Ro'yxatdan o'tganlardan sharning maydonini qanday topish mumkin. Sfera, shar, segment va sektor

Biz bu erda juda oddiy, ammo unchalik qat'iy bo'lmasa-da, sharsimon sirt maydoni uchun formulani keltiramiz; g'oyasiga ko'ra u integral hisoblash usullariga juda yaqin. Shunday qilib, bizga ma'lum bir R radiusli shar berilsin. Uning yuzasida qandaydir kichik maydonni tanlaymiz (412-rasm) va tepasi O sharning markazida joylashgan piramida yoki konusni ko'rib chiqaylik, bu maydon uning asosi sifatida. ; Qat'iy aytganda, biz faqat shartli ravishda konus yoki piramida haqida gapiramiz, chunki poydevor tekis emas, balki sharsimon. Ammo agar taglikning o'lchami to'pning radiusiga nisbatan kichik bo'lsa, u tekisdan juda oz farq qiladi (masalan, unchalik katta bo'lmagan o'lchamlarni o'lchashda). yer uchastkasi tekislikda emas, balki sharda yotishiga e'tibor bermang).

Keyin, ushbu qismning maydoni orqali "piramida" asosini belgilab, biz uning hajmini poydevor maydoniga balandlikning uchdan bir qismiga ko'paytiramiz (balandlik - to'pning radiusi). :

Agar hozir to'pning butun yuzasi juda parchalanib ketgan bo'lsa katta raqam N shunday kichik maydonlar, shuning uchun to'pning hajmi N hajmli "piramidalar" ning asosi sifatida ushbu maydonlarga ega bo'lsa, butun hajm yig'indisi bilan ifodalanadi.

oxirgi summa qayerda to'liq sirt to'p:

Demak, sharning hajmi uning radiusi va sirt maydoni mahsulotining uchdan biriga teng. Demak, sirt maydoni uchun biz formulaga egamiz

Oxirgi natija quyidagicha shakllantiriladi:

Sharning sirt maydoni uning katta doirasining to'rt barobariga teng.

Yuqoridagi xulosa shar sektorining sirt maydoni uchun ham mos keladi (biz faqat asosni, ya'ni sferik sirtni yoki "qopqoqni" nazarda tutamiz; 409-rasmga qarang). Va bu holda, sektorning hajmi to'pning radiusi va uning sharsimon asosining maydoni mahsulotining uchdan biriga teng:

bu erda biz qopqoq maydoni uchun formulani topamiz

Sferik qatlamning sferik yuzasi sferik kamar deb ataladi (408-rasmga qarang). Sferik kamarning sirt maydonini hisoblash uchun biz ikkita sharsimon qopqoqning sirtlari orasidagi farqni topamiz:

qatlamning balandligi qayerda. Shunday qilib, ma'lum bir to'p uchun sharsimon kamarning sirt maydoni faqat mos keladigan qatlamning balandligiga bog'liq, lekin uning to'pdagi holatiga bog'liq emas.

Vazifa. To'pning atrofida o'ralgan konusning lateral yuzasi to'pning bir yarim yuzasiga teng maydonga ega. Agar sharning radiusi bo'lsa, konusning balandligini toping.

Yechim. Qulaylik uchun konusning balandligi va generatrix o'rtasidagi burchakni kiritamiz (413-rasm). Konusning balandligi, asos radiusi va generatrisi uchun ifodalarni topamiz

To'p - ma'lum bir radius R masofada joylashgan markaz nuqtadan cho'zilgan kosmosdagi barcha nuqtalar to'plamidir. Radius, o'z navbatida, markazni bog'laydigan segmentdir. to'p yuzasidagi har bir nuqta bilan.

Sizga kerak bo'ladi

• - to'pning sirt maydoni formulasi;
• – to‘pning hajmi formulasi;
• - arifmetik ko'nikmalar.

