Onlayn trigonometrik tenglamani soddalashtiring. "Trigonometrik ifodalarni soddalashtirish" darsi

Bo'limlar: Matematika

Sinf: 11

1-dars

Mavzu: 11-sinf (Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik)

Trigonometrik ifodalarni soddalashtirish.

Oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish. (2 soat)

Maqsadlar:

• Talabalarning trigonometriya formulalaridan foydalanish va oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish bo‘yicha bilim va ko‘nikmalarini tizimlashtirish, umumlashtirish, kengaytirish.

Dars uchun jihozlar:

Darsning tuzilishi:

1. Tashkiliy moment
2. Noutbuklarda sinov. Natijalarni muhokama qilish.
3. Trigonometrik ifodalarni soddalashtirish
4. Oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish
5. Mustaqil ish.
6. Dars xulosasi. Uyga vazifani tushuntirish.

1. Tashkiliy moment. (2 daqiqa.)

O‘qituvchi tinglovchilar bilan salomlashadi, dars mavzusini e’lon qiladi, ularga avvalroq trigonometriya formulalarini takrorlash topshirig‘i berilganligini eslatadi va o‘quvchilarni test sinovlariga tayyorlaydi.

2. Sinov. (15 daqiqa + 3 daqiqa muhokama)

Maqsad trigonometrik formulalar bo'yicha bilimlarni va ularni qo'llash qobiliyatini sinab ko'rishdir. Har bir talabaning stolida test versiyasi yozilgan noutbuk bor.

Variantlar soni har qanday bo'lishi mumkin, men ulardan birini misol qilib keltiraman:

I variant.

Ifodalarni soddalashtiring:

a) asosiy trigonometrik identifikatsiyalar

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) qo'shish formulalari

3. sin5x - sin3x;

v) mahsulotni summaga aylantirish

6. 2sin8y cos3y;

d) ikki burchakli formulalar

7. 2sin5x cos5x;

e) yarim burchaklar uchun formulalar

f) uch burchakli formulalar

g) universal almashtirish

h) darajaning qisqarishi

16. cos 2 (3x/7);

Talabalar o'zlarining javoblarini har bir formulaning yonidagi noutbukda ko'rishadi.

Ish bir zumda kompyuter tomonidan tekshiriladi. Natijalar hamma ko'rishi uchun katta ekranda ko'rsatiladi.

Shuningdek, ishni tugatgandan so'ng, to'g'ri javoblar talabalarning noutbuklarida ko'rsatiladi. Har bir talaba qayerda xatoga yo'l qo'yilganligini va qanday formulalarni takrorlash kerakligini ko'radi.

3. Trigonometrik ifodalarni soddalashtirish. (25 daqiqa)

Maqsad trigonometriyaning asosiy formulalaridan foydalanishni takrorlash, mashq qilish va mustahkamlashdir. Yagona davlat imtihonidan B7 muammolarini hal qilish.

Yoniq bu bosqichda Sinfni kuchli talabalar (keyingi testlar bilan mustaqil ishlash) va o'qituvchi bilan ishlaydigan zaif o'quvchilar guruhlariga bo'lish maqsadga muvofiqdir.

Kuchli talabalar uchun topshiriq (bosma asosda oldindan tayyorlangan). 2011 yilgi yagona davlat imtihoniga ko'ra, asosiy e'tibor qisqartirish va ikki tomonlama burchak formulalariga qaratilgan.

Ifodalarni soddalashtiring (kuchli talabalar uchun):

Shu bilan birga, o'qituvchi zaif talabalar bilan ishlaydi, o'quvchilarning diktanti bo'yicha ekranda vazifalarni muhokama qiladi va hal qiladi.

Hisoblash:

5) sin(270º - a) + cos (270º + a)

6)

Soddalashtiring:

Kuchli guruh ishining natijalarini muhokama qilish vaqti keldi.

Javoblar ekranda paydo bo'ladi, shuningdek, videokamera yordamida 5 xil o'quvchining ishi ko'rsatiladi (har biri uchun bitta vazifa).

Zaif guruh vaziyatni va hal qilish usulini ko'radi. Muhokama va tahlillar davom etmoqda. Foydalanish texnik vositalar tez sodir bo'ladi.

4. Oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish. (30 daqiqa)

Maqsad - eng oddiy trigonometrik tenglamalarning yechimini takrorlash, tizimlashtirish va umumlashtirish va ularning ildizlarini yozish. B3 muammoning yechimi.

Har qanday trigonometrik tenglama, uni qanday yechishimizdan qat'iy nazar, eng oddiyga olib keladi.

Topshiriqni bajarishda talabalar maxsus holatlar va umumiy shakldagi tenglamalarning ildizlarini yozishga va oxirgi tenglamadagi ildizlarni tanlashga e'tibor berishlari kerak.

Tenglamalarni yeching:

Javobingiz sifatida eng kichik ijobiy ildizni yozing.

5. Mustaqil ish (10 min.)

Maqsad - olingan ko'nikmalarni sinab ko'rish, muammolarni, xatolarni va ularni bartaraf etish usullarini aniqlash.

Talabaning xohishiga ko'ra ko'p bosqichli ish taklif etiladi.

Variant "3"

1) Ifodaning qiymatini toping

2) 1 - sin 2 3a - cos 2 3a ifodasini soddalashtiring

3) tenglamani yeching

"4" uchun variant

1) Ifodaning qiymatini toping

2) tenglamani yeching Javobingizdagi eng kichik ijobiy ildizni yozing.

Variant "5"

1) If ni toping

2) tenglamaning ildizini toping Javobingiz sifatida eng kichik ijobiy ildizni yozing.

6. Dars konspekti (5 min.)

O'qituvchi dars davomida trigonometrik formulalarni va eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechishda takror va mustahkamlaganliklarini xulosa qiladi.

Oʻrnatish Uy vazifasi(oldindan bosma asosda tayyorlangan) keyingi darsda nuqta tekshiruvi bilan.

Tenglamalarni yeching:

9)

10) Javobingizda eng kichik musbat ildizni ko'rsating.

2-dars

Mavzu: 11-sinf (Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik)

Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari. Ildiz tanlash. (2 soat)

Maqsadlar:

• Har xil turdagi trigonometrik tenglamalarni yechish bo'yicha bilimlarni umumlashtirish va tizimlashtirish.
• Talabalarning matematik tafakkurini, kuzatish, taqqoslash, umumlashtirish va tasniflash qobiliyatini rivojlantirishga yordam berish.
• Talabalarni aqliy faoliyat jarayonida qiyinchiliklarni engib o'tishga, o'z-o'zini nazorat qilishga, o'z faoliyatini introspektsiya qilishga undash.

Dars uchun jihozlar: KRMu, har bir talaba uchun noutbuklar.

Darsning tuzilishi:

1. Tashkiliy moment
2. D/z va o'z-o'zini muhokama qilish. O'tgan darsdan ish
3. Trigonometrik tenglamalarni yechish usullarini ko'rib chiqish.
4. Trigonometrik tenglamalarni yechish
5. Trigonometrik tenglamalarda ildizlarni tanlash.
6. Mustaqil ish.
7. Dars xulosasi. Uy vazifasi.

1. Tashkiliy vaqt (2 min.)

O'qituvchi tinglovchilar bilan salomlashadi, dars mavzusi va ish rejasini e'lon qiladi.

2. a) Uy vazifasini tahlil qilish (5 min.)

Maqsad - bajarilishini tekshirish. Bitta ish videokamera yordamida ekranda ko'rsatiladi, qolganlari o'qituvchini tekshirish uchun tanlab olinadi.

b) Mustaqil ishlarni tahlil qilish (3 min.)

Maqsad - xatolarni tahlil qilish va ularni bartaraf etish yo'llarini ko'rsatish.

Javoblar va yechimlar ekranda, talabalar o'z ishlarini oldindan topshiradilar. Tahlil tez davom etadi.

3. Trigonometrik tenglamalarni yechish usullarini takrorlash (5 min.)

Maqsad trigonometrik tenglamalarni yechish usullarini esga olishdir.

Talabalardan trigonometrik tenglamalarni yechishning qanday usullarini bilishlarini so'rang. Asosiy (tez-tez ishlatiladigan) usullar mavjudligini ta'kidlang:

• o'zgaruvchan almashtirish,
• faktorizatsiya,
• bir hil tenglamalar,

va qo'llaniladigan usullar mavjud:

• yig'indini mahsulotga va mahsulotni yig'indiga aylantirish uchun formulalardan foydalanish,
• darajani kamaytirish uchun formulalar bo'yicha,
• universal trigonometrik almashtirish
• kirish yordamchi burchak,
• ba'zi trigonometrik funktsiyaga ko'paytirish.

