Kolmogorov-Smirnovning moslik testi populyatsiyaning taqsimlanishini baholash usulidir. Psixologiya va ijtimoiy fanlar bo'yicha SPSS Kolmogorov mezoniga misol

Psixologiya bo'yicha kurs va dissertatsiyalarni himoya qilish tajribamdan men maqolalarda bir qator keng tarqalgan va makkor xatolarni ko'rdim. Men bunday xatolardan ogohlantiruvchi matn yozishni o'yladim. Statistikalar tekshirib ko'rsa, minnatdor bo'lardim.

Bir vaqtning o'zida juda ko'p narsalarni tashlamaslik uchun, faqat birinchi besh ball.

1. Agar Kolmogorov-Smirnov mezoniga ko'ra, p-qiymati 0,05 (yoki 0,1) dan katta bo'lsa - taqsimot normal bo'lsa, parametrik usullardan foydalanish mumkin.

Kolmogorov-Smirnov testi ikkita taqsimot shakli o'rtasidagi farqlarning ahamiyatini baholaydi. Oddiylikni sinovdan o'tkazishda (aslida bu K-S testidan foydalanishning alohida holati), biz sizning taqsimotingiz shakli va oddiy model o'rtasidagi sezilarli farqlarni aniqlash haqida gapiramiz. Ya'ni, p-qiymati 0,05 (va hokazo) dan katta bo'lsa, "men sizning taqsimotingiz va normal taqsimotingiz o'rtasida hech qanday farq topmadim (bu darajadagi sezilarli farqlar)" deb tushunish kerak.

Va siz farqlarni topa olmaysiz, chunki qo'lda aniqlash uchun juda kam ma'lumot mavjud. Huddi tergovchi oz dalil bilan jinoyatchini topa olmaganidek. Bu masala aniq, degani emas.

Shunday qilib, Kolmogorov-Smirnov 80 ga yaqin namunada adekvat ishlay boshlaydigan ma'lumotlar hajmi jihatidan juda talabchan mezondir. Namuna qanchalik kichik bo'lsa, unga biror narsani aniqlash qiyinroq bo'ladi. Talabalar qog'ozlarida keng tarqalgan 20-40 kishilik namunalarda Kolmogorov-Smirnov testi sizning taqsimotingiz qanchalik chalkash bo'lishidan qat'i nazar, deyarli har doim "men hech qanday farqni ko'rmadim" deb aytadi.

Endi tasavvur qiling-a, talaba, birinchi navbatda, kam sonli respondentlar uchun Kolmogorov-Smirnov testini o'tkazib, normallik to'g'risida xursandchilik bilan xulosa chiqargan va parametrik usullarni qo'llashga o'ylamasdan ketganmi? Bu keyinchalik o'z ishida olgan HAMMA narsani shubha ostiga qo'yadi.

Bir necha o'nlab (lekin sezilarli darajada 80 dan kam) namunalar bilan faqat standart xatolar bilan taqqoslaganda assimetriya va kurtoz qiymatlari orqali baholanadigan ma'lumotlarning shartli normalligi haqida gapirish kerak. Agar namuna 20 ga yaqin bo'lsa, bu erda oddiylik yo'q va normal bo'lishi mumkin emas. Hech qachon. Parametrik bo'lmagan statistikaga to'g'ridan-to'g'ri o'ting.

2. Agar umumiy tadqiqot namunasi normal taqsimotni bergan bo'lsa, u holda parametrik usullardan foydalangan holda har qanday narsani har qanday narsa bilan solishtirishingiz mumkin.

Parametrik usullar uchun normal taqsimotga bo'lgan ehtiyoj ularning o'rtacha qiymatlarga (va boshqa taqsimot parametrlariga) bog'liqligi bilan bog'liq. Agar guruh normal taqsimotga ega bo'lmasa, o'rtacha ma'nosiz bo'lishi mumkin (9, 10, 11 va 130 raqamlarining o'rtacha qiymati 40 ga teng - natija o'rtacha hisoblangan raqamlarning birortasiga o'xshamaydi). Va normallik mavjud bo'lganda, o'rtacha, albatta, mazmunli bo'ladi.

