y e x funksiyaning grafigini chizing. Elementar funksiyalarning grafiklari va asosiy xossalari

Qurilish funktsiyasi

Sizning e'tiboringizga barcha huquqlar kompaniyaga tegishli bo'lgan onlayn funktsiyalar grafiklarini yaratish xizmatini taklif qilamiz Desmos. Funktsiyalarni kiritish uchun chap ustundan foydalaning. Siz qo'lda yoki oynaning pastki qismidagi virtual klaviatura yordamida kirishingiz mumkin. Grafik yordamida oynani kattalashtirish uchun siz chap ustunni ham, virtual klaviaturani ham yashirishingiz mumkin.

Onlayn diagrammaning afzalliklari

Kiritilgan funksiyalarni vizual ko'rsatish
Juda murakkab grafiklarni yaratish
Bevosita ko'rsatilgan grafiklarni qurish (masalan, ellips x^2/9+y^2/16=1)
Diagrammalarni saqlash va ularga havolani olish imkoniyati, bu Internetda hamma uchun mavjud bo'ladi
Masshtabni, chiziq rangini nazorat qilish
Konstantalardan foydalanib, nuqtalar bo'yicha grafiklarni chizish imkoniyati
Bir vaqtning o'zida bir nechta funktsiya grafiklarini chizish
Qutbli koordinatalarda chizish (r va th(\teta) dan foydalaning)

Biz bilan har xil murakkablikdagi jadvallarni onlayn tarzda yaratish oson. Qurilish darhol amalga oshiriladi. Xizmat funksiyalarning kesishish nuqtalarini topish, muammolarni hal qilishda illyustratsiyalar sifatida ularni Word hujjatiga keyinchalik ko‘chirish uchun grafiklarni tasvirlash va funksiya grafiklarining harakat xususiyatlarini tahlil qilish uchun talabga ega. Ushbu veb-sayt sahifasida diagrammalar bilan ishlash uchun eng maqbul brauzer Google Chrome hisoblanadi. Boshqa brauzerlardan foydalanganda to'g'ri ishlash kafolatlanmaydi.

Funksiya grafigi funksiyaning koordinata tekisligidagi xatti-harakatlarining vizual tasviridir. Grafiklar funksiyaning o‘zidan aniqlab bo‘lmaydigan funksiyaning turli tomonlarini tushunishga yordam beradi. Siz ko'p funktsiyalarning grafiklarini qurishingiz mumkin va ularning har biriga ma'lum formulalar beriladi. Har qanday funktsiyaning grafigi ma'lum bir algoritm yordamida quriladi (agar siz ma'lum bir funktsiyaning grafigini chizishning aniq jarayonini unutgan bo'lsangiz).

Qadamlar

Chiziqli funktsiyaning grafigini tuzish

Funktsiyaning chiziqli ekanligini aniqlang. Chiziqli funktsiya shakl formulasi bilan berilgan F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) yoki y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(masalan, ) va uning grafigi to'g'ri chiziqdir. Shunday qilib, formulaga bitta o'zgaruvchi va bitta doimiy (doimiy) ko'rsatkichlar, ildiz belgilari va shunga o'xshashlarsiz kiradi. Agar shunga o'xshash turdagi funksiya berilgan bo'lsa, bunday funktsiyaning grafigini tuzish juda oddiy. Bu erda chiziqli funktsiyalarning boshqa misollari:

Y o'qidagi nuqtani belgilash uchun doimiydan foydalaning. Doimiy (b) bu grafikning Y o'qini kesib o'tadigan nuqtaning "y" koordinatasi. Ya'ni "x" koordinatasi 0 ga teng bo'lgan nuqta. Shunday qilib, agar x = 0 formulaga almashtirilsa. , keyin y = b (doimiy). Bizning misolimizda y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) doimiy 5 ga teng, ya'ni Y o'qi bilan kesishgan nuqta koordinatalariga (0,5) ega. Bu nuqtani koordinata tekisligida chizing.

Chiziqning qiyaligini toping. U o'zgaruvchining ko'paytmasiga teng. Bizning misolimizda y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)"x" o'zgaruvchisi bilan 2 omil mavjud; demak, qiyalik koeffitsienti 2 ga teng. Nishab koeffitsienti to'g'ri chiziqning X o'qiga og'ish burchagini aniqlaydi, ya'ni qiyalik koeffitsienti qanchalik katta bo'lsa, funksiya shunchalik tez ortadi yoki kamayadi.

Nishabni kasr shaklida yozing. Burchak koeffitsienti nishab burchagi tangensiga, ya'ni vertikal masofaning (to'g'ri chiziqdagi ikkita nuqta orasidagi) gorizontal masofaga (bir xil nuqtalar orasidagi) nisbatiga tengdir. Bizning misolimizda qiyalik 2 ga teng, shuning uchun vertikal masofa 2 va gorizontal masofa 1 ekanligini aytishimiz mumkin. Buni kasr shaklida yozing: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

Nishab salbiy bo'lsa, funktsiya pasayadi.

