Perimetri va maydoni. Oddiy vazifa: perimetrni qanday topish mumkin? Shaklning perimetri santimetrda

, singan chiziq va boshqalar:

Agar siz ushbu raqamlarning barchasini diqqat bilan ko'rib chiqsangiz, ularning ikkitasini ajratib ko'rsatishingiz mumkin, ular yopiq chiziqlar (doira va uchburchak) orqali hosil bo'ladi. Bu raqamlar ichki va tashqi narsalarni ajratib turadigan o'ziga xos chegaraga ega. Ya'ni, chegara samolyotni ikki qismga ajratadi: u tegishli bo'lgan raqamga nisbatan ichki va tashqi hududlar:

Perimetr

Perimetr yassi geometrik figuraning ichki hududini tashqi qismidan ajratib turadigan yopiq chegaradir.

Har qanday yopiq geometrik figuraning perimetri bor:

Rasmda perimetrlar qizil chiziq bilan ta'kidlangan. E'tibor bering, aylananing perimetri ko'pincha uning uzunligi deb ataladi.

Perimetr uzunlik birliklarida o'lchanadi: mm, sm, dm, m, km.

Barcha ko'pburchaklar uchun perimetrni topish barcha tomonlarning uzunliklarini qo'shishga qisqartiriladi, ya'ni ko'pburchakning perimetri doimo uning tomonlari uzunliklarining yig'indisiga teng bo'ladi. Hisoblashda perimetr ko'pincha P harfi bilan belgilanadi:

Kvadrat

Maydon - bu tekislikning yopiq tekis geometrik figura egallagan qismi.

Har qanday tekis yopiq geometrik shakl ma'lum bir maydonga ega. Chizmalarda geometrik shakllarning maydoni ichki mintaqa, ya'ni perimetr ichidagi tekislikning qismidir.

Hududni o'lchash raqamlar - o'lchov birligi sifatida olingan, berilgan figuraga necha marta boshqa raqam qo'yilganligini topishni anglatadi. Odatda, maydonning o'lchov birligi sifatida kvadrat olinadi, uning tomoni uzunlik o'lchov birligiga teng: millimetr, santimetr, metr va boshqalar.

Rasmda kvadrat santimetr ko'rsatilgan. - har bir tomoni 1 sm uzunlikdagi kvadrat:

Maydoni kvadrat uzunlik birliklarida o'lchanadi. Maydonning o'lchov birliklariga quyidagilar kiradi: mm 2, sm 2, m 2, km 2 va boshqalar.

Kvadrat birlik konvertatsiya qilish jadvali

Talabalar perimetrni qanday topish haqida bilim oladilar boshlang'ich maktab... Keyin bu ma'lumotlar matematika va geometriya kurslarida doimiy ravishda qo'llaniladi.

Barcha raqamlar uchun umumiy nazariya

Partiyalarni lotin harflari bilan belgilash odatiy holdir. Bundan tashqari, ular segmentlar sifatida belgilanishi mumkin. Keyin harflar har bir tomon uchun ikkitadan kerak bo'ladi va katta hajmda yoziladi. Yoki belgini bitta harf bilan kiriting, bu albatta kichik bo'ladi.
Harflar har doim alifbo tartibida tanlanadi. Uchburchak uchun ular birinchi uchta bo'ladi. Olti burchakda ulardan 6 tasi bo'ladi - a dan f gacha. Bu formulalarni kiritish uchun qulay.

Endi perimetrni qanday topish mumkin. Bu shaklning barcha tomonlari uzunliklarining yig'indisidir. Terminlar soni uning turiga bog'liq. Perimetr lotincha R harfi bilan belgilanadi. O'lchov birliklari tomonlar uchun berilganlar bilan bir xil.

Turli shakllar uchun perimetr formulalari

Uchburchak uchun: P = a + b + c. Agar u teng yonli bo'lsa, u holda formula o'zgartiriladi: P = 2a + b. Agar uchburchak teng tomonli bo'lsa, uning perimetri qanday topiladi? Bu yordam beradi: P = 3a.

Ixtiyoriy to'rtburchak uchun: P = a + b + c + d. Uning maxsus holati kvadrat, perimetr formulasi: P = 4a. To'rtburchak ham bor, keyin bunday tenglik talab qilinadi: P = 2 (a + b).

Agar uchburchakning bir yoki bir necha tomonining uzunligi noma'lum bo'lsa-chi?

Agar ma'lumotlar orasida ikkita tomon va ular orasidagi burchak bo'lsa, kosinus teoremasidan foydalaning, bu A harfi bilan belgilanadi. Keyin perimetrni topishdan oldin siz uchinchi tomonni hisoblashingiz kerak bo'ladi. Buning uchun quyidagi formula foydalidir: c² = a² + b² - 2 av cos (A).

Ushbu teoremaning alohida holati Pifagor tomonidan to'g'ri burchakli uchburchak uchun tuzilgan. Unda kosinusning qiymati to'g'ri burchak nolga teng bo'ladi, ya'ni oxirgi atama oddiygina yo'qoladi.

Bir tomondan uchburchakning perimetrini qanday topish mumkinligini bilib olishingiz mumkin bo'lgan holatlar mavjud. Ammo shu bilan birga, raqamning burchaklari ham ma'lum. Bu erda tomonlar uzunliklarining mos qarama-qarshi burchaklar sinuslariga nisbati teng bo'lganda, sinuslar teoremasi yordamga keladi.