Ko'rsatmalar

1. IN Kundalik hayot Ko'pincha hisoblash kerak bo'ladi kvadrat sferik sirt yoki uning bir qismi, masalan, material sarfini hisoblash uchun. Hajmni hisoblab chiqqandan keyin to'p, orqali mumkin solishtirma og'irlik Sfera tarkibini tashkil etuvchi moddaning massasini hisoblang. Kashf qilish uchun kvadrat va hajmi to'p, uning radiusi yoki diametrini bilish kifoya. Bugungi maktab o'quvchilari umumta'lim maktabining 11-sinfida chiqaradigan formulalardan foydalanib, siz ushbu parametrlarni osongina hisoblashingiz mumkin.

2. Aytaylik, har bir FIFA talabiga ko'ra, futbol to'pining diametri 21,8-22,2 sm oralig'ida bo'lishi kerak, shuning uchun radius (R) 22 sm ga teng bo'ladi. 2) - 11 sm, nima bilish qiziq kvadrat futbol to'pi yuzasi?

3. Sirt maydoni formulasini oling to'p:S to'p= 4tmR2 Futbol to'pi radiusini yuqoridagi formulaga almashtiring - 11 sm S = 4 x 3,14 x 11x11.

4. Oddiy matematik operatsiyalarni bajarganingizdan so'ng, siz natijaga erishasiz: 1519.76. Shunday qilib, kvadrat Futbol to'pining yuzasi 1519,76 kvadrat santimetrni tashkil qiladi.

5. Endi to'pning hajmini hisoblang. Hajmni hisoblash uchun formulani oling to'p: V = 4/3tmR3 Yana futbol to'pi radiusi qiymatini almashtiring - 11 sm V = 4/3 x 3,14 x 11 x 11 x 11.

6. Hisob-kitoblardan so'ng, aytaylik, kalkulyatorda siz 5576,89 olasiz.

To'p - eng oddiy uch o'lchovli geometrik figura, uning o'lchamini ko'rsatish uchun har bir parametr etarli. Ushbu raqamning chegaralari odatda shar deb ataladi. Sfera bilan chegaralangan bo'sh joy hajmi tegishli yordamida hisoblanishi mumkin trigonometrik formulalar, va improvizatsiya qilingan vositalar bilan.

Ko'rsatmalar

1. Shar hajmi (V) uchun klassik formuladan foydalaning, agar uning radiusi (r) shartlardan ma'lum bo'lsa - radiusni uchinchi darajaga ko'taring, Pi soniga ko'paytiring va umumiy miqdorni yana uchdan bir qismga oshiring. Bu formulani quyidagicha yozish mumkin: V=4*?*r?/3.

2. Agar sharning diametrini (d) o'lchash mumkin bo'lsa, uni yarmiga bo'ling va oldingi bosqichdan formulada radius sifatida foydalaning. Yoki kub diametrining oltidan bir qismini Pi ga ko'paytiring: V=?*d?/6.

3. Agar shar chizilgan silindrning hajmi (v) ni bilsak, uning hajmini topish uchun silindrning ma'lum hajmining uchdan ikki qismi qanchaga teng ekanligini aniqlang: V=?*v.

4. Agar bilsak o'rtacha zichlik(p) shar qanday materialdan iborat bo'lsa va uning massasi (m), unda bu ham hajmni aniqlash uchun etarli - ikkinchisini birinchisiga bo'ling: V=m/p.

5. Sferik idishning hajmini o'lchash uchun qulay vosita sifatida ba'zi o'lchov idishlaridan foydalaning. Aytaylik, quyiladigan suyuqlik miqdorini o'lchash uchun o'lchov idishidan foydalanib, uni suv bilan to'ldiring. Olingan qiymatni litrda kubometrga aylantiring - bu birlik xalqaro SI tizimida hajmni o'lchash uchun qabul qilingan. Litrdan kubometrga o'tkazish uchun indikator sifatida 1000 raqamidan foydalaning, chunki bir litr bir kub dekimetrga teng va ularning mingtasi har bir kubometrga to'g'ri keladi.