To'g'ri chiziq Y o'qini kesishgan nuqtadan vertikal va gorizontal masofalar yordamida ikkinchi nuqtani chizing. Ikki nuqta yordamida chiziqli funktsiyaning grafigini tuzish mumkin. Bizning misolimizda Y o'qi bilan kesishish nuqtasi koordinatalariga ega (0,5); Shu nuqtadan boshlab, 2 bo'shliqni yuqoriga va keyin 1 bo'shliqni o'ngga siljiting. Nuqtani belgilang; uning koordinatalari (1,7) bo'ladi. Endi siz to'g'ri chiziq chizishingiz mumkin.

O'lchagich yordamida ikkita nuqtadan to'g'ri chiziq o'tkazing. Xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun uchinchi nuqtani toping, lekin ko'p hollarda grafik ikkita nuqta yordamida chizilishi mumkin. Shunday qilib, siz chiziqli funktsiyani chizdingiz.

Koordinata tekisligida nuqtalarni chizish
1. Funktsiyani aniqlang. Funktsiya f(x) bilan belgilanadi. Hammasi mumkin bo'lgan qiymatlar"y" o'zgaruvchisi funktsiya sohasi deb ataladi va "x" o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari funksiya sohasi deb ataladi. Masalan, y = x+2, ya'ni f(x) = x+2 funksiyasini ko'rib chiqaylik.
  
  Ikkita kesishuvchi perpendikulyar chiziq chizing. Gorizontal chiziq X o'qi Vertikal chiziq Y o'qi.
  
  Koordinata o'qlarini belgilang. Har bir o'qni teng segmentlarga ajrating va ularni raqamlang. O'qlarning kesishish nuqtasi 0. X o'qi uchun: musbat sonlar o'ngga (0 dan), manfiy raqamlar esa chapga chiziladi. Y o'qi uchun: musbat raqamlar tepada (0 dan), manfiy raqamlar esa pastda joylashgan.
  
  “x” qiymatlaridan “y” qiymatlarini toping. Bizning misolimizda f(x) = x+2. Tegishli y qiymatlarini hisoblash uchun ushbu formulaga o'ziga xos x qiymatlarini qo'ying. Agar murakkab funktsiya berilgan bo'lsa, tenglamaning bir tomonidagi "y" ni ajratib, uni soddalashtiring.
  - -1: -1 + 2 = 1
  - 0: 0 +2 = 2
  - 1: 1 + 2 = 3
2. Nuqtalarni koordinata tekisligida chizing. Har bir juft koordinata uchun quyidagilarni bajaring: X o'qi bo'yicha mos keladigan qiymatni toping va vertikal chiziqni (nuqta) chizing; Y o'qi bo'yicha mos keladigan qiymatni toping va gorizontal chiziqni (chiziq chiziq) torting. Ikki nuqta chiziqning kesishish nuqtasini belgilang; Shunday qilib, siz grafikdagi nuqtani chizdingiz.
  
  Nuqtali chiziqlarni o'chiring. Grafikdagi barcha nuqtalarni koordinata tekisligida chizgandan keyin buni bajaring. Eslatma: f(x) = x funksiyaning grafigi koordinata markazidan [koordinatalari (0,0) bo'lgan nuqta] orqali o'tuvchi to'g'ri chiziq; f(x) = x + 2 grafigi f(x) = x chiziqqa parallel, lekin ikki birlikka yuqoriga siljigan va shuning uchun (0,2) koordinatali nuqtadan o'tuvchi chiziqdir (chunki doimiy 2). .
Murakkab funktsiyaning grafigini tuzish

The uslubiy material faqat ma'lumot uchun mo'ljallangan va mavzularning keng doirasiga tegishli. Maqolada asosiy elementar funktsiyalarning grafiklari haqida umumiy ma'lumot berilgan va eng muhim masala ko'rib chiqiladi - grafikni qanday qilib to'g'ri va TEZ qurish kerak. Asosiy elementar funksiyalarning grafiklarini bilmasdan oliy matematikani o'rganish jarayonida bu qiyin bo'ladi, shuning uchun parabola, giperbola, sinus, kosinus va boshqalarning grafiklari qanday ko'rinishini eslab qolish va ba'zilarini eslab qolish juda muhimdir. funksiyalarning ma'nolari. Shuningdek, biz asosiy funktsiyalarning ba'zi xususiyatlari haqida gapiramiz.

Men materiallarning to'liqligi va ilmiy puxtaligiga da'vo qilmayman, asosiy e'tibor, birinchi navbatda, amaliyotga qaratiladi. har qadamda, oliy matematikaning istalgan mavzusida tom ma'noda duch keladi. Dummies uchun jadvallar? Shunday deyish mumkin.

O'quvchilarning ko'plab so'rovlari tufayli bosiladigan tarkib jadvali:

Bundan tashqari, mavzu bo'yicha ultra qisqacha konspekt mavjud
- OLTI sahifani o'rganish orqali 16 turdagi jadvallarni o'zlashtiring!

Jiddiy, olti, hatto men hayron bo'ldim. Ushbu xulosa yaxshilangan grafiklarni o'z ichiga oladi va nominal to'lov evaziga mavjud; demo versiyasini ko'rish mumkin. Grafiklar doimo qo'lda bo'lishi uchun faylni chop etish qulay. Loyihani qo'llab-quvvatlaganingiz uchun tashakkur!

Va darhol boshlaylik:

Koordinata o'qlarini qanday qilib to'g'ri qurish mumkin?