Shuni ham eslatib o'tish kerakki, bitta tenglama turli yo'llar bilan echilishi mumkin.

4. Trigonometrik tenglamalarni yechish (30 min.)

Maqsad - ushbu mavzu bo'yicha bilim va ko'nikmalarni umumlashtirish va mustahkamlash, Yagona davlat imtihonidan C1 yechimiga tayyorgarlik ko'rish.

Har bir metod uchun tenglamalarni talabalar bilan birgalikda yechish maqsadga muvofiq deb hisoblayman.

Talaba yechimni aytib beradi, o'qituvchi uni planshetga yozadi va butun jarayon ekranda ko'rsatiladi. Bu sizning xotirangizda ilgari yoritilgan materialni tez va samarali eslab qolish imkonini beradi.

Tenglamalarni yeching:

1) 6cos 2 x + 5sinx o'zgaruvchisini almashtirish - 7 = 0

2) faktorizatsiya 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) bir hil gunoh tenglamalari 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) yig'indini cos5x + cos7x = cos(p + 6x) ko'paytmaga aylantirish

5) hosilani 2sinx sin2x + cos3x = 0 yig'indisiga aylantirish

6) sin2x darajasining kamayishi - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) universal trigonometrik almashtirish sinx + 5cosx + 5 = 0.

Ushbu tenglamani yechishda shuni ta'kidlash kerakki, foydalanish bu usul ta'riflar oralig'ining torayishiga olib keladi, chunki sinus va kosinus tg (x/2) bilan almashtiriladi. Shuning uchun, javobni yozishdan oldin, siz p + 2pn, n Z to'plamidagi raqamlar ushbu tenglamaning otlari ekanligini tekshirishingiz kerak.

8) yordamchi burchak √3sinx + cosx - √2 = 0 kiritilishi

9) ba'zi trigonometrik funktsiyaga ko'paytirish cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Trigonometrik tenglamalar ildizlarini tanlash (20 min.)

Oliy o'quv yurtlariga kirishda qattiq raqobat sharoitida imtihonning birinchi qismini hal qilishning o'zi etarli emasligi sababli, ko'pchilik talabalar ikkinchi qismning (C1, C2, C3) vazifalariga e'tibor berishlari kerak.

Shuning uchun darsning ushbu bosqichining maqsadi - ilgari o'rganilgan materialni eslab qolish va 2011 yil Yagona davlat imtihonidan C1 muammosini hal qilishga tayyorgarlik ko'rishdir.

Javobni yozishda siz ildizlarni tanlashingiz kerak bo'lgan trigonometrik tenglamalar mavjud. Bu ba'zi cheklovlar bilan bog'liq, masalan: kasrning maxraji nolga teng emas, juft ildiz ostidagi ifoda manfiy emas, logarifm belgisi ostidagi ifoda musbat va hokazo.

Bunday tenglamalar murakkabligi oshgan tenglamalar hisoblanadi va in Yagona davlat imtihonining versiyasi ikkinchi qismda, ya'ni C1.

Tenglamani yeching:

Agar kasr nolga teng bo'lsa yordamida birlik doirasi ildizlarni tanlaymiz (1-rasmga qarang)

1-rasm.

x = p + 2pn, n Z ni olamiz

Javob: p + 2pn, n Z

Ekranda ildizlarning tanlanishi rangli tasvirdagi doirada ko'rsatiladi.

Faktorlarning kamida bittasi nolga teng bo'lganda mahsulot nolga teng bo'ladi va yoy o'z ma'nosini yo'qotmaydi. Keyin

Birlik doirasidan foydalanib, biz ildizlarni tanlaymiz (2-rasmga qarang)

“Trigonometrik ifodalarni soddalashtirish” video darsi o‘quvchilarda trigonometrik masalalarni asosiy trigonometrik identifikatsiyalardan foydalangan holda yechish ko‘nikmalarini rivojlantirishga mo‘ljallangan. Videodars davomida trigonometrik o'ziga xoslik turlari va ulardan foydalanib masalalar yechish misollari ko'rib chiqiladi. Ko‘rgazmali qurollardan foydalanish o‘qituvchining dars maqsadiga erishishini osonlashtiradi. Materialning yorqin taqdimoti muhim fikrlarni eslab qolishga yordam beradi. Animatsiya effektlari va ovozli ovozdan foydalanish materialni tushuntirish bosqichida o'qituvchini to'liq almashtirishga imkon beradi. Shunday qilib, matematika darslarida ushbu ko‘rgazmali quroldan foydalanish orqali o‘qituvchi o‘qitish samaradorligini oshirishi mumkin.

Videodars boshida uning mavzusi e'lon qilinadi. Keyin biz ilgari o'rganilgan trigonometrik identifikatsiyalarni eslaymiz. Ekranda sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t tengliklari ko‘rsatiladi, bunda kōZ uchun t≠p/2+pk, ctg t=cos t/sin t, t≠pk uchun to‘g‘ri, bu yerda kōZ, tg t· ctg t=1, t≠pk/2 uchun, bu erda kōZ, asosiy trigonometrik identifikatsiyalar deb ataladi. Ta'kidlanishicha, bu o'ziga xosliklar ko'pincha tenglikni isbotlash yoki ifodani soddalashtirish zarur bo'lgan muammolarni hal qilishda qo'llaniladi.

Quyida biz ushbu identifikatsiyalarni muammolarni hal qilishda qo'llash misollarini ko'rib chiqamiz. Birinchidan, iboralarni soddalashtirish masalalarini hal qilishni ko'rib chiqish taklif etiladi. 1-misolda cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t ifodasini soddalashtirish kerak. Misolni yechish uchun avval qavs ichidan cos 2 t umumiy koeffitsientini oling. Qavslar ichidagi bu o'zgartirish natijasida trigonometriyaning asosiy o'ziga xosligidan qiymati sin 2 t ga teng bo'lgan 1- cos 2 t ifodasi olinadi. Ifodani o'zgartirgandan so'ng, ko'rinib turibdiki, yana bitta umumiy omil sin 2 t qavs ichidan chiqarilishi mumkin, shundan so'ng ifoda sin 2 t (sin 2 t+cos 2 t) ko'rinishini oladi. Xuddi shu asosiy o'ziga xoslikdan 1 ga teng qavs ichidagi ifoda qiymatini olamiz. Soddalashtirish natijasida cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t ni olamiz.

2-misolda xarajat/(1- sint)+ xarajat/(1+ sint) ifodasini soddalashtirish kerak. Ikkala kasrning sanoqchilari ifoda narxini o'z ichiga olganligi sababli, uni umumiy omil sifatida qavs ichidan olish mumkin. Keyin qavs ichidagi kasrlar (1- sint)(1+ sint) koʻpaytirish yoʻli bilan umumiy maxrajga keltiriladi. Shu kabi atamalarni keltirgandan so'ng, hisoblagich 2, maxraj esa 1 - sin 2 t bo'lib qoladi. Ekranning o'ng tomonida asosiy trigonometrik o'ziga xoslik sin 2 t+cos 2 t=1 esga olinadi. Undan foydalanib cos 2 t kasrning maxrajini topamiz. Kasrni kamaytirgandan so'ng biz tannarx/(1- sint)+ xarajat/(1+ sint)=2/xarajat ifodasining soddalashtirilgan shaklini olamiz.

Keyinchalik, trigonometriyaning asosiy identifikatorlari bo'yicha olingan bilimlardan foydalanadigan shaxsni isbotlash misollarini ko'rib chiqamiz. 3-misolda aynanlikni isbotlash kerak (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Ekranning o'ng tomonida isbotlash uchun kerak bo'ladigan uchta identifikatsiya ko'rsatiladi - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t va tg t=sin t/cos t cheklovlar bilan. Aynilikni isbotlash uchun avval qavslar ochiladi, shundan so‘ng asosiy trigonometrik o‘ziga xoslik tg t·ctg t=1 ifodasini aks ettiruvchi mahsulot hosil bo‘ladi. Keyin, kotangens ta'rifidan olingan o'ziga xoslikka ko'ra, ctg 2 t aylantiriladi. O'zgartirishlar natijasida 1-cos 2 t ifodasi olinadi. Asosiy shaxsdan foydalanib, biz iboraning ma'nosini topamiz. Shunday qilib, (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t ekanligi isbotlangan.

