Barcha raqamlar palindromdir. Palindromlar va tub sonlar orasidagi "teskari o'zgarishlar"

Ish matni rasm va formulalarsiz joylashtirilgan.
To'liq versiya ish PDF formatidagi "Ish fayllari" yorlig'ida mavjud

Kirish

Ushbu mavzuning dolzarbligi shundan iboratki, hisoblash ko'nikmalarini shakllantirishda nostandart usullardan foydalanish darsda vaqtni tejashga va matematikadan 9 va 11-sinflarda imtihonni muvaffaqiyatli topshirishga yordam beradi.

Palindromik va repunit raqamlar to'plamning eng qiziqarli kichik to'plamlaridan birini tashkil qiladi natural sonlar. Ular g'ayrioddiy tarixga va ajoyib xususiyatlarga ega.

7, 8, 9, 11-sinflar o'rtasida tadqiqot o'tkazildi va ma'lum bo'ldiki, ko'plab bolalar bu raqamlar haqida eshitgan, ammo faqat bir nechtasi batafsil ma'lumotga ega. So'ralgan talabalarning ko'pchiligi bu raqamlar haqida ko'proq bilishni xohlaydi.

Hozirgi vaqtda yangi standartlarga o'tish bilan asosiy va o'rta (to'liq) ta'limning maqsadlari o'zgarib bormoqda. Ta’limni modernizatsiya qilish sharoitida o‘quvchilarni ongli, bardavom bilimlar bilan qurollantirish, ularning mustaqil tafakkurini rivojlantirish biz, o‘qituvchilar oldida turgan asosiy vazifalardan biridir. Yangi texnologiyalarning rivojlanishi bilan innovatsion fikrlash va yangi muammolarni qo'yish va hal qilish qobiliyatiga ega bo'lgan odamlarga talab oshdi. Shu sababli, zamonaviy maktablar amaliyotida o'quvchilarni bilim olishning faol shakllari bilan tanishtirishga qaratilgan ta'lim texnologiyasi sifatida o'quvchilarning tadqiqot faoliyati tobora keng tarqalmoqda. Tadqiqot faoliyati quyidagilardan iborat:

rivojlanish va takomillashtirishning eng samarali yo'lida yangi avlodni o'ziga jalb qilish imkonini beruvchi kuchli vosita;

qiziqishni va shunga mos ravishda o'quv jarayonining sifatini oshirish usullaridan biri.

Maqsad: palindromik va repunit raqamlari bilan tanishish va ulardan zamonaviy maktab o'quvchilarini o'qitishda foydalanish samaradorligini aniqlash. Deyarli barcha matematik tushunchalar u yoki bu tarzda son tushunchasiga tayanadi va har qanday matematik nazariyaning yakuniy natijasi, qoida tariqasida, raqamlar tilida ifodalanadi. Ularning ko`pchiligi, ayniqsa natural sonlar ma`lum belgi va xossalariga ko`ra alohida tuzilmalarga (to`plamlarga) jamlangan va o`z nomlariga ega.

Vazifalar:

Hisob tarixini oching;

Aqliy hisob-kitoblarning ayrim usullarini ko'rib chiqing va aniq misollar yordamida ulardan foydalanishning afzalliklarini ko'rsating;

Mavzu bo'yicha adabiyotlar;

Xususiyatlarni va repunitlarni ko'rib chiqing;

Orasiga o'rnating va takrorlang;

Bizni qiziqtirgan o'zgarishlarda raqamlar qanday rol o'ynashini bilib oling.

Gipoteza: Agar nostandart texnikalar qo'llanilsa, u holda hisob-kitoblarning tezligi va miqdori kamayadi.

Tub sonlar barcha natural sonlar tuzilgan sonlarning bir qismidir.

Bosh raqamlarni o'rganib, ularning g'ayrioddiylari bilan ajoyib to'plamlarni oling.

Element- juda oddiy.

O'rganish ob'ekti- palindromlar va repunitlar.

tadqiqot:

tadqiqot

Barcha matematik tushunchalar, u yoki bu tarzda, tushunchaga asoslanadi va har qanday matematik tushunchaning oxiri, qoida tariqasida, raqamlar bilan ifodalanadi.

Raqamlarni o'rganish: palindromlar va ular o'rtasida aloqa o'rnatish.

Nazariy

1 Palindromlar

palindromlar ikki ming yilliklarga borib taqaladi. Nomi aniqlandi - quadropalin. Palindrom - fraktallar, kristallar va moddalar. Qobiliyat insonning chuqurligida, darajasida yotadi. DNK molekulalari palindromik elementlardir. Uning o'zi misol, aniqrog'i, vertikal simmetriyaning o'ziga xos namunasidir.

juda ajoyib, ular chapdan o'ngga bir xil. Men Konstantinovichning "Pinokkio" kitobini o'qiyotgan edim, men buni payqadim: Va gul Azorga tushdi. Malvina undan johil Pinokkioga yozishni iltimos qildi.

Ular o'zaro deb ataladi palindromlar, tarjimasi "yugurish, qaytish" degan ma'noni anglatadi. Palindrom - eng qadimgi adabiy tajribalardan. Yunon shoiriga Yevropa palindromlari (miloddan avvalgi 300 yil).

Yunon palindromi, Konstantinopoldagi Vizantiya Sofiyasining shriftida: anomhmata mh oyin (tana bilan bir xil yuvish). Bu erda allaqachon fitna belgisi mavjud - yozilgan yozuv muqaddas shriftga emas, balki yovuz kuchlarning sehri bo'lishi kerak.

Mana palindromiklar: Argentina chaqiradi. U vafot etdi va unga salom bo'lsin. Men tepaga chiqyapman. Men eman daraxti yonida bo'laman. Misha. Bu turning kuchi. Yuvilmagan narsalarni kamroq iste'mol qiling! shippak? "Meni kirgizing!" - Maksimning sho'rvasi. - "Menga ruxsat bering, sho'rva!" Men yig'lamayman - yig'layman. Muso esa aqlsiz va aqlsiz baxtlidir. , piyozni saqlang. Siz, azizim, boring: yo'l yonida, bog'ning orqasida shaxta bor va uning orqasida shahar; yur, yuvinsang. U do'zaxda. Voy, men tirik odamni ko'rmoqdaman. qora tanli odamni chaqiradi. , va unga salom bo'lsin. Men hammomga chiqaman. qilaman. Misha suti. Bu kapitalistlarning turlari. Kamroq ovqatlaning! Uni qazib olasizmi? "Meni kirgizing!" - bir piyola sho'rva. - "Qo'ying, u uchmoqda!" Men yig'lamayman, ishonchim komil. Va aqlsiz va aqlsiz xursandman. Pishirish, piyoz. Sen, azizim, tez yur: shaxta yonida, yo‘l orqasida, orqasida esa shahar; yur, yuvinsang. U uzoq vaqtdan beri do'zaxda edi. Voy, tirik.

Menda savolim bor. Qiziq, palindromlar bormi? Xuddi shu o'zaro o'qish g'oyasini matematikaga o'tkazish mumkinmi? (yunoncha) -, joylashuvdagi bir xillik. Qandaydir tarzda boshidan bir xil natija bilan tugaydigan ob'ekt simmetrik deyiladi. Ko'p tirik mavjudotlar, barg, kapalak, ular nima bilan birlashadi. Agar ular ruhiy jihatdan chizilgan chiziq bo'ylab bo'lsa, unda ularning yarmi. Va agar siz uni chizilgan bo'ylab qo'ysangiz, unda aks ettirilgan yarmi uni to'ldiradi. Shuning uchun u aks ettirilgan deb ataladi. , uning bo'ylab oyna simmetriya o'qi hisoblanadi. Har birimiz o'zimizni ko'zguda bir necha bor ko'ramiz. Odatda biz ajablanmaymiz, savol bermaymiz, hech narsa qilmaymiz. Va faqat faylasuflar hayratda qolishdan to'xtamaydilar.

