Agar sinus ma'lum bo'lsa, uchburchakning maydonini qanday topish mumkin. Uchburchakning maydoni

Agar muammo uchburchakning ikki tomonining uzunligini va ular orasidagi burchakni beradigan bo'lsa, unda siz sinus orqali uchburchakning maydoni uchun formulani qo'llashingiz mumkin.

Sinus yordamida uchburchakning maydonini hisoblash misoli. Berilgan tomonlar a = 3, b = 4 va burchak g = 30 °. 30° burchakning sinusi 0,5 ga teng

Uchburchakning maydoni 3 kvadrat metrni tashkil qiladi. sm.

Maydoni kasrga ko'paytirilgan tomonning yarmi kvadratiga teng bo'ladi. Uning numeratori qo‘shni burchaklar sinuslarining ko‘paytmasi, maxraji esa qarama-qarshi burchakning sinusidir. Endi biz quyidagi formulalar yordamida maydonni hisoblaymiz:

Masalan, tomoni a=3 va burchaklari g=60°, b=60° boʻlgan uchburchak berilgan. Uchinchi burchakni hisoblang:
Ma'lumotlarni formulaga almashtirish
Biz uchburchakning maydoni 3,87 kvadrat metr ekanligini aniqlaymiz. sm.

II. Kosinus orqali uchburchakning maydoni

Uchburchakning maydonini topish uchun siz barcha tomonlarning uzunligini bilishingiz kerak. Kosinus teoremasidan foydalanib, siz noma'lum tomonlarni topishingiz mumkin va shundan keyingina ulardan foydalaning.
Kosinuslar teoremasiga ko'ra, uchburchakning noma'lum tomonining kvadrati qolgan tomonlari kvadratlarining yig'indisiga shu tomonlarning ikki barobar ko'paytmasi va ular orasidagi burchakning kosinusiga teng.

Teoremadan biz noma'lum tomonning uzunligini topish formulalarini olamiz:

Ikki tomon va ular orasidagi burchakka ega bo'lgan holda, etishmayotgan tomonni qanday topishni bilib, siz maydonni osongina hisoblashingiz mumkin. Kosinus orqali uchburchak maydonining formulasi turli muammolarning echimini tez va oson topishga yordam beradi.

Kosinus yordamida uchburchakning maydoni uchun formulani hisoblash misoli
Tomonlari ma'lum a = 3, b = 4 va g = 45 ° burchakli uchburchak berilgan. Birinchidan, etishmayotgan tomonni topamiz Bilan. Kosinus 45°=0,7. Buning uchun ma'lumotlarni kosinus teoremasidan olingan tenglamaga almashtiramiz.
Endi formuladan foydalanib, topamiz

Uchburchak maydoni teoremasi

Teorema 1

Uchburchakning maydoni ikki tomonning ko'paytmasining yarmiga va bu tomonlar orasidagi burchak sinusiga teng.

Isbot.

Bizga $ABC$ ixtiyoriy uchburchak berilsin. Bu uchburchakning tomonlari uzunliklarini $BC=a$, $AC=b$ deb belgilaymiz. $C=(0,0)$ nuqta, $B$ nuqta o'ng yarim o'qda $Ox$ va $A$ nuqta birinchi koordinata kvadrantida joylashgan bo'lishi uchun Dekart koordinata tizimini kiritamiz. $A$ nuqtadan $h$ balandligini chizamiz (1-rasm).

1-rasm. 1-teoremaning tasviri

Demak, $h$ balandligi $A$ nuqtaning ordinatasiga teng

Sinuslar teoremasi

Teorema 2

Uchburchakning tomonlari qarama-qarshi burchaklarning sinuslariga proporsionaldir.

Isbot.

Bizga $ABC$ ixtiyoriy uchburchak berilsin. Bu uchburchak tomonlarining uzunliklarini $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ deb belgilaymiz (2-rasm).

2-rasm.

Keling, buni isbotlaylik

1-teorema bo'yicha biz bor

Ularni juftlikda tenglashtirib, biz buni olamiz

Kosinus teoremasi

Teorema 3

Uchburchak tomonining kvadrati uchburchakning qolgan ikki tomonining kvadratlari yig'indisiga, bu tomonlar orasidagi burchakning kosinusiga ikki marta ko'paytmasiga teng.

Isbot.

Bizga $ABC$ ixtiyoriy uchburchak berilsin. Uning tomonlari uzunliklarini $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$ deb belgilaymiz. $A=(0,0)$ nuqta, $B$ nuqta musbat yarim o'qda $Ox$ va $C$ nuqta birinchi koordinata kvadrantida joylashgan bo'lishi uchun Dekart koordinata tizimini kiritamiz (1-rasm). 3).

3-rasm.

Keling, buni isbotlaylik

Ushbu koordinatalar tizimida biz buni olamiz

Nuqtalar orasidagi masofa formulasidan foydalanib $BC$ tomonining uzunligini toping

Ushbu teoremalardan foydalangan holda muammoga misol

1-misol

Ixtiyoriy uchburchakning chegaralangan doira diametri uchburchakning istalgan tomonining shu tomonga qarama-qarshi burchak sinusiga nisbatiga teng ekanligini isbotlang.

Yechim.

Bizga $ABC$ ixtiyoriy uchburchak berilsin. $R$ - chegaralangan doira radiusi. $BD$ diametrini chizamiz (4-rasm).

Uchburchakning maydoni uning tomonlari va ular orasidagi burchak sinusining yarmiga teng.

Isbot:

ABC ixtiyoriy uchburchakni ko'rib chiqaylik. BC tomoni = a, CA = b tomoni va S bu uchburchakning maydoni bo'lsin. Buni isbotlash kerak S = (1/2)*a*b*sin(C).