Shunga ko'ra, vositalardan foydalangan holda IKKI Guruhni solishtirganda, siz ikkita ma'noli vositaga ega bo'lishingiz kerak. Uchni solishtirganda - uchta va hokazo. Agar siz ushbu umumiy namuna bo'yicha ba'zi xulosalar qilsangiz, sizga faqat umumiy namuna bo'yicha normal taqsimot kerak bo'ladi. Va parametrik usullardan foydalangan holda qancha guruhlarni o'rganasiz - bu sizda qancha (shartli) normal taqsimotlarga ega bo'lishingiz kerak.

3. Agar siz normal taqsimotni olsangiz, dispersiyani tahlil qilishingiz mumkin.

Dispersiya tahlili oddiy bo'lmagan taqsimotlarga nisbatan ozgina zaifdir (ba'zi maxsus holatlar bundan mustasno). Oddiylik uchun kichik namunalarni sinab ko'rish maqsadga muvofiqdir, ammo normallikning buzilishidan hech qanday yomon narsa bo'lmaydi.

Biroq, dispersiyani tahlil qilish ma'lumotlarga yana ikkita maxsus talabni qo'yadi. Birinchidan, guruh ichidagi tafovutlarda (Liven testi tomonidan tekshirilgan) sezilarli farqlar bo'lmasligi kerak - bu sizning guruhlaringiz hajmi jihatidan sezilarli darajada farq qilsa, bu jiddiy xavf tug'diradi. Ikkinchidan va eng muhimi, dispersiyani ko'p o'lchovli tahlil qilish omillari bir-biridan mustaqil bo'lishi kerak. Ushbu shartni buzmang, tegishli ko'rsatkichlarni omillar sifatida ishlatmang! Shunda muammoning adekvat yechimiga dispersiya tahlili bilan emas, balki faqat tizimli modellashtirish orqali erishish mumkin.

Hayotingizni osonlashtirish uchun, dispersiyani ko'p o'lchovli tahlil qilish uchun darhol yagona kompleksni kiritish yaxshiroqdir. Yagona kompleks - omillarning barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyasi bir xil kuzatuvlar soniga to'g'ri kelganda (masalan: 16 yosh o'zbek ayollari, 16 tatar yosh ayollari, 16 yosh rus ayollari, 16 o'zbek yigitlari, 16 tatar yigitlari, 16 yigitlar - Ruslar, 16 nafar keksa o‘zbek ayollari, 16 nafar keksa tatar ayollari, 16 nafar keksa rus ayollari, 16 nafar o‘zbek keksa erkaklari, 16 nafar keksa tatar erkaklari, 16 nafar keksa rus erkaklari).

5.Korrelyatsiya tahlili munosabatlarni aniqlash imkonini beradi.

"Munosabatlar" so'zi muntazam ravishda tashkil etilishi sabab va natijani aniqlashga imkon bermaydigan ishlarda uchraydi. Talabalar odatda korrelyatsiya "ta'sir" degani emasligini bilishadi, bu so'zni "munosabatlar" bilan almashtirishga harakat qilishadi.

Faqat so'zning tovushi haqida o'ylang. O'zaro aloqa. Ya'ni, har ikki yo'nalishda aloqa. Agar A B bilan o'zaro bog'langan bo'lsa, bu A orqali B ga qandaydir ta'sir ko'rsatadi va ayni paytda B orqali A ga qandaydir ta'sir borligini bildiradi. Agar korrelyatsiya hatto bir yo'nalishdagi ta'sirni tasdiqlay olmasa, nima deb o'ylaysiz? , bu har ikki tomonning ta'sirini tasdiqlay oladimi?

Korrelyatsiya o'zaro ta'sirni EMAS, ODDIY BOG'LANISHNI ko'rsatadi. Bu ikki tomonlama bo'lishi shart emas. Ulanish qat'iy bir tomonlama bo'lishi mumkin: faqat X hech qanday aloqasiz Y ga ta'sir qiladi. Yoki aksincha: faqat Y X ga ta'sir qiladi. O'zaro munosabatlar haqiqatan ham o'zaro bo'lishi mumkin. Umuman olganda, X va Y bir-biriga bevosita ta'sir qilmasa, u faqat uchinchi Z tomonidan vositachilik qilishi mumkin. Mayersning darsligida aytilishicha, qabr toshlarining balandligi umr ko'rgan yillar soniga juda bog'liq, chunki inson qancha uzoq yashasa, u shunchalik boy bo'ladi va qarindoshlari shunchalik hashamatli yodgorlikni buyurtma qilishadi (bu G'arb mamlakatlariga tegishli, albatta). . Korrelyatsiya bir tomonlama ta'sir, ikki tomonlama yoki bilvosita ta'sir holatlarini ajratmasdan, qandaydir bog'liqlikni ko'rsatadi. Va faqat o'zaro bog'liqlikka ega bo'lgan "munosabatlar" haqida gapirish, "ta'sir" haqida gapirishdan ko'ra ko'proq asosli emas.

