સંખ્યાનું મોડ્યુલસ (સંખ્યાનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય), વ્યાખ્યાઓ, ઉદાહરણો, ગુણધર્મો. એક લીટી પર સંખ્યાઓની છબી

પ્રકરણ 1. ચલો અને કાર્યો

§1.1. વાસ્તવિક સંખ્યાઓ
વાસ્તવિક સંખ્યાઓ સાથે પ્રથમ પરિચય શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં થાય છે. દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા મર્યાદિત અથવા અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંક દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

વાસ્તવિક સંખ્યાઓને બે વર્ગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે: તર્કસંગત સંખ્યાઓનો વર્ગ અને અતાર્કિક સંખ્યાઓનો વર્ગ. તર્કસંગતએવી સંખ્યાઓ છે જેમાં ફોર્મ , જ્યાં હોય છે mઅને n- સંપૂર્ણ પરસ્પર છે અવિભાજ્ય સંખ્યા, પરંતુ
. (તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે પ્ર). બાકીના વાસ્તવિક નંબરો કહેવામાં આવે છે અતાર્કિક. તર્કસંગત સંખ્યાઓ મર્યાદિત અથવા અનંત સામયિક અપૂર્ણાંક (સામાન્ય અપૂર્ણાંકની જેમ) દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, પછી તે અને માત્ર તે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ જે અનંત બિન-સામયિક અપૂર્ણાંકો દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે તે અતાર્કિક હશે.

ઉદાહરણ તરીકે, નંબર
- તર્કસંગત, અને
,
,
અને તેથી વધુ. - અતાર્કિક સંખ્યાઓ.

વાસ્તવિક સંખ્યાઓને બીજગણિતમાં પણ વિભાજિત કરી શકાય છે - તર્કસંગત ગુણાંક સાથે બહુપદીના મૂળ (આમાં, ખાસ કરીને, બધી તર્કસંગત સંખ્યાઓ - સમીકરણના મૂળનો સમાવેશ થાય છે.
) - અને ગુણાતીત લોકો માટે - બાકીના બધા (ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓ
અને અન્ય).

તમામ પ્રાકૃતિક, પૂર્ણાંક અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સેટને નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે: એનઝેડ, આર
(શબ્દોના પ્રારંભિક અક્ષરો નેચરલ, ઝાહલ, રેએલ).

§1.2. સંખ્યા રેખા પર વાસ્તવિક સંખ્યાઓની છબી. અંતરાલ

ભૌમિતિક રીતે (સ્પષ્ટતા માટે), વાસ્તવિક સંખ્યાઓ અનંત (બંને દિશામાં) સીધી રેખા પરના બિંદુઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. સંખ્યાત્મક ધરી. આ હેતુ માટે, વિચારણા હેઠળની લીટી પર એક બિંદુ લેવામાં આવે છે (મૂળ બિંદુ 0 છે), હકારાત્મક દિશા સૂચવવામાં આવે છે, તીર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે (સામાન્ય રીતે જમણી બાજુએ) અને સ્કેલનું એક એકમ પસંદ કરવામાં આવે છે, જે અનિશ્ચિત સમય માટે બાજુ પર રાખવામાં આવે છે. બિંદુ 0 ની બંને બાજુએ. આ રીતે પૂર્ણાંકો દર્શાવવામાં આવે છે. એક દશાંશ સ્થાન સાથે સંખ્યા દર્શાવવા માટે, તમારે દરેક સેગમેન્ટને દસ ભાગો વગેરેમાં વિભાજીત કરવાની જરૂર છે. આમ, દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા સંખ્યા રેખા પરના બિંદુ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. દરેક બિંદુ પર પાછા
સેગમેન્ટની લંબાઈ જેટલી વાસ્તવિક સંખ્યાને અનુલક્ષે છે
અને “+” અથવા “–” ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે, જે બિંદુ મૂળની જમણી બાજુએ છે કે ડાબી બાજુએ છે તેના આધારે. આ રીતે, તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહ અને સંખ્યા અક્ષ પરના તમામ બિંદુઓના સમૂહ વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત થાય છે. શબ્દો "વાસ્તવિક સંખ્યા" અને "સંખ્યા અક્ષ બિંદુ" તરીકે વપરાય છે સમાનાર્થી

પ્રતીક અમે વાસ્તવિક સંખ્યા અને તેને અનુરૂપ બિંદુ બંને દર્શાવીશું. સકારાત્મક સંખ્યાઓ બિંદુ 0 ની જમણી બાજુએ સ્થિત છે, નકારાત્મક સંખ્યાઓ ડાબી બાજુએ સ્થિત છે. જો
, પછી સંખ્યા અક્ષ પર બિંદુ બિંદુની ડાબી બાજુએ આવેલું છે . બિંદુ દો
સંખ્યાને અનુલક્ષે છે, પછી નંબરને બિંદુનું સંકલન કહેવામાં આવે છે, લખો
; વધુ વખત બિંદુ પોતે નંબર તરીકે સમાન અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. બિંદુ 0 એ કોઓર્ડિનેટ્સનું મૂળ છે. અક્ષ પણ પત્ર દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે (ફિગ. 1.1).