Shaklning perimetri uning maydoni bilan ma'lum bo'lishi kerak bo'lgan vaziyatda boshqa formulalar yordam beradi. Misol uchun, agar chizilgan doira radiusi ma'lum bo'lsa, unda uchburchakning perimetrini qanday topish mumkinligi haqidagi savolda quyidagi formula yordam beradi: S = p * r, bu erda p - yarim perimetr. Bu formuladan kelib chiqib, ikkiga ko'paytirilishi kerak.

Vazifalarga misollar

Birinchisining holati. Tomonlari 3, 4 va 5 sm boʻlgan uchburchakning perimetrini toping.
Yechim. Siz yuqorida ko'rsatilgan tenglikdan foydalanishingiz kerak va shunchaki qiymat muammosidagi ma'lumotlarni unga almashtirishingiz kerak. Hisob-kitoblar oson, ular 12 sm raqamiga olib keladi.
Javob. Uchburchakning perimetri 12 sm.

Ikkinchi holat. Uchburchakning bir tomoni 10 sm.Ma'lumki, ikkinchisi birinchisidan 2 sm, uchinchisi esa birinchisidan 1,5 marta katta. Uning perimetrini hisoblash uchun talab qilinadi.
Yechim... Uni tan olish uchun siz ikki tomonni hisoblashingiz kerak. Ikkinchisi 10 va 2 ning yig'indisi sifatida aniqlanadi, uchinchisi 10 va 1,5 ko'paytmasiga teng. Keyin faqat uchta qiymatning yig'indisini hisoblash qoladi: 10, 12 va 15. Natijada 37 sm bo'ladi.
Javob. Perimetri 37 sm.

Uchinchi shart. To'rtburchaklar va kvadrat mavjud. To'rtburchakning bir tomoni 4 sm, ikkinchisi esa 3 sm kattaroqdir. Kvadratning perimetri to'rtburchaknikidan 6 sm kamroq bo'lsa, uning yon tomonining qiymatini hisoblash kerak.
Yechim. To'rtburchakning ikkinchi tomoni 7. Buni bilib, uning perimetrini hisoblash oson. Hisoblash 22 smni beradi.
Kvadrat tomonini bilish uchun avval to'rtburchakning perimetridan 6 ni ayirish kerak, so'ngra olingan sonni 4 ga bo'lish kerak. Natijada bizda 4 raqami bor.
Javob. Kvadratning yon tomoni 4 sm.

Geometriya, adashmasam, mening davrimda beshinchi sinfdan boshlab o'rganilgan va perimetr asosiy tushunchalardan biri bo'lgan va shunday bo'lib qoladi. Shunday qilib, perimetr - barcha tomonlarning uzunliklarining yig'indisi (lotincha P harfi bilan belgilanadi)... Umuman olganda, bu atama turli yo'llar bilan talqin qilinadi, masalan,

• shakl chegarasining umumiy uzunligi,
• uning barcha tomonlari uzunligi,
• uning qirralari uzunliklarining yig'indisi,
• chegara chizig'ining uzunligi,
• ko'pburchak tomonlarining barcha uzunliklarining yig'indisi

Turli shakllar perimetrni aniqlash uchun o'z formulalariga ega. Ma'nosini tushunish uchun men o'zim bir nechta oddiy formulalarni olishni taklif qilaman:

1. kvadrat uchun,
2. to'rtburchaklar uchun,
3. parallelogramm uchun,
4. kub uchun,
5. parallelepiped uchun

Kvadratning perimetri

Masalan, eng oddiyini - kvadratning perimetrini olaylik.

Kvadratning barcha tomonlari teng. Bir tomon "a" (shuningdek, qolgan uchtasi) deb nomlansin

P = a + a + a + a

yoki ko'proq ixcham yozib olish

To'rtburchakning perimetri

Keling, vazifani murakkablashtiramiz va to'rtburchak olamiz. Bu holda, endi barcha tomonlari teng deyish mumkin emas, shuning uchun to'rtburchakning tomonlari uzunligi a va b ga teng bo'lsin.

Keyin formula quyidagicha ko'rinadi:

P = a + b + a + b

Paralelogrammaning perimetri

Xuddi shunday holat parallelogramm bilan ham bo'ladi (to'rtburchakning perimetriga qarang)

Kub perimetri

Agar biz uch o'lchamli raqam bilan ishlayotgan bo'lsak-chi? Masalan, kubni olaylik. Kubning 12 tomoni bor va ularning barchasi teng. Shunga ko'ra, kubning perimetrini quyidagicha hisoblash mumkin:

Parallelepipedning perimetri

Xo'sh, materialni tuzatish uchun biz parallelepipedning perimetrini hisoblaymiz. Bu erda siz biroz o'ylashingiz kerak. Keling, buni birga qilaylik. Ma'lumki, to'rtburchaklar parallelepiped - bu tomonlari to'rtburchaklar bo'lgan shakl. Har bir qutida ikkita taglik mavjud. Keling, asoslardan birini olib, uning tomonlarini ko'rib chiqaylik - ularning uzunligi a va b. Shunga ko'ra, poydevorning perimetri P = 2a + 2b. Keyin ikkita asosning perimetri

(2a + 2b) * 2 = 4a + 4b

Lekin bizda “v” tomoni ham bor. Shunday qilib, parallelepipedning perimetrini hisoblash formulasi quyidagicha ko'rinadi:

P = 4a + 4b + 4c

Yuqoridagi misollardan ko'rinib turibdiki, shaklning perimetrini aniqlash uchun har bir tomonning uzunligini topish va keyin ularni katlama kerak.