Boshlash uchun to‘g‘ri to‘rtburchak koordinatalar sistemasini kiritamiz va koordinatalar boshini C nuqtaga joylashtiramiz. Koordinatalar sistemamizni shunday joylashtiramizki, B nuqta Cx o‘qining musbat yo‘nalishida, A nuqta esa musbat ordinataga ega bo‘lsin.

Har bir narsa to'g'ri bajarilgan bo'lsa, siz quyidagi rasmni olishingiz kerak.

Berilgan uchburchakning maydonini quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin: S = (1/2)*a*h, bu erda h - uchburchakning balandligi. Bizning holatimizda h uchburchakning balandligi A nuqtaning ordinatasiga teng, ya'ni h = b*sin(C).

Olingan natijalarni hisobga olgan holda, uchburchakning maydoni formulasini quyidagicha qayta yozish mumkin: S = (1/2)*a*b*sin(C). Q.E.D.

Muammoni hal qilish

Vazifa 1. ABC uchburchagining maydonini toping, agar a) AB = 6*√8 sm, AC = 4 sm, burchak A = 60 gradus b) BC = 3 sm, AB = 18*√2 sm, B burchagi = 45 daraja c ) AC = 14 sm, CB = 7 sm, burchak C = 48 daraja.

Yuqorida isbotlangan teoremaga ko'ra, ABC uchburchakning S maydoni quyidagilarga teng:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Keling, hisob-kitoblarni bajaramiz:

a) S = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 sm^2.

b) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 sm^2.

c) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ sm^2.

Biz kalkulyatorda burchak sinusining qiymatini hisoblaymiz yoki qiymatlar jadvalidagi qiymatlardan foydalanamiz. trigonometrik burchaklar. Javob:

a) 12*√6 sm^2.

c) taxminan 36,41 sm^2.

Masala 2. ABC uchburchakning maydoni 60 sm^2. AC = 15 sm, burchak A = 30˚ bo'lsa, AB tomonini toping.

ABC uchburchagining maydoni S bo'lsin. Uchburchakning maydoni haqidagi teorema bo'yicha bizda:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Keling, unga ega bo'lgan qiymatlarni almashtiramiz:

60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.

Bu yerdan AB tomonining uzunligini ifodalaymiz: AB = (60*4)/15 = 16.

Oddiy qilib aytganda, bu maxsus retsept bo'yicha suvda pishirilgan sabzavotlar. Men ikkita boshlang'ich komponentni (sabzavotli salat va suv) va tayyor natijani - borschni ko'rib chiqaman. Geometrik nuqtai nazardan, uni to'rtburchaklar shaklida tasavvur qilish mumkin, bir tomoni marulni, ikkinchi tomoni esa suvni ifodalaydi. Ushbu ikki tomonning yig'indisi borschni ko'rsatadi. Bunday "borsch" to'rtburchakning diagonali va maydoni sof matematik tushunchalar bo'lib, hech qachon borsch retseptlarida ishlatilmaydi.

Matematika darsliklarida chiziqli burchakli funksiyalar haqida hech narsa topa olmaysiz. Ammo ularsiz matematika bo'lishi mumkin emas. Tabiat qonunlari kabi matematika qonunlari ham ularning mavjudligi haqida bilishimiz yoki bilmasligimizdan qat'iy nazar ishlaydi.

Chiziqli burchak funktsiyalari qo'shish qonunlaridir. Qanday qilib algebra geometriyaga, geometriya esa trigonometriyaga aylanishiga qarang.

Chiziqli burchak funktsiyalarisiz qilish mumkinmi? Bu mumkin, chunki matematiklar hali ham ularsiz boshqara oladilar. Matematiklarning hiylasi shundaki, ular har doim bizga faqat o'zlari biladigan muammolar haqida gapirib berishadi va hech qachon o'zlari hal qila olmaydigan muammolar haqida gapirmaydilar. Qarang. Agar biz qo'shish va bitta atama natijasini bilsak, boshqa atamani topish uchun ayirishdan foydalanamiz. Hammasi. Biz boshqa muammolarni bilmaymiz va ularni qanday hal qilishni bilmaymiz. Agar biz faqat qo'shish natijasini bilsak va ikkala shartni ham bilmasak, nima qilishimiz kerak? Bunday holda, qo'shish natijasi chiziqli burchak funktsiyalaridan foydalangan holda ikkita atamaga ajralishi kerak. Keyinchalik, bitta atama nima bo'lishi mumkinligini o'zimiz tanlaymiz va chiziqli burchak funktsiyalari ikkinchi haddan qanday bo'lishi kerakligini ko'rsatadi, shunda qo'shilish natijasi bizga kerak bo'lgan narsadir. Bunday juft atamalar cheksiz ko'p bo'lishi mumkin. IN Kundalik hayot Biz yig'indini ajratmasdan juda yaxshi ish qila olamiz; ayirish biz uchun etarli. Ammo tabiat qonunlarini ilmiy tadqiq qilishda summani uning tarkibiy qismlariga ajratish juda foydali bo'lishi mumkin.

Matematiklar haqida gapirishni yoqtirmaydigan yana bir qo'shimcha qonun (ularning yana bir hiylasi) atamalar bir xil o'lchov birliklariga ega bo'lishini talab qiladi. Salat, suv va borsch uchun bu og'irlik, hajm, qiymat yoki o'lchov birliklari bo'lishi mumkin.