6. Sferik jismni suyuqlik bilan to'ldirish mumkin bo'lmasa, lekin unga botirish mumkin bo'lsa, oldingi bosqichda tasvirlangan o'lchov qoidasiga qarama-qarshi o'lchov qoidasidan foydalaning. O'lchov idishini suv bilan to'ldiring, yarusni supurib, o'lchanayotgan sharsimon jismni suyuqlikka botiring va sathlar farqiga qarab, ko'chirilgan suv miqdorini aniqlang. Shundan so'ng, oldingi bosqichda ta'riflanganidek, natijada olingan jami litrdan kubometrga aylantiring.

Mavzu bo'yicha video

Ob'ektni ta'mirlash, ko'chirish, bo'yash - bularning barchasi maydonni hisoblashni talab qiladi. Maktab o'quv dasturini eslab qolish jinoyat emas.

Ko'rsatmalar

1. Keling, qaysi hudud ekanligini eslaylik. Maydoni - tekis figuraning standart figuraga nisbatan o'lchovidir. Yoki raqamli qiymati quyidagi xususiyatlarga ega bo'lgan to'g'ri qiymat: Agar raqamni ibtidoiy raqamlar bo'ladigan qismlarga bo'lish mumkin bo'lsa, unda bunday raqamning maydoni uning qismlari maydonlarining yig'indisiga teng bo'ladi. Tomoni o'lchov birligiga teng bo'lgan kvadratning maydoni bittaga teng Teng raqamlar teng maydonlarga ega Ushbu qoidalardan maydon ma'lum bir miqdor emasligi, ya'ni maydon faqat shartli miqdorni beradi. ba'zi bir raqamga solishtirish. O'zboshimchalik bilan raqamning maydonini topish kerak bo'lganda, bu raqam bir tomoni bo'lgan nechta kvadratni (birga teng) sig'dira olishini hisoblashingiz kerak.

2. Misol: Keling, bir kvadrat santimetr olti marta sig'adigan to'rtburchakni olaylik. Keyin bunday to'rtburchakning maydoni 6 sm2 ga teng bo'ladi. Agar biz qiyinroq figurani, aytaylik, trapesiyani olsak, shunday bo'ladi: Agar trapesiya shunday o'lchamda bo'lsa, kvadrat santimetr unga ikki marta to'g'ri keladi va uchinchi qismi to'liq sig'maydi va kichik uchburchak qoladi. Ushbu qolgan uchburchakning maydonini o'lchash uchun siz unga bir millimetrni olishingiz mumkin kvadrat santimetrning fraktsiyalarini qo'llashingiz kerak; To'g'ri, bu usul qiyin raqamlar uchun juda qulay emas. Shunday qilib, har xil raqamlarning maydonini hisoblash uchun turli xil formulalar mavjud. Agar siz ma'lum bir raqamning maydonini hisoblashingiz kerak bo'lsa, unda siz geometriya darsligini olishingiz va bir vaqtlar maktabda o'qigan materialni eslab qolishingiz mumkin, shuning uchun kubning maydoni uchun formula kub yuzning maydoniga ko'paytirilgan yuzlar soniga teng, ya'ni. 6*a2

Mavzu bo'yicha video

Aniq tizimning barcha sayyoralari shaklga ega to'p. Bundan tashqari, inson tomonidan yaratilgan ko'plab ob'ektlar, shu jumladan texnik qurilmalarning qismlari sferik yoki bunday shaklga yaqin. To'p, inqilobning har qanday tanasi kabi, uning diametriga to'g'ri keladigan o'qga ega. Biroq, bu istisno asosiy sifat emas to'p. Quyida buning asosiy xususiyatlari keltirilgan geometrik shakl va uning maydonini topish usuli.

Ko'rsatmalar

1. Agar siz yarim doira yoki aylana olsangiz va uni o'z o'qi atrofida aylantirsangiz, siz to'p deb ataladigan tanani olasiz. Boshqacha qilib aytganda, to'p shar bilan chegaralangan tanadir. Sfera qobiqdir to'p, va uning kesimi aylanadir. Kimdan to'p ichi bo'shligi bilan farq qiladi. Aks kabi to'p, shuning uchun sharning diametri diametriga to'g'ri keladi va markazdan o'tadi. Radius to'p uning markazidan istalgan tashqi nuqtaga chizilgan segment deyiladi. Sfera, bo'limdan farqli o'laroq to'p doiralardir. Ko'pgina sayyoralar va samoviy jismlar sferikga yaqin shaklga ega. Turli nuqtalarda to'p shakli bo'yicha bir xil, ammo o'lchamlari teng bo'lmagan, bo'limlar deb ataladigan - turli sohalardagi doiralar mavjud.