Xulosa qilib shuni ta'kidlashni istardimki, har bir raqamning perimetri yo'q. Masalan, to'pning perimetri yo'q.

Perimetr raqam - uning barcha tomonlari uzunligi. Hamma shakllar ham perimetrga ega emas, masalan, to‘pning perimetri yo‘q. Standart belgi matematikada perimetr - P harfi

Kvadratning perimetri

Kvadrat tomonining uzunligi a ga teng bo'lsin. Kvadratning to'rtta teng tomoni bor, shuning uchun kvadrat perimetri P = a + a + a + a mavjud yoki:

To'rtburchakning perimetri

To'rtburchak tomonlarining uzunliklari a va b ga teng bo'lsin.
Uning barcha tomonlari uzunligi P = a + b + a + b yoki:

Paralelogrammaning perimetri

Parallelogrammning tomonlari uzunliklari a va b ga teng bo'lsin
Uning barcha tomonlari uzunligi P = a + b + a + b, shuning uchun parallelogrammning perimetri:

Ko'rib turganingizdek, parallelogrammning perimetri to'rtburchakning perimetriga teng.

Teng yonli trapesiya perimetri

Trapetsiyaning a va b parallel tomonlari uzunliklari, qolgan ikki tomonining uzunliklari c ga teng bo'lsin (Ma'lumki, teng yonli trapesiyaning ikkita teng tomoni bor).

P = a + b + c + c = a + b + 2c

Teng tomonli uchburchakning perimetri

Ma'lumki, teng tomonli uchburchakning 3 ta teng tomoni bor. Agar tomon uzunligi a bo'lsa, perimetrni topish formulasi P = a + a + a bo'ladi

Parallelepipedning perimetri

Parallelepiped - bu prizma bo'lib, uning barcha tomonlari parallelogrammlardir. (To'rtburchak parallelepiped - tomonlari to'rtburchaklar bo'lgan shakl.)
Agar poydevorning tomonlari a va b uzunliklariga ega bo'lsa, asosning perimetri P = 2a + 2b bo'ladi. Har bir parallelepipedning ikkita asosi bor, shuning uchun ikkala asosning perimetri (2a + 2b) 2 = 4a + 4b. Ma'lumki, parametr barcha tomonlarning yig'indisidir. Shunday qilib, biz to'rt marta c qo'shishimiz kerak

P = 4a + 4b + 4c

Kub perimetri

Kub - bu parallelepiped bo'lib, uning barcha tomonlari kvadratdir (barcha yuzlari teng).
Keyin kubning perimetri tomonlar soni * uzunlikdir.
Har bir kubning 12 tomoni bor.
Keyin kubning perimetrini topish formulasi:

Bu erda a - uning tomonining uzunligi.

Turli geometrik shakllarning perimetrini qanday topish mumkin

Turli geometrik shakllarning perimetrini qanday topishni tushunishda qiynalayapsizmi? Biznes veb-sayti sizga har doimgidan ham engilroq geometriya orqali yordam beradi! Fakt Yerning perimetri yoki aylanasining zavqi 24,901 milya, ya'ni. e. deyarli 40 075 km!Matematikada geometriya, shakllar, o'lchamlar, nisbiy pozitsiyalar, kosmosdagi figuralarning uch o'lchovli yo'nalishi ko'rib chiqiladi. U shakllarning uchta asosiy o'lchami bilan bog'liq: maydon, hajm va perimetr.

Maydon - ikki o'lchovli figura yoki shakl darajasining o'lchovidir; sirtni ob'ekt sirtining darajasi deb ta'riflash mumkin. Bu ob'ekt yaqinidagi uch o'lchovli fazodagi o'lchovdir.

Perimetrni oddiygina ikki o'lchovli shaklni o'rab turgan yo'lning uzunligi sifatida tasvirlash mumkin. Boshqacha qilib aytganda, bu shakl atrofidagi masofa. Keling, turli xil geometrik shakllarning perimetrini qanday topishni ko'rib chiqaylik.

Indeks
Kvadrat
To'rtburchak
Bir doira
Yarim doira

Sektor
Uchburchak
Trapezoidal
Poligon
Kvadrat
Kvadrat - bu to'rt tomoni bo'lgan va to'rtta burchagi teng (barchasi 90 °) bo'lgan to'rtburchak.

Misol: 5 sm kvadratning perimetrini topish uchun biz rasmda ko'rsatilgan formuladan foydalanamiz.
P = A + A + A + A
P = 5 + 5 + 5 + 5
P = 20 sm
Xuddi shu formuladan rombning perimetrini hisoblash mumkin.
Indeks sahifasiga qaytish
To'rtburchak
To'rtburchak - bu to'rtta burchagi teng bo'lgan to'rtburchaklar (barchasi 90 °). To'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari teng (qo'shni tomonlari esa teng emas).