Statistikani tavsiflash bosqichida xato sof lingvistik bo'lib, osongina tuzatiladi. Muammolar, talqin qilish bosqichida, odam munosabatlarni isbotlaganiga ishonib, X va Y ning o'zaro munosabatlari haqida gapira boshlaganda paydo bo'ladi.

Kolmogorov-Smirnov mezoni. Namuna bir xilligi gipotezasini tekshirish

Nazariy taqsimot funksiyalari noma'lum bo'lgan populyatsiyalardan olingan ikkita mustaqil namuna bo'lsin va .

Tekshirilayotgan nol gipoteza raqobatdoshga qarshi. Biz va funktsiyalarni uzluksiz deb hisoblaymiz va taxmin qilish uchun statistikadan foydalanamiz Kolmogorov - Smirnova.

Kolmogorov-Smirnov mezoni Kolmogorov mezoni bilan bir xil fikrdan foydalanadi. Biroq, farq shundaki, Kolmogorov testi empirik taqsimot funktsiyasini nazariy bilan taqqoslaydi, Kolmogorov-Smirnov testi esa ikkita empirik taqsimot funktsiyasini taqqoslaydi.

Kolmogorov-Smirnov testining statistikasi quyidagi shaklga ega:

, (9.1)

bu yerda va - hajmli va ikkita namunadan tuzilgan empirik taqsimot funksiyalari.

Statistikaning haqiqiy kuzatilgan qiymati kritik qiymatdan katta bo'lsa, gipoteza rad etiladi, ya'ni. , va boshqacha qabul qilinadi.

Kichik namuna o'lchamlari uchun berilgan test ahamiyatlilik darajalari uchun kritik qiymatlarni maxsus jadvallarda topish mumkin. Qachon (va amalda qachon) statistikani taqsimlash statistika uchun Kolmogorov taqsimotiga qisqartiriladi. Bunday holda, agar haqiqiy kuzatilgan qiymat kritik qiymatdan katta bo'lsa, gipoteza ahamiyatlilik darajasida rad etiladi, ya'ni. , va boshqacha qabul qilinadi.

1-misol.^ IKKI NAMUNLARNING BIR TO'G'LIGINI TEKSHIRISH

Kam vaznli shaxslarni aniqlash maqsadida chakana savdo shoxobchalarida ikkita tekshiruv o‘tkazildi. Olingan natijalar jadvalda umumlashtiriladi:

Yechim:

va - 1 va 2 namunalarning to'plangan chastotalarini belgilaymiz;
, mos ravishda ularning empirik taqsimot funktsiyalarining qiymatlari. Qayta ishlangan natijalarni jadvalda umumlashtiramiz:

10	3	5	0.027	0.050	0.023
20	13	17	0.118	0.170	0.052
30	28	25	0.254	0.250	0.004
40	48	50	0.436	0.500	0.064
50	60	60	0.545	0.600	0.055
60	65	68	0.591	0.680	0.089
70	90	88	0.818	0.880	0.072
80	105	95	0.955	0.950	0.005
90	110	100	1.000	1.000	0.000

^

STATISTIK MUSTAQILLIK VA TRENDNI ANGILASH

Bunday tadqiqotlar odatda asosda amalga oshiriladi tarqatishdan ozod yoki Parametrik bo'lmagan usullar, unda o'rganilayotgan ma'lumotlarning taqsimot funksiyasi bo'yicha hech qanday taxminlar mavjud emas.
^

Seriya mezoni

^ Seriya - bir xil turdagi kuzatishlar ketma-ketligi, oldidan va keyin qarama-qarshi turdagi kuzatishlar yoki umuman kuzatilmaydi.

Berilgan ketma-ketlikda kuzatishlar soni ga teng; va epizodlar soni ga teng.