Oynada aks etganda nima o'zgaradi? Biz ko'zgular bilan tajriba o'tkazmoqdamiz. uni A harfining yon tomoniga qo'ying, keyin oynada bir xil harf bor. Ammo agar oyna, aks ettirish endi A kabi ko'rinmasa, u pastki qismi bilan A. Ammo agar oyna B dan past bo'lsa, aks ettirish ham bo'ladi. Ammo uni yon tomoniga qo'ysak, oldimizda B bo'ladi.

A harfi vertikal, B harfi esa gorizontal. , biz oynaning o'rnini o'zgartirishini bilib oldik, chap - . Ular orasida palindromlar ham bor ekan. raqamlar yo'q edi - palindromlar. Men bu palindromlar uchun raqamlarni tuzishga harakat qildim.

Ikki xonali palindromlarda birliklar o'nlab bilan mos keladi.

Raqamlarda - palindromlar, yuzlar songa to'g'ri keladi.

To'rt xonali sonlarda birlar soni birlarga, soni esa o'nlar soniga to'g'ri keladi va hokazo.

formulalar ko'proq sabab bo'ldi. Formulalar ostida - palindromlar, o'ngdan chapga o'qish natijasi bo'lmagan raqamlarning farqidan yoki iborat bo'lgan ifoda.

raqamlarini qo'shing - , keyin yig'indi emas.

Masalan: 22 + 66 = 66 + 22.

Umuman olganda, buni quyidagicha yozish mumkin:

1. O'ngdagi yig'indi natijasida ularning natijasi o'zgarmasligi uchun barcha ikki xonali juftlarni toping, masalan, 42 + 35 = 53 + 24.

tenglik:

Raqamlarni raqamli atamalar shaklida ifodalaymiz:

(10 1 + y 1) + (10x 2 + y 2) = (10 2 + x 2) + (10y 1 + x 1)

10x 1+ da 1 + 10x 2 + y 2 = 10y 2 + x 2 +10y 1 + x 1. x bilan biz tenglikni chapga, y bilan esa o'ngga siljitamiz:

10x 1 - x 1 + 10x 2 - x 2 = 10y 1 - y 1 + 10y 2 - y 2.

tarqatish:

9 x 1 + 9 x 2 = 9 y 1 + 9 y 2

9(x 1 + x 2) = 9(y 1 + y 2)

x 1 + x 2 = y 1 + y 2.

Ya'ni, masalani hal qilish uchun raqamlar yig'indisi ularning ikkinchi raqamlariga teng bo'lishi kerak.

siz quyidagi miqdorlarni qo'shishingiz mumkin:

76 + 34 = 43 + 67

25 + 63 = 36 + 52 va boshqalar.

Muammo 2. ikki xonali sonlarning barcha juftlari, ularni ayirish natijasi o'ngdan o'qish natijasi emas.

O'zimiznikini atamalar yig'indisi sifatida taqdim etish va o'zimiznikini hal qilish uchun o'zgarishlarni amalga oshirish. Bunday raqamlar teng raqamlarga ega.

(10 1 + y 1) - (10x 2 + y 2) = (10y 2 + x 2) - (10 1 + x 1)

10x 1 + y 1 - 10x 2 - y 2 = 10y 2 + x 2 - 10y 1 - x 1

10x 1 + x 1 + y 1 + 10y 1 = 10y 2 + y 2 + 10x 2 + x 2

11 x 1 + 11 y 1 = 11 x 2 + 11 y 2

11(x 1 + y 1) = 11(x 2 + y 2)

x 1 + y 1 = x 2 + y 2

siz farqlarni qilishingiz mumkin:

41 - 32 = 23 - 14

46 - 28 = 82 - 64

52 -16 = 61 - 25 va boshqalar.

Ko'paytirishda bizda: 63 ∙ 48 = 84 ∙ 36, 82 ∙ 14 = 41 ∙ 28, ... - birinchi raqamlarning N 1 va N 2 ko'paytmasi ularning ikkinchisiga teng bo'lganda (x 1 ∙ x 2 = y) 1 ∙ y 2) .

Nihoyat, bo'linish uchun quyidagi misollar:

Bunday holda, N 1 raqami va ikkinchi raqam N 2 ko'paytmasi ularning boshqa raqamlarining mahsulotiga teng, ya'ni. x 1 ∙ y 2 = x 2 ∙ y 1 .

Men mahsulot uchun isbotlashim kerak. Mana menda nima bor.

N 1 = = 10x 1 + y 1N3 = = 10y 2 + x 2

N 2 = = 10x 2 + y 2 N4 = = 10y 1 + x 1

N 1 ∙ N 2 = ∙ = (10x 1 + y 1) ∙ (10 2 + y 2)

N 3 ∙ N 4 = ∙ = (10u 2 + x 2) ∙ (10u 1 + x 1)

100 1 ∙x 2 + 10x 1 ∙y 2 + 10y 1 ∙x 2 + y 1 ∙y 2 = 100y 1 ∙y 2 + 10x 1 ∙y 2 + 10y 1 ∙y 2 + 10y 1 ∙1x 2 + x 1x 2

99x 1 ∙x 2 = 99y 1 ∙y 2; X 1 ∙x 2 = y 1 ∙u 2 , buni isbotlash kerak.

Palindrom bo'lgan raqamdan foydalanib, siz matematika olimpiadalarida tez-tez ishlatiladigan bo'linishni hal qilishingiz mumkin. Mana ulardan ba'zilari:

Masala: Uch xonali sondan bir xil sonlar yordamida sonni ayirishni isbotlang, lekin tartib bilan farq 9 ga bo‘linadi.

Bular. bu ish 9.

Aytgancha, bir avlod omadli bo'ldi, hech kimga kamida bir yil, undan kam ikki yil - 1991 va 2002 yillar - oldingisi 1881 yilda, keyingisi esa 2112 yilda bo'lgan. Ushbu ishda biz matematik hodisaga to'xtaldik - xususan, uning palindromlari.

O'zimda men ikki xonali sonlarning farqi va qismi uchun raqamlar - formulalar - palindromlarni ko'rib chiqdim va ularni isbotlay oldim. qonunlar va go'zallikni bilish qiyin va biz boshidamiz.

Palindromik sonlar va palindromik formulalar yordamida raqamlarning boʻlinuvchanligini yechish uchun ular koʻpincha matematikada uchraydi. Mana ulardan biri:

. Uch xonali sondan raqamlar bilan yozilgan son, lekin teskari bo'lsa, farq 9 ga bo'linishini isbotlang.

. ,bular. bu ish 9.

Raqamli palindromlar chapga va chapga teng o'qiladigan raqamlardir. Boshqacha qilib aytganda, simmetriya (raqamlarning joylashishi) bo'yicha belgilar soni ham juft, ham bo'lishi kerak.

Masalan: 121; 676; 4884; 94949; 1178711 va boshqalar.

Palindrom boshqa raqamlarga nisbatan qo'llanilishi mumkin. Keling, ma'lum bo'lganidan foydalanaylik.

Qabul qilish algoritmi:

Ikki xonali raqamni oling

u (raqamlarni chapga siljiting)

Raqamni aylantiring

Muvaffaqiyatga erishguningizcha shunga o'xshashlarni takrorlang

Men qilgan ishim natijasida men kompilyatsiya qilganda, uni istalgan ikki xonalidan olishingiz mumkin degan xulosaga keldim.

