Yuqori tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalarni Lagranj usulida yechish. ODE

Endi chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamani ko'rib chiqaylik
. (2)
y 1 ,y 2 ,.., y n asosiy yechimlar sistemasi boʻlsin va mos keladigan bir jinsli L(y)=0 tenglamaning umumiy yechimi boʻlsin. Birinchi tartibli tenglamalar holatiga o'xshab, (2) tenglamaning yechimini shaklda izlaymiz.
. (3)
Keling, ushbu shakldagi yechim mavjudligini tekshiramiz. Buning uchun funksiyani tenglamaga almashtiramiz. Bu funksiyani tenglamaga almashtirish uchun uning hosilalarini topamiz. Birinchi hosila
. (4)
Ikkinchi hosilani hisoblashda (4) ning o'ng tomonida to'rtta atama paydo bo'ladi, uchinchi hosilani hisoblashda sakkizta had va hokazo. Shuning uchun keyingi hisob-kitoblar qulayligi uchun (4) ning birinchi hadi nolga teng deb qabul qilinadi. Buni hisobga olgan holda, ikkinchi hosila tengdir
. (5)
Avvalgi kabi sabablarga ko'ra (5) da biz birinchi hadni nolga tenglashtirdik. Nihoyat, n-chi hosila
. (6)
Olingan lotin qiymatlarini asl tenglamaga almashtirib, biz bor
. (7)
(7) dagi ikkinchi had nolga teng, chunki y j , j=1,2,...,n funksiyalar mos L(y)=0 bir jinsli tenglamaning yechimlaridir. Oldingi bilan birlashtirib, biz C" j (x) funktsiyalarini topish uchun algebraik tenglamalar tizimini olamiz.
(8)
Bu sistemaning determinanti L(y)=0 mos keladigan bir jinsli tenglamaning y 1 ,y 2 ,..,y n asosiy yechimlar sistemasining Vronskiy determinantidir va shuning uchun nolga teng emas. Shuning uchun tizimning yagona yechimi mavjud (8). Uni topib, biz C "j (x), j=1,2,…,n funktsiyalarini olamiz va natijada C j (x), j=1,2,...,n Bu qiymatlarni o'rniga qo'yamiz. (3), chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamaning yechimini olamiz.
Ta'riflangan usul ixtiyoriy doimiyni o'zgartirish usuli yoki Lagranj usuli deb ataladi.

№1 misol. y "" + 4y" + 3y \u003d 9e -3 x tenglamaning umumiy yechimini topamiz. Tegishli bir hil y "" + 4y" + 3y \u003d 0 tenglamasini ko'rib chiqing. Uning xarakteristik tenglamasining ildizlari r 2 + 4r + 3 \u003d 0 -1 va - 3 ga teng. Demak, bir jinsli tenglamaning asosiy yechimlar sistemasi y 1 = e - x va y 2 = e -3 x funksiyalardan iborat. Biz y \u003d C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x ko'rinishidagi bir hil bo'lmagan tenglamaning yechimini qidirmoqdamiz. C " 1 , C" 2 hosilalarini topish uchun (8) tenglamalar tizimini tuzamiz.
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 e -x -3C′ 2 e -3x =9e -3x
yechish, biz topamiz , Olingan funksiyalarni integrallash, biz bor
Nihoyat, olamiz

№2 misol. O'zgarmas koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarni ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli bilan yeching:

y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

Yechim:
Bu differentsial tenglama doimiy koeffitsientli chiziqli differensial tenglamalarga tegishli.
Tenglama yechimini y = e rx ko rinishda izlaymiz. Buning uchun biz doimiy koeffitsientli chiziqli bir hil differentsial tenglamaning xarakteristik tenglamasini tuzamiz:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Xarakteristik tenglamaning ildizlari: r 1 = 4, r 2 = 2
Demak, asosiy yechimlar sistemasi funksiyalardir: y 1 =e 4x , y 2 =e 2x.
Bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko‘rinishga ega: y =C 1 e 4x +C 2 e 2x
Ixtiyoriy doimiyni o'zgartirish usuli bilan ma'lum bir yechimni qidiring.
C "i" ning hosilalarini topish uchun biz tenglamalar tizimini tuzamiz:
C′ 1 e 4x +C′ 2 e 2x =0
C' 1 (4e 4x) + C' 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Birinchi tenglamadan C" 1 ni ifodalang:
C" 1 \u003d -c 2 e -2x
va ikkinchisiga almashtiring. Natijada biz quyidagilarni olamiz:
C" 1 \u003d 2 / (e 2x + 2e 4x)
C" 2 \u003d -2e 2x / (e 2x + 2e 4x)
Olingan C" i funktsiyalarini birlashtiramiz:
C 1 = 2ln (e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

y \u003d C 1 e 4x + C 2 e 2x bo'lgani uchun, natijada olingan iboralarni quyidagi shaklda yozamiz:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Shunday qilib, differentsial tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko'rinishga ega:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
yoki
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Biz quyidagi shartlar asosida maxsus yechim topamiz:
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

Topilgan tenglamaga x = 0 ni almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Olingan umumiy yechimning birinchi hosilasini topamiz:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
x = 0 ni almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:
y'(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Biz ikkita tenglama tizimini olamiz:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10ln(3) -4 = 10ln3
yoki
C * 1 + C * 2 = 2
4C1 + 2C2 = 4
yoki
C * 1 + C * 2 = 2
2C1 + C2 = 2
Kimdan: C 1 = 0, C * 2 = 2
Muayyan yechim quyidagicha yoziladi:
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

Lagranj konstantalarini o'zgartirish usuli bilan doimiy koeffitsientli yuqori tartibli chiziqli bir hil bo'lmagan differensial tenglamalarni yechish usuli ko'rib chiqiladi. Agar bir jinsli tenglama yechimlarining asosiy tizimi ma'lum bo'lsa, Lagranj usuli har qanday chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamalarni echishda ham qo'llaniladi.

Shuningdek qarang:

Lagrange usuli (konstantalarni o'zgartirish)

Ixtiyoriy n-tartibli doimiy koeffitsientli chiziqli bir jinsli differensial tenglamani ko'rib chiqing:
(1) .
Birinchi tartibli tenglama uchun biz ko'rib chiqqan doimiy o'zgarishlar usuli yuqori tartibli tenglamalarga ham tegishli.

Yechim ikki bosqichda amalga oshiriladi. Birinchi bosqichda biz o'ng tomonni tashlaymiz va bir hil tenglamani echamiz. Natijada n ixtiyoriy konstantadan iborat yechimga erishamiz. Ikkinchi bosqichda biz konstantalarni o'zgartiramiz. Ya'ni, bu konstantalarni mustaqil x o'zgaruvchining funksiyalari deb hisoblaymiz va bu funksiyalarning shaklini topamiz.

Garchi biz bu erda doimiy koeffitsientli tenglamalarni ko'rib chiqsak ham, lekin Lagranj usuli har qanday chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamalarni yechishda ham qo'llaniladi. Buning uchun esa bir jinsli tenglamaning asosiy yechimlar sistemasi ma'lum bo'lishi kerak.

1-qadam. Bir jinsli tenglamani yechish

Birinchi tartibli tenglamalarda bo'lgani kabi, biz birinchi navbatda bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini qidiramiz, to'g'ri bir jinsli bo'lmagan qismni nolga tenglashtiramiz:
(2) .
Bunday tenglamaning umumiy yechimi quyidagi shaklga ega:
(3) .
Bu erda ixtiyoriy doimiylar; - bir jinsli (2) tenglamaning n chiziqli mustaqil yechimlari, bu tenglamaning asosiy yechimlar tizimini tashkil qiladi.