Rasmda matematika uchun ikki darajadagi farq ko'rsatilgan. Birinchi daraja - bu ko'rsatilgan raqamlar sohasidagi farqlar a, b, c. Matematiklar shunday qilishadi. Ikkinchi daraja - kvadrat qavs ichida ko'rsatilgan va harf bilan ko'rsatilgan o'lchov birliklari sohasidagi farqlar. U. Bu fiziklarning qiladigan ishi. Biz uchinchi darajani - tasvirlangan ob'ektlar sohasidagi farqlarni tushunishimiz mumkin. Turli ob'ektlar bir xil miqdordagi bir xil o'lchov birliklariga ega bo'lishi mumkin. Bu qanchalik muhimligini borsch trigonometriyasi misolida ko'rishimiz mumkin. Agar biz har xil ob'ektlar uchun bir xil birlik belgisiga pastki belgilar qo'shsak, biz aniq qanday matematik miqdor ma'lum bir ob'ektni tasvirlashini va vaqt o'tishi bilan yoki bizning harakatlarimiz tufayli qanday o'zgarishini ayta olamiz. Xat V Men suvni xat bilan belgilayman S Men salatni xat bilan belgilayman B- borsch. Borscht uchun chiziqli burchak funktsiyalari shunday ko'rinadi.

Agar suvning bir qismini va salatning bir qismini olsak, ular birgalikda borschning bir qismiga aylanadi. Bu erda men sizga borschdan bir oz dam olishni va uzoq bolaligingizni eslashni taklif qilaman. Esingizdami, bizga quyon va o'rdaklarni birlashtirishga qanday o'rgatilgan? Qancha hayvonlar bo'lishini topish kerak edi. O'shanda bizga nima qilishni o'rgatishgan edi? Bizga raqamlardan o'lchov birliklarini ajratish va raqamlarni qo'shish o'rgatilgan. Ha, istalgan bitta raqamni istalgan boshqa raqamga qo'shish mumkin. Bu zamonaviy matematikaning autizmiga to'g'ridan-to'g'ri yo'l - biz buni tushunarsiz tarzda qilamiz, nima uchun tushunarsiz va bu haqiqat bilan qanday bog'liqligini juda yomon tushunamiz, uch darajadagi farq tufayli matematiklar faqat bittasi bilan ishlaydi. Bir o'lchov birligidan ikkinchisiga o'tishni o'rganish to'g'riroq bo'ladi.

Bunnies, o'rdaklar va kichik hayvonlarni bo'laklarga bo'lish mumkin. Turli ob'ektlar uchun bitta umumiy o'lchov birligi ularni bir-biriga qo'shish imkonini beradi. Bu muammoning bolalar versiyasi. Keling, kattalar uchun shunga o'xshash muammoni ko'rib chiqaylik. Quyonlar va pul qo'shsangiz nima olasiz? Bu erda ikkita mumkin bo'lgan yechim mavjud.

Birinchi variant. Biz quyonlarning bozor qiymatini aniqlaymiz va uni mavjud pul miqdoriga qo'shamiz. Biz boyligimizning umumiy qiymatini pul shaklida oldik.

Ikkinchi variant. Bizdagi banknotlar soniga quyonlar sonini qo'shishingiz mumkin. Biz ko'char mulk miqdorini bo'laklarga bo'lamiz.

Ko'rib turganingizdek, bir xil qo'shish qonuni turli xil natijalarga erishishga imkon beradi. Bularning barchasi biz nimani aniq bilmoqchi ekanligimizga bog'liq.

Ammo keling, borschimizga qaytaylik. Endi biz qachon bo'lishini ko'ramiz turli ma'nolar chiziqli burchak funktsiyalarining burchagi.

Burchak nolga teng. Bizda salat bor, lekin suv yo'q. Biz borschni pishirolmaymiz. Borscht miqdori ham nolga teng. Bu umuman nol borsch nol suvga teng degani emas. Nol salat (to'g'ri burchak) bilan nol borscht bo'lishi mumkin.

Shaxsan men uchun bu haqiqatning asosiy matematik isbotidir. Nol qo'shilganda raqamni o'zgartirmaydi. Buning sababi, agar faqat bitta atama bo'lsa va ikkinchi atama yo'q bo'lsa, qo'shishning o'zi mumkin emas. Siz buni xohlaganingizcha his qilishingiz mumkin, lekin esda tuting - nolga teng bo'lgan barcha matematik operatsiyalarni matematiklarning o'zlari ixtiro qilganlar, shuning uchun mantiqni tashlab, matematiklar tomonidan ixtiro qilingan ta'riflarni ahmoqlik bilan siqib qo'ying: "nolga bo'linish mumkin emas", "har qanday raqam ko'paytiriladi" nol nolga teng", "teshilish nuqtasi noldan tashqarida" va boshqa bema'nilik. Nol raqam emasligini bir marta eslash kifoya va sizda nol natural sonmi yoki yo'qmi degan savol boshqa hech qachon paydo bo'lmaydi, chunki bunday savol butun ma'nosini yo'qotadi: qanday qilib raqam bo'lmagan narsani raqam deb hisoblash mumkin. ? Bu ko'rinmas rangni qanday rangga ajratish kerakligini so'rashga o'xshaydi. Raqamga nol qo'shish u erda bo'lmagan bo'yoq bilan bo'yash bilan bir xil. Biz quruq cho'tka bilan silkitdik va hammaga "biz bo'yalganmiz" dedik. Lekin men biroz chetlanaman.

Burchak Noldan yuqori, lekin qirq besh darajadan kamroq. Bizda juda ko'p salat bor, lekin suv etarli emas. Natijada, biz qalin borschni olamiz.

Burchak qirq besh daraja. Bizda teng miqdorda suv va salat bor. Bu mukammal borsch (meni kechiring, oshpazlar, bu faqat matematika).

Burchak qirq besh darajadan kattaroq, lekin to'qson darajadan kamroq. Bizda ko'p suv va ozgina salat bor. Siz suyuq borsch olasiz.