Misol: To'rtburchakning perimetrini topish uchun rasmda ko'rsatilgan formuladan foydalanamiz.
l = 15 sm
b = 25 sm
P = 2 (15 + 25)
P = 2 (40)
P = 80 sm
Xuddi shu formuladan parallelogrammning perimetrini topish mumkin.
Indeks sahifasiga qaytish
Bir doira
Doirani ma'lum bir nuqtadan (markaz deb ataladi) teng masofada joylashgan nuqtalar to'plami sifatida tasvirlash mumkin. Doira perimetri aylana deb ataladi, bilan belgilanadi.

Misol: aylananing atrofini toping, biz rasmda ko'rsatilgan formuladan foydalanamiz.
Agar C = 2pR va pd bo'lsa
C = 2 X 3,14 x 7 yoki 3,14 x 14
C = 43,96 sm
Indeks sahifasiga qaytish
YArim doira
Yarim doira, boshqacha aytganda, yarim doira, uning perimetri bu doiraning yarmi bo'ladi.

Misol: yarim doira perimetrini topish uchun biz rasmda ko'rsatilgan formuladan foydalanamiz.
p = 7 sm yoki D = 14 sm (d = p + p)
P = pR va pd / 2
R = 2 X 3,14 x 7 yoki 3,14 x 14/2
P = 21,98 sm
Indeks sahifasiga qaytish
Sektor
Sektorni doiraning bir qismi sifatida tasvirlash mumkin.

Misol: sektorning perimetrini topish uchun biz rasmda ko'rsatilgan formuladan foydalanamiz.

s = 60 °
p = 7 sm
P = 60/360 X 2 X 3,14 x 7
P = 7,33 sm
Indeks sahifasiga qaytish
Uchburchak
Uchburchak - bu uch tomoni va uchta tepasi bo'lgan ko'pburchak. Uning perimetrini aniqlash uchun uchta holatni hisobga olamiz.

bitta. Uch tomon ham ma'lum bo'lganda.

Uchburchakning perimetrini topish uchun biz rasmda ko'rsatilgan formuladan foydalanamiz.
a = 14 sm
b = 16 sm
s = 15 sm
P = 14 + 16 + 15
P = 45 sm
b. To'g'ri burchakli uchburchak uchun, agar uning gipotenuzasi noma'lum bo'lsa.

To'g'ri burchakli uchburchakning perimetrini topish uchun biz rasmda ko'rsatilgan formuladan foydalanamiz.
B = 3 sm
h = 4 sm
P = b + h + √ B2 + h 2
P = 3 + 4 + √ 32 + 4 2
P = 3 + 4 + 5
P = 12 sm

Agar boshqa tomon noma'lum bo'lsa, siz Pifagor formulasidan foydalanishingiz mumkin, birinchi navbatda tomonni toping va keyin perimetrni hisoblang.
Bilan. Boshqa har qanday uchburchak uchun, faqat ikki tomon va burchak ma'lum bo'lganda.

Avvalo, kosinuslar qonunidan foydalanib, tomonning uzunligini topishimiz kerak,
Agar A, B va C uchburchak tomonlarining uzunligi bo'lsa, a, b va C tomonlari mos ravishda A, B va C tomonlari bilan qarama-qarshi burchaklarga ega bo'lsa, biz noma'lum tomonning uzunligini (aytaylik, c) topishimiz mumkin. formula:

C2 = a 2 + B 2 - c 2.b, chunki (c)

masalan
A = 4 sm
B = 2 sm
C2 = 4 2 + 2 2 - 2 4.2 co * (45)
C2 = 16 + 4 - 2 (0,876)
C2 = 20 - 1,752
C2 = 18,284
s = 4,272 sm

P = A + B + C
P = 4 + 2 + 4,272
P = 10,272 sm
Indeks sahifasiga qaytish
ASOSIY TOSH
Trapezoid - bu kamida bir juft parallel chiziqdan iborat to'rtburchak. Parallel chiziqlar trapetsiyaning asosi deb ataladi, boshqa tomoni esa trapetsiyaning oyoqlari deb nomlanmaydi. Parallel chiziqlar orasidagi masofaga trapetsiya balandligi deyiladi.
Keling, perimetrni topish uchun uch xil stsenariyni ko'rib chiqaylik.

bitta. Hamma tomonlar bilganda.

A = 4 sm
b = 16 sm
s = 5 sm
d = 8 sm
P = 4 + 16 + 5 + 8
P = 33 sm
b. Qachon uning tomonlari (oyoqlari) noma'lum.

Trapetsiyaning perimetrini topish uchun biz rasmda ko'rsatilgan formuladan foydalanamiz.
b = 16 sm
h = 3 sm
d = 8 sm
P = b + d + h
1
+
1
Gunoh (S)
Gunoh (A)

P = 16 + 8 + 3
1
+
1
Gunoh (53)
Gunoh (45)

P = 16 + 8 + 33,3
P = 57,3 sm
Bilan. Bitta poydevor va balandlik noma'lum bo'lganda.

Tasavvur qiling-a, agar biz trapezoidal shaklni ikkala tomondan asoslarning uzunligi teng bo'ladigan tarzda kesib tashlasak va biz kesilgan qismni birlashtirganda, rasmda ko'rsatilganidek, uchburchakka ega bo'lamiz.

∠ va ∠s teng bo'lganda; barcha uch burchak 60 °. Bu uchburchak teng qirrali uchburchakdir, shuning uchun yon uzunligi asosga qo'shilsa, biz kattaroq taglikning uzunligini olamiz.
Burchaklar teng bo'lganda; burchaklar yig'indisi 180 ° ga ayiriladi.