Amalda, testlar deyarli har doim o'quvchilar tomonidan kvadrat shaklida chizilgan alohida daftarlarda to'ldiriladi. Nega sizga katakli belgilar kerak? Axir, ish, qoida tariqasida, A4 varaqlarida bajarilishi mumkin. Va qafas faqat chizmalarning yuqori sifatli va aniq dizayni uchun kerak.

Funksiya grafigining har qanday chizmasi koordinata o'qlaridan boshlanadi.

Chizmalar ikki o'lchovli yoki uch o'lchovli bo'lishi mumkin.

Keling, birinchi navbatda ikki o'lchovli ishni ko'rib chiqaylik Dekart to'rtburchaklar koordinatalar tizimi:

1) Koordinata o'qlarini chizish. Eksa deyiladi x o'qi , va o'qi y o'qi . Biz har doim ularni chizishga harakat qilamiz toza va egri emas. O'qlar ham Papa Karloning soqoliga o'xshamasligi kerak.

2) Biz o'qlarni "X" va "Y" katta harflari bilan imzolaymiz. Boltalarni belgilashni unutmang.

3) O'qlar bo'ylab masshtabni o'rnating: nol va ikkita birlikni chizish. Chizma chizishda eng qulay va tez-tez ishlatiladigan masshtab: 1 birlik = 2 katak (chapda chizilgan) - iloji bo'lsa, unga yopishib oling. Biroq, vaqti-vaqti bilan chizilgan daftar varag'iga mos kelmasligi sodir bo'ladi - keyin biz o'lchovni kamaytiramiz: 1 birlik = 1 katak (o'ngda chizilgan). Bu kamdan-kam uchraydi, lekin chizilgan o'lchovni yanada qisqartirish (yoki oshirish) kerak bo'ladi.

…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … ni “pulemyot” o'rnatishga HAQIQAT YO'Q. Chunki koordinata tekisligi Dekartning yodgorligi emas, talaba esa kaptar emas. qo'yamiz nol Va eksa bo'ylab ikkita birlik. Ba'zan o'rniga birliklarda, boshqa qiymatlarni "belgilash" qulay, masalan, abscissa o'qida "ikki" va ordinatalar o'qida "uch" - va bu tizim (0, 2 va 3) koordinatalar panjarasini ham noyob tarzda aniqlaydi.

Chizmani qurishdan oldin chizmaning taxminiy o'lchamlarini taxmin qilish yaxshiroqdir. Shunday qilib, masalan, agar vazifa cho'qqilari bilan uchburchak chizishni talab qilsa , , , unda 1 birlik = 2 katakning mashhur shkalasi ishlamasligi aniq. Nega? Keling, bir nuqtaga qaraylik - bu erda siz o'n besh santimetr pastga o'lchashingiz kerak bo'ladi va aniqki, chizma daftar varag'iga sig'maydi (yoki deyarli sig'maydi). Shuning uchun biz darhol kichikroq o'lchovni tanlaymiz: 1 birlik = 1 hujayra.

Aytgancha, taxminan santimetr va daftar hujayralari. 30 ta daftar xujayrasi 15 santimetrdan iborat ekanligi rostmi? O'yin-kulgi uchun daftaringizdagi 15 santimetrni chizg'ich bilan o'lchang. SSSRda bu to'g'ri bo'lgan bo'lishi mumkin ... Qizig'i shundaki, agar siz xuddi shu santimetrlarni gorizontal va vertikal ravishda o'lchasangiz, natijalar (hujayralarda) boshqacha bo'ladi! Qat'iy aytganda, zamonaviy daftarlar katak emas, balki to'rtburchaklar. Bu bema'ni tuyulishi mumkin, ammo bunday vaziyatlarda, masalan, kompas bilan doira chizish juda noqulay. Rostini aytsam, shunday paytlarda siz mahalliy avtomobilsozlik, qulagan samolyotlar yoki portlovchi elektr stantsiyalari haqida gapirmasa ham, ishlab chiqarishdagi xakerlik uchun lagerlarga yuborilgan o'rtoq Stalinning to'g'riligi haqida o'ylay boshlaysiz.

Sifat haqida gapirganda yoki ish yuritish bo'yicha qisqacha tavsiya. Bugungi kunda sotuvga qo'yilgan noutbuklarning aksariyati, hech bo'lmaganda, butunlay axlatdir. Ular nafaqat jel qalamlardan, balki sharikli qalamlardan ham namlanadi! Ular qog'ozga pul tejashadi. Ro'yxatdan o'tish uchun testlar Men Arxangelsk pulpa va qog'oz fabrikasidan (18 varaq, panjara) yoki "Pyaterochka" daftarlaridan foydalanishni maslahat beraman, garchi u qimmatroq bo'lsa. Jel qalamini tanlash tavsiya etiladi, hatto eng arzon xitoy jeli ham qog'ozni bo'yaydigan yoki yirtib yuboradigan sharikli qalamga qaraganda ancha yaxshi. Men eslay oladigan yagona "raqobatbardosh" sharikli qalam - Erich Krause. U aniq, chiroyli va izchil yozadi - to'liq yadro bilan yoki deyarli bo'sh.