4-misolda tg t+ctg t=6 bo'lsa, tg 2 t+ctg 2 t ifodaning qiymatini topish kerak. Ifodani hisoblash uchun avvalo tenglikning o'ng va chap tomonlarini (tg t+ctg t) 2 =6 2 kvadratga aylantiring. Qisqartirilgan ko'paytirish formulasi ekranning o'ng tomonida esga olinadi. Ifodaning chap tomonidagi qavslar ochilgandan so'ng tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t yig'indisi hosil bo'ladi, uni o'zgartirish uchun trigonometrik o'ziga xosliklardan birini qo'llash mumkin tg t·ctg t=1. , uning shakli ekranning o'ng tomonida esga olinadi. O'zgartirilgandan so'ng tg 2 t+ctg 2 t=34 tenglik olinadi. Tenglikning chap tomoni masala sharti bilan mos keladi, shuning uchun javob 34. Masala yechilgan.

An'anaviy maktab matematika darsida foydalanish uchun "Trigonometrik ifodalarni soddalashtirish" video darsi tavsiya etiladi. Material o'qituvchi uchun ham foydali bo'ladi Masofaviy ta'lim. Trigonometrik masalalarni yechish malakalarini shakllantirish maqsadida.

MATNNI dekodlash:

“Trigonometrik ifodalarni soddalashtirish”.

Tengliklar

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus kvadrat te plyus kosinus kvadrat te birga teng)

2)tgt =, t ≠ + pk, kōZ uchun (tangens te sinus tening kosinus te nisbatiga teng, te pi ga ikkiga plyus pi ka teng emas, ka zetga tegishli)

3)ctgt =, t ≠ p k, kōZ uchun (kotangent te kosinus te bilan sin te nisbatiga teng, te pi ka ga teng emas, ka zetga tegishli).

4) t ≠ , kōZ uchun tgt ∙ ctgt = 1 (te kotangensi bo'yicha te tangensi ko'paytmasi birga teng bo'lganda te pik ka ga teng bo'lmaganda, ikkiga bo'linganda, ka zetga tegishli)

asosiy trigonometrik identifikatsiyalar deyiladi.

Ular ko'pincha trigonometrik ifodalarni soddalashtirish va isbotlashda qo'llaniladi.

Keling, trigonometrik ifodalarni soddalashtirish uchun ushbu formulalardan foydalanish misollarini ko'rib chiqaylik.

O'RNAK 1. Ifodani soddalashtiring: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (to'rtinchi darajali kosinus kvadrat te minus kosinus te plus to'rtinchi daraja te sinus ifodasi).

Yechim. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t =cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2) t) = sin 2 t 1= sin 2 t

(kosinus kvadrat te umumiy koeffitsientini chiqaramiz, qavs ichida biz birlik va kvadrat kosinus te o'rtasidagi farqni olamiz, bu birinchi o'ziga xoslik bo'yicha kvadrat sinus tega teng. Biz to'rtinchi darajali sinus te yig'indisini olamiz. ko'paytma kosinus kvadrat te va sinus kvadrat te.Qavslar tashqarisida umumiy ko'rsatkich sinus kvadrat teni chiqaramiz, qavs ichida asosiy trigonometrik identifikatsiyaga ko'ra, 1 ga teng bo'lgan kosinus va sinus kvadratlarining yig'indisini olamiz. Natijada, biz sinus te) kvadratini olamiz.

O'RNAK 2. Ifodani soddalashtiring: + .

(be ifodasi maxrajdagi birinchi kosinus te sonidagi ikki kasr yig‘indisi bir minus sin te, ikkinchi kosinus te ikkinchisining maxrajidagi ikkinchi kosinus te soni plyus te bo‘ladi).

(Keling, qavs ichidan umumiy kosinus te koeffitsientini chiqaramiz va qavs ichida uni umumiy maxrajga keltiramiz, bu bir minus sinus te bir plyus te ko'paytmasi hisoblanadi.

Numeratorda biz olamiz: bir plyus sinus te plyus bir minus sin te, biz o'xshashlarni beramiz, o'xshashlarni keltirgandan keyin hisob ikkiga teng bo'ladi.

Maxrajda siz qisqartirilgan ko'paytirish formulasini (kvadratchalar farqi) qo'llashingiz va asosiy trigonometrik identifikatsiyaga ko'ra sinus te birligi va kvadrati o'rtasidagi farqni olishingiz mumkin.

kosinus te kvadratiga teng. Kosinus te bo'yicha qisqartirilgandan so'ng biz yakuniy javobni olamiz: ikkita kosinus te bo'linadi).

Keling, trigonometrik ifodalarni isbotlashda ushbu formulalardan foydalanish misollarini ko'rib chiqaylik.

O'RNAK 3. Ayniligini isbotlang (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (te tangensi va sinus te kvadratlari orasidagi ayirma kotangens kvadratiga ko'paytmasi ning kvadratiga teng. sin te).

Isbot.

Tenglikning chap tomonini o'zgartiramiz:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - 2 t = sin 2 t

(Qavslarni ochamiz; avval olingan munosabatdan te tangens kvadratlarining te kotangensi ko'paytmasi birga teng ekanligi ma'lum. Eslatib o'tamiz, te kotangensi kosinus te ning sinus te nisbatiga teng bo'ladi. kotangent kvadrati kosinus te kvadratining sinus te kvadratiga nisbati ekanligini bildiradi.

Te sinus kvadratiga qisqartirilgandan so'ng biz birlik va kosinus kvadrat te o'rtasidagi farqni olamiz, bu sinus kvadrat te). Q.E.D.

O'RNAK 4. Agar tgt + ctgt = 6 bo'lsa, tg 2 t + ctg 2 t ifodaning qiymatini toping.

(agar tangens va kotangensning yig'indisi olti bo'lsa, te va kotangensning kvadratlari yig'indisi).

Yechim. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Asl tenglikning ikkala tomonini kvadratga aylantiramiz:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (te tangens va te kotangens yig'indisining kvadrati olti kvadratga teng). Qisqartirilgan ko'paytirish formulasini eslaylik: Ikki miqdor yig'indisining kvadrati birinchisining kvadratiga plyus birinchisining ikkinchisining ko'paytmasining ikki barobari va ikkinchisining kvadratiga teng. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 ni olamiz (tangens kvadrat te plyus tangens tening kotangens te bo‘yicha ikki barobar ko‘paytmasi kotangens kvadrat tega teng o'ttiz olti) .

Tangens te va te kotangensining ko'paytmasi birga teng bo'lganligi uchun tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (te va kotangens te va ikkitaning kvadratlari yig'indisi o'ttiz olti ga teng),

Bo'limlar: Matematika

Sinf: 11

1-dars

Mavzu: 11-sinf (Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik)

Trigonometrik ifodalarni soddalashtirish.

Oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish. (2 soat)

Maqsadlar:

• Talabalarning trigonometriya formulalaridan foydalanish va oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish bo‘yicha bilim va ko‘nikmalarini tizimlashtirish, umumlashtirish, kengaytirish.

Dars uchun jihozlar:

Darsning tuzilishi:

1. Tashkiliy moment
2. Noutbuklarda sinov. Natijalarni muhokama qilish.
3. Trigonometrik ifodalarni soddalashtirish
4. Oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish
5. Mustaqil ish.
6. Dars xulosasi. Uyga vazifani tushuntirish.

1. Tashkiliy moment. (2 daqiqa.)

O‘qituvchi tinglovchilar bilan salomlashadi, dars mavzusini e’lon qiladi, ularga avvalroq trigonometriya formulalarini takrorlash topshirig‘i berilganligini eslatadi va o‘quvchilarni test sinovlariga tayyorlaydi.

2. Sinov. (15 daqiqa + 3 daqiqa muhokama)

Maqsad trigonometrik formulalar bo'yicha bilimlarni va ularni qo'llash qobiliyatini sinab ko'rishdir. Har bir talabaning stolida test versiyasi yozilgan noutbuk bor.

Variantlar soni har qanday bo'lishi mumkin, men ulardan birini misol qilib keltiraman:

I variant.