Biz qo'shishni emas, balki palindromlardagi operatsiyalarni ham ko'rib chiqishimiz mumkin. (2)

Keling, ulardan birini ishlatish qanday ishlab chiqarishga ikkita misol keltiraylik:

a) 212² - 121² = - 14641 = 30303;

b) = 2·11² ·101² = = 1111· = 2468642.

Endi oddiy raqamlarga. Ularning oilalari ko'p. Faqat yuz million natural sonlar orasida 781 ta oddiy bo'lib, ular birinchisiga to'g'ri keladi, ulardan to'rttasi sonlar - 2; 3; 5; 7 va faqat bitta - 11. Bular bilan bog'liq juda ko'p qiziqarli narsalar mavjud:

Juft sonli bitta palindrom mavjud - 11.

va oddiy palindromning oxirgi raqami faqat 1 bo'ladi; 3; 7 yoki 9. Bu 2 va 5 ga maʼlum boʻlinuvchanlikdan olingan. Roʻyxatdagi raqamlardan (19) yozilgan barcha tub sonlarni juftlashtirish mumkin.

Masalan: 13 va 31; 17 va 71; 37 va 73; 79 va 97.

Oddiy uch xonali sonlarda son 1 ga farq qiladigan juftliklar mavjud.

Masalan: 181 va 191; 373 va 383; 787 va 797; 919 va 929.

Shunga o'xshash narsada kuzatiladi katta raqamlar.

: 94849 va 94949; va 1178711.

Barcha bir ma'noli bo'lganlar palindromlardir.

26 raqam, palindrom emas, kvadrat palindrom

Masalan: 26² = 676

Ammo raqamlar "teskari" 13 - 31 va 113 - 311 juftlari bilan "" kvadrati: 169 - 961 va 12769 - 96721. Qizig'i shundaki, hatto ularning raqamlari ham ayyorlik bilan bog'langan:

(1+3) 2 =1+6+9,(1 + 1 + 3) 2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.

Oddiylardan - palindromlardan, ularni satr bo'yicha tartibga solib, siz raqamlarning asl naqshiga ega simmetrik raqamlarni yaratishingiz mumkin.

1- Palindromlarga misollar

2 ta takrorlash

Birliklardan tashkil topgan natural sonlar. Sanoq tizimida ular qisqaroq belgilanadi R n: R 1 = 1, R 2 = 11, R 3 = 111 va boshqalar va ular uchun shakl:

Boshqa shaklda repunitning umumiy ko'rinishi:

: o'n bir; 111; 1111; 11111; 1111111 va boshqalar.

Qiziqarli repunitlar topildi:

Repunitlar palindromik sonlarning holati bo'lib, ular ostida va teskari o'zgarishsiz qoladi.

Repunitlar o'zlarining mahsuloti bo'lgan palindromlarga ishora qiladilar.

Ma'lum oddiy repunitlar: R 2 , R 19 , R 23 , R 317 va R, va eng muhimi, bularning indekslari ham raqamlardir. Eng takrorlangan raqam - 1. katta - hali topilmagan.

Ba'zi birlashmalarni oddiylarga bo'lish:

11111 = 41∙ 271

3∙7∙11∙13∙37

11111111 = 11∙73∙101∙137

3∙37∙333667 va hokazo raqamlar mumkin.

Repunitlarni ko'paytirish natijasida biz palindromlarni oldik:

11111∙111 = 1233321

11111∙11111 = va boshqalar.

Repunitlarni ko'paytirib, har safar raqam palindrom bo'ladi degan xulosaga kelishimiz mumkin. (3).

7 raqami - chunki uning 2-asosdagi yozuvi: 111, 6-asosda: 11 (yaʼni 7 10 = 11 6 = 111 2).

Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, 7 soni b > 1 radiusi bo'yicha repunitedir.

Xususiyat kuchli bo'lgan butun sonni aniqlaymiz. 50 dan kam 8 ta kuchli bo'lishi mumkin: (1,7,13,15,21,31,40,43). , barcha kamlarning yig'indisi 15864 ga teng.

2- Misolni takrorlang

Fan sohalarida repunitlar topilmadi.

Qism

1997 yil uchun "Kvant" dan 5-sonli ikkita qiziqarli masala.

Shartlar yig'indisi takrorlanishi uchun qanday raqamlarni almashtirish kerak?

Yechim: +12345679+12345679=111111111 -

Javob: 111111111

Qaysi repunitelar 123455554321 ko'paytmasidir?

Ikki repunitni ko'paytirsak, biz

11111111 11111 =

Javob: 11111111 ·

Buni kuzatish mumkin: yozuvdagi raqamlar birinchi navbatda ko'tariladi va kamayib boradi, bu raqam kichikroqning uzunligi bo'lib, o'rtadagi raqamning takrorlanish soni bir birlik uchun takrorlashlar uzunligiga teng. Repunitlarni ko'paytirib, biz har safar raqam palindrom degan xulosaga keldik. (3)

Qoida bo'yicha repunitlarni ko'paytirishda birliklar soni 10 dan kam bo'lishi ham eksperimental hisoblanadi. U holda maksimal mahsulot: 1(19) * 1(9 marta)= 1,234,567,899,999,999,999,987,654,321. Palindrom ishlamaydi.

qiziqarli va olimpiada

Hisoblash.

Javob: 12 345 654 321

: 12 345 554 321

2 ga bo'linadigan raqamlar soni:

b) uch xonali

c) to'rt xonali

Juft son 2 ga bo'linadi. ,

a) sonlar orasida - palindromlar - 22, 44, 66 va 88. Ya'ni 4 ta son.

b) sonlar palindromlar va oxirgisi bir xil va juft bo'lishi kerak. 4 ta juft son (2, 4, 6 va 8) mavjud. O'rtada 0 dan 9 gacha bo'lgan har qanday 10 ta bo'lishi mumkin. Shunday qilib, uch xonali sonlarning umumiy soni .

v) to'rt xonali qidiruv uchun bir xil va oxirgi raqamlar juft bo'lishi kerak va ulardan 4 tasi bo'lishi kerak.Agar ikkinchi raqamlar bir xil bo'lsa, raqamlar ulardan birortasi bo'lishi kerak. Bu shuni anglatadiki, 40 ta to'rt xonali palindrom ham mavjud.

d) raqamlar uchun - birinchi va oxirgi bir xil va juft, ularning 4 tasi bor. Bundan tashqari, 2 va 4 ham 10 bo'lishi mumkin. Raqam 10 dan har qanday bo'lishi mumkin. , jami sonlar palindromlar -

Demak, bu nafaqat o'z manfaati uchun muhim ekanligiga barchamiz aminmiz. atrof-muhitga yondashuv unga qaraganda yaxshiroq yordam beradi. Va hammaga matematik uslub kerak - tilshunos, kimyogar, fizik, rassom, shoir va boshqalar.

Ushbu mavzuni o'rganib chiqib, men palindromlarning xossalarini o'rganib chiqdim va ular o'rtasidagi bog'liqlikni va ma'lumotlarning xossalarida tub sonlarning rolini o'rnatdim.

Jadvaldagi natijalar (o'xshashlik va farqlar).

3-jadval - palindromning xossalari va.

Bu boradagi izlanishlar natijasida men xossalar va repunitlarni o'rganib chiqdim, ular o'rtasida o'rnatildi, qaysi biri raqamlarning xususiyatlarini o'zgartirishda oddiy rol o'ynashini aniqladim.

tadqiqotlar (o‘xshashliklar va) jadvalga kiritilgan.

4-jadval - "Siz bu raqamlar haqida bilasizmi?"

Natijalar shuni ko'rsatdiki, barcha talabalar palindromlar va haqida ko'proq bilishgan.

Shuningdek, "Siz ushbu raqamlardan foydalanasizmi?" Ma'lumotlar kiritildi.