ચોખા. 1.1. સંખ્યા અક્ષ.
બધા નંબરોનો સેટ પડેલો છે વચ્ચેઆપેલ સંખ્યાઓ અને તેને અંતરાલ અથવા અંતરાલ કહેવામાં આવે છે; છેડા તેના સંબંધમાં હોઈ શકે અથવા ન પણ હોય. ચાલો આની સ્પષ્ટતા કરીએ. દો
. સંખ્યાઓનો સમૂહ જે સ્થિતિને સંતોષે છે
, એક અંતરાલ (સંકુચિત અર્થમાં) અથવા ખુલ્લું અંતરાલ કહેવાય છે, જે પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે
(ફિગ. 1.2).

ચોખા. 1.2. અંતરાલ
સંખ્યાઓનો સમૂહ જેમ કે
બંધ અંતરાલ (સેગમેન્ટ, સેગમેન્ટ) કહેવાય છે અને તે દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે
; સંખ્યા અક્ષ પર તે નીચે પ્રમાણે ચિહ્નિત થયેલ છે:

ચોખા. 1.3. બંધ અંતરાલ
તે ખુલ્લા અંતરથી ફક્ત બે બિંદુઓ (અંત) અને . પરંતુ આ તફાવત મૂળભૂત, નોંધપાત્ર છે, કારણ કે આપણે પછીથી જોઈશું, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે કાર્યોના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરીએ છીએ.

"બધી સંખ્યાઓનો સમૂહ (બિંદુ)" શબ્દોને બાદ કરતા xજેમ કે", વગેરે, અમે આગળ નોંધીએ છીએ:

અને
, સૂચિત
અને
અર્ધ-ખુલ્લા અથવા અર્ધ-બંધ અંતરાલો (ક્યારેક: અર્ધ-અંતરો);

અથવા
અર્થ:
અથવા
અને નિયુક્ત થયેલ છે
અથવા
;

અથવા
અર્થ
અથવા
અને નિયુક્ત થયેલ છે
અથવા
;

, સૂચિત
બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ. બેજ
"અનંત" પ્રતીકો; તેમને અયોગ્ય અથવા આદર્શ નંબરો કહેવામાં આવે છે.

§1.3. સંપૂર્ણ મૂલ્ય (અથવા મોડ્યુલસ) વાસ્તવિક સંખ્યા
વ્યાખ્યા. સંપૂર્ણ મૂલ્ય (અથવા મોડ્યુલ)નંબરને જ નંબર કહેવામાં આવે છે જો
અથવા
જો
. સંપૂર્ણ મૂલ્ય પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે . તેથી,

દાખ્લા તરીકે,
,
,
.

ભૌમિતિક અર્થ થાય છે બિંદુ અંતર aમૂળ માટે. જો આપણી પાસે બે બિંદુઓ હોય અને , તો તેમની વચ્ચેનું અંતર તરીકે રજૂ કરી શકાય
(અથવા
). દાખ્લા તરીકે,
પછી અંતર
.

સંપૂર્ણ જથ્થાના ગુણધર્મો.

1. વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે

,
, તે જ
.

2. સરવાળો અને તફાવતનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય નિરપેક્ષ મૂલ્યોના સરવાળા કરતાં વધી જતું નથી:
.

1) જો
, તે
. 2) જો
, તે . ▲

3.
.

, પછી મિલકત 2 દ્વારા:
, એટલે કે
. તેવી જ રીતે, જો તમે કલ્પના કરો છો
, પછી આપણે અસમાનતા પર પહોંચીએ છીએ
▲

4.
- વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે: કેસો ધ્યાનમાં લો
અને
.

5.
, આપેલ છે તે
તે જ વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે.

6. અસમાનતા
,
, અર્થ
. આ અસમાનતા પોઈન્ટ દ્વારા સંતોષાય છે જે વચ્ચે આવેલા છે
અને
.

7. અસમાનતા
અસમાનતા સમાન
, એટલે કે . આ લંબાઈના બિંદુ પર કેન્દ્રિત અંતરાલ છે
. તે કહેવાય છે
બિંદુની પડોશ (સંખ્યા). જો
, પછી પડોશીને પંચર કહેવામાં આવે છે: આ છે અથવા
. (ફિગ.1.4).

8.
જ્યાંથી તે અસમાનતાને અનુસરે છે
(
) અસમાનતાની સમકક્ષ છે
અથવા
; અને અસમાનતા
જેના માટે પોઈન્ટનો સમૂહ વ્યાખ્યાયિત કરે છે
, એટલે કે આ સેગમેન્ટની બહાર પડેલા બિંદુઓ છે
, બરાબર:
અને
.

§1.4. કેટલાક ખ્યાલો અને સંકેતો
ચાલો સેટ થિયરી, ગાણિતિક તર્ક અને આધુનિક ગણિતની અન્ય શાખાઓમાંથી કેટલાક વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાતા ખ્યાલો અને સંકેતો રજૂ કરીએ.

1 . ખ્યાલ સેટગણિતમાં મૂળભૂત બાબતોમાંનું એક છે, પ્રારંભિક, સાર્વત્રિક - અને તેથી તેને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાતું નથી. તે ફક્ત વર્ણવી શકાય છે (સમાનાર્થી સાથે બદલીને): તે એક સંગ્રહ છે, કેટલીક વસ્તુઓ, વસ્તુઓનો સંગ્રહ, કેટલીક લાક્ષણિકતાઓ દ્વારા સંયુક્ત. આ પદાર્થો કહેવામાં આવે છે તત્વોભીડ ઉદાહરણો: કિનારા પર રેતીના ઘણા દાણા, બ્રહ્માંડમાં તારાઓ, વર્ગખંડમાં વિદ્યાર્થીઓ, સમીકરણના મૂળ, સેગમેન્ટના બિંદુઓ. સમૂહો કે જેના તત્વો નંબરો છે તેને કહેવામાં આવે છે સંખ્યાત્મક સમૂહો. કેટલાક પ્રમાણભૂત સમૂહો માટે, વિશિષ્ટ સંકેત રજૂ કરવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, એન,ઝેડ,આર-§ 1.1 જુઓ.