Ifodalarni soddalashtiring:

a) asosiy trigonometrik identifikatsiyalar

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) qo'shish formulalari

3. sin5x - sin3x;

v) mahsulotni summaga aylantirish

6. 2sin8y cos3y;

d) ikki burchakli formulalar

7. 2sin5x cos5x;

e) yarim burchaklar uchun formulalar

f) uch burchakli formulalar

g) universal almashtirish

h) darajaning qisqarishi

16. cos 2 (3x/7);

Talabalar o'zlarining javoblarini har bir formulaning yonidagi noutbukda ko'rishadi.

Ish bir zumda kompyuter tomonidan tekshiriladi. Natijalar hamma ko'rishi uchun katta ekranda ko'rsatiladi.

Shuningdek, ishni tugatgandan so'ng, to'g'ri javoblar talabalarning noutbuklarida ko'rsatiladi. Har bir talaba qayerda xatoga yo'l qo'yilganligini va qanday formulalarni takrorlash kerakligini ko'radi.

3. Trigonometrik ifodalarni soddalashtirish. (25 daqiqa)

Maqsad trigonometriyaning asosiy formulalaridan foydalanishni takrorlash, mashq qilish va mustahkamlashdir. Yagona davlat imtihonidan B7 muammolarini hal qilish.

Bu bosqichda sinfni kuchli o’quvchilar (keyingi testlar bilan mustaqil ishlash) va o’qituvchi bilan ishlaydigan kuchsiz o’quvchilar guruhlariga bo’lish maqsadga muvofiqdir.

Kuchli talabalar uchun topshiriq (bosma asosda oldindan tayyorlangan). 2011 yilgi yagona davlat imtihoniga ko'ra, asosiy e'tibor qisqartirish va ikki tomonlama burchak formulalariga qaratilgan.

Ifodalarni soddalashtiring (kuchli talabalar uchun):

Shu bilan birga, o'qituvchi zaif talabalar bilan ishlaydi, o'quvchilarning diktanti bo'yicha ekranda vazifalarni muhokama qiladi va hal qiladi.

Hisoblash:

5) sin(270º - a) + cos (270º + a)

6)

Soddalashtiring:

Kuchli guruh ishining natijalarini muhokama qilish vaqti keldi.

Javoblar ekranda paydo bo'ladi, shuningdek, videokamera yordamida 5 xil o'quvchining ishi ko'rsatiladi (har biri uchun bitta vazifa).

Zaif guruh vaziyatni va hal qilish usulini ko'radi. Muhokama va tahlillar davom etmoqda. Texnik vositalardan foydalanish bilan bu tez sodir bo'ladi.

4. Oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish. (30 daqiqa)

Maqsad - eng oddiy trigonometrik tenglamalarning yechimini takrorlash, tizimlashtirish va umumlashtirish va ularning ildizlarini yozish. B3 muammoning yechimi.

Har qanday trigonometrik tenglama, uni qanday yechishimizdan qat'iy nazar, eng oddiyga olib keladi.

Topshiriqni bajarishda talabalar maxsus holatlar va umumiy shakldagi tenglamalarning ildizlarini yozishga va oxirgi tenglamadagi ildizlarni tanlashga e'tibor berishlari kerak.

Tenglamalarni yeching:

Javobingiz sifatida eng kichik ijobiy ildizni yozing.

5. Mustaqil ish (10 min.)

Maqsad - olingan ko'nikmalarni sinab ko'rish, muammolarni, xatolarni va ularni bartaraf etish usullarini aniqlash.

Talabaning xohishiga ko'ra ko'p bosqichli ish taklif etiladi.

Variant "3"

1) Ifodaning qiymatini toping

2) 1 - sin 2 3a - cos 2 3a ifodasini soddalashtiring

3) tenglamani yeching

"4" uchun variant

1) Ifodaning qiymatini toping

2) tenglamani yeching Javobingizdagi eng kichik ijobiy ildizni yozing.

Variant "5"

1) If ni toping

2) tenglamaning ildizini toping Javobingiz sifatida eng kichik ijobiy ildizni yozing.

6. Dars konspekti (5 min.)

O'qituvchi dars davomida trigonometrik formulalarni va eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechishda takror va mustahkamlaganliklarini xulosa qiladi.

Uy vazifasi keyingi darsda tasodifiy tekshirish bilan (oldindan bosma asosda tayyorlangan) beriladi.

Tenglamalarni yeching:

9)

10) Javobingizda eng kichik musbat ildizni ko'rsating.

2-dars

Mavzu: 11-sinf (Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik)

Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari. Ildiz tanlash. (2 soat)

Maqsadlar:

• Har xil turdagi trigonometrik tenglamalarni yechish bo'yicha bilimlarni umumlashtirish va tizimlashtirish.
• Talabalarning matematik tafakkurini, kuzatish, taqqoslash, umumlashtirish va tasniflash qobiliyatini rivojlantirishga yordam berish.
• Talabalarni aqliy faoliyat jarayonida qiyinchiliklarni engib o'tishga, o'z-o'zini nazorat qilishga, o'z faoliyatini introspektsiya qilishga undash.

Dars uchun jihozlar: KRMu, har bir talaba uchun noutbuklar.

Darsning tuzilishi:

1. Tashkiliy moment
2. D/z va o'z-o'zini muhokama qilish. O'tgan darsdan ish
3. Trigonometrik tenglamalarni yechish usullarini ko'rib chiqish.
4. Trigonometrik tenglamalarni yechish
5. Trigonometrik tenglamalarda ildizlarni tanlash.
6. Mustaqil ish.
7. Dars xulosasi. Uy vazifasi.

1. Tashkiliy vaqt (2 min.)

O'qituvchi tinglovchilar bilan salomlashadi, dars mavzusi va ish rejasini e'lon qiladi.

2. a) Uy vazifasini tahlil qilish (5 min.)

Maqsad - bajarilishini tekshirish. Bitta ish videokamera yordamida ekranda ko'rsatiladi, qolganlari o'qituvchini tekshirish uchun tanlab olinadi.

b) Mustaqil ishlarni tahlil qilish (3 min.)

Maqsad - xatolarni tahlil qilish va ularni bartaraf etish yo'llarini ko'rsatish.

Javoblar va yechimlar ekranda, talabalar o'z ishlarini oldindan topshiradilar. Tahlil tez davom etadi.

3. Trigonometrik tenglamalarni yechish usullarini takrorlash (5 min.)

Maqsad trigonometrik tenglamalarni yechish usullarini esga olishdir.

Talabalardan trigonometrik tenglamalarni yechishning qanday usullarini bilishlarini so'rang. Asosiy (tez-tez ishlatiladigan) usullar mavjudligini ta'kidlang:

• o'zgaruvchan almashtirish,
• faktorizatsiya,
• bir hil tenglamalar,

va qo'llaniladigan usullar mavjud:

• yig'indini mahsulotga va mahsulotni yig'indiga aylantirish uchun formulalardan foydalanish,
• darajani kamaytirish uchun formulalar bo'yicha,
• universal trigonometrik almashtirish
• yordamchi burchakni kiritish,
• ba'zi trigonometrik funktsiyaga ko'paytirish.

Shuni ham eslatib o'tish kerakki, bitta tenglama turli yo'llar bilan echilishi mumkin.

4. Trigonometrik tenglamalarni yechish (30 min.)

Maqsad - ushbu mavzu bo'yicha bilim va ko'nikmalarni umumlashtirish va mustahkamlash, Yagona davlat imtihonidan C1 yechimiga tayyorgarlik ko'rish.

Har bir metod uchun tenglamalarni talabalar bilan birgalikda yechish maqsadga muvofiq deb hisoblayman.

Talaba yechimni aytib beradi, o'qituvchi uni planshetga yozadi va butun jarayon ekranda ko'rsatiladi. Bu sizning xotirangizda ilgari yoritilgan materialni tez va samarali eslab qolish imkonini beradi.

Tenglamalarni yeching:

1) 6cos 2 x + 5sinx o'zgaruvchisini almashtirish - 7 = 0

2) faktorizatsiya 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) bir jinsli tenglamalar sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) yig'indini cos5x + cos7x = cos(p + 6x) ko'paytmaga aylantirish

5) hosilani 2sinx sin2x + cos3x = 0 yig'indisiga aylantirish

6) sin2x darajasining kamayishi - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) universal trigonometrik almashtirish sinx + 5cosx + 5 = 0.