5-jadval - "Siz hayotda bu raqamlarmisiz?"

so'rov natijalariga ko'ra: maktab o'quvchilari qanchalik ko'p bo'lsa, ular hayotda palindrom va repunitlardan tez-tez foydalanadilar.

Xulosa

Dunyo shu qadar maftunkorki, ish bilan shug'ullanayotganda, har birimiz unga e'tibor qaratsak, o'zimiz uchun juda ko'p qiziqarli narsalarni topib olishimiz o'rganildi.

Natural sonlar: va repunitlar bilan tanishish. Ularning barchasi raqamlarga o'ziga xos xususiyatlarga ega.

Bu shuni anglatadiki, gipoteza asosiy h barcha sonlar tuzilgan qismdir.

Tut sonlarni o'rganib, ularning xossalari bilan sonli to'plamlarni oling.

Loyihalarga, aniq ijtimoiy imtiyozlarga katta e'tibor. Ko'pincha bu loyihalar uzoq muddatli, tizimga yo'naltirilgan: - sinfdan tashqari ishlar.

kombinatsiyalangan loyiha usuli individual ish hamkorlikda, kichik va jamoalarda. O'qituvchini o'zgartirish uchun loyihalarni amaliyotda amalga oshirish. Bilim tashuvchisidan u kognitiv, tadqiqotchiga aylanadi. O‘qituvchi o‘z ishini va o‘quvchilarni turli mustaqil faoliyatga, izlanish va ijodiy faoliyatga yo‘naltirishi natijasida sinfdagi psixologik muhit ham o‘zgaradi. Faoliyatni ta'minlash va qo'llab-quvvatlash hamkorlikka asoslanadi va quyidagilarni o'z ichiga oladi:

dizayn maqsadini aniqlashda;

konsalting bosqichlari: axborot izlash, loyihalash, amaliy bevosita ishlashni rag'batlantirish;

individual va usullariga e'tibor va xayoliy fikrlash, va talqin qilish, faoliyat va uning mahsuloti orqali fikrlashni boshlash;

tashabbuskorlik va ijodiy loyiha faoliyati;

loyiha faoliyati taqdimoti va ekspertizasini ta'minlashda.

Darsda va darsdan tashqari loyihalarning faol usuli natijasida o‘quvchilarda o‘rganish ko‘nikmalari va umumlashtirilgan metodlar shakllanadi. Talabalar muammolarni hal qilishdan nimani qo'lga kiritishlarini qat'iy o'zlashtiradilar. Talabalar adabiy matn bilan puxta ishlashni boshdan kechiradilar va turli manbalardan olingan hajm bilan ishlashni boshdan kechiradilar. hamkorlik va muloqot ko'nikmalariga ega bo'ling: guruhda ishlash, ishni rejalashtirish, vaziyatlarni o'rganish va qabul qilish.

Sinfda va darsdan tashqari mashg'ulotlarda loyiha ishi ma'naviyat va madaniyatni, mustaqillikni shakllantirishga, muvaffaqiyatli ijtimoiylashuvga va mehnatga faol moslashishga yordam beradi.

Ta'limdagi o'zgarishlar bilan bog'liq faoliyat usuli. Kompyuterlar ta'limning ajralmas qismiga aylandi. Ishda men undan foydalanaman zarur shart zamonaviy dars. faoliyat natijalarini aniq taqdim etish, tizimni tanlash, mavzu bo'yicha masalalarni ko'rsatish texnikasi.

AKT vositalaridan foydalangan holda loyiha ustida ishlashda nafaqat modelga amal qila oladigan, balki iloji boricha ko'proq manbalardan kerakli narsani oladigan, tahlil qiladigan va bajara oladigan shaxs shakllanadi. Maktab loyihasi usuli, chunki u o'rganish uchun yuqori motivatsiyani namoyish etadi, ortiqcha yuklaydi va o'quvchilarning salohiyatini oshiradi.

Operatsiyalar yoqilgan

Palindromlarda operatsiyalarni bajarish orqali natija palindrom ham, repunit ham bo'lishi mumkin.

2-ilova

Repunitlar mahsuloti palindrom beradi.

Ko'p reunitlarni ko'paytirib, biz har safar palindrom raqamini olamiz degan xulosaga keldik.

3-ilova

4-ilova

Tajribaning fotosurati

Foydalanilgan axborot manbalari ro'yxati

Depman I.Ya. Matematika darsligi sahifalari ortida // 5-6-sinf o'quvchilari uchun qo'llanma o'rta maktab. - M.: Ta'lim, 1989 yil.

Yates S. Repunits va kasrli davrlar // Mir nashriyoti. - 1992 yil.

Kordemskiy B.A. Raqamlarning ajoyib dunyosi // talabalar uchun kitob. - M.: Ta'lim, 1995 yil.

Kordemskiy B.A. Qaytarilgan oila bilan bir soat davomida // Kvant. -1997. - No 5. - p. 28-29.

Perelman Ya.I. Qiziqarli matematika // Tezis nashriyoti. - 1994 yil

http://arbuz.uz/t_numbers.html.

Lopovok L.M. Matematikadan mingta muammoli masala: Kitob. talabalar uchun. - M.: Ta'lim, 1995. - 239 b.

Karpushina N.M. Repunitlar va palindromlar // Maktabda matematika. - 2009 yil, 6-son. - B.55 - 58.

Strogov I.S. Sovuq raqamlarning issiqligi. Insholar. - L.: Bolalar adabiyoti, 1974 yil.

Perelman Ya.I. Jonli matematika. - M.: "Fan", 1978 yil.

Taqdimotning individual slaydlar bo'yicha tavsifi:

1 slayd

Slayd tavsifi:

Palindrom nima? Ish matematika o'qituvchisi Galina Vladimirovna Prixodko tomonidan amalga oshirildi

2 slayd

Slayd tavsifi:

Muammo Avtomobil haydovchisi mashinasining hisoblagichiga qaradi va simmetrik raqamni (palindrom) 15951 km (chapdan o'ngga yoki aksincha o'qing) ko'rdi. U, ehtimol, boshqa simmetrik raqam yaqin orada paydo bo'lmaydi, deb o'yladi. Biroq, 2 soatdan keyin u yangi simmetrik sonni topdi. Ushbu ikki soat davomida haydovchi qanday doimiy tezlikda harakat qildi? Yechish: Keyingi simmetrik son 16061. Farqi 16061 - 15951 = 110 km. Agar siz 110 km ni 2 soatga ajratsangiz, 55 km/soat tezlikka erishasiz. Javob: 55 km/soat

3 slayd

Slayd tavsifi:

Yagona davlat imtihon topshirig‘i a) 15 ga bo‘linadigan palindrom soniga misol keltiring. b) 15 ga bo‘linadigan nechta besh xonali palindrom sonlari bor? c) 15 ga bo'linadigan 37- eng katta palindromik sonni toping.Javoblari: a) 5115; b) 33; c) 59295

4 slayd

Slayd tavsifi:

Palindrom nimani anglatadi? Palindrom so'zi yunoncha palindromos so'zidan kelib chiqqan bo'lib, "yana orqaga yugurish" degan ma'noni anglatadi. Palindromlar nafaqat raqamlar, balki so'zlar, jumlalar va hatto matnlar ham bo'lishi mumkin.

5 slayd

Slayd tavsifi:

Matematikada raqamlar - palindromlar chapdan o'ngga va o'ngdan chapga bir xil o'qiladi. Masalan, barcha bir xonali sonlar, aa ko'rinishdagi ikki xonali sonlar, masalan, 11 va 99, aba ko'rinishdagi uch xonali sonlar, masalan, 535 va hokazo. Bundan tashqari, barcha ikki xonali raqamlar palindrom beradi (eng ko'p qadamlar soni - 24 - 89 va 98 raqamlarini talab qiladi) Lekin 196 soni palindrom beradimi yoki yo'qmi hali noma'lum. Raqamli palindromlar 676 (palindrom bo'lmaganlarning kvadrati bo'lgan eng kichik palindrom soni 26). 121 (palindrom kvadrati bo'lgan eng kichik palindrom soni 11).