દો એ- ઘણા અને xતેનું તત્વ છે, પછી તેઓ લખે છે:
; વાંચે છે " xસંબંધ ધરાવે છે એ» (
તત્વો માટે સમાવેશ ચિહ્ન). જો પદાર્થ xમાં સમાવેલ નથી એ, પછી તેઓ લખે છે
; વાંચે છે: " xસંબંધ નથી એ" દાખ્લા તરીકે,
એન; 8,51એન; પરંતુ 8.51 આર.

જો xછે સામાન્ય હોદ્દોસમૂહના તત્વો એ, પછી તેઓ લખે છે
. જો બધા તત્વોનું હોદ્દો લખવાનું શક્ય હોય, તો લખો
,
વગેરે. સમૂહ કે જેમાં એક પણ તત્વ ન હોય તેને ખાલી સમૂહ કહેવામાં આવે છે અને તે પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે ; ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણના મૂળ (વાસ્તવિક) નો સમૂહ
ત્યાં ખાલી છે.

સમૂહ કહેવાય છે અંતિમ, જો તે ઘટકોની મર્યાદિત સંખ્યા ધરાવે છે. જો, સમૂહમાં N કઈ પણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા લેવામાં આવી હોય તો પણ એત્યાં N કરતાં વધુ તત્વો છે એકહેવાય છે અનંતસમૂહ: તેમાં અસંખ્ય તત્વો છે.

જો સમૂહ દરેક તત્વ ^એઘણાની છે બી, તે સમૂહનો ભાગ અથવા સબસેટ કહેવાય છે બીઅને લખો
; વાંચે છે " એમાં સમાયેલ છે બી» (
સેટ માટે એક સમાવેશ ચિહ્ન છે). દાખ્લા તરીકે, એનઝેડઆર.જો
, પછી તેઓ કહે છે કે સેટ એઅને બીસમાન છે અને લખો
. નહિંતર તેઓ લખે છે
. ઉદાહરણ તરીકે, જો
, એ
સમીકરણના મૂળનો સમૂહ
, તે .

બંને સમૂહોના ઘટકોનો સમૂહ એઅને બીકહેવાય છે એકીકરણસેટ કરે છે અને સૂચવવામાં આવે છે
(ક્યારેક
). સાથે જોડાયેલા તત્વોનો સમૂહ અને એઅને બી, કહેવાય છે આંતરછેદસેટ કરે છે અને સૂચવવામાં આવે છે
. સમૂહના તમામ ઘટકોનો સમૂહ ^એ, જેમાં સમાવિષ્ટ નથી બી, કહેવાય છે તફાવતસેટ કરે છે અને સૂચવવામાં આવે છે
. આ કામગીરી નીચે પ્રમાણે યોજનાકીય રીતે રજૂ કરી શકાય છે:

જો સમૂહોના તત્વો વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત કરી શકાય, તો તેઓ કહે છે કે આ સમૂહો સમકક્ષ છે અને લખે છે.
. કોઈપણ સેટ એ, સમૂહની સમકક્ષ કુદરતી સંખ્યાઓ એન= કહેવાય છે ગણતરીપાત્રઅથવા ગણતરીપાત્રબીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સમૂહને ગણવાયોગ્ય કહેવામાં આવે છે જો તેના તત્વોને ક્રમાંકિત અને અનંતમાં ગોઠવી શકાય અનુગામી
, જેમાંના બધા સભ્યો અલગ છે:
ખાતે
, અને તે ફોર્મમાં લખી શકાય છે. અન્ય અનંત સમૂહો કહેવામાં આવે છે અસંખ્ય. ગણતરીપાત્ર, સેટ સિવાય એન,ત્યાં હશે, ઉદાહરણ તરીકે, સેટ
, ઝેડ.તે તારણ આપે છે કે તમામ તર્કસંગત અને બીજગણિત સંખ્યાઓના સેટ ગણી શકાય તેવા છે, અને તમામ અતાર્કિક, ગુણાતીત, વાસ્તવિક સંખ્યાઓ અને કોઈપણ અંતરાલના બિંદુઓના સમકક્ષ સેટ અગણિત છે. તેઓ કહે છે કે બાદમાં સાતત્યની શક્તિ છે (શક્તિ એ અનંત સમૂહ માટે તત્વોની સંખ્યા (સંખ્યા) ની વિભાવનાનું સામાન્યીકરણ છે).

2 . ચાલો ત્યાં બે નિવેદનો, બે હકીકતો: અને
. પ્રતીક
અર્થ છે: “જો સાચું હોય, તો સાચું અને” અથવા “તે અનુસરે છે”, “એટલે કે સમીકરણના મૂળમાં અંગ્રેજીમાંથી ગુણધર્મ છે અસ્તિત્વમાં છે- અસ્તિત્વમાં છે.