Ushbu tenglamani yechishda shuni ta'kidlash kerakki, bu usuldan foydalanish ta'riflar oralig'ining torayishiga olib keladi, chunki sinus va kosinus tg (x/2) bilan almashtiriladi. Shuning uchun, javobni yozishdan oldin, siz p + 2pn, n Z to'plamidagi raqamlar ushbu tenglamaning otlari ekanligini tekshirishingiz kerak.

8) yordamchi burchak √3sinx + cosx - √2 = 0 kiritilishi

9) ba'zi trigonometrik funktsiyaga ko'paytirish cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Trigonometrik tenglamalar ildizlarini tanlash (20 min.)

Oliy o'quv yurtlariga kirishda qattiq raqobat sharoitida imtihonning birinchi qismini hal qilishning o'zi etarli emasligi sababli, ko'pchilik talabalar ikkinchi qismning (C1, C2, C3) vazifalariga e'tibor berishlari kerak.

Shuning uchun darsning ushbu bosqichining maqsadi - ilgari o'rganilgan materialni eslab qolish va 2011 yil Yagona davlat imtihonidan C1 muammosini hal qilishga tayyorgarlik ko'rishdir.

Javobni yozishda siz ildizlarni tanlashingiz kerak bo'lgan trigonometrik tenglamalar mavjud. Bu ba'zi cheklovlar bilan bog'liq, masalan: kasrning maxraji nolga teng emas, juft ildiz ostidagi ifoda manfiy emas, logarifm belgisi ostidagi ifoda musbat va hokazo.

Bunday tenglamalar yuqori murakkablikdagi tenglamalar hisoblanadi va Yagona davlat imtihonining versiyasida ular ikkinchi qismda, ya'ni C1da topiladi.

Tenglamani yeching:

Agar kasr nolga teng bo'lsa birlik doirasi yordamida biz ildizlarni tanlaymiz (1-rasmga qarang)

1-rasm.

x = p + 2pn, n Z ni olamiz

Javob: p + 2pn, n Z

Ekranda ildizlarning tanlanishi rangli tasvirdagi doirada ko'rsatiladi.

Faktorlarning kamida bittasi nolga teng bo'lganda mahsulot nolga teng bo'ladi va yoy o'z ma'nosini yo'qotmaydi. Keyin

Birlik doirasidan foydalanib, biz ildizlarni tanlaymiz (2-rasmga qarang)

2-rasm.

5)

Keling, tizimga o'tamiz:

Tizimning birinchi tenglamasida biz almashtirish logini 2 (sinx) = y qilamiz, keyin biz tenglamani olamiz. , tizimga qaytaylik

birlik doirasi yordamida biz ildizlarni tanlaymiz (5-rasmga qarang),

5-rasm.

6. Mustaqil ish (15 min.)

Maqsad materialning assimilyatsiyasini birlashtirish va tekshirish, xatolarni aniqlash va ularni tuzatish yo'llarini belgilashdir.

Ish uch xil variantda taqdim etilgan bo'lib, bosma asosda oldindan tayyorlangan bo'lib, talabalar tanlashi mumkin.

Tenglamalarni istalgan usulda yechish mumkin.

Variant "3"

Tenglamalarni yeching:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 = 0

2) sin2x = √3cosx

"4" uchun variant

Tenglamalarni yeching:

1) cos2x = 11sinx - 5

2) (2sinx + √3)log 8 (cosx) = 0

Variant "5"

Tenglamalarni yeching:

1) 2sinx - 3cosx = 2

2)

7. Dars konspekti, uyga vazifa (5 min.)

O'qituvchi darsni umumlashtiradi va trigonometrik tenglamani bir necha usul bilan yechish mumkinligiga yana bir bor e'tiborni qaratadi. Ko'pchilik Eng yaxshi yo'l tez natijaga erishish uchun, bu ma'lum bir talaba tomonidan eng yaxshi o'rganiladi.

Imtihonga tayyorgarlik ko'rayotganda, siz formulalar va tenglamalarni echish usullarini muntazam ravishda takrorlashingiz kerak.

Uyga vazifa (bosma asosida oldindan tayyorlangan) tarqatiladi va ayrim tenglamalarni yechish usullari sharhlanadi.

Tenglamalarni yeching:

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0

3) 4sin 2 x + sin2x = 3

4) gunoh 2 x + gunoh 2 2x - gunoh 2 3x - gunoh 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8)cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8)cos15x

9) (2sin 2 x - sinx)log 3 (2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x - √3cosx)log 7 (-tgx) = 0

11)

Voronkova Olga Ivanovna

MBOU "O'rta maktab"

№ 18"

Engels, Saratov viloyati.

Matematika o'qituvchisi.

"Trigonometrik ifodalar va ularning o'zgarishi"

Kirish…………………………………………………………………………………….3

1-bob Trigonometrik ifodalarni o'zgartirishdan foydalanish bo'yicha topshiriqlar tasnifi ………………………………………………5

1.1. Hisoblash vazifalari trigonometrik ifodalarning qiymatlari……….5

1.2.Trigonometrik ifodalarni soddalashtirishga oid topshiriqlar.... 7

1.3. Sonli trigonometrik ifodalarni o zgartirish bo yicha topshiriqlar.....7

1.4 Aralash tipdagi topshiriqlar…………………………………………………9

2-bob. “Trigonometrik ifodalarni o’zgartirish” mavzusining yakuniy takrorini tashkil etishning uslubiy jihatlari…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………11

2.1 10-sinfda mavzuli takrorlash…………………………………………………………11

Test 1…………………………………………………………………………………..12

Test 2………………………………………………………………………………..13

Test 3…………………………………………………………………………………..14

2.2 11-sinfda yakuniy takrorlash………………………………………………………15

Test 1………………………………………………………………………………..17

Test 2………………………………………………………………………………..17

Test 3………………………………………………………………………………..18

Xulosa.…………………………………………………………………………………19

Adabiyotlar ro‘yxati………………………………………………………………….20

Kirish.

Bugungi sharoitda eng muhim savol: "Biz talabalar bilimidagi ba'zi kamchiliklarni bartaraf etishga qanday yordam berishimiz va ularni Yagona davlat imtihonida yuzaga kelishi mumkin bo'lgan xatolardan ogohlantirishimiz mumkin?" Ushbu muammoni hal qilish uchun talabalar tomonidan dastur materialini rasmiy o'zlashtirishga emas, balki uni chuqur va ongli ravishda tushunishga, og'zaki hisob-kitoblar va o'zgartirishlar tezligini rivojlantirishga, shuningdek, oddiy muammolarni hal qilish ko'nikmalarini rivojlantirishga erishish kerak. aql." Talabalarni matematikani o'rganishda faol pozitsiyaga ega bo'lgan taqdirdagina, amaliy ko'nikma va malakalarni egallash va ulardan foydalanish sharti bilan haqiqiy muvaffaqiyatga ishonish mumkinligiga ishontirish kerak. Yagona davlat imtihoniga, shu jumladan 10-11-sinflardagi tanlov fanlariga tayyorgarlik ko'rish uchun barcha imkoniyatlardan foydalanish va o'quvchilar bilan murakkab topshiriqlarni muntazam ravishda ko'rib chiqish, ularni darslarda va qo'shimcha darslarda hal qilishning eng oqilona usulini tanlash kerak.Ijobiy natijastandart masalalarni yechish yo'nalishlariga matematika o'qituvchilari yaratish orqali erishish mumkintalabalar uchun yaxshi boshlang'ich tayyorgarlik, bizni ochgan muammolarni hal qilishning yangi usullarini izlash, faol tajriba o'tkazish, zamonaviy pedagogik texnologiyalar, usullar, usullarni qo'llash qulay sharoitlar o'quvchilarning yangi ijtimoiy sharoitlarda samarali o'zini o'zi anglashi va o'z taqdirini o'zi belgilashi uchun.

Trigonometriya - komponent maktab matematika kursi. Trigonometriya bo'yicha yaxshi bilim va kuchli ko'nikmalar matematik madaniyatning etarli darajada ekanligidan dalolat beradi, universitetda matematika, fizika va bir qator texnik sohalarni muvaffaqiyatli o'rganishning ajralmas shartidir. fanlar.