Ushbu uchburchakning maydoni formula bo'yicha hisoblanishi mumkin
A = ½ X X X sin (B)
Trapetsiyaning perimetrini toping,
A = 4 sm
s = 6 sm
d = 11 sm
∠ a = 53 °
∠ c = 65 °
∠ B = 78 °
Maydoni = ½ x 4 x 6 x sin 78
Maydoni = 6,12 sm2
Uchburchak asosi =
Kvadrat
½ X x gunoh (lar)

Baza =
6. 12
½ X 4 x gunoh (65)

Baza =
6. 12
2 x 0,826

Baza = 3,70 sm
Trapezoidning asosi = 11 + 3,70 = 14,70 sm

Endi bizda trapetsiyaning tomonlari va asosi bor, biz perimetrni topamiz.
P = 14,7 + 4 + 6 + 11
P = 35,7 sm
Indeks sahifasiga qaytish
Poligon
Chiziqlar bir-biri bilan kesishmaydigan har qanday yopiq shakl ko'pburchak hosil qiladi. Ko'pburchakning ichki burchaklarining yig'indisi har doim 360 ° ni tashkil qiladi va ular ega bo'lgan tomonlar soniga qarab nomlanadi.

bitta. Muntazam ko'pburchakning barcha tomonlari teng, shuning uchun tomonlar soni va har bir tomonning uzunligi ma'lum bo'lganda, ko'pburchakning perimetri rasmda ko'rsatilgan formuladan foydalanib hisoblanishi mumkin.

Misol: Agar olti burchakli tomonlari 5 sm bo'lsa, uning perimetrini quyida ko'rsatilgandek hisoblash mumkin.
n = 6 (olti burchakning olti tomoni bor)
s = 5 sm
P = 6 x 5
P = 30 sm
b. Agar ko'pburchakning yon uzunligi noma'lum bo'lsa, uning perimetrini quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin.

X = 2 x Tan x (180 / n)
Mana apotema.
Apotem - ko'pburchak markazidan tomonning o'rta nuqtasigacha bo'lgan chiziq segmenti.

N = 2 x R x Tan (180 / n)
R-radius.
Muntazam ko'pburchak markazidan istalgan cho'qqigacha bo'lgan masofa.

Misol: 4 sm apotemli olti burchak uchun uning tomonini quyida ko'rsatilgandek hisoblash mumkin.
s = 2 x 4 x sarg'ish (180/6)
x = 8 x To'ng'iz (30)
s = 8 x 0,58
s = 4,62 sm

P = 6 x 4,62 = 27,71 sm

4 sm radiusli olti burchak uchun uning tomonini quyida ko'rsatilgandek hisoblash mumkin.
x = 2 x 4 x gunoh (180/6)
s = 8 x sin (30)
s = 8 x 0,5
s = 4,00 sm

P = 6 x 4,00 = 24 sm
Bilan. Noto'g'ri ko'pburchak uchun, agar uning barcha tomonlari teng bo'lsa, biz uning perimetrini oddiygina barcha tomonlarning uzunliklarini qo'shish orqali hisoblashimiz mumkin.

Misol: olti tomoni bo'lgan tartibsiz ko'pburchak
C1 = 8 sm
C2 = 6 sm
C3 = 4 sm
C4 = 7 sm
C5 = 5 sm
C6 = 4 sm

P = C1 + C2 + C3 + C4 + C5 + C6
P = 8 + 6 + 4 + 7 + 5 + 4
P = 36 sm
Indeks sahifasiga qaytish
Bilamizki, geometriya dastlab biroz qiyin bo'lishi mumkin (bizga ishoning, bilamiz), lekin mashq qilishda davom eting va har bir urinishda siz albatta yaxshiroq bo'lasiz.

To'g'ri to'rtburchakning perimetrini topish qobiliyati ko'plab geometrik masalalarni echish uchun juda muhimdir. Quyida turli xil to'rtburchaklar perimetrini qanday topish mumkin.

Muntazam to'rtburchakning perimetrini qanday topish mumkin

Oddiy to'rtburchak to'rtburchak bo'lib, uning parallel tomonlari teng va barcha burchaklari = 90º. Uning perimetrini topishning ikkita usuli mavjud:

Biz barcha tomonlarni qo'shamiz.

To'rtburchakning perimetrini hisoblang, uning kengligi 3 sm va uzunligi 6 ga teng.

Yechim (harakatlar va mulohazalar ketma-ketligi):

• To'rtburchakning kengligi va uzunligini bilganimiz uchun uning perimetrini topish qiyin bo'lmaydi. Kenglik kenglikka parallel va uzunlikka parallel. Shunday qilib, oddiy to'rtburchakning 2 kengligi va 2 uzunligi bor.
• Biz barcha tomonlarni (3 + 3 + 6 + 6) = 18 sm katlaymiz.

Javob: P = 18 sm.

Ikkinchi yo'l quyidagicha:

Kenglik va uzunlikni qo'shib, 2 ga ko'paytirishingiz kerak. Ushbu usulning formulasi quyidagicha: 2 × (a + b), bu erda a - kenglik, b - uzunlik.

Ushbu muammo doirasida biz quyidagi yechimga erishamiz:

2 × (3 + 6) = 2 × 9 = 18.