6 slayd

Slayd tavsifi:

Superpalindrom Ba'zi palindromik iboralar va iboralar bizga qadim zamonlardan beri ma'lum. Keyin ularga ko'pincha sehrli ma'no berildi. Sehrli palindromlar qatoriga sehrli kvadratchalar ham kiradi, masalan, SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS (“Arepo sepuvchisi g‘ildiraklarini zo‘rg‘a ushlab turadi” deb tarjima qilingan).

7 slayd

Slayd tavsifi:

Hozirgi vaqtda palindrom barcha sehrli kuchlardan mahrum va oddiy so'z o'yini, miyangizni biroz ishlatishga imkon beradi. Ko'pgina palindromlar nisbatan izchil so'zlar to'plamidir, ammo qiziqarli integral va tushunarli iboralar ham mavjud, masalan, "Ammo ko'rinmas bosh farishta ma'badda yotdi va u ajoyib edi". Agar palindromik so'zlar haqida gapiradigan bo'lsak, dunyodagi eng uzun so'z "SAIPPUAKIVIKAUPPIAS" deb hisoblanadi, bu fin tilidan tarjima qilinganda "sovun sotuvchi" degan ma'noni anglatadi.

8 slayd

Slayd tavsifi:

Vazifa: nosimmetrik sonlarning tub sonlar orasida qanchalik tez-tez uchraydiganligini aniqlang. 1000 dan kichik raqamlar uchun buni tub sonlar jadvalidan topish oson. Oddiy ikki xonali sonlar orasida faqat bitta simmetrik son mavjud - 11. Keyin biz topdik: 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 797, 919, 929.

Slayd 9

Slayd tavsifi:

Isbot To'rt xonali sonlar orasida simmetrik tub sonlar mavjud emas. Keling, buni isbotlaylik. To'rt xonali nosimmetrik son abba ko'rinishiga ega. 11 ga bo'linuvchanlik mezoniga ko'ra, toq joylardagi sonlar yig'indisi bilan toq joylardagi sonlar yig'indisi o'rtasidagi farq: (a + b) - (b + a) = 0. Bu shuni anglatadiki, barcha to'rt xonali simmetrik raqamlar 11 ga bo'linadi, ya'ni kompozitsion. Xuddi shunday, barcha 2n-raqamli simmetrik sonlar orasida tub sonlar bo'lmasligini isbotlash mumkin.

10 slayd

Slayd tavsifi:

100 tagacha 25 ta tub son mavjud bo'lib, ulardan biri simmetrikdir, bu 4% ni tashkil qiladi. 1000 tagacha tub sonlar 168 ga aylanadi. Simmetrik sonlar - 16. Bu taxminan 9,5% ni tashkil qiladi. 10000 gacha simmetrik sonlar soni o'zgarmaydi. 1 000 000 gacha - 78 498 tub son. Hozirda 109 ta simmetrik son mavjud, bu taxminan 0,13% ni tashkil qiladi. Simmetrik sonlar ulushi kamayib borayotgani aniq, lekin juda katta sonlar orasida tub sonlar simmetrik ekanligini aytish umuman mumkin emas.

11 slayd

Slayd tavsifi:

Menda bir fikr bor Raqamli palindromlar boshqa belgilar ustida amallar natijasi bo'lishi mumkin. “G‘oya bor!” kitobining muallifi Martin Gardner ilm-fanning taniqli ommabopchisi sifatida ma’lum bir farazni ilgari suradi. Agar siz natural sonni (har qanday) olib, unga teskari sonini qo'shsangiz (bir xil raqamlardan iborat, lekin teskari tartib), keyin harakatni takrorlang, lekin natijada olingan miqdor bilan, keyin qadamlardan birida siz palindrom olasiz. Ba'zi hollarda qo'shimchani bir marta bajarish kifoya: 213 + 312 = 525. Lekin odatda kamida ikkita operatsiyani bajarish kerak. Masalan, agar biz 96 raqamini olsak, ketma-ket qo'shish orqali palindromni faqat to'rtinchi darajada olish mumkin: 96 + 69 = 165 165 + 651 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 4884 gipotezaning mohiyati shundan iboratki, agar siz biron bir raqamni olsangiz, ma'lum miqdordagi harakatlardan so'ng siz albatta palindromga ega bo'lasiz. Misollarni nafaqat qo'shimchalar, balki ko'rsatkichlar, ildizlarni ajratib olish va boshqa amallarda ham topish mumkin.

12 slayd

Slayd tavsifi:

Misol1 619 raqamini olaylik, uni o'ngdan chapga 1 qadam o'qiymiz 916 Ikkita sonni qo'shamiz 1535 “aylantiramiz” 5351 2-qadam 6886 qo'shamiz 6886 soni palindrom. Bundan tashqari, u faqat 2 bosqichda olingan. Uni o'ngdan chapga yoki chapdan o'ngga o'qib, biz bir xil raqamni olamiz.

Slayd 13

Slayd tavsifi:

2-misol 95 raqamini 1 qadamga olaylik. 1-qadam “Keling, aylantiramiz” 59 Uni qo‘shing 154 2-qadam. “Keling, uni aylantiramiz” 451 2-qadam 605 qo‘shamiz 3-qadam “O‘giramiz” 506 3-qadam 1111 qo‘shamiz 1111 soni palindrom.

Slayd 14

Slayd tavsifi:

Pinokkio Hammangiz Pinokkioning sarguzashtlari haqidagi kitobni eslaysiz. Malvina unga yozishni qanchalik qattiq o'rgatganini eslaysizmi? U unga quyidagi iborani yozishni buyurdi: VA AZOR PANOGASIGA TUSHDI - bu boshqa palindrom.

15 slayd

Slayd tavsifi:

Adabiyotdagi palindromlar BAQLANGANNI QO‘VON BOSDI, SEN, SASHA, TO‘LIQ, PESHONADA, BOOM ARGENTINA NEGRA BO‘LADI LEKIN SEN ONGLIK, ADA OVCHILARI VA CHIRILGAN NOTALARDAK Ozg‘insan.

16 slayd

Slayd tavsifi:

Palindromlar-SHALASH, NAGAN, KAZAK, KOK, STOMP, ROTOR, KABAC, PULP, GRANDFHER, RADAR

Slayd 17

Slayd tavsifi:

Palindromik iboralar G'ildirak to'xtadi, men qari EMAS AKA SENYA MEN ILON YEMAN VA IT BOSA ARGENTINA NEGRONI TAKSI IZLASHGA BEKKETDI NEGRONI QADRI BERADI ARGENTINALIK LYOSHA FOUND ALGFUSA B.