પ્રવેશ:

, અથવા
, મતલબ: મિલકત ધરાવતો (ઓછામાં ઓછો એક) પદાર્થ છે . અને રેકોર્ડિંગ
, અથવા
, મતલબ: દરેક પાસે મિલકત છે. ખાસ કરીને, અમે લખી શકીએ છીએ:
અને .

વાસ્તવિક નંબરો II

§ 44 વાસ્તવિક સંખ્યાઓની ભૌમિતિક રજૂઆત

ભૌમિતિક રીતે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, જેમ કે તર્કસંગત સંખ્યાઓ, રેખા પરના બિંદુઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

દો l એક મનસ્વી સીધી રેખા છે, અને O તેના કેટલાક બિંદુઓ છે (ફિગ. 58). દરેક હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યા α ના અંતરે O ની જમણી બાજુએ આવેલા બિંદુ A ને સાંકળીએ α લંબાઈના એકમો.

જો, ઉદાહરણ તરીકે, α = 2.1356..., પછી

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

વગેરે. દેખીતી રીતે, આ કિસ્સામાં બિંદુ A સીધી રેખા પર હોવો જોઈએ l સંખ્યાઓને અનુરૂપ બિંદુઓની જમણી બાજુએ

2; 2,1; 2,13; ... ,

પરંતુ સંખ્યાઓને અનુરૂપ બિંદુઓની ડાબી બાજુએ

3; 2,2; 2,14; ... .

તે બતાવી શકાય છે કે આ શરતો રેખા પર વ્યાખ્યાયિત કરે છે l એકમાત્ર બિંદુ A, જેને આપણે વાસ્તવિક સંખ્યાની ભૌમિતિક છબી તરીકે ગણીએ છીએ α = 2,1356... .

તેવી જ રીતે, દરેક નકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યા માટે β ચાલો O ની ડાબી બાજુએ આવેલા બિંદુ B ને | ના અંતરે સાંકળીએ β | લંબાઈના એકમો. અંતે, આપણે "શૂન્ય" નંબરને બિંદુ O સાથે સાંકળીએ છીએ.

તેથી, નંબર 1 સીધી રેખા પર દર્શાવવામાં આવશે l બિંદુ A, O ની જમણી બાજુએ લંબાઈના એક એકમના અંતરે સ્થિત છે (ફિગ. 59), સંખ્યા - √2 - બિંદુ B દ્વારા, O ની ડાબી બાજુએ લંબાઈના √2 એકમના અંતરે સ્થિત છે, વગેરે .

ચાલો બતાવીએ કે કેવી રીતે સીધી રેખા પર l હોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને, તમે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ √2, √3, √4, √5, વગેરેને અનુરૂપ બિંદુઓ શોધી શકો છો. આ કરવા માટે, સૌ પ્રથમ, અમે બતાવીશું કે તમે કેવી રીતે સેગમેન્ટ્સ બનાવી શકો છો જેની લંબાઈ વ્યક્ત કરવામાં આવી હોય. આ સંખ્યાઓ દ્વારા. ચાલો AB ને લંબાઈના એકમ તરીકે લેવાયેલ સેગમેન્ટ તરીકે ગણીએ (ફિગ. 60).

બિંદુ A પર, અમે આ સેગમેન્ટને લંબ બાંધીએ છીએ અને તેના પર AB સેગમેન્ટ AC સમાન સેગમેન્ટ બનાવીએ છીએ. પછી, કાટકોણ ત્રિકોણ ABC પર પાયથાગોરિયન પ્રમેય લાગુ કરવાથી, આપણને મળે છે; BC = √AB 2 + AC 2 = √1+1 = √2

તેથી, સેગમેન્ટ BC ની લંબાઈ √2 છે. હવે ચાલો બિંદુ C પર સેગમેન્ટ BC ને કાટખૂણે બાંધીએ અને તેના પર બિંદુ D પસંદ કરીએ જેથી સેગમેન્ટ CD લંબાઈ AB ના એક એકમ સમાન હોય. પછી જમણા ત્રિકોણ BCD માંથી આપણે શોધીએ છીએ:

ВD = √ВC 2 + СD 2 = √2+1 = √3

તેથી, BD સેગમેન્ટની લંબાઈ √3 છે. વર્ણવેલ પ્રક્રિયાને આગળ ચાલુ રાખીને, અમે સેગમેન્ટ્સ BE, BF, ... મેળવી શકીએ છીએ, જેની લંબાઈ √4, √5, વગેરે નંબરો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે.

હવે સીધી લીટી પર l તે બિંદુઓને શોધવાનું સરળ છે જે સંખ્યાઓ √2, √3, √4, √5, વગેરેની ભૌમિતિક રજૂઆત તરીકે સેવા આપે છે.

બિછાવીને, ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુ O (ફિગ. 61) ની જમણી બાજુએ સેગમેન્ટ BC, અમે બિંદુ C મેળવીએ છીએ, જે સંખ્યા √2 ની ભૌમિતિક છબી તરીકે સેવા આપે છે. એ જ રીતે, બિંદુ O ની જમણી બાજુએ BD સેગમેન્ટ મુકવાથી, આપણને બિંદુ D" મળે છે, જે સંખ્યા √3, વગેરેની ભૌમિતિક છબી છે.