Ishning dolzarbligi. Maktab bitiruvchilarining salmoqli qismi yildan-yilga matematikaning ushbu muhim bo‘limiga juda past tayyorgarlik ko‘rmoqda, buni o‘tgan yillardagi natijalar (2011-yilda tugallanish ulushi – 48,41%, 2012-yil – 51,05%), o‘tishlar tahlilidan dalolat beradi. yagona davlat imtihoni shuni ko'rsatdiki, talabalar ushbu bo'limdagi topshiriqlarni bajarishda ko'p xatolarga yo'l qo'yishadi yoki umuman bunday vazifalarni o'z zimmalariga olmaydilar. Birida davlat imtihoni Trigonometriya savollari deyarli uch turdagi topshiriqlarda uchraydi. Bunga B5 topshirig'idagi eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish, B7 topshirig'idagi trigonometrik ifodalar bilan ishlash va tadqiqot kiradi. trigonometrik funktsiyalar B14 vazifasida, shuningdek, fizik hodisalarni tavsiflovchi va trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan formulalar mavjud bo'lgan B12 topshirig'ida. Va bu B vazifalarining faqat bir qismi! Ammo C1 ildizlarini tanlash bilan sevimli trigonometrik tenglamalar va C2 ​​va C4 geometrik vazifalari "unchalik sevimli emas".

Ishning maqsadi. Tahlil qiling Yagona davlat imtihon materiallari trigonometrik ifodalarni o'zgartirishga bag'ishlangan B7 topshiriqlari va topshiriqlarni testlarda taqdim etish shakliga ko'ra tasniflash.

Ish ikki bob, kirish va xulosadan iborat. Kirish qismida ishning dolzarbligi ta'kidlangan. Birinchi bobda testda trigonometrik ifodalarni o'zgartirishdan foydalanish bo'yicha vazifalar tasnifi berilgan Yagona davlat imtihon topshiriqlari(2012).

Ikkinchi bobda 10-11-sinflarda “Trigonometrik ifodalarni o‘zgartirish” mavzusini takrorlashni tashkil etish masalalari ko‘rib chiqiladi va shu mavzu bo‘yicha testlar ishlab chiqiladi.

Adabiyotlar ro'yxati 17 ta manbadan iborat.

1-bob. Trigonometrik ifodalarni o'zgartirishlar yordamida vazifalarni tasniflash.

O'rta (to'liq) ta'lim standarti va o'quvchilarning tayyorgarlik darajasiga qo'yiladigan talablarga muvofiq, talablar kodifikatori trigonometriya asoslarini bilish bo'yicha vazifalarni o'z ichiga oladi.

Trigonometriya asoslarini o'rganish quyidagi hollarda samarali bo'ladi:

talabalarga ilgari o'rganilgan materialni takrorlash uchun ijobiy motivatsiya ta'minlanadi;

ta'lim jarayonida shaxsga yo'naltirilgan yondashuv amalga oshiriladi;

talabalar bilimini kengaytirish, chuqurlashtirish va tizimlashtirishga yordam beradigan vazifalar tizimi qo'llaniladi;

Ilg‘or pedagogik texnologiyalar qo‘llaniladi.

Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik ko'rish bo'yicha adabiyotlar va Internet manbalarini tahlil qilib, biz B7 (KIM Yagona Davlat imtihoni 2012-trigonometriya) vazifalarining mumkin bo'lgan tasniflaridan birini taklif qildik: hisoblash vazifalaritrigonometrik ifodalarning qiymatlari; uchun topshiriqlarraqamli trigonometrik ifodalarni aylantirish; harfiy trigonometrik ifodalarni o'zgartirish bo'yicha topshiriqlar; aralash turdagi vazifalar.

1.1. Hisoblash vazifalari trigonometrik ifodalarning ma'nolari.

Oddiy trigonometriya muammolarining eng keng tarqalgan turlaridan biri trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini ulardan birining qiymatidan hisoblashdir:

a) Asosiy trigonometrik identifikatsiyadan foydalanish va uning oqibatlari.

1-misol . Agar toping
Va
.

Yechim.
,
,

Chunki , Bu
.

Javob.

2-misol . Toping
, Agar
Va .

Yechim.
,
,
.

Chunki , Bu
.

Javob. .

b) Ikki burchakli formulalar yordamida.

3-misol . Toping
, Agar
.

Yechim. , .

Javob.
.

4-misol . Ifodaning ma'nosini toping
.

Yechim. .

Javob.
.

, Agar
Va
. Javob. -0,2

2. Toping , Agar
Va
. Javob. 0.4

, Agar . Javob. -12.88

Toping

, Agar
. Javob. -0,84

. Javob. 6

1.2.Trigonometrik ifodalarni soddalashtirish bo'yicha topshiriqlar. Qisqartirish formulalari talabalar tomonidan yaxshi tushunilishi kerak, chunki ular geometriya, fizika va boshqa tegishli fanlarda qo'llanilishini topadilar.

5-misol . Ifodalarni soddalashtirish
.

Yechim. .

Javob.
.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar:

Ifodani soddalashtiring
.

Toping
, Agar
Va

Ifodaning ma'nosini toping
, Agar
.

1.3. Sonli trigonometrik ifodalarni konvertatsiya qilish uchun topshiriqlar.

Raqamli trigonometrik ifodalarni o'zgartirish bo'yicha topshiriqlarni bajarishda siz trigonometrik funktsiyalarning qiymatlari jadvali, paritet xususiyatlari va trigonometrik funktsiyalarning davriyligini bilishga e'tibor berishingiz kerak.

a) Ayrim burchaklar uchun trigonometrik funksiyalarning aniq qiymatlaridan foydalanish.

6-misol . Hisoblash
.

Yechim.
.

Javob.
.

b) Paritet xossalaridan foydalanish trigonometrik funktsiyalar.

7-misol . Hisoblash
.

Yechim. .

Javob.

V) Davriylik xususiyatlaridan foydalanishtrigonometrik funktsiyalar.

8-misol . Ifodaning ma'nosini toping
.

Yechim. .

Javob.
.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar:

Ifodaning ma'nosini toping
.

2. Ifodaning ma’nosini toping
.

3. Ifodaning ma'nosini toping
. Javob. 6

.

1.4 Aralash turdagi vazifalar.

Sertifikatlash testi shakli juda muhim xususiyatlarga ega, shuning uchun bir vaqtning o'zida bir nechta trigonometrik formulalardan foydalanish bilan bog'liq vazifalarga e'tibor berish muhimdir.

9-misol. Toping
, Agar
.

Yechim.
.

Javob.
.

10-misol . Toping
, Agar
Va
.

Yechim. .

Chunki , Bu
.

Javob.
.

11-misol. Toping
, Agar .

Yechim. , ,
,
,
,
,
.

Javob.

12-misol. Hisoblash
.

Yechim. .

Javob.
.

13-misol. Ifodaning ma'nosini toping
, Agar
.

Yechim. .

Javob.
.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar:

Toping
, Agar
.

Toping
, Agar
.

3. Toping
, Agar .

4. Ifodaning ma’nosini toping
, Agar
.

5. Ifodaning ma’nosini toping
, Agar
.

2-bob. “Trigonometrik ifodalarni o’zgartirish” mavzusining yakuniy takrorini tashkil etishning uslubiy jihatlari.

O‘quvchilarning o‘quv faoliyatini yanada yaxshilashga, chuqur va mustahkam bilimga ega bo‘lishiga yordam beradigan muhim masalalardan biri bu avval o‘tilgan materialni takrorlash masalasidir. Amaliyot shuni ko'rsatadiki, 10-sinfda mavzuli takrorlashni tashkil qilish ko'proq maqsadga muvofiqdir; 11-sinfda - yakuniy takrorlash.

2.1. 10-sinfda tematik qayta ko'rib chiqish.

Matematik material ustida ishlash jarayonida, ayniqsa katta ahamiyatga ega har bir tugallangan mavzuni yoki kursning butun bo'limini takrorlashni oladi.

Tematik takrorlash bilan talabalarning mavzu bo'yicha bilimlari uni yakunlashning yakuniy bosqichida yoki ma'lum tanaffusdan keyin tizimlashtiriladi.

Tematik takrorlash uchun maxsus darslar ajratiladi, ularda ma'lum bir mavzu bo'yicha materiallar jamlanadi va umumlashtiriladi.

Darsda takrorlash bu suhbatga talabalarni keng jalb etgan holda suhbat orqali amalga oshiriladi. Shundan so'ng talabalarga ma'lum bir mavzuni takrorlash topshirig'i beriladi va test ishi o'tkazilishi haqida ogohlantiriladi.