Javob: P = 18.

To'rtburchakning perimetrini qanday topish mumkin - kvadrat

Kvadrat oddiy to'rtburchakdir. To'g'ri, chunki barcha tomonlar va burchaklar teng. Uning perimetrini topishning ikkita usuli ham mavjud:

• Har tomondan katlayın.
• Uning tomonini 4 ga ko'paytiring.

Misol: Agar kvadrat tomoni = 5 sm bo'lsa, uning perimetrini toping.

Talabalar hatto boshlang'ich maktabda ham perimetrni qanday topishni o'rganadilar. Keyin bu ma'lumotlar matematika va geometriya kurslarida doimiy ravishda qo'llaniladi.

Barcha raqamlar uchun umumiy nazariya

Partiyalarni lotin harflari bilan belgilash odatiy holdir. Bundan tashqari, ular segmentlar sifatida belgilanishi mumkin. Keyin harflar har bir tomon uchun ikkitadan kerak bo'ladi va katta hajmda yoziladi. Yoki belgini bitta harf bilan kiriting, bu albatta kichik bo'ladi.
Harflar har doim alifbo tartibida tanlanadi. Uchburchak uchun ular birinchi uchta bo'ladi. Olti burchakda ulardan 6 tasi bo'ladi - a dan f gacha. Bu formulalarni kiritish uchun qulay.

Endi perimetrni qanday topish mumkin. Bu shaklning barcha tomonlari uzunliklarining yig'indisidir. Terminlar soni uning turiga bog'liq. Perimetr lotincha R harfi bilan belgilanadi. O'lchov birliklari tomonlar uchun berilganlar bilan bir xil.

Turli shakllar uchun perimetr formulalari

Uchburchak uchun: P = a + b + c. Agar u teng yonli bo'lsa, u holda formula o'zgartiriladi: P = 2a + b. Agar uchburchak teng tomonli bo'lsa, uning perimetri qanday topiladi? Bu yordam beradi: P = 3a.

Ixtiyoriy to'rtburchak uchun: P = a + b + c + d. Uning maxsus holati kvadrat, perimetr formulasi: P = 4a. To'rtburchak ham bor, keyin bunday tenglik talab qilinadi: P = 2 (a + b).

Agar uchburchakning bir yoki bir necha tomonining uzunligi noma'lum bo'lsa-chi?

Agar ma'lumotlar orasida ikkita tomon va ular orasidagi burchak bo'lsa, kosinus teoremasidan foydalaning, bu A harfi bilan belgilanadi. Keyin perimetrni topishdan oldin siz uchinchi tomonni hisoblashingiz kerak bo'ladi. Buning uchun quyidagi formula foydalidir: c² = a² + b² - 2 av cos (A).

Ushbu teoremaning alohida holati Pifagor tomonidan to'g'ri burchakli uchburchak uchun tuzilgan. Unda to'g'ri burchakli kosinusning qiymati nolga teng bo'ladi, ya'ni oxirgi atama oddiygina yo'qoladi.

Bir tomondan uchburchakning perimetrini qanday topish mumkinligini bilib olishingiz mumkin bo'lgan holatlar mavjud. Ammo shu bilan birga, raqamning burchaklari ham ma'lum. Bu erda tomonlar uzunliklarining mos qarama-qarshi burchaklar sinuslariga nisbati teng bo'lganda, sinuslar teoremasi yordamga keladi.

Shaklning perimetri uning maydoni bilan ma'lum bo'lishi kerak bo'lgan vaziyatda boshqa formulalar yordam beradi. Misol uchun, agar chizilgan doira radiusi ma'lum bo'lsa, unda uchburchakning perimetrini qanday topish mumkinligi haqidagi savolda quyidagi formula yordam beradi: S = p * r, bu erda p - yarim perimetr. Bu formuladan kelib chiqib, ikkiga ko'paytirilishi kerak.

Vazifalarga misollar

Birinchisining holati. Tomonlari 3, 4 va 5 sm boʻlgan uchburchakning perimetrini toping.
Yechim. Siz yuqorida ko'rsatilgan tenglikdan foydalanishingiz kerak va shunchaki qiymat muammosidagi ma'lumotlarni unga almashtirishingiz kerak. Hisob-kitoblar oson, ular 12 sm raqamiga olib keladi.
Javob. Uchburchakning perimetri 12 sm.

Ikkinchi holat. Uchburchakning bir tomoni 10 sm.Ma'lumki, ikkinchisi birinchisidan 2 sm, uchinchisi esa birinchisidan 1,5 marta katta. Uning perimetrini hisoblash uchun talab qilinadi.
Yechim... Uni tan olish uchun siz ikki tomonni hisoblashingiz kerak. Ikkinchisi 10 va 2 ning yig'indisi sifatida aniqlanadi, uchinchisi 10 va 1,5 ko'paytmasiga teng. Keyin faqat uchta qiymatning yig'indisini hisoblash qoladi: 10, 12 va 15. Natijada 37 sm bo'ladi.
Javob. Perimetri 37 sm.