18 slayd

Slayd tavsifi:

Palindromlar ichida xorijiy tillar"Xonim, men Odamman" - erkakning xonim bilan tanishtirishi (Xonim, men Odamman). Bunga xonim kamtarlik bilan "o'zgartirish" bilan javob berishi mumkin: "Havo" (Momo Havo). Simmetrik bo'lganlar faqat jumlalar yoki harflar to'plami emas. Tez poyga, xavfsiz mashina (Tez poyga, xavfsiz mashina) Xudoni ko'ryapsizmi? (G'ozlar Xudoni ko'radimi?) Hech qachon toq yoki juft emas (Hech qachon toq yoki juft) Bosh qimirlatib turmang (Bosh qimirlamang) Dogma: men Xudoman (Dogma: men Xudoman) Xonim, Adanda men Odamman (Xonim, jannatda) Men Odamman) Oh, shayton Natashani ko'radi (Ah, shayton Natashani ko'radi) Xudo mening it ekanligimni ko'rdi (Xudo mening it ekanligimni ko'rdi) Men Pi ni afzal ko'raman (men p ni afzal ko'raman) Hushish uchun juda issiq (Hot qilish uchun juda issiq) )

Slayd 19

Slayd tavsifi:

Palindromlar-she'rlar Qo'lim bilan kamdan-kam sigaret qoldig'ini ushlayman... Bu yerda astoydil o'tiraman, jimlikda jahl bilan ijod qilaman, Bir marta kulaman, omadim keladi, bir marta kulaman - Ha, xursandman ! Siz uni boshidan yoki oxiridan o'qishingiz mumkin.

20 slayd

Slayd tavsifi:

Palindromic musiqada musiqiy asarlar qoidalarga muvofiq "odatdagidek" o'ynaladi. Parcha tugallangandan so'ng, yozuvlar teskarisiga o'tkaziladi. Keyin asar yana ijro etiladi, lekin ohang o'zgarmaydi. Har qanday miqdordagi iteratsiya bo'lishi mumkin, ammo pastki va tepa nima ekanligi ma'lum emas. Ushbu musiqa qismlarini ikki kishi bir vaqtning o'zida ikkala tomondan notalarni o'qishi mumkin. Bunday palindromik asarlarga Moscheles tomonidan yozilgan "Dunyo yo'li" va Motsartning "Table Tune for Two" asarlari misol bo'ladi.

Natalya Karpushina.

ORQAGA

Raqamli palindrom - bu chapdan o'ngga va o'ngdan chapga bir xil o'qiladigan natural son. Boshqacha qilib aytganda, u yozuvning simmetriyasi (raqamlarning joylashishi) bilan ajralib turadi va belgilar soni juft yoki toq bo'lishi mumkin. Palindromlar o'z nomlariga ega bo'lgan ba'zi raqamlar to'plamida uchraydi: Fibonachchi raqamlari orasida - 8, 55 (bir xil nomdagi ketma-ketlikning 6 va 10 a'zolari); raqamlangan raqamlar - 676, 1001 (mos ravishda kvadrat va beshburchak); Smit raqamlari - 45454, 983389. Har qanday repdigit, masalan, 2222222 va, xususan, repunit ham bu xususiyatga ega.

Palindromni boshqa raqamlar bo'yicha operatsiyalar natijasida olish mumkin. Shunday qilib, kitobda "Menda bir fikr bor!" Mashhur fan ommabopchisi Martin Gardner ushbu muammo bilan bog'liq holda "palindrom gipotezasini" eslatib o'tadi. Har qanday natural sonni olamiz va uni teskari songa qo'shamiz, ya'ni bir xil raqamlar bilan yozilgan, lekin teskari tartibda. Hosil bo'lgan yig'indi bilan ham xuddi shunday amalni bajaramiz va palindrom hosil bo'lguncha takrorlaymiz. Ba'zan bir qadam kifoya qiladi (masalan, 312 + 213 = 525), lekin odatda kamida ikkitasi talab qilinadi. Aytaylik, 96 raqami faqat to'rtinchi bosqichda 4884 palindromini hosil qiladi. Haqiqatdan ham:

165 + 561 = 726,

726 + 627 = 1353,

1353 + 3531 = 4884.

Va gipotezaning mohiyati shundan iboratki, har qanday raqamni olib, cheklangan miqdordagi harakatlardan so'ng biz albatta palindromga ega bo'lamiz.

Siz nafaqat qo'shishni, balki boshqa operatsiyalarni ham ko'rib chiqishingiz mumkin, jumladan, ildizlarni ko'paytirish va chiqarish. Ba'zi palindromlardan boshqalarni yaratish uchun ulardan qanday foydalanish mumkinligiga ba'zi misollar:

RAQAMLI O'YINLAR

Hozirgacha biz asosan kompozit raqamlarni ko'rib chiqdik. Endi oddiy raqamlarga murojaat qilaylik. Ularning cheksiz xilma-xilligida ko'plab qiziq namunalar va hatto palindromlarning butun oilalari mavjud. Birinchi yuz million natural sonlar orasida 781 ta oddiy palindrom mavjud bo'lib, yigirmatasi birinchi mingtaga tushadi, ulardan to'rttasi bir xonali sonlar - 2, 3, 5, 7 va faqat bittasi ikki xonali - 11. bor. ko'pchilik bunday raqamlar bilan bog'liq qiziqarli faktlar va chiroyli naqshlar.

Birinchidan, raqamlari juft sonli noyob oddiy palindrom mavjud - 11. Boshqacha aytganda, juft sonli raqamlari ikkitadan katta bo'lgan har qanday palindrom kompozit son bo'lib, uni 11 ga bo'linish testi asosida isbotlash oson. .

Ikkinchidan, har qanday oddiy palindromning birinchi va oxirgi raqamlari faqat 1, 3, 7 yoki 9 bo'lishi mumkin. Bu 2 va 5 ga bo'linishning ma'lum belgilaridan kelib chiqadi. Qizig'i shundaki, barcha oddiy ikki xonali raqamlar sanab o'tilgan raqamlar yordamida yoziladi. (19 dan tashqari), a va b raqamlari har xil bo'lgan shakldagi "teskari" sonlar (o'zaro teskari raqamlar) juftlariga bo'linishi mumkin. Ularning har biri, qaysi raqam birinchi bo'lishidan qat'i nazar, chapdan o'ngga va o'ngdan chapga bir xil o'qiladi:

13 va 31, 17 va 71,

37 va 73, 79 va 97.

Tub sonlar jadvalini ko'rib chiqsak, biz shunga o'xshash juftlarni topamiz, ularning yozuvida boshqa raqamlar ham mavjud, xususan, uch xonali raqamlar orasida o'n to'rtta shunday juft bo'ladi.

Bundan tashqari, oddiy uch xonali palindromlar orasida raqamlar juftligi mavjud o'rtacha ko'rsatkich faqat 1 bilan farq qiladi:

18 1 va 1 9 1, 37 3 va 3 8 3,

78 7 va 7 9 7, 91 9 va 9 2 9.

Xuddi shunday rasm kattaroq tub sonlar uchun ham kuzatiladi, masalan:

948 49 va 94 9 49,

1177 711 va 117 8 711.

Palindromik tub sonlar turli nosimmetrik formulalar bilan "o'rnatilishi" mumkin, bu ularning yozuv xususiyatlarini aks ettiradi. Bu besh xonali raqamlar misolida aniq ko'rinadi:

Aytgancha, shaklning oddiy ko'p xonali raqamlari faqat Repunitlar orasida topilgan ko'rinadi. Bunday raqamlarning beshtasi ma'lum. Shunisi e'tiborga loyiqki, ularning har biri uchun raqamlar soni tub son sifatida ifodalanadi: 2, 19, 23, 317, 1031. Lekin tub sonlar orasida markaziy raqamdan tashqari barcha raqamlar juda ta'sirli uzunlikdagi palindrom mavjud. kashf qilindi - u 1749 ta raqamga ega:

Umuman olganda, tub palindromik sonlar orasida ajoyib misollar mavjud. Bu erda faqat bitta misol - raqamli gigant

Va bu qiziq, chunki u 11811 ta raqamni o'z ichiga oladi, ularni uchta palidromik guruhga bo'lish mumkin va har bir guruhda raqamlar soni tub son (5903 yoki 5) sifatida ifodalanadi.