Qo'shimcha: To'rtburchaklar koordinata tizimini analitik geometriya ko'zlari bilan ko'rish maqolada yoritilgan. Vektorlarning chiziqli (no) bog'liqligi. Vektorlar asoslari, koordinata choraklari haqida batafsil ma'lumotni darsning ikkinchi xatboshida topish mumkin Chiziqli tengsizliklar.

3D korpus

Bu erda deyarli bir xil.

1) Koordinata o'qlarini chizish. Standart: eksa qo'llaniladi – yuqoriga yo‘naltirilgan, eksa – o‘ngga, o‘q – pastga qarab chapga yo‘naltirilgan qat'iy 45 daraja burchak ostida.

2) O'qlarni belgilang.

3) O'qlar bo'ylab masshtabni o'rnating. Eksa bo'ylab masshtab boshqa o'qlar bo'ylab shkaladan ikki marta kichikdir. Shuni ham yodda tutingki, o'ng chizmada men eksa bo'ylab nostandart "chechak" ishlatganman (bu imkoniyat yuqorida aytib o'tilgan). Mening fikrimcha, bu aniqroq, tezroq va estetik jihatdan yoqimli - mikroskop ostida hujayraning o'rtasini izlash va koordinatalarning kelib chiqishiga yaqin bo'lgan birlikni "haykal" qilishning hojati yo'q.

3D chizmani yaratishda yana o'lchovga ustunlik bering
1 birlik = 2 katak (chapda chizilgan).

Bu qoidalarning barchasi nima uchun? Qoidalar buzish uchun yaratilgan. Men hozir shunday qilaman. Gap shundaki, maqolaning keyingi chizmalari men tomonidan Excelda tuziladi va koordinata o'qlari to'g'ri dizayn nuqtai nazaridan noto'g'ri ko'rinadi. Men barcha grafiklarni qo'lda chizishim mumkin edi, lekin ularni chizish juda qo'rqinchli, chunki Excel ularni aniqroq chizishni istamaydi.

Elementar funksiyalarning grafiklari va asosiy xossalari

Chiziqli funktsiya tenglama bilan berilgan. Chiziqli funksiyalar grafigi bevosita. To'g'ri chiziqni qurish uchun ikkita nuqtani bilish kifoya.

1-misol

Funksiya grafigini tuzing. Keling, ikkita nuqtani topamiz. Nuqtalardan biri sifatida nolni tanlash foydalidir.

Agar , keyin

Yana bir nuqtani olaylik, masalan, 1.

Agar , keyin

Vazifalarni bajarishda nuqtalarning koordinatalari odatda jadvalda umumlashtiriladi:

Va qiymatlarning o'zi og'zaki yoki qoralama, kalkulyatorda hisoblanadi.

Ikki nuqta topildi, keling, chizamiz:

Chizma tayyorlashda biz har doim grafikaga imzo chekamiz.

Chiziqli funktsiyaning maxsus holatlarini eslash foydali bo'ladi:

Imzolarni qanday qo'yganimga e'tibor bering, imzolar chizmani o'rganishda nomuvofiqlikka yo'l qo'ymasligi kerak. IN Ushbu holatda Chiziqlarning kesishish nuqtasi yonida yoki grafiklar orasidagi pastki o'ngda imzo qo'yish juda istalmagan.

1) () ko'rinishdagi chiziqli funksiya to'g'ridan-to'g'ri proportsionallik deyiladi. Masalan, . To'g'ridan-to'g'ri proportsionallik grafigi har doim koordinatali nuqtadan o'tadi. Shunday qilib, to'g'ri chiziqni qurish soddalashtirilgan - faqat bitta nuqtani topish kifoya.

2) Shaklning tenglamasi o'qga parallel to'g'ri chiziqni belgilaydi, xususan, o'qning o'zi tenglama bilan berilgan. Funktsiyaning grafigi darhol, hech qanday nuqta topilmagan holda chiziladi. Ya'ni, yozuvni quyidagicha tushunish kerak: "x ning har qanday qiymati uchun y har doim -4 ga teng."

3) Shaklning tenglamasi o'qga parallel to'g'ri chiziqni belgilaydi, xususan, o'qning o'zi tenglama bilan berilgan. Funktsiyaning grafigi ham darhol chiziladi. Yozuvni quyidagicha tushunish kerak: "x har doim, y ning har qanday qiymati uchun 1 ga teng."

Ba'zilar so'rashadi, nega 6-sinfni eslaysiz?! Bu shunday, balki shundaydir, lekin ko'p yillik amaliyot davomida men yoki kabi grafik yaratish vazifasidan hayratda qolgan o'nlab talabalarni uchratdim.

To'g'ri chiziqni qurish - chizmalarni tuzishda eng keng tarqalgan harakatdir.

To'g'ri chiziq analitik geometriya kursida batafsil muhokama qilinadi va qiziquvchilar maqolaga murojaat qilishlari mumkin. Tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasi.

Kvadrat, kub funksiya grafigi, ko‘phadning grafigi

Parabola. Kvadrat funksiya grafigi () parabolani ifodalaydi. Mashhur ishni ko'rib chiqing:

Funktsiyaning ba'zi xususiyatlarini eslaylik.

