Yon bo'ylab teng yonli uchburchakni quring. Teng yonli uchburchaklar haqidagi masalalar

VIII . Qurilish vazifalari guruhlari.

Yordamchi uchburchak yordamida masalalar guruhlarini yechish.

Usulning mohiyati yordamchi uchburchaklarni qurish va ularning xususiyatlaridan va yangi olingan elementlardan foydalanishni yakuniy muammoni hal qilishdir.

Qurilish tahlili quyidagi bosqichlardan iborat:

Tahlilingizda yordamchi uchburchakni qidiring.

Agar ABC uchburchagini qurish mumkin bo'lgan yangi elementlar paydo bo'lsa, maqsadga erishilgan bo'ladi.

Agar bu sodir bo'lmasa, unda etishmayotgan elementlarni ta'minlaydigan yana bir yordamchi uchburchak qurilishi mumkin.

Keling, misollar yordamida usulning mohiyatini ko'rib chiqaylik.

1-topshiriq. ABC teng yonli uchburchagini tuzing ( b= c) tomonidan a, h b .

Biz yordamchi uchburchakni qidirmoqdamiz. Shubhasiz, CDB uchburchagini bunday uchburchak sifatida ko'rib chiqish qulay.

Bu C burchagini, shuning uchun ABC burchagini beradi. Shunday qilib, a, B burchak, C burchak mavjud, ya'ni biz ABC uchburchagini qurishimiz mumkin. Biz buni sxematik tarzda quyidagicha yozamiz:

(a, h b) → D CDB →< C.

(a,< B, < C) → Δ ABC.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar:

Yuqoridagiga o'xshash mulohazalardan foydalanib, quyidagi ma'lumotlardan foydalanib, teng yonli uchburchak (b=c) qurishni tavsiya qilamiz:

A)< А, h b ;

b)< В, h с;

G)< В, h b ;

e)< С, h b .

2-topshiriq. Ichkariga chizilgan aylana radiusi r, A burchak va B burchak yordamida uchburchak tuzing.

ABC uchburchagiga chizilgan aylananing markazi bo'lsin.

(r; ½< А) → Δ AID → |AD|;

(r; ½< В) → Δ ВID → |ВD|;

(|AD| + |VD| = |AB|) → (c,< А, < В) → Δ ABC.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar:

Quyidagi elementlardan foydalanib uchburchak tuzing:

a) a, h c, h b; b) a, h a, h b; c) a, m a, m b;

G)< A, l A , b; д) R, h а, m a ; е) a, R, h b ;

g) b, h b, m b (bu yerda m - medianalar, l - bissektrisalar, h - balandliklar).

O'z-o'zidan:

diagonali BD va BM balandligi yordamida ABCD rombini tuzing. (DBHD →< BDH → равнобедренный Δ BDA → ABCD);

to'rt tomondan trapesiya yasang.

Muammolar guruhlarini asosiysiga asoslanib yechish.
1. Asosiy vazifa:

Ikki tomondan va ular orasidagi burchakdan foydalanib, uchburchak tuzing.

Ikki tomon bo'ylab to'g'ri burchakli uchburchak quring.

Ikki diagonal bo'ylab romb yasang.

Ikki tomoni teng bo'lmagan to'rtburchaklar tuzing.

Ikki diagonal va ular orasidagi burchakdan foydalanib parallelogramma tuzing.

Diagonallar va ular orasidagi burchakdan foydalanib, to'rtburchaklar tuzing.

Asosiy vazifa:

Yon va ikkita qo'shni burchak yordamida uchburchak quring.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar:

Uning asosi va qo‘shni burchagidan foydalanib, teng yonli uchburchakni tuzing.

Oyoq va qo‘shni o‘tkir burchak yordamida to‘g‘ri burchakli uchburchak yasang.

Bu burchakning uchidan oʻtuvchi burchak va diagonal yordamida romb yasang.

Balandlik va cho'qqi burchagiga qarab teng yonli uchburchakni tuzing.

Berilgan diagonal bo'ylab kvadrat yasang.

Asosiy vazifa:

Gipotenuza va oʻtkir burchak yordamida toʻgʻri burchakli uchburchak tuzing.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar:

Yon va poydevorda burchak bo'ylab teng yonli uchburchakni quring.

Yon va tepa burchagidan foydalanib, teng yonli uchburchakni tuzing.

Asosiy vazifa:

Uch tomonni ishlatib, uchburchak tuzing.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar:

Uning asosi va tomonlarini ishlatib, teng yonli uchburchakni tuzing.

Yonlari va diagonallari bo'ylab romb yasang.