જો કે, કોઈએ એવું ન વિચારવું જોઈએ કે નંબર લાઇન પર હોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કરવો l કોઈ પણ આપેલ વાસ્તવિક સંખ્યાને અનુરૂપ બિંદુ શોધી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તે સાબિત થયું છે કે, તમારા નિકાલ પર માત્ર હોકાયંત્ર અને શાસક હોવાને કારણે, તે સેગમેન્ટનું નિર્માણ કરવું અશક્ય છે જેની લંબાઈ સંખ્યા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. π = 3.14.... તેથી, નંબર લાઇન પર l આવા બાંધકામોની મદદથી આ સંખ્યાને અનુરૂપ બિંદુ દર્શાવવું અશક્ય છે. તેમ છતાં, આવા બિંદુ અસ્તિત્વમાં છે.

તેથી, દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા માટે α અમુક સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત બિંદુને સીધી રેખા સાથે સાંકળવાનું શક્ય છે l . આ બિંદુ | ના અંતરે હશે α | લંબાઈના એકમો અને જો O ની જમણી બાજુએ હોય α > 0, અને O ની ડાબી બાજુએ, જો α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой l . હકીકતમાં, નંબર દો α બિંદુ A અનુલક્ષે છે, અને સંખ્યા β - બિંદુ B. પછી, જો α > β , પછી A એ B ની જમણી બાજુએ હશે (ફિગ. 62, a); જો α < β , પછી A, B ની ડાબી બાજુએ આવેલું હશે (ફિગ. 62, b).

તર્કસંગત સંખ્યાઓની ભૌમિતિક છબી વિશે § 37 માં બોલતા, અમે પ્રશ્ન ઉઠાવ્યો: શું રેખા પરના કોઈપણ બિંદુને કેટલાકની ભૌમિતિક છબી તરીકે ગણી શકાય? તર્કસંગતસંખ્યાઓ? ત્યારે અમે આ પ્રશ્નનો જવાબ આપી શક્યા નહિ; હવે આપણે તેનો ચોક્કસ જવાબ આપી શકીએ છીએ. રેખા પર એવા બિંદુઓ છે જે અતાર્કિક સંખ્યાઓની ભૌમિતિક રજૂઆત તરીકે સેવા આપે છે (ઉદાહરણ તરીકે, √2). તેથી, રેખા પરનો દરેક બિંદુ તર્કસંગત સંખ્યાને રજૂ કરતું નથી. પરંતુ આ કિસ્સામાં, બીજો પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શું સંખ્યા રેખા પરના કોઈપણ બિંદુને કેટલાકની ભૌમિતિક છબી તરીકે ગણી શકાય? માન્યસંખ્યાઓ? આ મુદ્દો પહેલેથી જ સકારાત્મક રીતે ઉકેલાઈ ગયો છે.

ખરેખર, A ને લીટી પર એક મનસ્વી બિંદુ બનવા દો l , O (ફિગ. 63) ની જમણી બાજુએ બોલવું.

સેગમેન્ટ OA ની લંબાઈ અમુક હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે α (§ 41 જુઓ). તેથી, બિંદુ A એ સંખ્યાની ભૌમિતિક છબી છે α . તે જ રીતે સ્થાપિત થયેલ છે કે O ની ડાબી બાજુએ આવેલ દરેક બિંદુ B ને નકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાની ભૌમિતિક છબી તરીકે ગણી શકાય - β , ક્યાં β - સેગમેન્ટ VO ની લંબાઈ. અંતે, બિંદુ O શૂન્ય સંખ્યાના ભૌમિતિક પ્રતિનિધિત્વ તરીકે સેવા આપે છે. તે સ્પષ્ટ છે કે એક રેખા પર બે જુદા જુદા બિંદુઓ l સમાન વાસ્તવિક સંખ્યાની ભૌમિતિક છબી હોઈ શકતી નથી.

ઉપર જણાવેલ કારણોસર, એક સીધી રેખા કે જેના પર ચોક્કસ બિંદુ O "પ્રારંભિક" બિંદુ તરીકે સૂચવવામાં આવે છે (લંબાઈના આપેલ એકમ માટે) કહેવામાં આવે છે. સંખ્યા રેખા.

નિષ્કર્ષ. તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ અને સંખ્યા રેખા પરના તમામ બિંદુઓનો સમૂહ એક-થી-એક પત્રવ્યવહારમાં છે.

આનો અર્થ એ છે કે દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા સંખ્યા રેખા પરના એક, સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત બિંદુને અનુલક્ષે છે, અને તેનાથી વિપરીત, સંખ્યા રેખા પરના દરેક બિંદુને, આવા પત્રવ્યવહાર સાથે, ત્યાં એક, સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક સંખ્યાને અનુરૂપ છે.

કસરતો

320. જો આ બિંદુઓ સંખ્યાઓને અનુરૂપ હોય તો બેમાંથી કયો બિંદુ ડાબી બાજુએ છે અને કયો જમણી બાજુએ છે તે શોધો:

a) 1.454545... અને 1.455454...; c) 0 અને - 1.56673...;

b) - 12.0003... અને - 12.0002...; ડી) 13.24... અને 13.00....

321. જો આ બિંદુઓ સંખ્યાઓને અનુરૂપ હોય તો બે બિંદુઓમાંથી કયું બિંદુ પ્રારંભિક બિંદુ O થી આગળ સંખ્યા રેખા પર સ્થિત છે તે શોધો:

a) 5.2397... અને 4.4996...; .. c) -0.3567... અને 0.3557...