Demak, tenglamamizning yechimi: – aynan shu nuqtada parabolaning uchi joylashgan. Nima uchun bu shunday bo'lganligini hosila haqidagi nazariy maqoladan va funktsiyaning ekstremal saboqlaridan bilib olish mumkin. Ayni paytda, keling, mos keladigan "Y" qiymatini hisoblaymiz:

Shunday qilib, cho'qqi nuqtada

Endi biz parabolaning simmetriyasini qo'pol ravishda ishlatib, boshqa nuqtalarni topamiz. Funktsiyani ta'kidlash kerak – hatto emas, ammo, shunga qaramay, hech kim parabolaning simmetriyasini bekor qilmadi.

Qolgan nuqtalarni qanday tartibda topish, menimcha, yakuniy jadvaldan aniq bo'ladi:

Ushbu qurilish algoritmini majoziy ma'noda "shuttle" yoki Anfisa Chexova bilan "oldinga va orqaga" tamoyili deb atash mumkin.

Keling, rasm chizamiz:

Ko'rib chiqilgan grafiklardan yana bir foydali xususiyat aqlga keladi:

Kvadrat funksiya uchun () quyidagilar to'g'ri:

Agar , u holda parabolaning shoxlari yuqoriga yo'naltiriladi.

Agar , u holda parabolaning shoxlari pastga yo'naltiriladi.

Egri chiziq haqida chuqur bilimlarni Giperbola va parabola darsida olish mumkin.

Funktsiya tomonidan kub parabola berilgan. Mana maktabdan tanish rasm:

Funktsiyaning asosiy xususiyatlarini sanab o'tamiz

Funksiya grafigi

U parabolaning shoxlaridan birini ifodalaydi. Keling, rasm chizamiz:

Funktsiyaning asosiy xususiyatlari:

Bunday holda, eksa vertikal asimptota da giperbolaning grafigi uchun.

Agar chizma chizishda grafikning asimptota bilan kesishishiga beparvolik bilan yo'l qo'ysangiz, bu YUQO'L xato bo'ladi.

Bundan tashqari, bir tomonlama chegaralar bizga giperbola ekanligini aytadi yuqoridan cheklanmagan Va pastdan cheklanmagan.

Funktsiyani cheksizlikda ko'rib chiqamiz: , ya'ni, agar biz o'q bo'ylab chapga (yoki o'ngga) abadiylikka harakat qilishni boshlasak, u holda "o'yinlar" tartibli qadamda bo'ladi. cheksiz yaqin nolga yaqinlashadi va shunga mos ravishda giperbolaning shoxlari cheksiz yaqin o'qiga yaqinlashing.

Shunday qilib, eksa gorizontal asimptota funktsiya grafigi uchun, agar "x" ortiqcha yoki minus cheksizlikka moyil bo'lsa.

Funktsiya shunday g'alati, va shuning uchun giperbola kelib chiqishiga nisbatan simmetrikdir. Bu haqiqat chizmadan yaqqol ko'rinib turibdi, qo'shimcha ravishda u analitik jihatdan osongina tekshiriladi: .

() ko'rinishdagi funktsiya grafigi giperbolaning ikkita tarmog'ini ifodalaydi.

Agar , u holda giperbola birinchi va uchinchi koordinata choraklarida joylashgan(yuqoridagi rasmga qarang).

Agar bo'lsa, giperbola ikkinchi va to'rtinchi koordinata choraklarida joylashgan.

Ko'rsatilgan giperbolaning yashash sxemasini grafiklarning geometrik o'zgarishlari nuqtai nazaridan tahlil qilish oson.

3-misol

Giperbolaning o'ng shoxini tuzing

Biz nuqtaviy qurilish usulidan foydalanamiz va qiymatlarni butunga bo'linadigan qilib tanlash foydalidir:

Keling, rasm chizamiz:

Giperbolaning chap novdasini qurish qiyin bo'lmaydi, bu erda funktsiyaning g'alatiligi yordam beradi. Taxminan aytganda, nuqtaviy qurilish jadvalida biz har bir raqamga minus qo'shamiz, tegishli nuqtalarni qo'yamiz va ikkinchi novdani chizamiz.

Ko'rib chiqilgan chiziq haqida batafsil geometrik ma'lumotni Giperbola va parabola maqolasida topish mumkin.

Ko'rsatkichli funktsiyaning grafigi

Ushbu bo'limda men darhol eksponensial funktsiyani ko'rib chiqaman, chunki oliy matematika muammolarida 95% hollarda eksponensial ko'rinadi.

Shuni eslatib o'tamanki, bu irratsional raqam: , bu grafikni qurishda talab qilinadi, men buni marosimsiz quraman. Uch ochko, ehtimol bu etarli:

Funksiya grafigini hozircha yolg‘iz qoldiraylik, bu haqda keyinroq to‘xtalib o‘tamiz.

Funktsiyaning asosiy xususiyatlari:

Funksiya grafiklari va boshqalar asosan bir xil ko'rinishga ega.

Aytishim kerakki, ikkinchi holat amalda kamroq uchraydi, lekin u sodir bo'ladi, shuning uchun men uni ushbu maqolaga kiritishni zarur deb bildim.

Logarifmik funksiya grafigi

Natural logarifmli funksiyani ko‘rib chiqaylik.
Keling, nuqtama-nuqta chizamiz:

Agar siz logarifm nima ekanligini unutgan bo'lsangiz, maktab darsliklariga murojaat qiling.