Ikki teng bo'lmagan tomon va diagonal yordamida parallelogramm tuzing.

Yon va ikkita diagonal yordamida parallelogramm tuzing.

Asosiy vazifa:

Oyoq va gipotenuza yordamida to‘g‘ri burchakli uchburchak tuzing.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar:

Balandligi va yon tomoni bo'ylab teng yonli uchburchakni tuzing.

Poydevor va asosning uchidan yon tomonga perpendikulyar yordamida teng yonli uchburchakni quring.

Uning asosi, balandligi va diagonalidan foydalanib parallelogramm tuzing.

Uning balandligi va diagonali bo'ylab romb yasang.

Yon tomondan va undan tushirilgan balandlikdan foydalanib, teng yonli uchburchakni tuzing.

Poydevorga, balandlikka va yon tomonga qarab uchburchak yasang.

Adabiyot:

B. I. Argunov, M. B. Balk “Samolyotdagi geometrik konstruktsiyalar”, M, “Prosveshchenie” 1955 yil.

Glazer G.I. "Maktabda matematika tarixi" IV - VI sinflar, M, "Ma'rifat", 1981 yil

I. Goldenblant “Geometrik konstruksiya masalalarini yechish tajribasi” “Matematika maktabda” No3, 1946 y.

I. A. Kushnir “Qurilish masalalarini yechishning bir yo’lida” “Maktabda matematika” 2-son, 1984 y.

A. I. Mostovoy "Qurilish masalalarini echishda turli usullarni qo'llash" "Maktabda matematika" 1983 yil 5-son.

A. A. Popova “Matematika” darsligi. Chelyabinsk davlat pedagogika universiteti, 2005 yil

E. M. Selezneva, M. N. Serebryakova “I – V sinflarda geometrik konstruktsiyalar. o'rta maktab“Metodik ishlanmalar. Sverdlovsk, 1974 yil

Teng yonli uchburchakni qanday qurish mumkin? Buni o'lchagich, qalam va daftar hujayralari bilan qilish oson.

Biz poydevordan teng yonli uchburchak qurishni boshlaymiz. Naqshni teng qilish uchun taglikdagi katakchalar soni juft son bo'lishi kerak.

Segmentni - uchburchakning asosini - yarmiga bo'ling.

Uchburchakning cho'qqisini poydevordan istalgan balandlikda tanlash mumkin, lekin har doim o'rtadan yuqorida.

O'tkir teng yonli uchburchakni qanday qurish mumkin?

Teng yonli uchburchakning poydevoridagi burchaklar faqat o'tkir bo'lishi mumkin. Teng yonli uchburchak o'tkir bo'lishi uchun cho'qqidagi burchak ham o'tkir bo'lishi kerak.

Buni amalga oshirish uchun uchburchakning yuqori qismini poydevordan uzoqroqda tanlang.

Apeks qanchalik baland bo'lsa, cho'qqi burchagi shunchalik kichik bo'ladi. Bazadagi burchaklar mos ravishda ortadi.

To'g'ri burchakli uchburchakni qanday qurish mumkin?

Teng yonli uchburchakning cho‘qqisi asosga yaqinlashganda, cho‘qqidagi burchakning daraja o‘lchovi ortadi.

Bu shuni anglatadiki, teng yonli to'g'ri burchakli uchburchakni qurish uchun biz pastki cho'qqini tanlaymiz.

To'g'ri burchakli uchburchakni qanday qurish mumkin?

To'g'ri burchakli uchburchakni qurish uchun asosning yarmiga teng masofada cho'qqini tanlash kerak (bu teng yonli to'g'ri burchakli uchburchakning xususiyatlari bilan bog'liq).

Masalan, taglikning uzunligi 6 katak bo'lsa, u holda biz uchburchakning uchini poydevorning o'rtasidan 3 katak balandlikda joylashtiramiz. E'tibor bering: bu holda, taglikdagi burchaklardagi har bir hujayra diagonal bo'linadi.

Teng yonli to'g'ri burchakli uchburchak qurishni tepadan boshlash mumkin.

Biz cho'qqini tanlaymiz va undan to'g'ri burchak ostida teng segmentlarni yuqoriga va o'ngga yotqizamiz. Bular uchburchakning tomonlari.

Keling, ularni bog'laymiz va teng yonli to'g'ri burchakli uchburchakni olamiz.

Biz boshqa mavzuda bo'linmasdan sirkul va chizg'ich yordamida teng yonli uchburchak qurishni ko'rib chiqamiz.

Izossellar shunday uchburchak, bunda uning ikki tomonining uzunligi bir-biriga teng.