E'tiborli Juftliklar

Qiziqarli palindromik naqshlarni ma'lum raqamlarni o'z ichiga olgan tub sonlar guruhlarida ham ko'rish mumkin. Aytaylik, faqat 1 va 3 raqamlari va har bir raqamda. Shunday qilib, ikki xonali tub sonlar 13 - 31 va 31 - 13 tartibli juftlarni hosil qiladi, oltita uch xonali tub sonlardan bir vaqtning o'zida beshta raqam, ular orasida ikkita palindrom mavjud: 131 va 313 va yana ikkita son juftlikni hosil qiladi. “Qaytarilish” 311 - 113 va 113 - 311 Bu barcha holatlarda tuzilgan juftliklar raqamli kvadratlar shaklida vizual tarzda ifodalanadi (1-rasm).

Guruch. 1

Ularning xususiyatlari sehrli va lotin kvadratlariga o'xshaydi. Misol uchun, o'rtacha kvadratda har bir satr va har bir ustundagi raqamlar yig'indisi 444, diagonallarda - 262 va 626. Barcha katakchalardagi raqamlarni qo'shib, biz 888 ni olamiz. palindrom. Hatto bitta jadvaldan bir nechta raqamni bo'sh joysiz yozsak ham, biz yangi palindromlarni olamiz: 3113, 131313131 va hokazo. Nima eng katta raqam buni shunday qilish mumkinmi? Bu palindrom bo'ladimi?

311 - 113 va 113 - 311 juftlarining har biriga 131 yoki 313 ni qo'shsak, to'rtta palindromik uchlik hosil bo'ladi. Keling, ulardan birini ustunga yozamiz:

Ko'rib turganimizdek, raqamlarning o'zi ham, ularning kerakli kombinatsiyasi ham turli yo'nalishlarda o'qilganda o'zini his qiladi. Bundan tashqari, raqamlarning joylashishi nosimmetrik bo'lib, ularning har bir satrda, har bir ustunda va diagonallardan birida yig'indisi oddiy raqam - 5 bilan ifodalanadi.

Aytish kerakki, ko'rib chiqilgan raqamlar o'z-o'zidan qiziqarli. Masalan, palindrom 131 oddiy siklik raqam: birinchi raqamning har qanday ketma-ket o'zgarishi uchun oxirgi joy u 311 va 113 tub sonlarini hosil qiladi. Xuddi shu xususiyatga ega bo'lgan boshqa tub palindromlarni ko'rsata olasizmi?

Ammo "teskari" 13 - 31 va 113 - 311 juftlari kvadratga aylantirilganda, shuningdek, "teskari" raqamlar juftligini beradi: 169 - 961 va 12769 - 96721. Qizig'i shundaki, hatto ularning raqamlari yig'indisi ham shunday bo'lib chiqdi. ayyorlik bilan bog'liq:

(1 + 3) 2 = 1 + 6 + 9,

(1 + 1 + 3) 2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.

Tabiiy sonlar orasida shunga o'xshash xususiyatga ega bo'lgan boshqa juftliklar ham borligini qo'shamiz: 103 - 301, 1102 - 2011, 11113 - 31111 va boshqalar. Kuzatilgan naqsh nima bilan izohlanadi? Bu savolga javob berish uchun siz ushbu raqamlarni yozishda nima o'ziga xosligini, unda qanday raqamlar va qanday miqdorda bo'lishi mumkinligini tushunishingiz kerak.

RAQAMLI KONSTRUKTOR

Bosh palindromik raqamlardan, ularni ma'lum bir tarzda joylashtirish, aytaylik, satr satr, siz takrorlanadigan raqamlarning asl naqshlari bilan ajralib turadigan simmetrik raqamlarni yaratishingiz mumkin.

Bu erda, masalan, 1 va 3 bilan yozilgan oddiy palindromlarning chiroyli kombinatsiyasi (birinchidan tashqari, 2-rasm). Bu sonli uchburchakning o'ziga xosligi shundaki, bir xil parcha naqsh simmetriyasini buzmasdan uch marta takrorlanadi.

Guruch. 2

Satr va ustunlarning umumiy soni tub son (17) ekanligini tushunish oson. Bundan tashqari, tub sonlar va raqamlar yig'indisi: qizil rang bilan ajratilgan qismlar (17); birinchisidan tashqari har bir qator (5, 11, 17, 19, 23); uchinchi, beshinchi, ettinchi va to'qqizinchi ustunlar (7, 11) va uchburchakning tomonlarini tashkil etuvchi birliklarning "narvonlari" (11). Nihoyat, ko'rsatilgan "tomonlar" ga parallel ravishda harakat qilsak va uchinchi va beshinchi qatorlarning raqamlarini alohida qo'shsak (3-rasm), biz yana ikkita tub sonni olamiz (17, 5).

Guruch. 3

Qurilishni davom ettirib, siz ushbu uchburchak asosida yanada murakkab raqamlarni qurishingiz mumkin. Shunday qilib, oxiridan siljitish, ya'ni oxirgi raqamdan boshlab, har bir qadamda ikkita bir xil simmetrik joylashgan raqamlarni kesib tashlash va boshqalarni - 3 ga 1 va aksincha, o'zgartirish yoki almashtirish orqali shunga o'xshash xususiyatlarga ega boshqa uchburchakni olish qiyin emas. . Bunday holda, raqamlarning o'zi shunday tanlanishi kerakki, natijada olingan raqam oddiy bo'lib chiqadi. Ikkala raqamni birlashtirib, biz ko'plab tub sonlarni yashirib, raqamlarning xarakterli naqshiga ega bo'lgan rombni olamiz (4-rasm). Xususan, qizil rang bilan belgilangan raqamlar yig'indisi 37 ga teng.

Guruch. 4

Yana bir misol, asl uchburchakdan unga oltita oddiy palindrom qo'shgandan so'ng olingan uchburchak (5-rasm). Shakl o'zining nafis ramkasi bilan darhol e'tiborni tortadi. U bir xil uzunlikdagi ikkita oddiy repunit bilan chegaralangan: 23 birlik "tayanch" ni va bir xil raqam uchburchakning "tomonlarini" tashkil qiladi.

Guruch. 5

Yana bir nechta raqamlar

Bundan tashqari, ma'lum xususiyatlarga ega bo'lgan raqamlardan ko'pburchakli raqamlar yasashingiz mumkin. Aytaylik, siz 1 va 3 raqamlari yordamida yozilgan oddiy palindromlardan figurani yasashingiz kerak, ularning har birida birlik ekstremal raqamlari bor va qatordagi barcha raqamlarning yig'indisi va birliklarning umumiy soni tub sonlardir (istisno yagonadir). -raqamli palindrom). Bundan tashqari, oddiy raqam satrlarning umumiy sonini, shuningdek, yozuvda topilgan 1 yoki 3 raqamlarini ifodalashi kerak.

Shaklda. 6-rasmda muammoning yechimlaridan biri - 11 xil palindromdan qurilgan "uy" ko'rsatilgan.

Guruch. 6

Albatta, o'zingizni ikki raqam bilan cheklash va har bir foydalanilgan raqamning yozuvida barcha ko'rsatilgan raqamlar mavjudligini talab qilish shart emas. Aksincha, aksincha: axir, bu ular g'ayrioddiy kombinatsiyalar figuraning naqshiga o'ziga xoslik bering. Buni tasdiqlash uchun biz chiroyli palindromik bog'liqliklarning bir nechta misollarini keltiramiz (7−9-rasm).

Guruch. 7

Guruch. 8

Guruch. 9

Endi tub sonlar jadvali bilan qurollanib, biz taklif qilgan raqamlarga o'xshash raqamlarni o'zingiz qurishingiz mumkin.