Funktsiyaning asosiy xususiyatlari:

Domen:

Qiymatlar diapazoni: .

Funktsiya yuqoridan cheklanmagan: , asta-sekin bo'lsa-da, lekin logarifmning shoxchasi cheksizlikka ko'tariladi.
Keling, o'ngdagi nolga yaqin funktsiyaning harakatini ko'rib chiqaylik: . Shunday qilib, eksa vertikal asimptota funktsiya grafigi uchun "x" o'ngdan nolga intiladi.

Logarifmning odatiy qiymatini bilish va eslab qolish juda muhimdir: .

Asosan, logarifmning asosga grafigi bir xil ko'rinadi: , , (asosga o'nlik logarifm 10) va hokazo. Bundan tashqari, taglik qanchalik katta bo'lsa, grafik tekisroq bo'ladi.

Biz ishni ko'rib chiqmaymiz; oxirgi marta qachon bunday asosga ega grafik qurganimni eslay olmayman. Va logarifm oliy matematika muammolarida juda kam uchraydigan mehmon bo'lib tuyuladi.

Ushbu paragrafning oxirida yana bir faktni aytaman: Ko‘rsatkichli funksiya va logarifmik funksiya- ikkisi o'zaro teskari funktsiyalar . Agar siz logarifm grafigiga diqqat bilan qarasangiz, bu bir xil ko'rsatkich ekanligini ko'rishingiz mumkin, u biroz boshqacha joylashgan.

Trigonometrik funksiyalarning grafiklari

Trigonometrik azob maktabda qaerdan boshlanadi? To'g'ri. Sinusdan

Keling, funktsiyani chizamiz

Bu qator deyiladi sinusoid.

Eslatib o‘taman, “pi” irratsional son: , trigonometriyada esa ko‘zni qamashtiradi.

Funktsiyaning asosiy xususiyatlari:

Bu funksiya davriy davr bilan. Bu nima degani? Keling, segmentni ko'rib chiqaylik. Uning chap va o'ng tomonida grafikning aynan bir qismi cheksiz takrorlanadi.

Domen: , ya'ni "x" ning har qanday qiymati uchun sinus qiymati mavjud.

Qiymatlar diapazoni: . Funktsiya shunday cheklangan: , ya'ni barcha "o'yinlar" segmentda qat'iy o'tiradi.
Bu sodir bo'lmaydi: yoki, aniqrog'i, sodir bo'ladi, lekin bu tenglamalar yechimga ega emas.

Keling, tekislikda to'rtburchaklar koordinatalar tizimini tanlaymiz va argumentning qiymatlarini abscissa o'qida chizamiz. X, va ordinatada - funktsiyaning qiymatlari y = f(x).

Funktsiya grafigi y = f(x) abtsissalari funksiyani aniqlash sohasiga tegishli boʻlgan barcha nuqtalar toʻplami va ordinatalari funksiyaning mos qiymatlariga teng.

Boshqacha aytganda, y = f (x) funksiyaning grafigi tekislikning barcha nuqtalari, koordinatalari to'plamidir. X, da munosabatni qanoatlantiradi y = f(x).

Shaklda. 45 va 46 funksiyalar grafiklarini ko'rsatadi y = 2x + 1 Va y = x 2 - 2x.

To'g'risini aytganda, funktsiya grafigi (aniq matematik ta'rifi yuqorida berilgan) va chizilgan egri chiziq o'rtasidagi farqni ajratib ko'rsatish kerak, bu har doim grafikning ko'proq yoki kamroq aniq eskizini beradi (va hatto, qoida tariqasida, butun grafik emas, balki faqat uning tekislikning oxirgi qismlarida joylashgan qismi). Keyinchalik, biz odatda "grafik eskiz" emas, balki "grafik" deb aytamiz.

Grafikdan foydalanib, siz nuqtadagi funktsiyaning qiymatini topishingiz mumkin. Ya'ni, agar nuqta x = a funksiyani aniqlash sohasiga tegishli y = f(x), keyin raqamni topish uchun f(a)(ya'ni nuqtadagi funktsiya qiymatlari x = a) buni qilishingiz kerak. Bu abscissa nuqtasi orqali kerak x = a ordinata o'qiga parallel to'g'ri chiziq chizish; bu chiziq funksiya grafigini kesib o'tadi y = f(x) bir nuqtada; bu nuqtaning ordinatasi, grafikning ta'rifi tufayli, ga teng bo'ladi f(a)(47-rasm).

Masalan, funksiya uchun f(x) = x 2 - 2x grafik yordamida (46-rasm) f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 va hokazolarni topamiz.

Funktsiya grafigi funktsiyaning xatti-harakati va xususiyatlarini aniq ko'rsatadi. Masalan, rasmni ko'rib chiqishdan. 46 funktsiya ekanligi aniq y = x 2 - 2x qachon ijobiy qiymatlarni oladi X< 0 va da x > 2, salbiy - 0 da< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2x da qabul qiladi x = 1.