Mavzu bo'yicha test uning barcha asosiy savollarini o'z ichiga olishi kerak. Ish tugagandan so'ng, xarakterli xatolar tahlil qilinadi va ularni bartaraf etish uchun takrorlash tashkil etiladi.

Tematik takrorlash darslari uchun biz ishlab chiqilgan darslarni taklif qilamiz test shaklida baholash ishi“Trigonometrik ifodalarni o’zgartirish” mavzusida.

Test № 1

Test № 2

Test № 3

Javoblar jadvali

Sinov

2.2. 11-sinfda yakuniy baholash.

Yakuniy takrorlash matematika kursining asosiy masalalarini o'rganishning yakuniy bosqichida amalga oshiriladi va ushbu bo'lim yoki umuman kurs uchun o'quv materialini o'rganish bilan mantiqiy bog'liqlikda amalga oshiriladi.

O'quv materialining yakuniy takrorlanishi quyidagi maqsadlarni ko'zlaydi:

1. Butun o'quv kursi materialini faollashtirish, uning mantiqiy tuzilishini aniqlashtirish va mavzu va fanlararo aloqalar doirasida tizimni qurish.

2. Takrorlash jarayonida kursning asosiy masalalari bo’yicha talabalar bilimini chuqurlashtirish va iloji bo’lsa kengaytirish.

Barcha bitiruvchilar uchun matematikadan majburiy imtihon kontekstida, Yagona davlat imtihonining bosqichma-bosqich joriy etilishi o'qituvchilarni barcha maktab o'quvchilarining o'quv materialini asosiy darajada o'zlashtirishlarini ta'minlash zarurligini inobatga olgan holda darslarni tayyorlash va o'tkazishga yangicha yondashishga majbur qiladi. darajasi, shuningdek, universitetga kirish uchun yuqori ball olishga qiziqqan talabalar uchun imkoniyat, materialni ilg'or va yuqori darajada o'zlashtirishda dinamik rivojlanish.

Yakuniy takrorlash darslarida siz quyidagi vazifalarni ko'rib chiqishingiz mumkin:

Yechim. =
= =
=
=
=
=0,5.

Ifoda qabul qilishi mumkin bo'lgan eng katta butun son qiymatini belgilang
.

Yechim. Chunki
segmentga tegishli har qanday qiymatni qabul qilishi mumkin [–1; 1], keyin
segmentning istalgan qiymatini oladi [–0,4; 0.4], shuning uchun. Ifoda bitta butun qiymatga ega - 4 raqami.

Ifodani soddalashtiring
.

Yechish: Kublar yigindisini faktorlarga ajratish formulasidan foydalanamiz: . Bizda ... bor

Bizda ... bor:
.

Javob: 1

4-misol. Hisoblash
.

Yechim. .

Javob: 0,28

Yakuniy takrorlash darslari uchun biz "Trigonometrik ifodalarni o'zgartirish" mavzusida ishlab chiqilgan testlarni taklif qilamiz.

1 dan oshmaydigan eng katta butun sonni kiriting

Xulosa.

Tegishli orqali ishlagan uslubiy adabiyotlar ushbu mavzu bo'yicha, biz bilan bog'liq muammolarni hal qilish qobiliyati va ko'nikmalari, degan xulosaga kelishimiz mumkin trigonometrik o'zgarishlar maktabda matematika kursi juda muhim.

Bajarilgan ish jarayonida B7 vazifalarni tasniflash amalga oshirildi. 2012 yilda CMMlarda eng ko'p ishlatiladigan trigonometrik formulalar ko'rib chiqiladi. Yechimlari bilan topshiriqlarga misollar keltirilgan. Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik ko'rishda takrorlashni tashkil qilish va bilimlarni tizimlashtirish uchun tabaqalashtirilgan testlar ishlab chiqilgan.

Ko'rib chiqish bilan boshlangan ishni davom ettirish tavsiya etiladi B5 topshirig'idagi eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish, B14 topshirig'ida trigonometrik funktsiyalarni o'rganish, fizik hodisalarni tavsiflovchi va trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan formulalarni o'z ichiga olgan B12 topshiriqlar.

Xulosa qilib shuni ta'kidlashni istardimki, samaradorlik Yagona davlat imtihonidan o'tish ko‘p jihatdan ta’limning barcha bosqichlarida, barcha toifadagi o‘quvchilar ishtirokida o‘quv jarayoni qanchalik samarali tashkil etilganligi bilan belgilanadi. Agar biz o‘quvchilarda mustaqillik, mas’uliyat va butun umri davomida o‘qishni davom ettirishga tayyorlikni singdira olsak, biz nafaqat davlat va jamiyat buyurtmalarini bajaramiz, balki o‘zimizning o‘zimizga bo‘lgan hurmatimizni ham oshiramiz.

O'quv materialini takrorlash o'qituvchidan talab qiladi ijodiy ish. U takrorlash turlari o'rtasida aniq bog'lanishni ta'minlashi va chuqur o'ylangan takrorlash tizimini amalga oshirishi kerak. Takrorlashni tashkil etish san'atini egallash o'qituvchining vazifasidir. O'quvchilar bilimining mustahkamligi ko'p jihatdan uning yechimiga bog'liq.

Adabiyot.

Vygodskiy Ya.Ya., Boshlang'ich matematika bo'yicha qo'llanma. -M.: Nauka, 1970 yil.

Algebra va asosiy tahlildan qiyinchilikning kuchayishi masalalari: 10-11-sinflar uchun darslik o'rta maktab/ B.M. Ivlev, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn, S.I. Shvartsburd. – M.: Ta’lim, 1990 yil.

Asosiy trigonometrik formulalarni ifodalarni o'zgartirishda qo'llash (10-sinf) // Pedagogik g'oyalar festivali. 2012-2013 yillar.

Koryanov A.G. , Prokofyev A.A. Biz Yagona Davlat imtihoniga yaxshi va a'lochi talabalarni tayyorlaymiz. - M.: Pedagogika universiteti “Birinchi sentyabr”, 2012.- 103 b.

Kuznetsova E.N. Trigonometrik ifodalarni soddalashtirish. Trigonometrik tenglamalarni yechish turli usullar(Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik). 11-sinf. 2012-2013 yillar.

Kulanin E. D. Matematika bo'yicha 3000 raqobat muammolari. 4-nashr, to'g'ri. va qo'shimcha - M.: Rolf, 2000 yil.

Mordkovich A.G. O'rta maktablarda trigonometriyani o'rganishning uslubiy muammolari // Maktabda matematika. 2002 yil. № 6.

Pichurin L.F. Trigonometriya haqida va nafaqat u haqida: -M. Ma'rifat, 1985 yil

Reshetnikov N.N. Maktabda trigonometriya: -M. : Pedagogika universiteti "Birinchi sentyabr", 2006, lx 1.

Shabunin M.I., Prokofyev A.A. Matematika. Algebra. Matematik tahlilning boshlanishi.Profil darajasi: 10-M sinf uchun darslik: BINOM. Bilimlar laboratoriyasi, 2007 yil.

Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik ko'rish uchun ta'lim portali.

Matematika bo'yicha yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik "Oh, bu trigonometriya! http://festival.1september.ru/articles/621971/

Loyiha "Matematik? Oson!!!" http://www.resolventa.ru/

IN identifikatsiya o'zgarishlari trigonometrik ifodalar quyidagi algebraik usullardan foydalanish mumkin: bir xil atamalarni qo'shish va ayirish; umumiy omilni qavs ichidan chiqarish; bir xil miqdorga ko'paytirish va bo'lish; qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llash; to'liq kvadratni tanlash; kvadratik uch a’zoni faktoringga ajratish; transformatsiyalarni soddalashtirish uchun yangi o'zgaruvchilarni kiritish.

Kasrlarni o'z ichiga olgan trigonometrik ifodalarni o'zgartirganda, siz mutanosiblik, kasrlarni kamaytirish yoki kasrlarni umumiy maxrajga qisqartirish xususiyatlaridan foydalanishingiz mumkin. Bundan tashqari, siz kasrning butun qismini tanlashdan foydalanishingiz mumkin, kasrning soni va maxrajini bir xil miqdorga ko'paytirasiz, shuningdek, agar iloji bo'lsa, hisoblagich yoki maxrajning bir xilligini hisobga olishingiz mumkin. Agar kerak bo'lsa, kasrni bir nechta oddiy kasrlarning yig'indisi yoki farqi sifatida ifodalashingiz mumkin.