To'g'ri burchak. Bizda suv bor. Salatadan qolgan hamma narsa xotiralardir, chunki biz bir vaqtlar salatni belgilagan chiziqdan burchakni o'lchashni davom ettiramiz. Biz borschni pishirolmaymiz. Borscht miqdori nolga teng. Bunday holda, suv bor ekan, ushlab turing va iching)))

Bu yerga. Shunga o'xshash narsa. Men bu erda o'rinliroq bo'lgan boshqa hikoyalarni aytib bera olaman.

Ikki do'st umumiy biznesda o'z ulushlariga ega edi. Ulardan birini o'ldirgandan keyin hammasi ikkinchisiga o'tdi.

Sayyoramizda matematikaning paydo bo'lishi.

Bu hikoyalarning barchasi chiziqli burchak funktsiyalari yordamida matematika tilida aytiladi. Boshqa payt men sizga bu funktsiyalarning matematika tuzilishidagi haqiqiy o'rnini ko'rsataman. Shu bilan birga, keling, borsch trigonometriyasiga qaytaylik va proyeksiyalarni ko'rib chiqaylik.

Shanba, 26 oktyabr, 2019 yil

haqida qiziqarli video tomosha qildim Grundy seriyasi Bir minus bir plyus bir minus bir - Numberphile. Matematiklar yolg'on gapirishadi. Ular mulohaza yuritish paytida tenglikni tekshirishni amalga oshirmadilar.

Bu mening fikrlarimni aks ettiradi.

Keling, matematiklar bizni aldash belgilarini batafsil ko'rib chiqaylik. Bahsning boshida matematiklar ketma-ketlikning yig'indisi uning juft sonli elementlarga ega yoki yo'qligiga bog'liqligini aytishadi. Bu OBYEKTİV TAQDIMLANGAN FAKT. Keyin nima bo'ladi?

Keyinchalik, matematiklar ketma-ketlikni birlikdan olib tashlashadi. Bu nimaga olib keladi? Bu ketma-ketlik elementlari sonining o'zgarishiga olib keladi - juft son toq songa, toq raqam juft songa o'zgaradi. Axir, biz ketma-ketlikka bir elementga teng element qo'shdik. Barcha tashqi o'xshashlikka qaramay, transformatsiyadan oldingi ketma-ketlik transformatsiyadan keyingi ketma-ketlikka teng emas. Cheksiz ketma-ketlik haqida gapiradigan bo'lsak ham, toq sonli elementlarga ega bo'lgan cheksiz ketma-ketlik juft sonli cheksiz ketma-ketlikka teng emasligini yodda tutishimiz kerak.

Elementlar soni har xil bo'lgan ikkita ketma-ketlik orasiga teng belgi qo'yish orqali matematiklar ketma-ketlikning yig'indisi ketma-ketlikdagi elementlar soniga BO'LIB EMAS, bu esa OB'YEKTIV TAQDIMLANGAN FAKTga zid keladi. Cheksiz ketma-ketlikning yig'indisi haqidagi keyingi fikr noto'g'ri, chunki u noto'g'ri tenglikka asoslangan.

Agar siz matematiklar isbotlash jarayonida qavslar qo'yishlarini, matematik ifoda elementlarini qayta tartibga solishlarini, biror narsa qo'shishlarini yoki olib tashlashlarini ko'rsangiz, juda ehtiyot bo'ling, ehtimol ular sizni aldashga harakat qilmoqda. Karta sehrgarlari singari, matematiklar ham sizning e'tiboringizni chalg'itish uchun iboralar bilan turli xil manipulyatsiyalardan foydalanadilar. noto'g'ri natija. Agar siz yolg'on sirini bilmasdan karta hiylasini takrorlay olmasangiz, matematikada hamma narsa ancha sodda: siz yolg'on haqida hech narsadan shubhalanmaysiz, lekin barcha manipulyatsiyalarni matematik ifoda bilan takrorlash boshqalarni to'g'riligiga ishontirishga imkon beradi. olingan natija, xuddi qachon - ular sizni ishontirishganida.

Tomoshabinlar savoli: Cheksizlik (S ketma-ketlikdagi elementlar soni sifatida) juftmi yoki toqmi? Pariteti bo'lmagan narsaning paritetini qanday o'zgartirish mumkin?

Cheksizlik matematiklar uchun, xuddi Osmon Shohligi ruhoniylar uchun - u erda hech kim bo'lmagan, lekin hamma narsa u erda qanday ishlashini aniq biladi))) Men roziman, o'limdan keyin siz juft yoki toq sonda yashadingizmi, mutlaqo befarq bo'lasiz. kunlar, lekin... Hayotingizning boshlanishiga bor-yo'g'i bir kun qo'shsangiz, biz butunlay boshqa odamni olamiz: uning familiyasi, ismi va otasining ismi mutlaqo bir xil, faqat tug'ilgan sanasi butunlay boshqacha - u edi sizdan bir kun oldin tug'ilgan.

Endi gapga o'tamiz))) Aytaylik, paritetga ega bo'lgan chekli ketma-ketlik cheksizlikka o'tayotganda bu paritetni yo'qotadi. Keyin cheksiz ketma-ketlikning har qanday chekli segmenti paritetini yo'qotishi kerak. Biz buni ko'rmayapmiz. Cheksiz ketma-ketlikda elementlarning juft yoki toq soni borligini aniq ayta olmasligimiz paritet yo‘qolganligini anglatmaydi. Parite, agar u mavjud bo'lsa, o'tkir yengidagi kabi cheksizlikka izsiz yo'qolmaydi. Bu holat uchun juda yaxshi o'xshashlik mavjud.