2. To'p va shar - konusdan farqli o'laroq, konus ham inqilob tanasi bo'lishiga qaramay, bir-birini almashtiradigan jismlardir. Sferik sirtlar gorizontal yoki vertikal ravishda qanday aylanishidan qat'i nazar, o'z ko'ndalang kesimida doimo aylana hosil qiladi. Konussimon sirt faqat uchburchakni asosga perpendikulyar o'qi bo'ylab aylantirish orqali olinadi. Binobarin, konus, farqli o'laroq to'p, va inqilobning almashtiriladigan tanasi hisoblanmaydi.

3. Mumkin bo'lgan eng katta doira kesish orqali olinadi to'p O markazidan o'tuvchi tekislik. O markazidan o'tuvchi barcha doiralar bir xil diametrda bir-birini kesib o'tadi. Radius har doim diametrining yarmiga teng. Sirtning istalgan joyida joylashgan ikkita A va B nuqtalari orqali to'p, cheksiz miqdordagi doiralar yoki doiralar orqali o'tishi mumkin. Aynan shuning uchun ham Yerning qutblari orqali cheksiz ko'p meridianlarni o'tkazish mumkin.

4. Hududni topishda to'p boshqalardan oldin ko'rib chiqiladi kvadrat sharsimon yuza.Maydon to'p, yoki to'g'rirog'i, uning sirtini tashkil etuvchi sharni bir xil radiusi R bo'lgan doira maydoniga qarab hisoblash mumkin. kvadrat aylananing yarim doira va radiusning ko'paytmasi bo'lib, uni quyidagi tarzda hisoblash mumkin: S = ?R^2 Chunki markaz orqali. to'p to'rtta asosiy ulkan doiralar, keyin, mos ravishda o'tadi kvadrat to'p(shar) ga teng:S = 4 ?R^2

5. Agar biz diametr yoki radiusni bilsak, bu formula mos bo'lishi mumkin to'p yoki sharlar. Biroq, bu parametrlar barcha geometrik masalalarda shart sifatida berilmaydi. Tsilindrga to'p yozib qo'yilgan muammolar ham mavjud. Bunday holda, siz Arximed teoremasidan foydalanishingiz kerak, uning mohiyati shundan iborat kvadrat yuzalar to'p silindrning umumiy yuzasidan bir yarim barobar kamroq: S = 2/3 S tsilindr, bu erda S tsilindr. - kvadrat silindrning to'liq yuzasi.

Mavzu bo'yicha video

To'p - bu geometrik musbat shakldagi eng oddiy uch o'lchovli figura, uning chegaralaridagi bo'shliqning barcha nuqtalari uning markazidan radiusdan oshmaydigan masofada chiqariladi. Markazdan eng uzoqda joylashgan ko'pchilik nuqtalardan hosil bo'lgan sirt shar deb ataladi. Sfera ichidagi bo'shliq o'lchovini miqdoriy ifodalash uchun to'pning hajmi deb ataladigan parametr beriladi.

Ko'rsatmalar

1. Agar siz to'pning hajmini nazariy jihatdan emas, balki faqat doğaçlama vositalar bilan o'lchamoqchi bo'lsangiz, buni, aytaylik, u bilan almashtirilgan suv hajmini aniqlash orqali amalga oshirish mumkin. Bu usul to'pni unga mos keladigan idishga - stakanga, stakanga, bankaga, chelakka, bochkaga, hovuzga va boshqalarga joylashtirish imkoniyati mavjud bo'lganda qo'llaniladi. Bunday holda, to'pni qo'yishdan oldin, suv qatlamini supurib tashlang, uni to'liq suvga cho'mgandan keyin yana bajaring va keyin belgilar orasidagi farqni toping. An'anaga ko'ra, zavodda ishlab chiqarilgan o'lchov idishlarida litrdagi hajmni va undan olingan birliklarni - millilitr, dekalitr va boshqalarni ko'rsatadigan bo'linmalar mavjud. Agar olingan qiymatni kubometrga va bir nechta hajm birligiga aylantirish kerak bo'lsa, unda bir litr bir kub dekimetrga yoki kub metrning mingdan biriga to'g'ri kelishidan boshlang.