Bundan tashqari, trigonometrik ifodalarni o'zgartirish uchun barcha kerakli usullarni qo'llashda doimiy ravishda o'zgartirilayotgan ifodalarning ruxsat etilgan qiymatlari oralig'ini hisobga olish kerak.

Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

1-misol.

A = (sin (2x – p) cos (3p – x) + sin (2x – 9p/2) cos (x + p/2)) 2 + (cos (x – p/2) cos ( 2x – 7p) ni hisoblang. /2) +
+ gunoh (3p/2 – x) gunoh (2x –5p/2)) 2

Yechim.

Qisqartirish formulalaridan quyidagicha:

sin (2x – p) = -sin 2x; cos (3p – x) = -cos x;

sin (2x – 9p/2) = -cos 2x; cos (x + p/2) = -sin x;

cos (x – p/2) = sin x; cos (2x – 7p/2) = -sin 2x;

sin (3p/2 – x) = -cos x; sin (2x – 5p/2) = -cos 2x.

Shunday qilib, argumentlarni qo'shish formulalari va asosiy trigonometrik identifikatsiya tufayli biz olamiz

A = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Javob: 1.

2-misol.

M = cos a + cos (a + b) · cos g + cos b – sin (a + b) · sin g + cos g ifodasini hosilaga aylantiring.

Yechim.

Argumentlarni qo'shish formulalari va trigonometrik funktsiyalar yig'indisini tegishli guruhlashdan keyin mahsulotga aylantirish uchun formulalardan bizda mavjud

M = (cos (a + b) cos g – sin (a + b) sin g) + cos a + (cos b + cos g) =

2cos ((b + g)/2) cos ((b – g)/2) + (cos a + cos (a + b + g)) =

2cos ((b + g)/2) cos ((b – g)/2) + 2cos (a + (b + g)/2) cos ((b + g)/2)) =

2cos ((b + g)/2) (cos ((b – g)/2) + cos (a + (b + g)/2)) =

2cos ((b + g)/2) 2cos ((b – g)/2 + a + (b + g)/2)/2) cos ((b – g)/2) – (a + ( b +) g)/2)/2) =

4cos ((b + g)/2) cos ((a +b)/2) cos ((a + g)/2).

Javob: M = 4cos ((a + b)/2) · cos ((a + g)/2) · cos ((b + g)/2).

3-misol.

A = cos 2 (x + p/6) – cos (x + p/6) cos (x – p/6) + cos 2 (x – p/6) ifodasi R dan barcha x uchun bitta olishini ko‘rsating va bir xil ma'no. Ushbu qiymatni toping.

Yechim.

Bu muammoni hal qilishning ikkita usuli bor. Birinchi usulni qo'llash orqali to'liq kvadratni ajratib, tegishli asosiy trigonometrik formulalarni qo'lga kiritamiz.

A = (cos (x + p/6) – cos (x – p/6)) 2 + cos (x – p/6) cos (x – p/6) =

4sin 2 x sin 2 p/6 + 1/2(cos 2x + cos p/3) =

Sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.

Muammoni ikkinchi usulda yechish, A ni R dan x ning funksiyasi sifatida ko'rib chiqing va uning hosilasini hisoblang. O'zgarishlardan keyin biz olamiz

A´ = -2cos (x + p/6) sin (x + p/6) + (sin (x + p/6) cos (x – p/6) + cos (x + p/6) sin (x) + p/6)) – 2cos (x – p/6) sin (x – p/6) =

Sin 2(x + p/6) + sin ((x + p/6) + (x – p/6)) – sin 2(x – p/6) =

Sin 2x – (sin (2x + p/3) + gunoh (2x – p/3)) =

Sin 2x – 2sin 2x · cos p/3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.

Demak, oraliqda differentsiallanuvchi funksiyaning doimiylik kriteriyasidan kelib chiqib, shunday xulosaga kelamiz:

A(x) ≡ (0) = cos 2 p/6 - cos 2 p/6 + cos 2 p/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R.

Javob: x € R uchun A = 3/4.

Trigonometrik identifikatsiyani isbotlashning asosiy usullari:

A) tegishli transformatsiyalar orqali identifikatsiyaning chap tomonini o'ngga qisqartirish;
b) identifikatsiyaning o'ng tomonini chapga qisqartirish;
V) identifikatsiyaning o'ng va chap tomonlarini bir xil shaklga qisqartirish;
G) isbotlanayotgan shaxsning chap va o'ng tomonlari orasidagi farqni nolga kamaytirish.

4-misol.

cos 3x = -4cos x · cos (x + p/3) · cos (x + 2p/3) ekanligini tekshiring.

Yechim.

O'zgartirilmoqda o'ng tomon tegishli trigonometrik formulalar yordamida bu o'ziga xoslik, biz bor

4cos x cos (x + p/3) cos (x + 2p/3) =

2cos x (cos ((x + p/3) + (x + 2p/3)) + cos ((x + p/3) – (x + 2p/3)))) =

2cos x (cos (2x + p) + cos p/3) =

2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.

Shaxsning o'ng tomoni chapga qisqartiriladi.

5-misol.

Sin 2 a + sin 2 b + sin 2 g – 2cos a · cos b · cos g = 2 bo‘lishini isbotlang, agar a, b, g ba’zi uchburchakning ichki burchaklari bo‘lsa.

Yechim.

a, b, g lar qandaydir uchburchakning ichki burchaklari ekanligini hisobga olsak, shuni olamiz

a + b + g = p va demak, g = p – a – b.

sin 2 a + sin 2 b + sin 2 g – 2cos a · cos b · cos g =

Sin 2 a + sin 2 b + sin 2 (p – a – b) – 2cos a · cos b · cos (p – a – b) =

Sin 2 a + sin 2 b + sin 2 (a + b) + (cos (a + b) + cos (a – b) · (cos (a + b) =

Sin 2 a + sin 2 b + (sin 2 (a + b) + cos 2 (a + b)) + cos (a – b) (cos (a + b) =

1/2 · (1 – cos 2a) + ½ · (1 – cos 2b) + 1 + 1/2 · (cos 2a + cos 2b) = 2.

Asl tenglik isbotlangan.

6-misol.

Uchburchakning a, b, g burchaklaridan biri 60° ga teng boʻlishi uchun sin 3a + sin 3b + sin 3g = 0 boʻlishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.

Yechim.

Bu muammoning sharti zaruriyat va etarlilikni isbotlashni o'z ichiga oladi.

Avval isbot qilaylik zaruriyat.

Buni ko'rsatish mumkin

sin 3a + sin 3b + sin 3g = -4cos (3a/2) cos (3b/2) cos (3g/2).

Demak, cos (3/2 60°) = cos 90° = 0 ekanligini hisobga olsak, agar a, b yoki g burchaklardan biri 60° ga teng boʻlsa, shunday xulosaga kelamiz.

cos (3a/2) cos (3b/2) cos (3g/2) = 0 va demak, sin 3a + sin 3b + sin 3g = 0.

Keling, hozir isbotlaylik adekvatlik belgilangan shart.

Agar sin 3a + sin 3b + sin 3g = 0 bo'lsa, u holda cos (3a/2) cos (3b/2) cos (3g/2) = 0 va shuning uchun

yo cos (3a/2) = 0, yoki cos (3b/2) = 0, yoki cos (3g/2) = 0.

Demak,

yoki 3a/2 = p/2 + pk, ya'ni. a = p/3 + 2pk/3,

yoki 3b/2 = p/2 + pk, ya'ni. b = p/3 + 2pk/3,

yoki 3g/2 = p/2 + pk,

bular. g = p/3 + 2pk/3, bu yerda k s Z.

a, b, g uchburchakning burchaklari ekanligidan, bizda bor

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Shuning uchun a = p/3 + 2pk/3 yoki b = p/3 + 2p/3 yoki

g = p/3 + 2pk/3 barcha kōZ faqat k = 0 mos keladi.

Bundan kelib chiqadiki, yo a = p/3 = 60°, yoki b = p/3 = 60° yoki g = p/3 = 60°.

Bayonot isbotlangan.

Hali ham savollaringiz bormi? Trigonometrik ifodalarni qanday soddalashtirishni bilmayapsizmi?
Repetitordan yordam olish uchun ro'yxatdan o'ting.
Birinchi dars bepul!

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.