Soatda o'tirgan kakukdan soat qo'li qaysi tomonga aylanishini so'raganmisiz? Uning uchun o'q biz "soat yo'nalishi bo'yicha" deb ataydigan narsaga teskari yo'nalishda aylanadi. Qanchalik paradoksal bo'lmasin, aylanish yo'nalishi faqat biz aylanishni qaysi tomondan kuzatishimizga bog'liq. Shunday qilib, bizda aylanadigan bitta g'ildirak bor. Aylanish qaysi yo'nalishda sodir bo'lishini ayta olmaymiz, chunki biz uni aylanish tekisligining bir tomonidan ham, boshqa tomonidan ham kuzatishimiz mumkin. Biz faqat aylanish borligiga guvohlik bera olamiz. Cheksiz ketma-ketlikning pariteti bilan to'liq o'xshashlik S.

Endi ikkinchi aylanuvchi g'ildirakni qo'shamiz, uning aylanish tekisligi birinchi aylanadigan g'ildirakning aylanish tekisligiga parallel. Bu g‘ildiraklar qaysi yo‘nalishda aylanishini hali ham aniq ayta olmaymiz, lekin ikkala g‘ildirak ham bir yo‘nalishda yoki teskari yo‘nalishda aylanishini mutlaqo ayta olamiz. Ikki cheksiz ketma-ketlikni solishtirish S Va 1-S, Men matematika yordamida bu ketma-ketliklar har xil paritetlarga ega ekanligini va ular orasiga teng belgi qo'yish xato ekanligini ko'rsatdim. Shaxsan men matematikaga ishonaman, matematiklarga ishonmayman))) Aytgancha, cheksiz ketma-ketliklarni o'zgartirish geometriyasini to'liq tushunish uchun kontseptsiyani kiritish kerak. "bir vaqtning o'zida". Buni chizish kerak bo'ladi.

Chorshanba, 7-avgust, 2019-yil

Suhbatni yakunlab, biz cheksiz to'plamni ko'rib chiqishimiz kerak. Gap shundaki, “cheksizlik” tushunchasi matematiklarga xuddi quyonga ta’sir qilganidek ta’sir qiladi. Cheksizlikning titroq dahshati matematiklarni sog'lom fikrdan mahrum qiladi. Mana bir misol:

Asl manba joylashgan. Alpha degani haqiqiy raqam. Yuqoridagi ifodalardagi tenglik belgisi cheksizlikka son yoki cheksizlik qo‘shilsa, hech narsa o‘zgarmasligini, natijada bir xil cheksizlik bo‘lishini ko‘rsatadi. Misol tariqasida cheksiz to'plamni oladigan bo'lsak natural sonlar, keyin ko'rib chiqilgan misollarni quyidagicha ko'rsatish mumkin:

Ularning to'g'ri ekanligini aniq isbotlash uchun matematiklar juda ko'p turli xil usullarni o'ylab topishdi. Shaxsan men bu usullarning barchasiga shamanlarning daflar bilan raqs tushishi kabi qarayman. Aslini olganda, ularning barchasi yo ba'zi xonalar band bo'lmagani va yangi mehmonlar ko'chib o'tayotgani yoki mehmonlarning ba'zilari mehmonlarga joy berish uchun (juda insoniy) koridorga uloqtirilgani bilan bog'liq. Men bunday qarorlar bo'yicha o'z nuqtai nazarimni Blonde haqida fantastik hikoya shaklida taqdim etdim. Mening fikrim nimaga asoslanadi? Cheksiz miqdordagi tashrif buyuruvchilarni ko'chirish cheksiz vaqtni oladi. Mehmon uchun birinchi xonani bo'shatganimizdan so'ng, tashrif buyuruvchilardan biri har doim o'z xonasidan ikkinchisiga koridor bo'ylab oxirigacha yuradi. Albatta, vaqt omilini ahmoqona e'tiborsiz qoldirish mumkin, ammo bu "ahmoqlar uchun qonun yozilmagan" toifasida bo'ladi. Hammasi nima qilayotganimizga bog'liq: haqiqatni matematik nazariyalarga moslashtirish yoki aksincha.

"Cheksiz mehmonxona" nima? Cheksiz mehmonxona - bu qancha xonada bo'lishidan qat'i nazar, har doim bo'sh yotoqlari bo'lgan mehmonxona. Agar cheksiz "mehmon" koridoridagi barcha xonalar band bo'lsa, "mehmon" xonalari bo'lgan yana bir cheksiz koridor mavjud. Bunday koridorlar cheksiz ko'p bo'ladi. Qolaversa, “cheksiz mehmonxona” cheksiz sonli xudolar tomonidan yaratilgan cheksiz koinotdagi cheksiz sonli sayyoralardagi cheksiz sonli binolarda cheksiz sonli qavatlarga ega. Matematiklar oddiy kundalik muammolardan uzoqlasha olmaydilar: har doim bitta Xudo-Alloh-Budda bor, faqat bitta mehmonxona bor, faqat bitta yo'lak bor. Shunday qilib, matematiklar mehmonxona xonalarining seriya raqamlarini o'zgartirishga harakat qilmoqdalar va bizni "mumkin bo'lmagan narsaga o'tish" mumkinligiga ishontirishmoqda.

Men sizga cheksiz natural sonlar to'plami misolida o'z mulohazalarim mantiqini ko'rsataman. Avval siz juda oddiy savolga javob berishingiz kerak: nechta natural sonlar to'plami bor - bitta yoki ko'p? Bu savolga to'g'ri javob yo'q, chunki biz raqamlarni o'zimiz ixtiro qilganmiz; raqamlar tabiatda mavjud emas. Ha, Tabiat hisoblashda zo'r, lekin buning uchun u bizga tanish bo'lmagan boshqa matematik vositalardan foydalanadi. Tabiatning fikrini boshqa safar sizga aytaman. Biz raqamlarni ixtiro qilganimiz sababli, natural sonlarning nechta to'plami borligini o'zimiz hal qilamiz. Haqiqiy olimlarga mos keladigan ikkala variantni ham ko'rib chiqaylik.