Mavzu bo'yicha muammolarni hal qilishda "Isosceles uchburchagi" ma'lum bo'lganlardan foydalanish kerak xususiyatlari:

1. Teng tomonlarga qarama-qarshi burchaklar bir-biriga teng.
2. Bissektrisalar, medianalar va balandliklar teng burchaklar, bir-biriga teng.
3. Teng yonli uchburchakning asosiga chizilgan bissektrisa, mediana va balandlik bir-biriga toʻgʻri keladi.
4. Doira markazi va aylana markazi balandlikda, shuning uchun asosga tortilgan mediana va bissektrisada yotadi.
5. Teng yonli uchburchakda teng bo'lgan burchaklar har doim o'tkirdir.

Agar uchburchakda quyidagilar bo'lsa, u teng yonli bo'ladi belgilar:

1. Uchburchakning ikkita burchagi teng.
2. Balandligi medianaga to'g'ri keladi.
3. Bissektrisa mediana bilan mos tushadi.
4. Balandligi bissektrisaga to'g'ri keladi.
5. Uchburchakning ikki balandligi teng.
6. Uchburchakning ikkita bissektrisalari teng.
7. Uchburchakning ikki medianasi teng.

Keling, mavzu bo'yicha bir nechta muammolarni ko'rib chiqaylik "Isosceles uchburchagi" va ularning batafsil yechimini bering.

Vazifa 1.

Teng yonli uchburchakda asosigacha bo’lgan balandlik 8 ga, asosi esa 6:5 ga teng.Uchburchak cho’qqisidan bissektrisalarining kesishish nuqtasigacha bo’lgan masofani toping.

Yechim.

ABC teng yonli uchburchak berilsin (1-rasm).

1) AC bo'lgani uchun: BC = 6: 5, keyin AC = 6x va BC = 5x. VN – ABC uchburchakning AC asosiga chizilgan balandlik.

H nuqtasi AC ning o'rtasi bo'lgani uchun (teng yon tomonli uchburchakning xususiyatiga ko'ra), u holda HC = 1/2 AC = 1/2 6x = 3x.

BC 2 = VN 2 + NS 2;

(5x) 2 = 8 2 + (3x) 2 ;

x = 2, keyin

AC = 6x = 6 2 = 12 va

BC = 5x = 5 2 = 10.

3) Uchburchakning bissektrisalarining kesishish nuqtasi unga chizilgan aylananing markazi boʻlgani uchun
OH = r. Formuladan foydalanib, ABC uchburchagiga chizilgan aylananing radiusini topamiz

4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (12 · 8) = 48;

p = 1/2 (AB + BC + AC); p = 1/2 · (10 + 10 + 12) = 16, keyin OH = r = 48/16 = 3.

Demak, VO = VN – OH; VO = 8 – 3 = 5.

Javob: 5.

Vazifa 2.

ABC teng yonli uchburchakda AD bissektrisa chizilgan. ABD va ADC uchburchaklarining maydonlari 10 va 12 ga teng. AC asosiga chizilgan bu uchburchakning balandligida qurilgan kvadratning uch karrali maydonini toping.

Yechim.

ABC uchburchagini - teng yon tomonli, AD - A burchakning bissektrisasini ko'rib chiqaylik (2-rasm).

1) BAD va DAC uchburchaklarining maydonlarini yozamiz:

S BAD = 1/2 · AB · AD · sin a; S DAC = 1/2 · AC · AD · sin a.

2) Maydonlar nisbatini toping:

S BAD /S DAC = (1/2 · AB · AD · sin a) / (1/2 · AC · AD · sin a) = AB/AC.

S BAD = 10 bo'lgani uchun, S DAC = 12, keyin 10/12 = AB/AC;

AB/AC = 5/6, keyin AB = 5x va AC = 6x bo'lsin.

AN = 1/2 AC = 1/2 6x = 3x.

3) ABN uchburchakdan - Pifagor teoremasi bo'yicha to'rtburchak AB 2 = AN 2 + BH 2;

25x 2 = VN 2 + 9x 2;

4) S A VS = 1/2 · AS · VN; S A B C = 1/2 · 6x · 4x = 12x 2.

S A BC = S BAD + S DAC = 10 + 12 = 22 bo'lgani uchun 22 = 12x 2;

x 2 = 11/6; VN 2 = 16x 2 = 16 11/6 = 1/3 8 11 = 88/3.

5) Kvadratning maydoni VN 2 = 88/3 ga teng; 3 88/3 = 88.

Javob: 88.

Vazifa 3.

Teng yonli uchburchakda asosi 4 ga, yon tomoni 8 ga teng. Yon tomonga tushirilgan balandlikning kvadratini toping.