ડી) - 15.0001 અને - 15.1000...;

322. આ વિભાગમાં દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે √ લંબાઈનો સેગમેન્ટ બાંધવો n હોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને, તમે નીચે પ્રમાણે આગળ વધી શકો છો: પહેલા √2 લંબાઈનો સેગમેન્ટ, પછી લંબાઈ √3, વગેરેનો સેગમેન્ટ બનાવો, જ્યાં સુધી આપણે લંબાઈના સેગમેન્ટ સુધી પહોંચીએ √ n . પરંતુ દરેક નિશ્ચિત માટે પી > 3 આ પ્રક્રિયાને ઝડપી બનાવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમે √10 લંબાઈનો સેગમેન્ટ કેવી રીતે બાંધવાનું શરૂ કરશો?

323*. નંબર 1 / ને અનુરૂપ નંબર લાઇન પર બિંદુ શોધવા માટે હોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો α , જો બિંદુની સ્થિતિ સંખ્યાને અનુરૂપ હોય α , તે જાણીતું છે?

મોડ્યુલો સાથે સમીકરણો, ઉકેલ પદ્ધતિઓ. ભાગ 1.

આવા સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની તકનીકોનો સીધો અભ્યાસ શરૂ કરતા પહેલા, મોડ્યુલનો સાર અને તેના ભૌમિતિક અર્થને સમજવું મહત્વપૂર્ણ છે. તે મોડ્યુલની વ્યાખ્યા અને તેના ભૌમિતિક અર્થને સમજવામાં છે કે આવા સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની મુખ્ય પદ્ધતિઓ મૂકવામાં આવે છે. મોડ્યુલર કૌંસ ખોલતી વખતે અંતરાલોની કહેવાતી પદ્ધતિ એટલી અસરકારક છે કે તેનો ઉપયોગ કરીને મોડ્યુલી સાથે કોઈપણ સમીકરણ અથવા અસમાનતાને હલ કરવાનું શક્ય છે. આ ભાગમાં, અમે બે પ્રમાણભૂત પદ્ધતિઓનો વિગતવાર અભ્યાસ કરીશું: અંતરાલ પદ્ધતિ અને વસ્તી બદલવાની પદ્ધતિ.

જો કે, જેમ આપણે જોઈશું, આ પદ્ધતિઓ હંમેશા અસરકારક હોય છે, પરંતુ હંમેશા અનુકૂળ હોતી નથી અને લાંબી અને ખૂબ અનુકૂળ ગણતરીઓ તરફ દોરી શકે છે, જેને ઉકેલવા માટે કુદરતી રીતે વધુ સમયની જરૂર પડે છે. તેથી, તે પદ્ધતિઓ જાણવી મહત્વપૂર્ણ છે જે ચોક્કસ સમીકરણ માળખાના ઉકેલને નોંધપાત્ર રીતે સરળ બનાવે છે. સમીકરણની બંને બાજુઓનું વર્ગીકરણ, નવું ચલ રજૂ કરવાની પદ્ધતિ, ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ, મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળ મોડ્યુલસ ધરાવતા સમીકરણોને ઉકેલવા. આગળના ભાગમાં આપણે આ પદ્ધતિઓ જોઈશું.

સંખ્યાના મોડ્યુલસનું નિર્ધારણ. મોડ્યુલનો ભૌમિતિક અર્થ.

સૌ પ્રથમ, ચાલો મોડ્યુલના ભૌમિતિક અર્થથી પરિચિત થઈએ:

સંખ્યાઓનું મોડ્યુલસ a (|a|)મૂળ (બિંદુ 0) થી બિંદુ સુધીની સંખ્યા રેખા પરના અંતરને કૉલ કરો A(a).

આ વ્યાખ્યાના આધારે, ચાલો કેટલાક ઉદાહરણો જોઈએ:

|7| - આ 0 થી બિંદુ 7 સુધીનું અંતર છે, અલબત્ત તે 7 ની બરાબર છે. → | 7 |=7

|-5|- આ 0 થી બિંદુ સુધીનું અંતર -5 અને તે બરાબર છે: 5. → |-5| = 5

આપણે બધા સમજીએ છીએ કે અંતર નકારાત્મક હોઈ શકે નહીં! તેથી |x| ≥ 0 હંમેશા!

ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ: |x |=4

આ સમીકરણ આ રીતે વાંચી શકાય છે: બિંદુ 0 થી બિંદુ x સુધીનું અંતર 4 છે. હા, તે તારણ આપે છે કે 0 થી આપણે ડાબી અને જમણી બંને તરફ ખસેડી શકીએ છીએ, જેનો અર્થ થાય છે કે સમાન અંતરે ડાબી બાજુ ખસેડવું 4 આપણે બિંદુ પર સમાપ્ત થઈશું: -4, અને જમણી તરફ જઈશું તો આપણે બિંદુ પર સમાપ્ત થઈશું: 4. ખરેખર, |-4 |=4 અને |4 |=4.

તેથી જવાબ છે x=±4.

જો તમે અગાઉના સમીકરણનો કાળજીપૂર્વક અભ્યાસ કરશો, તો તમે જોશો કે: 0 થી બિંદુ સુધીની સંખ્યા રેખાની સાથે જમણી બાજુનું અંતર પોઈન્ટ જેટલું જ છે, અને 0 થી સંખ્યા સુધીની ડાબી બાજુનું અંતર વિરુદ્ધ સમાન છે. નંબર 0 ની જમણી બાજુની સંખ્યાઓ ધન છે અને 0 ની ડાબી બાજુની સંખ્યાઓ ઋણ છે તે સમજીને, અમે ઘડીએ છીએ સંખ્યાના મોડ્યુલસની વ્યાખ્યા: સંખ્યાનું મોડ્યુલસ (સંપૂર્ણ મૂલ્ય) એક્સ(|x|) એ જ સંખ્યા છે એક્સ, જો x ≥0, અને સંખ્યા - એક્સ, જો x<0.