2. Agar to'p yasalgan material ma'lum bo'lsa va bu materialning zichligini, masalan, ma'lumotnomadan bilib olish mumkin bo'lsa, unda hajmni tortish orqali aniqlash mumkin. ushbu element. Taroziga solish natijasini ishlab chiqaruvchi moddaning mos yozuvlar zichligiga bo'lish kifoya: V=m/p.

3. Agar to'pning radiusi masala shartlaridan aniqlansa yoki uni o'lchash mumkin bo'lsa, u holda hajmni hisoblash uchun mos keladigan matematik formuladan foydalanish mumkin. To'rt karra Pi sonini radiusning uchinchi darajasiga ko'paytiring va natijada olingan jami uchga bo'ling: V=4*?*r?/3. Aytaylik, radiusi 40 sm bo'lsa, to'pning hajmi 4 * 3,14 * 40?/3 = 267946,67 sm bo'ladi? ? 0,268 m?

4. Diametrni o'lchash ko'pincha radiusni o'lchashdan osonroqdir. Bunday holda, oldingi bosqichdagi formula bilan foydalanish uchun uni yarmiga bo'lishning hojati yo'q - formulaning o'zini soddalashtirish yaxshiroqdir. O'tkazilgan formulaga muvofiq, Pi sonini diametri uchinchi darajaga ko'paytiring va jami oltiga bo'ling: V=?*d?/6. Aytaylik, diametri 50 sm bo'lgan to'pning hajmi 3,14 * 50?/6 = 65416,67 sm bo'lishi kerakmi? ? 0,654 m?

Doira maydonini hisoblash bilan bog'liq muammolar ko'pincha maktab geometriya kurslarida uchraydi. Kashf qilish uchun kvadrat doira, siz uzunligini bilishingiz kerak diametri yoki u o'ralgan doiraning radiusi.

Sizga kerak bo'ladi

• - aylana diametrining uzunligi.

Ko'rsatmalar

1. Doira - bu markaz deb ataladigan boshqa nuqtadan bir xil masofada joylashgan ko'plab nuqtalardan iborat tekislikdagi figura. Doira - aylananing chegarasi bo'lgan doira ichiga o'ralgan ko'plab nuqtalardan iborat tekis geometrik figura. Diametr - bu doiradagi ikkita nuqtani bog'laydigan va uning markazidan o'tadigan chiziq segmenti. Radius - bu doiradagi nuqta va uning markazini bog'laydigan segment. ? - “pi” soni, matematik doimiy, uzluksiz qiymat. U aylana aylanasining uzunligiga nisbatini ko'rsatadi diametri. Raqamning aniq qiymatini hisoblang? imkonsiz. Geometriyada bu sonning taxminiy qiymati ishlatiladi: ? ? 3.14

2. Doira maydoni radius va son kvadratining ko'paytmasiga teng va quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi: S=?R^2, bu erda S - kvadrat aylana, R - aylana radiusining uzunligi.

3. Radiusning ta'rifidan kelib chiqadiki, u yarmiga teng diametri. Shunday qilib, formula quyidagi shaklni oladi: S=?(D/2)^2, bu erda D - uzunlik. diametri doiralar. Qiymatni formulaga almashtiring diametri, hisoblang kvadrat doira.

4. Doira maydoni maydon birliklarida o'lchanadi - mm2, sm2, m2 va boshqalar. Siz olgan ma'lumot qanday birliklarda ifodalangan? kvadrat doira doira diametri berilgan birliklarga bog'liq.