Funktsiyaning grafigini tuzish uchun f(x) tekislikning barcha nuqtalarini, koordinatalarini topishingiz kerak X,da Bu tenglamani qanoatlantiradi y = f(x). Aksariyat hollarda buni qilish mumkin emas, chunki bunday nuqtalarning cheksiz soni mavjud. Shuning uchun funktsiyaning grafigi taxminan tasvirlangan - katta yoki kichik aniqlik bilan. Eng oddiy - bir nechta nuqtalardan foydalangan holda grafik chizish usuli. Bu dalil ekanligidan iborat X chekli sonli qiymatlarni bering - aytaylik, x 1, x 2, x 3,..., x k va tanlangan funktsiya qiymatlarini o'z ichiga olgan jadval yarating.

Jadval quyidagicha ko'rinadi:

Bunday jadvalni tuzgandan so'ng, biz funktsiya grafigida bir nechta fikrlarni ajratib ko'rsatishimiz mumkin y = f(x). Keyin, bu nuqtalarni silliq chiziq bilan bog'lab, biz funktsiya grafigining taxminiy ko'rinishini olamiz y = f(x).

Ammo shuni ta'kidlash kerakki, ko'p nuqtali chizma usuli juda ishonchsizdir. Aslida, grafikning mo'ljallangan nuqtalar orasidagi harakati va olingan ekstremal nuqtalar orasidagi segmentdan tashqaridagi harakati noma'lumligicha qolmoqda.

1-misol. Funktsiyaning grafigini tuzish uchun y = f(x) kimdir argument va funktsiya qiymatlari jadvalini tuzdi:

Tegishli besh nuqta rasmda ko'rsatilgan. 48.

Bu nuqtalarning joylashuviga asoslanib, u funktsiya grafigi to'g'ri chiziqdir, degan xulosaga keldi (48-rasmda nuqta chiziq bilan ko'rsatilgan). Ushbu xulosani ishonchli deb hisoblash mumkinmi? Agar ushbu xulosani tasdiqlovchi qo'shimcha fikrlar bo'lmasa, uni ishonchli deb hisoblash qiyin. ishonchli.

Fikrimizni asoslash uchun funktsiyani ko'rib chiqing

Hisob-kitoblar shuni ko'rsatadiki, ushbu funktsiyaning -2, -1, 0, 1, 2 nuqtalardagi qiymatlari yuqoridagi jadvalda aniq tasvirlangan. Biroq, bu funktsiyaning grafigi umuman to'g'ri chiziq emas (u 49-rasmda ko'rsatilgan). Yana bir misol funksiya bo'lishi mumkin y = x + l + sinpx; uning ma'nolari ham yuqoridagi jadvalda tasvirlangan.

Ushbu misollar shuni ko'rsatadiki, uning "sof" shaklida bir nechta nuqtalardan foydalangan holda grafik chizish usuli ishonchsizdir. Shuning uchun, berilgan funktsiyaning grafigini chizish uchun odatda quyidagicha davom etadi. Birinchidan, biz ushbu funktsiyaning xususiyatlarini o'rganamiz, uning yordamida biz grafikning eskizini qurishimiz mumkin. Keyin funktsiyaning qiymatlarini bir nechta nuqtalarda hisoblash orqali (ularni tanlash funktsiyaning belgilangan xususiyatlariga bog'liq) grafikning tegishli nuqtalari topiladi. Va nihoyat, ushbu funktsiyaning xususiyatlaridan foydalangan holda tuzilgan nuqtalar orqali egri chiziq chiziladi.

Grafik eskizini topishda foydalaniladigan funksiyalarning ba’zi (eng oddiy va tez-tez ishlatiladigan) xossalarini keyinroq ko‘rib chiqamiz, endi esa grafiklarni qurishda ko‘p qo‘llaniladigan usullarni ko‘rib chiqamiz.

y = |f(x)| funksiya grafigi.

Ko'pincha funktsiyani chizish kerak bo'ladi y = |f(x)|, qayerda f(x) - berilgan funksiya. Bu qanday amalga oshirilganligini eslatib o'tamiz. A-prior mutlaq qiymat raqamlarni yozish mumkin

Bu funktsiyaning grafigini bildiradi y =|f(x)| grafik, funksiyadan olish mumkin y = f(x) quyidagicha: funksiya grafigidagi barcha nuqtalar y = f(x), ordinatalari manfiy bo'lmagan, o'zgarishsiz qoldirilishi kerak; Keyinchalik, funksiya grafigining nuqtalari o'rniga y = f(x) manfiy koordinatalarga ega bo'lgan holda, funktsiya grafigida tegishli nuqtalarni qurish kerak y = -f(x)(ya'ni funksiya grafigining bir qismi
y = f(x), u o'qning ostida joylashgan X, o'qga nisbatan nosimmetrik tarzda aks ettirilishi kerak X).

2-misol. Funksiyaning grafigini tuzing y = |x|.

Funktsiyaning grafigini olaylik y = x(50-rasm, a) va ushbu grafikning bir qismi da X< 0 (eksa ostida yotish X) o'qga nisbatan simmetrik tarzda aks ettirilgan X. Natijada biz funktsiyaning grafigini olamiz y = |x|(50-rasm, b).

3-misol. Funksiyaning grafigini tuzing y = |x 2 - 2x|.