Birinchi variant. Tokchada tinchgina yotgan natural sonlarning bitta to'plami "Bizga berilsin". Biz bu to'plamni javondan olamiz. Hammasi bo'ldi, javonda boshqa natural sonlar qolmadi va ularni olib ketadigan joy ham yo'q. Biz bu to'plamga bitta qo'sha olmaymiz, chunki bizda allaqachon mavjud. Agar chindan ham xohlasangiz nima bo'ladi? Muammosiz. Biz allaqachon olgan to'plamdan birini olib, uni javonga qaytarishimiz mumkin. Shundan so'ng, biz rafdan birini olib, qolgan narsalarga qo'shishimiz mumkin. Natijada, biz yana cheksiz natural sonlar to'plamini olamiz. Siz bizning barcha manipulyatsiyalarimizni quyidagicha yozishingiz mumkin:

Men harakatlarni algebraik yozuvda va to‘plam nazariyasi yozuvida, to‘plam elementlarining batafsil ro‘yxati bilan yozdim. Pastki belgisi bizda bitta va yagona natural sonlar to'plamiga ega ekanligini bildiradi. Ma’lum bo‘lishicha, natural sonlar to‘plami undan bitta ayirilsa va bir xil birlik qo‘shilsagina o‘zgarishsiz qoladi.

Ikkinchi variant. Bizning javonimizda ko'plab cheksiz natural sonlar to'plami mavjud. Men ta'kidlayman - TURLI, garchi ular amalda farqlanmaydi. Keling, ushbu to'plamlardan birini olaylik. Keyin boshqa natural sonlar to'plamidan bittasini olamiz va uni allaqachon olgan to'plamga qo'shamiz. Hatto ikkita natural sonlar to'plamini qo'shishimiz mumkin. Buni olamiz:

"Bir" va "ikki" pastki belgisi bu elementlarning turli to'plamlarga tegishli ekanligini ko'rsatadi. Ha, agar siz cheksiz to'plamga bitta qo'shsangiz, natijada ham cheksiz to'plam bo'ladi, lekin u asl to'plam bilan bir xil bo'lmaydi. Bitta cheksiz to‘plamga boshqa cheksiz to‘plam qo‘shsangiz, natijada birinchi ikki to‘plamning elementlaridan tashkil topgan yangi cheksiz to‘plam hosil bo‘ladi.

Natural sonlar to'plami o'lchash uchun o'lchagich bilan bir xil tarzda hisoblash uchun ishlatiladi. Endi o'lchagichga bir santimetr qo'shganingizni tasavvur qiling. Bu asl chiziqqa teng bo'lmagan boshqa chiziq bo'ladi.

Mening fikrimni qabul qilishingiz yoki qabul qilmasligingiz mumkin - bu sizning shaxsiy ishingiz. Ammo, agar siz matematik muammolarga duch kelsangiz, matematiklarning avlodlari bosib o'tgan yolg'on fikrlash yo'lidan ketyapsizmi, deb o'ylab ko'ring. Zero, matematikani o‘rganish, eng avvalo, bizda tafakkurning barqaror stereotipini shakllantiradi va shundan keyingina aqliy qobiliyatimizni oshiradi (yoki aksincha, bizni erkin fikrlashdan mahrum qiladi).

pozg.ru

Yakshanba, 4-avgust, 2019-yil

Men maqolaning postscriptini tugatayotgan edim va Vikipediyada ushbu ajoyib matnni ko'rdim:

Biz o'qiymiz: "... Bobil matematikasining boy nazariy asosi yaxlit xususiyatga ega emas edi va umumiy tizim va dalillar bazasidan mahrum bo'lgan turli xil texnikalar to'plamiga qisqartirildi".

Voy-buy! Biz qanchalik aqllimiz va boshqalarning kamchiliklarini qanchalik yaxshi ko'ra olamiz. Zamonaviy matematikaga bir xil kontekstda qarash biz uchun qiyinmi? Yuqoridagi matnni biroz izohlab, men shaxsan quyidagilarni oldim:

Zamonaviy matematikaning boy nazariy asosi yaxlit xususiyatga ega emas va umumiy tizim va dalillar bazasidan mahrum bo'lgan turli bo'limlar to'plamiga qisqartiriladi.

Men so'zlarimni tasdiqlash uchun uzoqqa bormayman - bu matematikaning boshqa ko'plab sohalari tili va qoidalaridan farq qiladigan til va qoidalarga ega. Matematikaning turli sohalaridagi bir xil nomlar har xil ma'noga ega bo'lishi mumkin. Men bir qator nashrlarni zamonaviy matematikaning eng aniq xatolariga bag'ishlamoqchiman. Ko'rishguncha.