અહીં આપણે સંખ્યા રેખા પર બિંદુઓનો સમૂહ શોધવાની જરૂર છે, 0 થી જેનું અંતર 3 કરતા ઓછું હશે, ચાલો એક સંખ્યા રેખાની કલ્પના કરીએ, તેના પર બિંદુ 0, ડાબી બાજુએ જઈને એક (-1), બે ગણીએ. (-2) અને ત્રણ (-3), રોકો. આગળ એવા બિંદુઓ હશે જે 3 કરતા આગળ આવેલા છે અથવા જે અંતર 0 થી 3 કરતા વધારે છે, હવે આપણે જમણી તરફ જઈએ છીએ: એક, બે, ત્રણ, ફરીથી રોકો. હવે આપણે આપણા બધા પોઈન્ટ પસંદ કરીએ છીએ અને ઈન્ટરવલ x: (-3;3) મેળવીએ છીએ.

તે મહત્વનું છે કે તમે આ સ્પષ્ટપણે જુઓ, જો તમે હજી પણ ન કરી શકો, તો તેને કાગળ પર દોરો અને જુઓ જેથી આ ચિત્ર તમારા માટે સંપૂર્ણપણે સ્પષ્ટ થાય, આળસુ ન બનો અને તમારા મનમાં નીચેના કાર્યોના ઉકેલો જોવાનો પ્રયાસ કરો. :

|x |=11, x=? |x|=-5, x=?

|x |<8, х-? |х| <-6, х-?

|x |>2, x-? |x|> -3, x-?

|π-3|=? |-x²-10|=?

|√5-2|=? |2х-х²-3|=?

|x²+2|=? |x²+4|=0

|x²+3x+4|=? |-x²+9| ≤0

શું તમે બીજી કૉલમમાં વિચિત્ર કાર્યોની નોંધ લીધી? ખરેખર, અંતર નકારાત્મક હોઈ શકતું નથી તેથી: |x|=-5- પાસે કોઈ ઉકેલો નથી, અલબત્ત તે 0 કરતા ઓછું હોઈ શકતું નથી, તેથી: |x|<-6 тоже не имеет решений, ну и естественно, что любое расстояние будет больше отрицательного числа, значит решением |x|>-3 બધી સંખ્યાઓ છે.

તમે ઉકેલો સાથે ચિત્રો ઝડપથી જોવાનું શીખ્યા પછી, આગળ વાંચો.

આપણે પહેલેથી જ જાણીએ છીએ કે વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ $R$ એ તર્કસંગત અને અતાર્કિક સંખ્યાઓ દ્વારા રચાય છે.

તર્કસંગત સંખ્યાઓને હંમેશા દશાંશ અપૂર્ણાંક (મર્યાદિત અથવા અનંત સામયિક) તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

અતાર્કિક સંખ્યાઓ અનંત પરંતુ બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે લખવામાં આવે છે.

વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહમાં $R$ તત્વો $-\infty $ અને $+\infty $નો પણ સમાવેશ કરે છે, જેના માટે અસમાનતા $-\infty ધરાવે છે

ચાલો વાસ્તવિક સંખ્યાઓને રજૂ કરવાની રીતો જોઈએ.

સામાન્ય અપૂર્ણાંક

સામાન્ય અપૂર્ણાંક બે કુદરતી સંખ્યાઓ અને આડી અપૂર્ણાંક રેખાનો ઉપયોગ કરીને લખવામાં આવે છે. અપૂર્ણાંક બાર વાસ્તવમાં વિભાજન ચિહ્નને બદલે છે. રેખાની નીચેની સંખ્યા અપૂર્ણાંક (વિભાજક) નો છેદ છે, રેખાની ઉપરની સંખ્યા અંશ (ડિવિડન્ડ) છે.

વ્યાખ્યા

અપૂર્ણાંકને યોગ્ય કહેવામાં આવે છે જો તેનો અંશ તેના છેદ કરતા ઓછો હોય. તેનાથી વિપરિત, અપૂર્ણાંકને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે જો તેનો અંશ છેદ કરતા મોટો અથવા તેની સમાન હોય.

સામાન્ય અપૂર્ણાંકો માટે, ત્યાં સરળ, લગભગ સ્પષ્ટ, સરખામણી નિયમો છે ($m$,$n$,$p$ - કુદરતી સંખ્યાઓ):

સમાન છેદ સાથેના બે અપૂર્ણાંકમાંથી, મોટા અંશ સાથેનો એક મોટો છે, એટલે કે, $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ $m>n$ માટે;
સમાન અંશ સાથેના બે અપૂર્ણાંકમાંથી, નાના છેદ ધરાવતો એક મોટો છે, એટલે કે, $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ $ m માટે
યોગ્ય અપૂર્ણાંક હંમેશા એક કરતા ઓછો હોય છે; અયોગ્ય અપૂર્ણાંક હંમેશા એક કરતા મોટો હોય છે; એક અપૂર્ણાંક જેમાં અંશ સમાન છેદ સમાન છે;
દરેક અયોગ્ય અપૂર્ણાંક દરેક યોગ્ય અપૂર્ણાંક કરતાં મોટો છે.