5. Hisoblash kerak bo'lsa kvadrat halqa, formuladan foydalaning: S=?(R-r)^2, bu erda R, r mos ravishda halqaning tashqi va ichki doiralarining radiuslari.

Foydali maslahat
14-mart kuni nishonlanadigan Xalqaro Pi kuni bor. Aniq vaqt zafar sanasining kelishi 1 soat 59 daqiqa 26 soniya, sana raqamlariga ko'ra - 3,1415926...

Mavzu bo'yicha video

Eslatma!
Qizig'i shundaki, diametri boshqa to'pning diametridan uch baravar katta bo'lgan to'pning hajmi 3 ta to'pning umumiy hajmidan 9 baravar katta.

Foydali maslahat
Bolalarda matematik hisob-kitoblarga bo'lgan ishtiyoqni rivojlantirish uchun atrofdagi narsalarni hisoblash uchun misollar sifatida taklif qiling: to'p, tarvuz, buvisining iplari. Bu vizual va shuning uchun qiziqarli.

Ta'rif.

Sharni aylanani diametri atrofida 180 ° yoki yarim doirani diametri atrofida 360 ° aylantirish natijasida hosil bo'lgan uch o'lchamli figura deb ta'riflash mumkin.

Ta'rif.

To'pni diametri atrofida aylanani 180 ° ga yoki yarim doirani diametri atrofida 360 ° ga aylantirish natijasida hosil bo'lgan uch o'lchamli shakl deb ta'riflash mumkin.

Ta'rif. Sfera radiusi (to'p)(R) - shar (to'p) markazidan masofa O sharning istalgan nuqtasiga (to'pning yuzasi).

Ta'rif. Sfera (to'p) diametri(D) sharning ikkita nuqtasini (to'pning yuzasini) bog'laydigan va uning markazidan o'tuvchi segment.

Formula. To'pning hajmi:

Formula. Sharning sirt maydoni radius yoki diametr orqali:

S = 4p R 2 = p D 2

Sfera tenglamasi

1. Radiusi R va markazi Dekart koordinata sistemasining boshidagi shar tenglamasi:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Dekart koordinata sistemasidagi koordinatalari (x 0, y 0, z 0) nuqtada radiusi R va markazi bo‘lgan shar tenglamasi.:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Ta'rif. Diametrik qarama-qarshi nuqtalar shar (shar) yuzasida diametr bilan bog'langan har qanday ikkita nuqta.

Shar va sharning asosiy xossalari

1. Sharning barcha nuqtalari markazdan bir xil masofada joylashgan.

2. Sferaning tekislikdagi istalgan kesimi aylanadir.

3. To'pning tekislikdagi har qanday kesimi aylanadir.

4. Sfera yuzasi bir xil bo'lgan barcha fazoviy figuralar orasida eng katta hajmga ega.

5. Diametral qarama-qarshi har qanday ikkita nuqta orqali shar uchun ko'plab katta doiralar yoki to'p uchun doiralar chizishingiz mumkin.

6. Diametral qarama-qarshi nuqtalardan tashqari har qanday ikkita nuqta orqali shar uchun faqat bitta katta doira yoki to'p uchun katta doira chizish mumkin.

7. Bitta sharning har qanday ikkita katta aylanasi to'pning markazidan o'tuvchi to'g'ri chiziq bo'ylab kesishadi va aylanalar ikkita diametrli qarama-qarshi nuqtada kesishadi.

8. Agar har qanday ikkita sharning markazlari orasidagi masofa ularning radiuslari yig'indisidan kichik va radiuslari farqining modulidan katta bo'lsa, bunday sharlar kesishadi, va kesishuv tekisligida aylana hosil bo'ladi.

Sharning sekant, akkorda, sekant tekisligi va ularning xossalari

Ta'rif. Sfera sekant sharni ikki nuqtada kesib o'tuvchi to'g'ri chiziq. Kesishish nuqtalari deyiladi teshilish nuqtalari yuzalar yoki sirtdagi kirish va chiqish nuqtalari.

Ta'rif. Shar akkordi (to'p)- bu shardagi ikkita nuqtani bog'laydigan segment (to'pning yuzasi).