Agar kuzatishlar ketma-ketligi bir xil tasodifiy o'zgaruvchining mustaqil natijalaridan iborat bo'lsa, ya'ni. agar individual natijalar ehtimoli [(+) yoki (-)] kuzatuvdan kuzatishga o'zgarmasa, ketma-ketlikdagi qatorlar sonining tanlanma taqsimoti o'rtacha va dispersiyaga ega tasodifiy o'zgaruvchidir:

(9.2)

(9.3)

Bu erda natijalar soni (+) va natijalar soni (-), tabiiy ravishda. Maxsus holatda, agar , keyin:

. (9.4)

Faraz qilaylik, kuzatishlar ketma-ketligida tendentsiya mavjudligiga shubha qilish uchun asos bor, ya'ni. yuzaga kelish ehtimoli (+) yoki (-) kuzatuvdan kuzatishga qarab farq qiladi, deb hisoblash uchun asos bor. Trend mavjudligini quyidagicha tekshirish mumkin. Nol gipoteza sifatida qabul qilaylik, hech qanday tendentsiya yo'q, ya'ni. Faraz qilaylik, kuzatishlar bir xil tasodifiy o'zgaruvchining mustaqil natijalaridir. Keyin gipotezani har qanday zaruriy ahamiyatga ega bo'lgan holda tekshirish uchun gipotezani qabul qilish sohasining chegaralari bilan kuzatilgan qatorlar sonini va ga teng bo'lgan holda solishtirish kerak.

Agar kuzatilgan yugurishlar soni gipotezani qabul qilish doirasidan tashqarida bo'lsa, unda nol gipoteza ahamiyatlilik darajasi bilan rad etilishi kerak. Aks holda, nol gipoteza qabul qilinishi mumkin.

2-misol.^ SERIAL MEZONLARINI QO'LLASH

Mustaqil kuzatishlar ketma-ketligi mavjud:

Ma'lumotlarni tahlil qilish natijasida biz qiymat mediana ekanligini aniqlaymiz. Keyin , uchun (+) belgisini kiritamiz. Shunday qilib, biz olamiz:

Bizning misolimizda va gipotezani qabul qilish sohasi quyidagi shaklga ega:

.

Biz statistik jadvallardan topamiz. Chunki

Mezon ikkita taqsimotni solishtirish uchun mo'ljallangan: nazariy bilan empirik, masalan, bir xil yoki oddiy; bitta empirik taqsimot bilan boshqa empirik taqsimot.

Mezon ikkita taqsimot o'rtasidagi to'plangan tafovutlar yig'indisi eng katta bo'lgan nuqtani topishga va bu nomuvofiqlikning ishonchliligini baholashga imkon beradi.

Ya'ni, birinchi navbatda chastotalar birinchi raqam bilan, so'ngra birinchi va ikkinchi raqamlar yig'indisi bilan, so'ngra birinchi, ikkinchi va uchinchi raqamlar yig'indisi va boshqalar bilan taqqoslanadi. Shunday qilib, berilgan raqam uchun to'plangan chastotalar taqqoslanadi. har safar.

Agar ikkala taqsimot o'rtasidagi farqlar sezilarli bo'lsa, u holda bir nuqtada to'plangan chastotalardagi farq kritik qiymatga etadi, bu farqlarni statistik ahamiyatga ega deb tan olish uchun asos bo'lib xizmat qiladi. Bu farq l mezoni uchun formulaga kiritilgan. l ning empirik qiymati qanchalik katta bo'lsa, farqlar shunchalik muhim bo'ladi.

Kolmogorov-Smirnov testining cheklovlari

1. Mezon namunaning etarlicha katta bo'lishini talab qiladi. Ikki empirik taqsimotni solishtirganda, n 1,2 ≥ 50 bo'lishi kerak. Empirik taqsimotni nazariy bilan solishtirishga ba'zan n ≥ 5 uchun ruxsat beriladi (Van der Waerden B.L., 1960; Gubler E.V., 1978).