Yechim.

ABC uchburchakda - teng yon tomonlar BC = 8, AC = 4 (3-rasm).

1) VN – ABC uchburchakning AC asosiga chizilgan balandlik.

H nuqtasi AC ning o'rtasi bo'lgani uchun (teng yon tomonli uchburchakning xususiyatiga ko'ra), u holda HC = 1/2 AC = 1/2 4 = 2 bo'ladi.

2) VNS uchburchakdan - Pifagor teoremasi bo'yicha to'rtburchak BC 2 = VN 2 + NS 2;

64 = VN 2 + 4;

3) S ABC = 1/2 · (AC · BH), shuningdek, S ABC = 1/2 · (AM · BC), keyin formulalarning o'ng tomonlarini tenglashtiramiz, biz olamiz

1/2 · AC · BH = 1/2 · AM · BC;

AM = (AC BH)/BC;

AM = (√60 · 4)/8 = (2√15 · 4)/8 = √15.

Javob: 15.

Vazifa 4.

Teng yonli uchburchakda asos va uning ustiga tushirilgan balandlik 16 ga teng. Shu uchburchak atrofida aylana radiusini toping.

Yechim.

ABC uchburchakda – teng yon tomonli asos AC = 16, VN = 16 – AC asosiga chizilgan balandlik (4-rasm).

1) AN = NS = 8 (teng yon tomonli uchburchakning xususiyatiga ko'ra).

2) VNS uchburchagidan - Pifagor teoremasi bo'yicha to'rtburchak

BC 2 = VN 2 + NS 2;

BC 2 = 8 2 + 16 2 = (8 2) 2 + 8 2 = 8 2 4 + 8 2 = 8 2 5;

3) ABC uchburchagini ko'rib chiqaylik: sinuslar teoremasi bo'yicha 2R = AB/sin C, bu erda R - ABC uchburchak atrofida aylana radiusi.

sin C = BH/BC (sinus ta'rifi bo'yicha VNS uchburchakdan).

sin C = 16/(8√5) = 2/√5, keyin 2R = 8√5/(2/√5);

2R = (8√5 · √5)/2; R = 10.

Javob: 10.

Vazifa 5.

Teng yonli uchburchak asosiga chizilgan balandlik uzunligi 36 ga, chizilgan aylana radiusi esa 10 ga teng. Uchburchakning maydonini toping.

Yechim.

ABC teng yonli uchburchak berilsin.

1) Uchburchak ichiga chizilgan aylananing markazi uning bissektrisalarining kesishish nuqtasi boʻlgani uchun O. ϵ VN va AO A burchakning bissektrisasi, shuningdek, OH = r = 10 (5-rasm).

2) VO = VN – OH; VO = 36 - 10 = 26.

3) ABN uchburchagini ko'rib chiqaylik. Uchburchakning burchak bissektrisasi haqidagi teorema bo'yicha

AB/AN = VO/OH;

AB/AN = 26/10 = 13/5, keyin AB = 13x va AN = 5x bo'lsin.

Pifagor teoremasiga ko'ra, AB 2 = AN 2 + VN 2;

(13x) 2 = 36 2 + (5x) 2;

169x 2 = 25x 2 + 36 2;

144x 2 = (12 · 3) 2;

144x2 = 144 9;

x = 3, keyin AC = 2 · AN = 10x = 10 · 3 = 30.

4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (36 · 30) = 540;

Javob: 540.

Vazifa 6.

Teng yonli uchburchakda ikki tomoni 5 va 20 ga teng.Uchburchak asosidagi burchakning bissektrisasini toping.

Yechim.

1) Faraz qilaylik, uchburchakning tomonlari 5 ga, asosi esa 20 ga teng.

Keyin 5 + 5< 20, т.е. такого треугольника не существует. Значит, АВ = ВС = 20, АС = 5 (6-rasm).

2) LC = x, keyin BL = 20 - x bo'lsin. Uchburchakning burchak bissektrisasi haqidagi teorema bo'yicha

AB/AC = BL/LC;

20/5 = (20 – x)/x,

keyin 4x = 20 - x;

Shunday qilib, LC = 4; BL = 20 – 4 = 16.

3) Uchburchak burchagi bissektrisasi formulasidan foydalanamiz:

AL 2 = AB AC – BL LC,

keyin AL 2 = 20 5 – 4 16 = 36;

Javob: 6.

Hali ham savollaringiz bormi? Geometriya masalalarini yechishni bilmayapsizmi?
Repetitordan yordam olish uchun ro'yxatdan o'ting.
Birinchi dars bepul!

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.