Ta'rif. Kesish tekisligi sharni kesib o'tuvchi tekislikdir.

Ta'rif. Diametrli tekislik- bu shar yoki to'pning markazidan o'tuvchi sekant tekislik bo'lib, kesim mos ravishda hosil bo'ladi katta doira Va katta doira. Katta doira va katta doira sharning (to'p) markaziga to'g'ri keladigan markazga ega.

Sfera (to'p) markazidan o'tadigan har qanday akkord diametrdir.

Akkord - bu sekant chiziqning segmenti.

Sfera markazidan sekantgacha bo'lgan masofa d har doim shar radiusidan kichik bo'ladi:

d< R

Kesuvchi tekislik va sharning markazi orasidagi masofa m har doim R radiusidan kichik:

m< R

Kesish tekisligi kesimining shardagi joylashuvi har doim bo'ladi kichik doira, va to'pda bo'lim bo'ladi kichik doira. Kichik doira va kichik doira sharning (to'p) markaziga to'g'ri kelmaydigan o'z markazlariga ega. Bunday doiraning r radiusini quyidagi formula yordamida topish mumkin:

r = √R 2 - m 2,

Bu erda R - sharning (to'pning) radiusi, m - to'pning markazidan kesish tekisligigacha bo'lgan masofa.

Ta'rif. Yarim shar (yarim shar)- bu diametrli tekislik bilan kesilganda hosil bo'lgan sharning (to'p) yarmi.

Sferaga teguvchi, tangens tekislik va ularning xossalari

Ta'rif. Sferaga teginish sharga faqat bir nuqtada tegib turuvchi toʻgʻri chiziq.

Ta'rif. Sferaga teguvchi tekislik sharga faqat bir nuqtada tegib turgan tekislikdir.

Tangens chiziq (tekislik) doimo aloqa nuqtasiga chizilgan sharning radiusiga perpendikulyar.

Sfera markazidan tangens chizig'i (tekisligi)gacha bo'lgan masofa sharning radiusiga teng.

Ta'rif. To'p segmenti- bu kesuvchi tekislik bilan to'pdan kesilgan to'pning qismi. Segmentning asosi bo'lim joyida hosil bo'lgan doira deb ataladi. Segment balandligi h - segment asosining o'rtasidan segment yuzasiga chizilgan perpendikulyar uzunligi.

Formula. Sfera segmentining tashqi yuzasi maydoni R shar radiusi orqali h balandligi bilan:

S = 2pRh

Ko'pchiligimiz futbol o'ynashni yaxshi ko'ramiz yoki hech bo'lmaganda deyarli har birimiz bu mashhur haqida eshitganmiz sport o'yini. Futbol to'p bilan o'ynashini hamma biladi.

Agar siz o'tkinchidan to'p qanday geometrik shaklga ega deb so'rasangiz, ba'zilar uni sharsimon, ba'zilari esa sharsimon deyishadi. Xo'sh, qaysi biri to'g'ri? Va shar va to'p o'rtasidagi farq nima?

Muhim!

To'p fazoviy jismdir. To'pning ichki qismi biror narsa bilan to'ldirilgan. Demak, sharning hajmini topish mumkin.

Hayotdagi to'pga misollar: tarvuz va po'lat shar.

To'p va shar, xuddi aylana va aylana kabi, markazga, radiusga va diametrga ega.

Muhim!

Sfera- to'pning yuzasi. Siz sharning sirt maydonini topishingiz mumkin.

Hayotdagi sohalarga misollar: voleybol va stol tennisi to'pi.

Sfera maydonini qanday topish mumkin

Eslab qoling!

Sfera maydoni uchun formula: S=4 p R 2

Sfera maydonini topish uchun siz raqamning kuchi nima ekanligini eslab qolishingiz kerak. Bilish darajani aniqlash, sharning maydoni formulasini quyidagicha yozishimiz mumkin.
S=4 p R 2 = 4p R · R;

Keling, olingan bilimlarni mustahkamlaymiz va Keling, sfera maydonidagi muammoni hal qilaylik.