Qadam 2. Konstantalarni o'zgartirish - doimiylarni funksiyalar bilan almashtirish

Ikkinchi bosqichda biz konstantalarning o'zgarishi bilan shug'ullanamiz. Boshqacha qilib aytganda, konstantalarni x mustaqil o'zgaruvchining funktsiyalari bilan almashtiramiz:
.
Ya'ni, biz (1) dastlabki tenglamaning yechimini quyidagi shaklda qidiramiz:
(4) .

Agar (4) ni (1) ga almashtirsak, n ta funksiya uchun bitta differensial tenglamani olamiz. Bunday holda, biz ushbu funktsiyalarni qo'shimcha tenglamalar bilan bog'lashimiz mumkin. Shunda siz n ta tenglama olasiz, ulardan n ta funktsiyani aniqlashingiz mumkin. Qo'shimcha tenglamalar tuzilishi mumkin turli yo'llar bilan. Lekin biz buni shunday qilamizki, yechim eng oddiy shaklga ega bo'ladi. Buning uchun farqlashda funksiyalarning hosilalarini o'z ichiga olgan hadlarni nolga tenglashtirish kerak. Keling, buni namoyish qilaylik.

Taklif etilayotgan yechimni (4) asl tenglamaga (1) almashtirish uchun (4) shaklda yozilgan funksiyaning birinchi n ta tartibli hosilalarini topishimiz kerak. Yig'indi va ko'paytmani farqlash qoidalarini qo'llash orqali (4) farqlang:
.
Keling, a'zolarni guruhlaymiz. Birinchidan, ning hosilalari bilan atamalarni, keyin esa hosilalari bilan atamalarni yozamiz:

.
Biz funktsiyalarga birinchi shartni qo'yamiz:
(5.1) .
Keyin birinchi hosila uchun ifoda oddiyroq shaklga ega bo'ladi:
(6.1) .

Xuddi shu tarzda, biz ikkinchi hosilani topamiz:

.
Biz funktsiyalarga ikkinchi shartni qo'yamiz:
(5.2) .
Keyin
(6.2) .
Va hokazo. Qo'shimcha shartlarda biz funktsiyalarning hosilalarini o'z ichiga olgan atamalarni nolga tenglashtiramiz.

Shunday qilib, funktsiyalar uchun quyidagi qo'shimcha tenglamalarni tanlasak:
(5.k) ,
u holda birinchi hosilalar eng oddiy shaklga ega bo'ladi:
(6,k) .
Bu yerga .

n-chi hosilani topamiz:
(6.n)
.

Dastlabki tenglamani (1) almashtiramiz:
(1) ;






.
Biz barcha funktsiyalar tenglamani (2) qondirishini hisobga olamiz:
.
Keyin o'z ichiga olgan shartlar yig'indisi nolga teng. Natijada biz quyidagilarni olamiz:
(7) .

Natijada biz hosilalar uchun chiziqli tenglamalar tizimini oldik:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Bu sistemani yechib, hosilalarning x funksiyasi sifatida ifodalarini topamiz. Integratsiyalash orqali biz quyidagilarni olamiz:
.
Bu erda endi x ga bog'liq bo'lmagan doimiylar mavjud. (4) ga almashtirib, biz asl tenglamaning umumiy yechimini olamiz.

E'tibor bering, biz hech qachon a i koeffitsientlari hosilalarning qiymatlarini aniqlash uchun doimiy ekanligidan foydalanmaganmiz. Shunung uchun Lagranj usuli har qanday chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamalarni echish uchun qo'llaniladi, agar (2) bir jinsli tenglamaning asosiy yechimlar tizimi ma'lum bo'lsa.

Misollar

Konstantalarni o'zgartirish usuli (Lagranj) bilan tenglamalarni yechish.


Misollar yechimi > > >

44-ma'ruza. Ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamalar. Ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli. Doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli tenglamalar. (maxsus o'ng tomonda).