2. Kategoriyalar har qanday atributning o'sish yoki kamayish tartibida tartiblangan bo'lishi kerak. Ular, albatta, bir tomonlama o'zgarishlarni aks ettirishi kerak. Misol uchun, siz haftaning kunlarini, terapiya kursini tugatgandan so'ng 1, 2, 3 oylarni, tana haroratining ko'tarilishini, etishmovchilik hissi va boshqalarni oqindi sifatida qabul qilishingiz mumkin. Shu bilan birga, agar biz ma'lum ketma-ketlikda joylashadigan zaryadlarni olsak, u holda chastotalar to'planishi faqat razryadlarning tasodifiy yaqinligining ushbu elementini aks ettiradi. Masalan, agar Gekxauzen usulida oltita ogohlantiruvchi rasm turli sub'ektlarga turli tartibda taqdim etilsa, standart to'plamning 1-rasmidan 2-rasmga o'tish paytida reaktsiyalarning to'planishi haqida gapirish mumkin emas va hokazo. "Tug'ilish tartibi", "millat", "qabul qilingan ta'limning o'ziga xos xususiyatlari" va boshqalarni taqqoslashda belgining bir tomonlama o'zgarishi haqida gapirish mumkin emas. Ushbu ma'lumotlar nominativ shkalalarni ifodalaydi: ular atributda aniq bir tomonlama o'zgarishlarni o'z ichiga olmaydi.

Shunday qilib, faqat sifat jihatidan farq qiladigan va tartib shkalasini ifodalamaydigan toifalarda chastotalarni to'plash mumkin emas. Kategoriyalar har qanday atributning o'sish yoki kamayish tartibida tartiblanmagan barcha holatlarda, u quyidagicha bo'ladi.

Kolmogorov-Smirnov mezonini avtomatik hisoblash

Mezon bo'yicha ma'lumotlarni hisoblash uchun siz:

JavaScript-ni qo'llab-quvvatlashni yoqish;

Taqqoslanadigan taqsimot turini tanlang: “nazariy bilan empirik” yoki “empirik bilan empirik”;

Raqamlar ma'lumotlarini (ko'paytirish yoki kamaytirish uchun), chastotani kiriting. Ma'lumotlar har bir satrga bitta raqam kiritilishi kerak, bo'sh joy, qoldirmaslik va hokazolarsiz, faqat raqamlarni kiriting;

"2-qadam" tugmasini bosish orqali hisob-kitoblarni bajaring.

Skriptning noto'g'ri ishlashi (hisob-kitoblardagi xatolar va boshqalar) bo'lsa, biz sizdan so'raymiz.

Oddiy gipoteza uchun Kolmogorov mezoni taqsimot qonunining turi haqidagi gipotezani tekshirishning eng oddiy mezoni hisoblanadi. U empirik taqsimot funktsiyasini taqsimlash funktsiyasi bilan bog'laydi
uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X.

Mayli
- noma'lum uzluksiz taqsimot funktsiyasi bo'lgan taqsimotdan ma'lum bir namuna
Va
- empirik taqsimot funksiyasi. Oddiy gipoteza ilgari suriladi
:
(muqobil :
,
).

Kolmogorov mezonining mohiyati shundan iboratki, funktsiya e'tiborga olinadi

(7)

chaqirdi Kolmogorov statistikasi, empirik taqsimot funktsiyasining maksimal og'ishini ifodalaydi
gipotetik (ya'ni mos keladigan nazariy) taqsimot funktsiyasidan
.

Kolmogorov buni qachon isbotladi
tasodifiy o'zgaruvchilar taqsimot qonuni
taqsimot turidan qat'iy nazar c. V. X uchun intiladi Kolmogorov tarqatish qonuni:

Qayerda K(x)- Jadval tuzilgan Kolmogorov taqsimlash funktsiyasi, undan allaqachon hisob-kitoblar uchun foydalanish mumkin. P≥ 20:

Biz topamiz shu kabi

Tenglamani ko'rib chiqing
Kolmogorov funktsiyasidan foydalanib, biz qiymatni topamiz (root ) bu tenglama. Keyin, Kolmogorov teoremasi bo'yicha,

qayerda

Agar
, keyin gipoteza rad etish uchun hech qanday sabab yo'q; aks holda rad etiladi.

3-misol. Tanga 4040 marta tashlandi (Buffon). bor
gerbning yo'qolishi va
panjara tushishi. Foydalanishni tekshiring

a) Kolmogorov mezoni;

b) Pirson mezoni, bu ma'lumotlar gipotezaga mos keladimi tanga simmetriyasi haqida (
0.05).