Shanba, 3-avgust, 2019-yil

To‘plamni kichik to‘plamlarga qanday ajratish mumkin? Buning uchun tanlangan to'plamning ba'zi elementlarida mavjud bo'lgan yangi o'lchov birligini kiritishingiz kerak. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

Bizda ko'p bo'lsin A to'rt kishidan iborat. Bu to'plam "odamlar" asosida tuzilgan. Keling, ushbu to'plamning elementlarini harf bilan belgilaylik. A, raqam bilan pastki belgisi ushbu to'plamdagi har bir shaxsning seriya raqamini ko'rsatadi. Keling, yangi "jins" o'lchov birligini kiritamiz va uni harf bilan belgilaymiz b. Jinsiy xususiyatlar barcha odamlarga xos bo'lganligi sababli, biz to'plamning har bir elementini ko'paytiramiz A jinsga asoslangan b. E'tibor bering, bizning "odamlar" to'plami endi "gender xususiyatlariga ega odamlar" to'plamiga aylandi. Shundan so'ng biz jinsiy xususiyatlarni erkaklarga ajratishimiz mumkin bm va ayollar bw jinsiy xususiyatlar. Endi biz matematik filtrni qo'llashimiz mumkin: biz ushbu jinsiy xususiyatlardan birini tanlaymiz, qaysi biri - erkak yoki ayol. Agar odamda bo'lsa, biz uni birga ko'paytiramiz, agar bunday belgi bo'lmasa, uni nolga ko'paytiramiz. Va keyin biz oddiy maktab matematikasidan foydalanamiz. Qarang, nima bo'ldi.

Ko'paytirish, qisqartirish va qayta tartibga solishdan so'ng biz ikkita kichik to'plamga ega bo'ldik: erkaklar to'plami Bm va ayollarning bir qismi Bw. Matematiklar to'plamlar nazariyasini amaliyotda qo'llashda taxminan xuddi shunday fikr yuritadilar. Ammo ular bizga tafsilotlarni aytmaydilar, lekin yakuniy natijani beradilar - "ko'p odamlar erkaklar va ayollarning bir qismidan iborat". Tabiiyki, sizda savol tug'ilishi mumkin: yuqorida ko'rsatilgan o'zgarishlarda matematika qanchalik to'g'ri qo'llanilgan? Sizni ishontirib aytishga jur'at etamanki, aslida hamma narsa to'g'ri bajarilgan, buning uchun arifmetika, mantiqiy algebra va matematikaning boshqa sohalarining matematik asoslarini bilish kifoya. Bu nima? Boshqa payt men sizga bu haqda aytib beraman.

Supersetlarga kelsak, ushbu ikkita to'plamning elementlarida mavjud o'lchov birligini tanlab, ikkita to'plamni bitta supersetga birlashtira olasiz.

Ko'rib turganingizdek, o'lchov birliklari va oddiy matematika to'plamlar nazariyasini o'tmishning yodgorligiga aylantiradi. To'plamlar nazariyasida hamma narsa yaxshi emasligining belgisi shundaki, matematiklar to'plamlar nazariyasi uchun o'z tillari va yozuvlarini o'ylab topishgan. Matematiklar bir paytlar shamanlar kabi harakat qilishgan. Faqat shamanlar o'zlarining "bilimlarini" qanday "to'g'ri" qo'llashni bilishadi. Ular bizga bu "bilim" ni o'rgatadi.

Xulosa qilib aytganda, men sizga matematiklar qanday manipulyatsiya qilishini ko'rsatmoqchiman
Aytaylik, Axilles toshbaqadan o'n barobar tezroq yuguradi va undan ming qadam orqada. Bu masofani bosib o'tish uchun Axilles kerak bo'lgan vaqt ichida toshbaqa xuddi shu yo'nalishda yuz qadam sudraladi. Axilles yuz qadam yugurganda, toshbaqa yana o'n qadam sudraladi va hokazo. Jarayon infinitum davom etadi, Axilles hech qachon toshbaqaga yetib bormaydi.

Bu mulohaza barcha keyingi avlodlar uchun mantiqiy zarba bo'ldi. Aristotel, Diogen, Kant, Gegel, Gilbert... Ularning barchasi Zenonning aporiyasini u yoki bu tarzda hisoblagan. Shok shu qadar kuchli ediki " ...munozaralar shu kungacha davom etmoqda, ilmiy hamjamiyat hali paradokslar mohiyati bo‘yicha umumiy fikrga kela olmadi...muammoni o‘rganishga jalb qilindi. matematik tahlil, to'plamlar nazariyasi, yangi fizik va falsafiy yondashuvlar; ularning hech biri muammoning umumiy qabul qilingan yechimiga aylanmadi ..."[Vikipediya, "Zeno's Aporia". Hamma ularni aldashayotganini tushunadi, lekin hech kim yolg'on nimadan iboratligini tushunmaydi.

Matematik nuqtai nazardan Zenon o'z aporiyasida miqdordan ga o'tishni aniq ko'rsatdi. Ushbu o'tish doimiy o'rniga dasturni nazarda tutadi. Men tushunganimdek, o'zgaruvchan o'lchov birliklaridan foydalanish uchun matematik apparat hali ishlab chiqilmagan yoki Zenon aporiyasiga qo'llanilmagan. Odatdagi mantiqimizni qo'llash bizni tuzoqqa olib boradi. Biz fikrlash inertsiyasi tufayli o'zaro qiymatga doimiy vaqt birliklarini qo'llaymiz. Jismoniy nuqtai nazardan, bu Axilles toshbaqani quvib yetgan paytda to'liq to'xtaguncha vaqt sekinlashayotganga o'xshaydi. Vaqt to'xtasa, Axilles endi toshbaqadan o'tib keta olmaydi.

Agar biz odatdagi mantiqimizni aylantirsak, hamma narsa joyiga tushadi. Axilles doimiy tezlikda yuguradi. Uning yo'lining har bir keyingi qismi avvalgisidan o'n baravar qisqaroq. Shunga ko'ra, uni engish uchun sarflangan vaqt avvalgisidan o'n baravar kam. Agar biz ushbu vaziyatda "abadiylik" tushunchasini qo'llasak, "Axilles toshbaqani cheksiz tezlikda ushlaydi" deyish to'g'ri bo'ladi.