Ijtimoiy o'zgarishlar. Davlat va cherkov.

Bolsheviklarning ijtimoiy siyosati asosan ularning sinfiy yondashuvi bilan bog'liq edi. 1917 yil 10 noyabrdagi farmon bilan mulk tizimi tugatildi, inqilobdan oldingi unvonlar, unvonlar va mukofotlar bekor qilindi. Sudyalarni saylash belgilandi; fuqarolik davlatlarining sekulyarizatsiyasi amalga oshirildi. Bepul ta'lim va tibbiy yordam o'rnatildi (1918 yil 31 oktyabrdagi qaror). Ayollar erkaklar bilan huquqlar boʻyicha tenglashtirildi (1917 yil 16 va 18 dekabrdagi farmonlar). Nikoh to'g'risidagi farmonda fuqarolik nikohi instituti joriy etildi.

Xalq Komissarlari Sovetining 1918-yil 20-yanvardagi farmoni bilan cherkov davlat va taʼlim tizimidan ajratilgan. Cherkov mulkining katta qismi musodara qilindi. 1918 yil 19 yanvarda Moskva va Butun Rus Patriarxi Tixon (1917 yil 5 noyabrda saylangan) Sovet hokimiyatini anatematizatsiya qildi va bolsheviklarga qarshi kurashga chaqirdi.

Chiziqli bir jinsli bo'lmagan ikkinchi tartibli tenglamani ko'rib chiqing

Bunday tenglamaning umumiy yechimining tuzilishi quyidagi teorema bilan aniqlanadi:

Teorema 1. Bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimi (1) bu tenglamaning qandaydir xususiy yechimi va mos keladigan bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi yig'indisi sifatida ifodalanadi.

Isbot. Bu summani isbotlashimiz kerak

(1) tenglamaning umumiy yechimidir. Avval (3) funksiya (1) tenglamaning yechimi ekanligini isbotlaymiz.

o‘rniga yig‘indini (1) tenglamaga qo‘yish da, ega bo'ladi

(2) tenglamaning yechimi borligi sababli, birinchi qavslardagi ifoda xuddi shunday nolga teng. (1) tenglamaning yechimi borligi sababli, ikkinchi qavsdagi ifoda teng f(x). Demak, tenglik (4) o'ziga xoslikdir. Shunday qilib, teoremaning birinchi qismi isbotlangan.

Ikkinchi fikrni isbotlaylik: (3) ifoda umumiy(1) tenglamaning yechimi. Ushbu ifodaga kiritilgan ixtiyoriy konstantalarni dastlabki shartlar qondirilishi uchun tanlash mumkinligini isbotlashimiz kerak:

raqamlar qanday bo'lishidan qat'iy nazar x 0 , y 0 va (agar faqat x 0 funksiyalari joylashgan hududdan olingan a 1, a 2 Va f(x) davomiy).

Shaklda ifodalash mumkinligiga e'tibor qaratish. Keyin, (5) shartlarga asoslanib, biz bor

Keling, ushbu tizimni hal qilamiz va topamiz 1 dan Va 2 dan. Tizimni quyidagicha qayta yozamiz:

E'tibor bering, ushbu tizimning determinanti funktsiyalar uchun Vronskiy determinantidir 1 Va 2 da nuqtada x=x 0. Bu funksiyalar faraz bo'yicha chiziqli mustaqil bo'lganligi sababli, Wronskiy determinanti nolga teng emas; demak (6) sistemaning aniq yechimi bor 1 dan Va 2 dan, ya'ni. shunday qadriyatlar bor 1 dan Va 2 dan, buning uchun formula (3) berilgan boshlang'ich shartlarni qanoatlantiradigan (1) tenglamaning yechimini aniqlaydi. Q.E.D.

Keling, bir jinsli bo'lmagan tenglamaning alohida yechimlarini topishning umumiy usuliga murojaat qilaylik.

Bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini yozamiz (2)

Bir jinsli bo'lmagan tenglamaning (1) ma'lum bir yechimini (7) ko'rinishda qidiramiz, 1 dan Va 2 dan hali noma'lum bo'lgan ba'zi xususiyatlar kabi X.

Tenglikni farqlaylik (7):

Biz kerakli funktsiyalarni tanlaymiz 1 dan Va 2 dan shuning uchun tenglik

Agar bu qo'shimcha shart hisobga olinsa, birinchi hosila shaklni oladi

Endi bu ifodani farqlab, biz quyidagilarni topamiz:

Tenglamani (1) o'rniga qo'yib, olamiz

Birinchi ikkita qavsdagi iboralar yo'qoladi, chunki y 1 Va y2 bir jinsli tenglamaning yechimlaridir. Shuning uchun oxirgi tenglik shaklni oladi

Shunday qilib, (7) funksiya, agar funktsiyalar bo'lsa, bir hil bo'lmagan (1) tenglamaning yechimi bo'ladi 1 dan Va 2 dan(8) va (9) tenglamalarni qanoatlantiring. (8) va (9) tenglamalardan tenglamalar sistemasini tuzamiz.

Chunki bu sistemaning determinanti chiziqli mustaqil yechimlar uchun Vronskiy determinantidir y 1 Va y2 tenglama (2), u holda u nolga teng emas. Shunday qilib, tizimni hal qilishda biz ikkala ma'lum funktsiyalarni topamiz X:

Ushbu tizimni yechish orqali biz integratsiya natijasida ni topamiz. Keyinchalik, topilgan funktsiyalarni formulaga almashtiramiz, biz bir hil bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimini olamiz, bu erda ixtiyoriy doimiylar.

Ixtiyoriy doimiyni oʻzgartirish usuli yoki Lagranj usuli birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar va Bernulli tenglamasini yechishning yana bir usuli hisoblanadi.

Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar y’+p(x)y=q(x) ko’rinishdagi tenglamalardir. Agar o'ng tomoni nolga teng bo'lsa: y’+p(x)y=0, u holda bu chiziqli bir hil 1-tartibli tenglama. Shunga ko'ra, nolga teng bo'lmagan tenglama o'ng tomon, y'+p(x)y=q(x), — heterojen 1-tartibli chiziqli tenglama.

Ixtiyoriy doimiy o'zgarishlar usuli (Lagrange usuli) quyidagilardan iborat:

1) y’+p(x)y=0: y=y* bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini qidiramiz.

2) Umumiy yechimda C doimiy emas, balki x ning funksiyasi hisoblanadi: C=C(x). Umumiy yechimning hosilasini (y*)' topamiz va natijada y* va (y*)' ifodasini boshlang'ich shartga almashtiramiz. Olingan tenglamadan S(x) funksiyani topamiz.

3) Bir jinsli tenglamaning umumiy yechimida S o‘rniga topilgan C (x) ifodani qo‘yamiz.

Ixtiyoriy doimiyni o'zgartirish usuliga misollarni ko'rib chiqing. dagi kabi bir xil vazifalarni olaylik, yechim yo'nalishini solishtiramiz va olingan javoblar bir xil ekanligiga ishonch hosil qilamiz.

1) y'=3x-y/x

Keling, tenglamani standart shaklda qayta yozamiz (Bernulli usulidan farqli o'laroq, bu erda biz tenglama chiziqli ekanligini ko'rish uchun belgi kerak edi).

y'+y/x=3x (I). Endi biz reja bo'yicha ketyapmiz.

1) y’+y/x=0 bir jinsli tenglamani yechamiz. Bu ajratiladigan o'zgaruvchan tenglama. y’=dy/dx ni ifodalang, o‘rniga: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Tenglamaning ikkala qismini dx ga ko'paytiramiz va xy≠0 ga bo'lamiz: dy/y=-dx/x. Biz birlashtiramiz:

2) Bir jinsli tenglamaning olingan umumiy yechimida S ni doimiy emas, balki x ning funksiyasi deb hisoblaymiz: S=S(x). Bu yerdan

Olingan ifodalar (I) shartga almashtiriladi:

Tenglamaning ikkala tomonini birlashtiramiz:

bu erda C allaqachon yangi doimiydir.