Va nihoyat, yana bir qiziquvchanlik - palindromlar bilan tom ma'noda uzunasiga va ko'ndalangiga teshilgan uchburchak (10-rasm). Unda 11 qator tub sonlar mavjud va ustunlar takroriy raqamlar bilan tuzilgan. Va eng muhimi: palindrom 193111111323111111391 raqamni yon tomondan cheklaydi!

Formulyatsiya. To'rt xonali raqam berilgan. Bu palindrom ekanligini tekshiring. Eslatma: Palindrom - bu chapdan o'ngga va o'ngdan chapga bir xil o'qiladigan raqam, so'z yoki matn. Masalan, bizning holatlarimizda bu raqamlar 1441, 5555, 7117 va boshqalar.

Yechilayotgan masala bilan bog'liq bo'lmagan ixtiyoriy o'nlik kasrning boshqa palindromik raqamlariga misollar: 3, 787, 11, 91519 va boshqalar.

Yechim. Klaviaturadan raqam kiritish uchun biz o'zgaruvchidan foydalanamiz n. Kiritilgan raqam natural sonlar to'plamiga tegishli bo'lib, to'rt xonali bo'ladi, shuning uchun u aniq 255 dan katta, shuning uchun turi bayt ta'riflash biz uchun mos emas. Keyin biz turni ishlatamiz so'z.

Palindromik sonlar qanday xususiyatlarga ega? Yuqoridagi misollardan shuni ko'rish mumkinki, ularning ikkala tomonida bir xil "o'qilishi" tufayli birinchi va oxirgi raqamlar, ikkinchi va oxirgi raqamlar va boshqalar o'rtasigacha tengdir. Bundan tashqari, agar raqam toq sonli raqamlarga ega bo'lsa, tekshirish paytida o'rta raqamga e'tibor bermaslik mumkin, chunki yuqoridagi qoida bajarilganda, uning qiymatidan qat'i nazar, raqam palindrom hisoblanadi.

Bizning muammomizda hamma narsa biroz soddaroq, chunki kirish to'rt xonali raqamdir. Bu shuni anglatadiki, masalani hal qilish uchun biz raqamning 1 raqamini 4-raqam bilan, 2-raqamini 3-raqam bilan solishtirishimiz kerak. Agar bu tengliklarning ikkalasi ham to'g'ri bo'lsa, u holda raqam palindromdir. Faqatgina alohida o'zgaruvchilarda raqamning mos keladigan raqamlarini olish qoladi va keyin shartli operator yordamida ikkala tenglikning bajarilishini mantiqiy (mantiqiy) ifoda yordamida tekshirish kerak.

Biroq, qaror qabul qilishga shoshilmaslik kerak. Ehtimol, biz olingan sxemani soddalashtira olamizmi? Masalan, yuqorida aytib o'tilgan 1441 raqamini olaylik. Agar uni ikkita ikki xonali songa bo'lsak nima bo'ladi, birinchisida asl raqamning minglar va yuzliklar o'rinlari, ikkinchisida esa o'nliklar va birliklar o'rinlari bo'ladi. asl nusxadan. Biz 14 va 41 raqamlarini olamiz. Endi, agar ikkinchi raqam uning teskari belgisi bilan almashtirilsa (biz buni vazifa 5), keyin biz ikkita teng 14 va 14 sonini olamiz! Bu o'zgarish juda aniq, chunki palindrom har ikki yo'nalishda ham bir xil o'qiladi, u ikki marta takrorlangan raqamlar birikmasidan iborat va nusxalardan biri shunchaki orqaga buriladi.

Shunday qilib, xulosa: siz asl raqamni ikkita ikki xonali raqamga bo'lishingiz, ulardan birini teskari raqamga aylantirishingiz va keyin shartli operator yordamida olingan raqamlarni solishtirishingiz kerak. agar. Aytgancha, raqamning ikkinchi yarmining teskari yozuvini olish uchun biz ishlatilgan raqamlarni saqlash uchun yana ikkita o'zgaruvchini yaratishimiz kerak. Keling, ularni deb belgilaymiz a Va b, va ular kabi bo'ladi bayt.

Endi algoritmning o'zini tasvirlaylik:

1) Raqamni kiriting n;

2) Raqamning birlik raqamini belgilang n o'zgaruvchan a, keyin uni tashlang. Keyin o'nlik joylarini belgilaymiz n o'zgaruvchan b va uni o'chiring:

3) O‘zgaruvchiga tayinlash a o'zgaruvchilarda saqlangan teskari yozuvni ifodalovchi raqam a Va b asl raqamning ikkinchi qismi n allaqachon ma'lum bo'lgan formula bo'yicha:

4) Endi olingan sonlarning tengligi uchun mantiqiy ifoda testidan foydalanishimiz mumkin n Va a operator yordami agar va filiallar yordamida javobning chiqishini tashkil qiling:

agar n = a keyin writeln('Ha') else writeln('Yo'q');

Muammo bayonotida javob qanday shaklda ko'rsatilishi kerakligi aniq aytilmaganligi sababli, biz uni foydalanuvchi uchun intuitiv, tilning o'zida mavjud bo'lgan darajada ko'rsatishni mantiqiy deb hisoblaymiz. Paskal. Eslatib o'tamiz, operator yordamida yozish (yozish) mantiqiy tipdagi ifoda natijasini koʻrsatishingiz mumkin va agar bu ifoda rost boʻlsa, “TRUE” soʻzi koʻrsatiladi (ingliz tilida true “toʻgʻri” degan maʼnoni anglatadi), agar notoʻgʻri boʻlsa – FALSE soʻzi (ingliz tilida yolgʻon) inglizcha maʼnosini bildiradi. "noto'g'ri"). Keyin oldingi qurilish bilan agar bilan almashtirilishi mumkin

1. PalindromeNum dasturi;
2. n: so'z;
3. a, b: bayt;
4. boshlanishi
5. readln(n);
6. a:= n mod 10;
7. n:= n div 10;
8. b:= n mod 10;
9. n:= n div 10;
10. a:= 10 * a + b;
11. writeln(n = a)

Ish manbai: Yechim 4954. Yagona davlat imtihoni 2016 yil Matematika, I.V. Yashchenko. 36 variant. Javob.

19-topshiriq. Agar natural sonni palindrom deb ataymiz, agar uning o'nli kasr yozuvida barcha raqamlar simmetrik tarzda joylashtirilgan bo'lsa (birinchi va oxirgi raqamlar bir xil, ikkinchi va oxirgi raqamlar va boshqalar). Masalan, 121 va 953359 raqamlari palindromlar, lekin 10 va 953953 raqamlari palindrom emas.

a) 45 ga bo'linadigan palindromik songa misol keltiring.

b) 45 ga bo'linadigan nechta besh xonali palindromik sonlar mavjud?

c) 45 ga bo'linadigan o'ninchi eng katta palindrom sonni toping.

Yechim.

a) eng ko'p oddiy variant 45 ga bo'linadigan 5445 palindrom raqami bo'ladi.

Javob: 5445.

b) 45 sonini tub ko‘paytuvchilarga ajratamiz

ya'ni son 5 ga ham, 9 ga ham bo'linishi kerak. Raqamning 5 ga bo'linishining belgisi sonning oxirida 5 raqamining bo'lishidir (biz 0 raqamini hisobga olmaymiz, chunki u bo'linadi. mos emas). Biz palindromik sonni 5aba5 ko'rinishida olamiz, bu erda a, b sonning raqamlari. Raqamning 9 ga bo'linishining belgisi bu raqamlar yig'indisi

9 ga bo'linishi kerak. Bu shartdan biz:

b=0 uchun: ;

b=1 uchun: ;

b=2 uchun: ;

b=3 uchun: ;

b=5 uchun: ;

b=6 uchun: ;

b=7 uchun: ;