Uchinchi shart. To'rtburchaklar va kvadrat mavjud. To'rtburchakning bir tomoni 4 sm, ikkinchisi esa 3 sm kattaroqdir. Kvadratning perimetri to'rtburchaknikidan 6 sm kamroq bo'lsa, uning yon tomonining qiymatini hisoblash kerak.
Yechim. To'rtburchakning ikkinchi tomoni 7. Buni bilib, uning perimetrini hisoblash oson. Hisoblash 22 smni beradi.
Kvadrat tomonini bilish uchun avval to'rtburchakning perimetridan 6 ni ayirish kerak, so'ngra olingan sonni 4 ga bo'lish kerak. Natijada bizda 4 raqami bor.
Javob. Kvadratning yon tomoni 4 sm.

Geometrik shakllarning perimetri va maydonini aniqlash ko'plab amaliy yoki kundalik muammolarni hal qilishda yuzaga keladigan muhim vazifadir. Agar siz devor qog'ozini yopishtirishingiz, panjara o'rnatishingiz, bo'yoq yoki plitka iste'molini hisoblashingiz kerak bo'lsa, unda siz, albatta, geometrik hisob-kitoblar bilan shug'ullanishingiz kerak bo'ladi.

Ro'yxatga olingan kundalik muammolarni hal qilish uchun siz turli xil geometrik shakllar bilan ishlashingiz kerak bo'ladi. Sizga eng mashhur yassi raqamlarning parametrlarini hisoblash imkonini beruvchi onlayn kalkulyatorlar katalogini taqdim etamiz. Keling, ularni ko'rib chiqaylik.

Bir doira

Maxsus holatlar

Bir xil tomonlari bo'lgan to'rtburchaklar. Paralelogramma, agar uning diagonallari 90 gradus burchak ostida kesishsa va burchaklarining bissektrisalari bo'lsa, rombga aylanadi.

Bu to'g'ri burchakli parallelogramm. Bundan tashqari, agar uning tomonlari va diagonallari Pifagor teoremasining shartlariga mos keladigan bo'lsa, parallelogramm to'rtburchak hisoblanadi.

Bu barcha tomonlari teng va barcha burchaklari teng bo'lgan parallelogramma. Kvadratning diagonallari to'rtburchaklar va romb diagonallarining xususiyatlarini to'liq takrorlaydi, bu esa kvadratni maksimal simmetriya bilan tavsiflangan noyob shaklga aylantiradi.

Poligon

Muntazam ko'pburchak - bu tekislikdagi qavariq shakl bo'lib, tomonlari va burchaklari teng. Tomonlarning soniga qarab, ko'pburchaklar o'z nomlariga ega:

• - beshburchak;
• - olti burchakli;
• sakkiz - sakkizburchak;
• o'n ikki - o'n ikki burchakli.

Va boshqalar. Geometrlar aylana cheksiz ko'p burchakli ko'pburchak deb hazillashadi. Bizning kalkulyatorimiz faqat oddiy ko'pburchaklarning perimetrlari va maydonlarini aniqlash uchun dasturlashtirilgan. U barcha to'g'ri ko'pburchaklar uchun umumiy formulalardan foydalanadi. Perimetrni hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalaning:

Bu erda n - ko'pburchakning tomonlar soni, a - tomonning uzunligi.

Hududni aniqlash uchun quyidagi ifoda ishlatiladi:

S = n / 4 × a ^ 2 × ctg (pi / n).

Tegishli n ni almashtirib, biz har qanday muntazam ko'pburchak uchun formulani topishimiz mumkin, unga teng yonli uchburchak va kvadrat ham kiradi.

Ko'pburchaklar juda keng tarqalgan haqiqiy hayot... Shunday qilib, AQSh Mudofaa vazirligi binosi - Pentagon - beshburchak shakliga ega, olti burchakli - chuqurchalar yoki qor parchalari kristallari, sakkizburchak - yo'l belgilari. Bundan tashqari, ko'plab protozoalar, masalan, radiolaryanlar muntazam ko'pburchaklar shakliga ega.

Haqiqiy hayot misollari

Keling, haqiqiy hisob-kitoblarda kalkulyatorimizdan foydalanishning bir nechta misollarini ko'rib chiqaylik.

Panjara bo'yash

Sirtlarni bo'yash va bo'yoqlarni hisoblash minimal matematikani talab qiladigan eng aniq kundalik vazifalardan biridir. Agar biz balandligi 1,5 metr va uzunligi 20 metr bo'lgan panjarani bo'yashimiz kerak bo'lsa, nechta bo'yoq kerak bo'ladi? Buning uchun siz to'siqning umumiy maydonini va 1 kvadrat metr uchun bo'yoq va laklarning iste'molini aniqlashingiz kerak. Biz bilamizki, emal iste'moli har bir metr uchun 130 grammni tashkil qiladi. Endi to'rtburchaklar maydoni kalkulyatoridan foydalanib, panjara maydonini aniqlaylik. Bu S = 30 kvadrat metr bo'ladi. Tabiiyki, biz devorni har ikki tomondan bo'yab qo'yamiz, shuning uchun bo'yash uchun maydon 60 kvadratga ko'payadi. Keyin bizga 60 × 0,13 = 7,8 kilogramm bo'yoq yoki 2,8 kilogrammlik uchta standart quti kerak bo'ladi.

Fringed trim

Kiyim tikish - keng geometrik bilimlarni talab qiladigan yana bir soha. Faraz qilaylik, sharfni chekka bilan kesishimiz kerak, ya'ni tomonlari 150, 100, 75 va 75 sm bo'lgan teng yonli trapesiya bo'lib, chekka sarfini hisoblash uchun biz trapetsiyaning perimetrini bilishimiz kerak. Bu erda onlayn kalkulyator yordam beradi. Keling, ushbu hujayra ma'lumotlarini kiritamiz va javobni olamiz:

Shunday qilib, sharfni kesish uchun bizga 4 m chekka kerak bo'ladi.