3) Bir hil tenglamaning umumiy yechimida y \u003d C / x, biz C \u003d C (x), ya'ni y \u003d C (x) / x ni ko'rib chiqdik, C (x) o'rniga biz ni almashtiramiz. topilgan ifoda x³ + C: y \u003d (x³ +C)/x yoki y=x²+C/x. Bernulli usuli bilan yechishdagidek javob oldik.

Javob: y=x²+C/x.

2) y'+y=cosx.

Bu erda tenglama allaqachon standart shaklda yozilgan, aylantirish kerak emas.

1) y’+y=0 bir jinsli chiziqli tenglamani yechamiz: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Biz birlashtiramiz:

Qulayroq yozuvni olish uchun biz C ning ko'rsatkichini yangi C sifatida olamiz:

Bu transformatsiya hosilani topishni qulayroq qilish uchun amalga oshirildi.

2) Chiziqli bir jinsli tenglamaning olingan umumiy yechimida S ni doimiy emas, balki x ning funksiyasi deb hisoblaymiz: S=S(x). Bu shart ostida

Olingan y va y' ifodalari shartga almashtiriladi:

Tenglamaning ikkala tomonini ga ko'paytiring

Biz tenglamaning ikkala qismini ham qismlarga integratsiya formulasi yordamida integrallashamiz, biz quyidagilarni olamiz:

Bu yerda C endi funksiya emas, oddiy doimiydir.

3) Bir jinsli tenglamaning umumiy yechimiga

topilgan S(x) funksiyani almashtiramiz:

Bernulli usuli bilan yechishdagidek javob oldik.

Ixtiyoriy doimiyni o'zgartirish usuli yechish uchun ham qo'llaniladi.

y’x+y=-xy².

Tenglamani standart shaklga keltiramiz: y’+y/x=-y² (II).

1) y’+y/x=0 bir jinsli tenglamani yechamiz. dy/dx=-y/x. Tenglamaning ikkala tomonini dx ga ko'paytiring va y ga bo'ling: dy/y=-dx/x. Endi integratsiya qilaylik:

Olingan iboralarni (II) shartga almashtiramiz:

Soddalash:

Biz C va x uchun ajratiladigan o'zgaruvchilar bilan tenglama oldik:

Bu erda C allaqachon oddiy doimiydir. Integratsiya jarayonida C(x) o'rniga biz shunchaki C ni yozdik, chunki yozuvni ortiqcha yuklamaslik kerak. Va oxirida biz C(x) ni yangi C bilan aralashtirib yubormaslik uchun C(x) ga qaytdik.

3) Topilgan S(x) funksiyani y=C(x)/x bir jinsli tenglamaning umumiy yechimiga almashtiramiz:

Bernulli usuli bilan yechishdagidek javob oldik.

O'z-o'zini tekshirishga misollar:

1. Tenglamani standart shaklda qayta yozamiz: y'-2y=x.

1) y'-2y=0 bir jinsli tenglamani yechamiz. y’=dy/dx, demak, dy/dx=2y, tenglamaning har ikki tomonini dx ga ko‘paytiring, y ga bo‘ling va integrallang:

Bu yerdan biz y ni topamiz:

Shartga y va y' iboralarini almashtiramiz (qisqalik uchun C (x) o'rniga C va C "(x) o'rniga C' ni beramiz):

O'ng tomondagi integralni topish uchun biz qismlar bo'yicha integratsiya formulasidan foydalanamiz:

Endi formulada u, du va v ni almashtiramiz:

Bu erda C = const.

3) Endi biz bir hil eritmaga almashtiramiz