Tasodifiy qiymat X ikkita qiymatni oladi:
(panjara);
(gerb). Gipoteza :.

a) Kolmogorov taqsimot jadvalidan foydalanib, tenglamaning ildizini topamiz
da
. kerak
. Keyin

Namuna bo'yicha topish uchun qurilish funktsiyalari
Va
va qiymatini hisoblang
.

Maksimal og'ish
dan
0,007 ga teng, ya'ni. = 0,007. Chunki
, keyin gipotezani rad qilish uchun hech qanday sabab yo'q
; eksperimental ma'lumotlar gipoteza bilan mos keladi
tanga simmetriyasi haqida.

b) ch 2 statistikasini hisoblang

Jadvalga ko'ra
taqsimotning kritik nuqtasini topamiz
Chunki
, keyin eksperimental ma'lumotlar tanganing simmetriyasi haqidagi gipotezaga mos keladi.

7. Smirnovning bir xillik mezoni

Ikki yoki undan ortiq namunalarning bir xilligi haqidagi (2) (20.2-bandga qarang) gipotezalarini sinab ko'rish uchun foydalaning. bir xillik mezoni:

Bu erda biz ikkita namuna uchun ushbu mezonning alohida holati bilan cheklanamiz (ya'ni.
). Smirnovning bir xillik mezoni kritik statistika sifatida qo'llaniladi, u quyidagi shaklga ega:

(9)

Qayerda
namunaviy elementlar soni;
mos ravishda kiritilgan birinchi va ikkinchi namunalar elementlari soni
th interval.

Agar gipoteza to'g'ri bo'lsa
kattalik qonun hujjatlariga muvofiq taxminan taqsimlanadi Bilan
erkinlik darajasi. Gipoteza agar rad etilgan
yoki
Va mezonning boshqa barcha qiymatlari uchun qabul qilinadi.

Quyidagi ishlab chiqarish muammosini ko'rib chiqing.

4-misol. Quyidagi jadval ko'rsatilgan shartli ma'lumotlar ikki turdagi korxonalar ishchilarining ish haqi bo'yicha: to'qimachilik va mashinasozlik sanoati, sotsiologik so'rov natijasida olingan. Ikki namunaning hajmlari quyidagicha ifodalanadi
.

Yechim. Keling, gipotezani tekshiramiz (ahamiyat darajasida
) tahlil qilinayotgan tarmoqlarda ish haqining ehtimollik taqsimoti bir-biridan farq qilmasligi.

Qiymatning keyingi hisob-kitoblari jadvaldagi ma'lumotlarni hisobga olgan holda Smirnov mezon formulasi (9) bo'yicha

(10)

Mashq qilish. Ushbu tenglamani o'zingiz tekshiring.

Qiymatlar jadvalidan -tarqatish (ilovaga qarang) biz muhim nuqtani aniqlaymiz:
. Binobarin, ikki sohada ish haqini taqsimlash ehtimolining mos kelishi haqidagi gipotezani rad qilish kerak, chunki
. Bunday holda, qabul qilinadigan xatolik ehtimoli 0,05 ga teng.

Smirnovning bir xillik mezoniga ishora qiladi Parametrik bo'lmagan testlar(Pirson mezonidan farqli o'laroq), chunki unda ishlatiladigan tanqidiy statistik ma'lumotlar tasodifiy o'zgaruvchining qonunini taqsimlash bo'yicha bizning taxminlarimizga hech qanday bog'liq emas.

Mezonni qo'llash uchun A.N. Kolmogorov ED variatsion seriyalar shaklida taqdim etilishi kerak (EDni toifalarga birlashtirish mumkin emas). Nazariy o'rtasidagi nomuvofiqlik o'lchovi sifatida F(x) va empirik F*n(x) uzluksiz tasodifiy X ning taqsimlash funktsiyalari maksimal farq modulidan foydalanadi

A.N. Kolmogorov taqsimlash funktsiyasi qanday bo'lishidan qat'iy nazar isbotladi F(x) miqdorlar X kuzatuvlar sonining cheksiz ortishi bilan n, tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi d n taqsimot funksiyasiga asimptotik yondashadi

Boshqacha qilib aytganda, A.N.ning mezoni. Kolmogorov miqdorning ehtimolini tavsiflaydi d n parametrdan oshmaydi l har qanday nazariy taqsimot funksiyasi uchun. Muhimlik darajasi a shartdan tanlanadi

funksiyalar o'rtasida moslik mavjud bo'lganda bu tenglikni olish deyarli mumkin emas degan taxmin tufayli F(x) Va F*n(x). Mezon A.N. Kolmogorov kichik namunalar bo'yicha taqsimlanishning izchilligini tekshirishga imkon beradi, bu chi-kvadrat testidan ko'ra sodda, shuning uchun u ko'pincha amalda qo'llaniladi. Ammo ikkita holatni hisobga olish kerak.