Zubareva 6-sinf. Raqam 692(a)

Vazifa:

• Agar sharning radiusi bo'lsa, uning maydonini hisoblang 1 = 3 · = = / (4 · 3) = ) = = ) =
  = = = 88

  88

  = 1
• R 3 = 1
• R = 1 m

Muhim!

Hurmatli ota-onalar!

Nihoyat radiusni hisoblashda bolani kub ildizini hisoblashga majbur qilishning hojati yo'q. 6-sinf o‘quvchilari matematika fanidan ildizlarning ta’rifini hali olmagan va bilishmaydi.

6-sinfda bunday masalani yechishda qo'pol kuch usulidan foydalaning.

Talabadan qaysi son o'z-o'zidan 3 marta ko'paytirilsa, bittani berishini so'rang.

Biz bu erda juda oddiy, ammo unchalik qat'iy bo'lmasa-da, sharsimon sirt maydoni uchun formulani keltiramiz; g'oyasiga ko'ra u integral hisoblash usullariga juda yaqin. Shunday qilib, bizga ma'lum bir R radiusli shar berilsin. Uning yuzasida qandaydir kichik maydonni tanlaymiz (412-rasm) va tepasi O sharning markazida joylashgan piramida yoki konusni ko'rib chiqaylik, bu maydon uning asosi sifatida. ; Qat'iy aytganda, biz faqat shartli ravishda konus yoki piramida haqida gapiramiz, chunki poydevor tekis emas, balki sharsimon. Ammo agar poydevorning o'lchami to'pning radiusi bilan solishtirganda kichik bo'lsa, u tekisdan juda oz farq qiladi (masalan, unchalik katta bo'lmagan er uchastkasini o'lchashda ular uning to'g'ridan-to'g'ri yo'nalishi bo'yicha emasligini e'tiborsiz qoldiradilar. tekislikda, lekin sharda).

Keyin, ushbu qismning maydoni orqali "piramida" asosini belgilab, biz uning hajmini poydevor maydoniga balandlikning uchdan bir qismiga ko'paytiramiz (balandlik - to'pning radiusi). :

Agar biz hozir to'pning butun yuzasini juda ko'p N ga shunday kichik maydonlarga ajratsak, shu bilan to'pning hajmini N hajmli "piramidalar" ning asosi sifatida ushbu maydonlarga aylantirsak, unda butun hajm quyidagicha ifodalanadi. so'm

bu erda oxirgi yig'indi to'pning umumiy yuzasiga teng:

Demak, sharning hajmi uning radiusi va sirt maydoni mahsulotining uchdan biriga teng. Demak, sirt maydoni uchun biz formulaga egamiz

Oxirgi natija quyidagicha shakllantiriladi:

Sharning sirt maydoni uning katta doirasining to'rt barobariga teng.

Yuqoridagi xulosa shar sektorining sirt maydoni uchun ham mos keladi (biz faqat asosni, ya'ni sferik sirtni yoki "qopqoqni" nazarda tutamiz; 409-rasmga qarang). Va bu holda, sektorning hajmi to'pning radiusi va uning sharsimon asosining maydoni mahsulotining uchdan biriga teng:

bu erda biz qopqoq maydoni uchun formulani topamiz

Sferik qatlamning sferik yuzasi sferik kamar deb ataladi (408-rasmga qarang). Sferik kamarning sirt maydonini hisoblash uchun biz ikkita sharsimon qopqoqning sirtlari orasidagi farqni topamiz:

qatlamning balandligi qayerda. Shunday qilib, ma'lum bir to'p uchun sharsimon kamarning sirt maydoni faqat mos keladigan qatlamning balandligiga bog'liq, lekin uning to'pdagi holatiga bog'liq emas.

Vazifa. To'pning atrofida o'ralgan konusning lateral yuzasi to'pning bir yarim yuzasiga teng maydonga ega. Agar sharning radiusi bo'lsa, konusning balandligini toping.

Yechim. Qulaylik uchun konusning balandligi va generatrix o'rtasidagi burchakni kiritamiz (413-rasm). Konusning balandligi, asos radiusi va generatrisi uchun ifodalarni topamiz