Birinchidan, funksiyani chizamiz y = x 2 - 2x. Bu funksiyaning grafigi parabola bo'lib, shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan, parabola cho'qqisi koordinatalariga (1; -1) ega, uning grafigi x o'qini 0 va 2 nuqtalarda kesib o'tadi. (0) oraliqda; 2) funktsiya manfiy qiymatlarni oladi, shuning uchun grafikning bu qismi abscissa o'qiga nisbatan nosimmetrik tarzda aks etadi. 51-rasmda funksiyaning grafigi ko'rsatilgan y = |x 2 -2x|, funksiya grafigiga asoslanadi y = x 2 - 2x

y = f(x) + g(x) funksiya grafigi

Funktsiya grafigini qurish masalasini ko'rib chiqing y = f(x) + g(x). funksiya grafiklari berilgan bo'lsa y = f(x) Va y = g(x).

E'tibor bering, funktsiyaning aniqlanish sohasi y = |f(x) + g(x)| y = f(x) va y = g(x) funktsiyalari aniqlangan x ning barcha qiymatlari to'plami, ya'ni bu ta'rif sohasi ta'rif sohalarining kesishishi, f(x) funktsiyalari. va g(x).

Ballarga ruxsat bering (x 0, y 1) Va (x 0, y 2) mos ravishda funksiyalar grafiklariga tegishli y = f(x) Va y = g(x), ya'ni y 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0). U holda (x0;. y1 + y2) nuqta funksiya grafigiga tegishli y = f(x) + g(x)(uchun f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. va funksiya grafigidagi istalgan nuqta y = f(x) + g(x) shu tarzda olish mumkin. Shuning uchun funksiyaning grafigi y = f(x) + g(x) funksiya grafiklaridan olish mumkin y = f(x). Va y = g(x) har bir nuqtani almashtirish ( x n, y 1) funksiya grafikasi y = f(x) nuqta (x n, y 1 + y 2), Qayerda y 2 = g (x n), ya'ni har bir nuqtani siljitish orqali ( x n, y 1) funksiya grafigi y = f(x) eksa bo'ylab da miqdori bo'yicha y 1 = g (x n). Bunday holda, faqat shunday fikrlar hisobga olinadi X n, buning uchun ikkala funksiya ham aniqlanadi y = f(x) Va y = g(x).

Funksiyani chizishning bu usuli y = f(x) + g(x) funksiyalar grafiklarini qo‘shish deyiladi y = f(x) Va y = g(x)

4-misol. Rasmda funktsiyaning grafigi grafiklarni qo'shish usuli yordamida tuzilgan
y = x + sinx.

Funksiya grafigini tuzishda y = x + sinx shunday deb o'yladik f(x) = x, A g(x) = sinx. Funksiya grafigini chizish uchun abstsissalar -1,5p, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2 bo'lgan nuqtalarni tanlaymiz. f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Tanlangan nuqtalarda hisoblab chiqamiz va natijalarni jadvalga joylaymiz.

Matematikadagi eng mashhur eksponensial funktsiyalardan biri bu ko'rsatkichdir. Belgilangan quvvatga ko'tarilgan Eyler raqamini ifodalaydi. Excelda uni hisoblash imkonini beruvchi alohida operator mavjud. Keling, amalda qanday foydalanish mumkinligini ko'rib chiqaylik.

Eksponent - berilgan darajaga ko'tarilgan Eyler soni. Eyler raqamining o'zi taxminan 2,718281828 ni tashkil qiladi. Ba'zan u Napier raqami deb ham ataladi. Ko'rsatkich funktsiyasi quyidagicha ko'rinadi:

Bu erda e - Eyler soni va n - ko'tarilish darajasi.

Excelda ushbu ko'rsatkichni hisoblash uchun alohida operator ishlatiladi - EXP. Bundan tashqari, ushbu funktsiyani grafik sifatida ko'rsatish mumkin. Ushbu vositalar bilan ishlash haqida keyinroq gaplashamiz.

1-usul: Funktsiyani qo'lda kiritish orqali ko'rsatkichni hisoblang

EXP(raqam)

Ya'ni, bu formula faqat bitta argumentni o'z ichiga oladi. Eyler raqamini ko'tarish kerak bo'lgan kuchdir. Bu argument raqamli qiymat yoki ko'rsatkichni o'z ichiga olgan katakka havola bo'lishi mumkin.

2-usul: Funksiya ustasidan foydalanish

Ko'rsatkichni hisoblash sintaksisi juda oddiy bo'lsa-da, ba'zi foydalanuvchilar foydalanishni afzal ko'rishadi Funktsiya ustasi. Keling, bu qanday amalga oshirilganini misol bilan ko'rib chiqaylik.

Agar ko'rsatkichni o'z ichiga olgan hujayra havolasi argument sifatida ishlatilsa, kursorni maydonga qo'yishingiz kerak. "Raqam" va shunchaki varaqdagi katakchani tanlang. Uning koordinatalari darhol maydonda ko'rsatiladi. Shundan so'ng, natijani hisoblash uchun tugmani bosing "KELISHDIKMI".

3-usul: chizma tuzish

Bundan tashqari, Excelda ko'rsatkichni asos sifatida hisoblash natijasida olingan natijalardan foydalanib, grafik yaratish mumkin. Grafikni yaratish uchun varaqda turli kuchlar ko'rsatkichining hisoblangan qiymatlari bo'lishi kerak. Ular yuqorida tavsiflangan usullardan biri yordamida hisoblanishi mumkin.