarini ko'rib chiqishni trigonometrik funktsiyalarni yarim burchakning tangensi bo'yicha ifodalovchi formulalar bilan yakunlaymiz. Bu almashtirish chaqirildi universal trigonometrik almashtirish. Uning qulayligi shundan iboratki, barcha trigonometrik funktsiyalar ildizlarsiz ratsional ravishda yarim burchakning tangensi bilan ifodalanadi.
Adabiyotlar ro'yxati.
- Algebra: Darslik 9-sinf uchun. o'rtacha maktab/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovskiy. - M.: Ta'lim, 1990. - 272 b.: kasal. - ISBN 5-09-002727-7
- Bashmakov M.I. Algebra va tahlilning boshlanishi: Darslik. 10-11 sinflar uchun. o'rtacha maktab - 3-nashr. - M.: Ta'lim, 1993. - 351 b.: kasal. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra va tahlilning boshlanishi: Proc. 10-11 sinflar uchun. umumiy ta'lim muassasalar / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn va boshqalar; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14-nashr - M.: Ta'lim, 2004. - 384 pp.: kasal. - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma): Proc. nafaqa.- M.; Yuqori maktab, 1984.-351 b., kasal.
cleverstudent tomonidan mualliflik huquqi
Barcha huquqlar himoyalangan.
Mualliflik huquqi qonuni bilan himoyalangan. Saytning hech bir qismi, shu jumladan ichki materiallar va tashqi ko'rinish, mualliflik huquqi egasining yozma ruxsatisiz har qanday shaklda ko'paytirilishi yoki ishlatilishi mumkin emas.
Endi biz ko'p burchakli trigonometrik funktsiyalarni qanday chizish haqida savolni ko'rib chiqamiz ōx, Qayerda ω - ba'zi ijobiy raqam.
Funktsiyaning grafigini tuzish uchun y = gunoh ōx Keling, ushbu funktsiyani biz allaqachon o'rgangan funksiya bilan solishtiramiz y = sin x. Faraz qilaylik, qachon x = x 0 funktsiyasi y = sin x 0 ga teng qiymatni oladi. Keyin
y 0 = gunoh x 0 .
Keling, ushbu munosabatni quyidagicha o'zgartiramiz:
Shuning uchun, funktsiya y = gunoh ōx da X = x 0 / ω bir xil qiymatni oladi da 0 , bu funksiya bilan bir xil y = sin x da x = x 0 . Bu funktsiyani anglatadi y = gunoh ōx ma’nolarini takrorlaydi ω funktsiyadan ko'ra ko'proq marta y = sin x. Shuning uchun funksiyaning grafigi y = gunoh ōx funksiyaning grafigini «siqish» orqali olinadi y = sin x V ω marta x o'qi bo'ylab.
Masalan, funksiya grafigi y = gunoh 2x sinusoidni "siqish" orqali olingan y = sin x x o'qi bo'ylab ikki marta.
Funksiya grafigi y = gunoh x / 2 y = sin x sinusoidini ikki marta "cho'zish" (yoki uni "siqish" orqali" olinadi. 1 / 2 marta) x o'qi bo'ylab.
Funktsiyadan beri y = gunoh ōx ma’nolarini takrorlaydi ω
funktsiyadan ko'ra ko'proq marta
y = sin x, keyin uning davri ω
funktsiya davridan bir marta kam y = sin x. Masalan, funksiyaning davri y = gunoh 2x teng 2p/2 = π
, va funksiya davri y = gunoh x / 2
teng π
/
x/ 2
= 4p .
Funktsiyaning harakatini o'rganish qiziq y = gunoh bolta dasturda juda oson yaratilishi mumkin bo'lgan animatsiya misolidan foydalanish Chinor:
Ko'p burchakli boshqa trigonometrik funktsiyalarning grafiklari ham xuddi shunday tarzda tuziladi. Rasmda funktsiyaning grafigi ko'rsatilgan y = cos 2x, bu kosinus to'lqinini "siqish" orqali olinadi y = cos x x o'qi bo'ylab ikki marta.
Funksiya grafigi y = cos x / 2 kosinus to'lqinini "cho'zish" orqali olingan y = cos x x o'qi bo'ylab ikki barobar.
Rasmda siz funktsiyaning grafigini ko'rasiz y = tan 2x, tangensoidlarni "siqish" yo'li bilan olingan y = tan x x o'qi bo'ylab ikki marta.
Funksiya grafigi y = tg x/ 2 , tangensoidlarni "cho'zish" yo'li bilan olingan y = tan x x o'qi bo'ylab ikki barobar.
Va nihoyat, dastur tomonidan amalga oshirilgan animatsiya Chinor:
Mashqlar
1. Bu funksiyalarning grafiklarini tuzing va bu grafiklarning koordinata o‘qlari bilan kesishgan nuqtalarining koordinatalarini ko‘rsating. Ushbu funktsiyalarning davrlarini aniqlang.
A). y = gunoh 4x/ 3 G). y = tan 5x/ 6 va). y = cos 2x/ 3
b). y= cos 5x/ 3 d). y = ctg 5x/ 3 h). y=ctg x/ 3
V). y = tan 4x/ 3 e). y = gunoh 2x/ 3
2. Funksiyalarning davrlarini aniqlang y = gunoh (px) Va y = tg (px/2).
3. Barcha qiymatlarni -1 dan +1 gacha (shu jumladan ushbu ikkita raqam) qabul qiladigan va 10-davr bilan davriy ravishda o'zgarib turadigan funktsiyalarga ikkita misol keltiring.
4 *. 0 dan 1 gacha bo'lgan barcha qiymatlarni (shu jumladan ushbu ikkita raqamni) qabul qiladigan va davriy ravishda nuqta bilan o'zgarib turadigan funktsiyalarga ikkita misol keltiring. p/2.
5. Barcha haqiqiy qiymatlarni oladigan va 1-davr bilan davriy ravishda o'zgarib turadigan funktsiyalarga ikkita misol keltiring.
6 *. Barcha salbiy qiymatlarni va nolni qabul qiladigan, lekin ijobiy qiymatlarni qabul qilmaydigan va vaqti-vaqti bilan 5 davr bilan o'zgarib turadigan funktsiyalarga ikkita misol keltiring.