1. Uni qo'llash shartlariga muvofiq quyidagi nisbatdan foydalanish kerak

2. Mezonni qo'llash shartlari nazariy taqsimot funktsiyasi to'liq ma'lum bo'lishini ta'minlaydi - funksiya turi va uning parametrlarining qiymatlari ma'lum. Amalda, parametrlar odatda noma'lum va EDdan taxmin qilinadi. Ammo mezon asl namuna uchun taqsimot parametrlarini baholashda erkinlik darajalari sonining pasayishini hisobga olmaydi. Bu nol gipotezaga mos kelish ehtimolini ortiqcha baholashga olib keladi, ya'ni. ED ga yomon mos keladigan gipotezani ishonchli deb qabul qilish xavfi ortadi (II turdagi xato qilish ehtimoli ortadi). Bunday xulosaga qarshi chora sifatida a ahamiyatlilik darajasini 0,1 - 0,2 ga teng qilib oshirish kerak, bu ruxsat etilgan og'ishlar zonasining pasayishiga olib keladi.

Gipotezani tekshirishda harakatlar ketma-ketligi quyidagicha.

1. Variatsion qatorni tuzing.

2. Empirik taqsimot funksiyasini chizing F*(x).

3. Gipotezani ilgari suring:

H 0: F(x) = F 0(x) ,

H 1: F(x) F 0(x) ,

Qayerda F 0(x) - tipik qonunning nazariy taqsimot funktsiyasi: bir xil, ko'rsatkichli yoki normal. Quyida hisoblash uchun formulalar keltirilgan F 0(x).

Yagona qonun

eksponensial qonun

5. Grafikdan foydalanib, funksiyalar orasidagi maksimal mutlaq chetlanishni aniqlang F*n(x) Va F 0(x).

6. Mezon qiymatini hisoblang

7. U yoki bu darajadagi muhimlik qabul qilinadi (ko'pincha 0,05 yoki 0,01). Keyin ishonch ehtimoli = 1 - .

8. Kolmogorov ehtimollik jadvalidan kritik qiymatni tanlang.

9. Agar > bo'lsa, nol gipoteza H 0 rad etilgan, aks holda u noto'g'ri bo'lishi mumkin bo'lsa-da, qabul qilinadi.

Kolmogorov mezonining 2-mezonga nisbatan afzalliklari: juda kichik namuna o'lchamlari bilan qo'llash imkoniyati ( n< 20) , более высокая "чувствительность", а следовательно, меньшая трудоемкость вычислений.

Kamchilik: agar parametrlar bo'lsa, mezondan foydalanish mumkin Q 1, ..., Qk taqsimotlari oldindan ma'lum va empirik taqsimot funktsiyasi F*(x) ga muvofiq qurilishi kerak guruhlanmagan namuna ma'lumotlari.

Misol 3.3 . Kolmogorov mezonidan foydalanib, yagona taqsimot qonuni gipotezasini sinab ko'ring R(0,5; 5,25) tanlanma hajmi 10 uchun tasodifiy miqdor: 2,68 1,83 2,90 1,03 0,90 4,07 5,05 0,94 0,71 1,16, ahamiyatlilik darajasi 0 ,5.

Yechim . Ushbu namunaning variatsion seriyasi quyidagi shaklga ega:

0,71 0,90 0,94 1,03 1,16 1,83 2,68 2,90 4,07 5,05.

Shundan so'ng biz empirik taqsimot funktsiyasini chizamiz F*(x).

Nazariy taqsimot funksiyasi F 0(x) yagona qonun R(0,5;5,25) teng

Grafiklar orasidagi mutlaq qiymatdagi maksimal farq F*(x) Va F 0(x) 0,36 at ga teng X= 1,16.

Keling, statistikaning qiymatini hisoblaylik

Kolmogorov jadvalidan biz kritik qiymatni tanlaymiz< 1,36 , то гипотеза о равномерном законе распределения принимается.