Ushbu mantiqiy tuzoqdan qanday qochish kerak? Doimiy vaqt birliklarida qoling va o'zaro birliklarga o'tmang. Zenon tilida bu shunday ko'rinadi:

Axilles ming qadam yugurishi kerak bo'lgan vaqt ichida toshbaqa xuddi shu yo'nalishda yuz qadam sudraladi. Birinchisiga teng bo'lgan keyingi vaqt oralig'ida Axilles yana ming qadam yuguradi, toshbaqa esa yuz qadam sudraladi. Endi Axilles toshbaqadan sakkiz yuz qadam oldinda.

Bu yondashuv voqelikni mantiqiy paradokslarsiz adekvat tasvirlaydi. Ammo bu muammoning to'liq yechimi emas. Eynshteynning yorug'lik tezligining chidab bo'lmasligi haqidagi bayonoti Zenonning "Axilles va toshbaqa" aporiyasiga juda o'xshaydi. Biz bu muammoni hali o'rganishimiz, qayta o'ylab ko'rishimiz va hal qilishimiz kerak. Va yechimni cheksiz ko'p sonlarda emas, balki o'lchov birliklarida izlash kerak.

Zenonning yana bir qiziqarli aporiyasi uchadigan o'q haqida gapiradi:

Uchib yuruvchi o'q harakatsiz, chunki u har daqiqada dam oladi va har daqiqada dam bo'lgani uchun u doimo dam oladi.

Ushbu aporiyada mantiqiy paradoks juda sodda tarzda engib o'tiladi - har bir vaqtning har bir lahzasida uchuvchi o'q kosmosning turli nuqtalarida tinch holatda bo'lishini aniqlashtirish kifoya, bu aslida harakatdir. Shu o‘rinda yana bir jihatga e’tibor qaratish lozim. Yo'lda avtomobilning bitta fotosuratidan uning harakatlanish faktini ham, unga bo'lgan masofani ham aniqlab bo'lmaydi. Mashinaning harakatlanayotganligini aniqlash uchun sizga vaqtning turli nuqtalarida bir nuqtadan olingan ikkita fotosurat kerak, ammo siz ulardan masofani aniqlay olmaysiz. Avtomobilgacha bo'lgan masofani aniqlash uchun sizga bir vaqtning o'zida kosmosning turli nuqtalaridan olingan ikkita fotosurat kerak, ammo ulardan siz harakat faktini aniqlay olmaysiz (albatta, hisob-kitoblar uchun sizga hali ham qo'shimcha ma'lumotlar kerak, trigonometriya sizga yordam beradi ). Men nimani ta'kidlamoqchiman Maxsus e'tibor, shundan iboratki, vaqtning ikki nuqtasi va kosmosdagi ikkita nuqta chalkashmaslik kerak bo'lgan turli xil narsalardir, chunki ular tadqiqot uchun turli imkoniyatlarni beradi.
Men sizga jarayonni misol bilan ko'rsataman. Biz "pimple ichidagi qizil qattiq" ni tanlaymiz - bu bizning "butun". Shu bilan birga, biz bu narsalarning kamonli va kamonsiz borligini ko'ramiz. Shundan so'ng, biz "butun" ning bir qismini tanlaymiz va "kamon bilan" to'plamni hosil qilamiz. Shamanlar o'zlarining to'plam nazariyasini haqiqatga bog'lash orqali oziq-ovqatlarini shunday olishadi.

Endi bir oz hiyla qilaylik. Keling, "kamon bilan pimple bilan qattiq" ni olaylik va qizil elementlarni tanlab, bu "butunlarni" rangga ko'ra birlashtiramiz. Bizda juda ko'p "qizil" bor. Endi yakuniy savol: natijada "kamon bilan" va "qizil" to'plamlar bir xil to'plammi yoki ikki xil to'plammi? Javobni faqat shamanlar biladi. Aniqrog'i, ularning o'zlari hech narsani bilishmaydi, lekin ular aytganidek, shunday bo'ladi.

Bu oddiy misol shuni ko'rsatadiki, to'plam nazariyasi haqiqatga kelganda mutlaqo foydasizdir. Buning siri nimada? Biz "pimple va kamon bilan qizil qattiq" to'plamini yaratdik. Shakllanish to'rt xil o'lchov birligida sodir bo'ldi: rang (qizil), kuch (qattiq), pürüzlülük (pimply), bezak (kamon bilan). Faqat o'lchov birliklari to'plami haqiqiy ob'ektlarni matematika tilida etarli darajada tasvirlashga imkon beradi.. Bu shunday ko'rinadi.

Turli indeksli "a" harfi ma'noni anglatadi turli birliklar o'lchovlar. Dastlabki bosqichda "butun" ajralib turadigan o'lchov birliklari qavs ichida ta'kidlangan. Qavs ichidan to‘plam hosil bo‘ladigan o‘lchov birligi olinadi. Oxirgi satr yakuniy natijani ko'rsatadi - to'plam elementi. Ko'rib turganingizdek, to'plamni shakllantirish uchun o'lchov birliklaridan foydalansak, natija bizning harakatlarimiz tartibiga bog'liq emas. Va bu matematika, shamanlarning daf bilan raqsga tushishi emas. Shamanlar "intuitiv ravishda" bir xil natijaga kelishlari mumkin, bu "aniq" ekanligini ta'kidlaydilar, chunki o'lchov birliklari ularning "ilmiy" arsenalining bir qismi emas.

O'lchov birliklaridan foydalanib, bitta to'plamni ajratish yoki bir nechta to'plamni bitta supersetga birlashtirish juda oson. Keling, ushbu jarayonning algebrasini batafsil ko'rib chiqaylik.