Xulosa

Yassi figuralar tashkil qiladi haqiqiy dunyo atrofida. Biz maktabda tez-tez o'ylardik, kelajakda geometriya bizga foydali bo'ladimi? Yuqoridagi misollar matematikaning kundalik hayotda doimiy ravishda qo'llanilishini ko'rsatadi. Va agar to'rtburchakning maydoni bizga tanish bo'lsa, unda o'nta burchakning maydonini hisoblash qiyin bo'lishi mumkin. Yechish uchun bizning kalkulyatorlar katalogimizdan foydalaning maktab topshiriqlari yoki maishiy muammolar.

Bittasi asosiy tushunchalar matematika to'rtburchakning perimetri. Ushbu mavzu bo'yicha ko'plab muammolar mavjud, qaysi birini hal qilishda perimetr formulasi va uni hisoblash ko'nikmalarisiz qilolmaydi.

Asosiy tushunchalar

To'rtburchak - bu to'rtburchak bo'lib, uning barcha burchaklari to'g'ri, qarama-qarshi tomonlari juft bo'lib teng va parallel. Bizning hayotimizda ko'plab raqamlar to'rtburchaklar shakliga ega, masalan, stol yuzasi, daftar va boshqalar.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik: er uchastkasining chegaralari bo'ylab panjara o'rnatilishi kerak. Har bir tomonning uzunligini bilish uchun siz ularni o'lchashingiz kerak.

Guruch. 1. To'rtburchak shaklidagi er uchastkasi.

Er uchastkasining uzunligi 2 m., 4 m., 2 m., 4 m bo'lgan tomonlari bor.Chunki to'siqning umumiy uzunligini bilish uchun barcha tomonlarning uzunliklarini qo'shish kerak:

2 + 2 + 4 + 4 = 2 2 + 4 2 = (2 + 4) 2 = 12 m.

Umumiy holatda bu qiymat perimetr deb ataladi. Shunday qilib, perimetrni topish uchun rasmning barcha tomonlarini katlama kerak. Perimetrni ko'rsatish uchun P harfi ishlatiladi.

To'g'ri to'rtburchak shaklning perimetrini hisoblash uchun uni to'rtburchaklarga bo'lish shart emas, bu raqamning faqat barcha tomonlarini o'lchagich (lenta o'lchovi) bilan o'lchash va ularning yig'indisini topish kerak.

To'rtburchakning perimetri mm, sm, m, km va boshqalar bilan o'lchanadi. Agar kerak bo'lsa, topshiriqdagi ma'lumotlar bir xil o'lchov tizimiga tarjima qilinadi.

To'rtburchakning perimetri turli birliklarda o'lchanadi: mm, sm, m, km va hokazo. Agar kerak bo'lsa, topshiriqdagi ma'lumotlar bitta o'lchov tizimiga o'tkaziladi.

Shakl perimetri formulasi

Agar to'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari teng ekanligini hisobga olsak, to'rtburchakning perimetri uchun formulani olishimiz mumkin:

$ P = (a + b) * 2 $, bu erda a, b - rasmning tomonlari.

Guruch. 2. Qarama-qarshi tomonlari ko'rsatilgan to'rtburchak.

Perimetrni topishning yana bir usuli bor. Agar vazifaga rasmning faqat bir tomoni va maydoni berilgan bo'lsa, siz boshqa tomonni maydon orqali ifodalash uchun foydalanishingiz mumkin. Keyin formula quyidagicha ko'rinadi:

$ P = ((2S + 2a2) \ (a)) $ ustida, bu erda S - to'rtburchakning maydoni.

Guruch. 3. Tomonlari a, b bo‘lgan to‘rtburchak.

Mashq qilish : To‘rtburchakning tomonlari 4 sm va 6 sm bo‘lsa, uning perimetrini hisoblang.

Yechim:

Biz $ P = (a + b) * 2 $ formulasidan foydalanamiz

$ P = (4 + 6) * 2 = 20 sm $

Shunday qilib, rasmning perimetri $ P = 20 sm $.

Perimetr shaklning barcha tomonlari yig'indisi bo'lganligi sababli, yarim perimetr faqat bitta uzunlik va kenglikning yig'indisidir. Perimetrni olish uchun yarim perimetrni 2 ga ko'paytirish kerak.

Maydon va perimetr har qanday shaklni o'lchash uchun ikkita asosiy tushunchadir. Ular bir-biriga bog'liq bo'lsa-da, chalkashmasliklari kerak. Agar siz maydonni kattalashtirsangiz yoki kamaytirsangiz, unda, shunga ko'ra, uning perimetri ortadi yoki kamayadi.

Biz nimani o'rgandik?

Biz to'rtburchakning perimetrini qanday topishni o'rgandik. Shuningdek, uni hisoblash formulasi bilan tanishdim. Bu mavzuni nafaqat matematik masalalarni yechishda, balki hayotda ham uchratish mumkin.

Mavzu bo'yicha test

Maqola reytingi

O'rtacha reyting: 4.5. Qabul qilingan umumiy baholar: 363.