દશાંશ સંખ્યાઓ

દશાંશ સંખ્યા (દશાંશ અપૂર્ણાંક) ના સંકેતનું સ્વરૂપ છે: પૂર્ણાંક ભાગ, દશાંશ બિંદુ, અપૂર્ણાંક ભાગ. સામાન્ય અપૂર્ણાંકનું દશાંશ સંકેત "કોણ" વડે છેદ દ્વારા અંશને વિભાજિત કરીને મેળવી શકાય છે. આ કાં તો મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંક અથવા અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં પરિણમી શકે છે.

વ્યાખ્યા

અપૂર્ણાંક ભાગના અંકોને દશાંશ કહેવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, દશાંશ બિંદુ પછીના પ્રથમ અંકને દસમો અંક, બીજો - સોમો અંક, ત્રીજો - હજારમો અંક, વગેરે કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 1

દશાંશ નંબર 3.74 નું મૂલ્ય નક્કી કરો. અમને મળે છે: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

દશાંશ સંખ્યાને ગોળાકાર કરી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, તમારે તે અંક સૂચવવો આવશ્યક છે કે જેના પર રાઉન્ડિંગ કરવામાં આવે છે.

રાઉન્ડિંગ નિયમ નીચે મુજબ છે:

આ અંકની જમણી બાજુના તમામ અંકોને શૂન્યથી બદલવામાં આવે છે (જો આ અંકો દશાંશ બિંદુ પહેલા હોય તો) અથવા કાઢી નાખવામાં આવે છે (જો આ અંકો દશાંશ બિંદુ પછીના હોય તો);
જો આપેલ અંક પછીનો પ્રથમ અંક 5 કરતા ઓછો હોય, તો આ અંકનો અંક બદલાતો નથી;
જો આપેલ અંક પછીનો પ્રથમ અંક 5 કે તેથી વધુ હોય, તો આ અંકનો અંક એક વડે વધે છે.

ઉદાહરણ 2

ચાલો સંખ્યા 17302 થી હજારો સુધી રાઉન્ડ કરીએ: 17000.
ચાલો નંબર 17378 ને સેંકડોમાં રાઉન્ડ કરીએ: 17400.
ચાલો નંબર 17378.45 થી દસ સુધી રાઉન્ડ કરીએ: 17380.
ચાલો નંબર 378.91434 ને નજીકના સોમાં રાઉન્ડ કરીએ: 378.91.
ચાલો નંબર 378.91534 ને નજીકના સોમાં રાઉન્ડ કરીએ: 378.92.

દશાંશ સંખ્યાને અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરો.

કેસ 1

દશાંશ સંખ્યા સમાપ્ત થતા દશાંશ અપૂર્ણાંકનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

નીચેનું ઉદાહરણ રૂપાંતરણ પદ્ધતિ દર્શાવે છે.

ઉદાહરણ 2

અમારી પાસે છે: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

અમે તેને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ:

અપૂર્ણાંક ઘટાડી શકાય છે: $3.74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.

કેસ 2

દશાંશ અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

રૂપાંતરણ પદ્ધતિ એ હકીકત પર આધારિત છે કે સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકના સામયિક ભાગને અનંત ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોના સરવાળા તરીકે ગણી શકાય.

ઉદાહરણ 4

$0,\left(74\જમણે)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $. પ્રગતિનો પ્રથમ શબ્દ છે $a=0.74$, પ્રગતિનો છેદ $q=0.01$ છે.

ઉદાહરણ 5

$0.5\left(8\right)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . પ્રગતિનો પ્રથમ શબ્દ છે $a=0.08$, પ્રગતિનો છેદ $q=0.1$ છે.

અનંત ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોનો સરવાળો $s=\frac(a)(1-q) $ સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે, જ્યાં $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $q$ એ પ્રગતિ $ નો છેદ છે. \ડાબે (0

ઉદાહરણ 6

ચાલો અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક $0,\left(72\right)$ ને નિયમિતમાં રૂપાંતરિત કરીએ.

પ્રગતિનો પ્રથમ શબ્દ છે $a=0.72$, પ્રગતિનો છેદ $q=0.01$ છે. અમને મળે છે: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.72)(1-0.01) =\frac(0.72)(0.99) =\frac(72)(99) =\frac(8) )(11) $. આમ, $0,\left(72\જમણે)=\frac(8)(11) $.

ઉદાહરણ 7

ચાલો અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક $0.5\left(3\right)$ ને નિયમિતમાં રૂપાંતરિત કરીએ.

પ્રગતિનો પ્રથમ શબ્દ છે $a=0.03$, પ્રગતિનો છેદ $q=0.1$ છે. આપણને મળે છે: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.03)(1-0.1) =\frac(0.03)(0.9) =\frac(3)(90) =\frac(1) )(30) $.

આમ, $0.5\left(3\જમણે)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac(1)( 30) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.

વાસ્તવિક સંખ્યાઓને સંખ્યા અક્ષ પરના બિંદુઓ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે.

આ કિસ્સામાં, અમે સંખ્યા અક્ષને એક અનંત સીધી રેખા કહીએ છીએ જેના પર મૂળ (બિંદુ $O$), હકારાત્મક દિશા (તીર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે) અને સ્કેલ (મૂલ્યો પ્રદર્શિત કરવા માટે) પસંદ કરવામાં આવે છે.

તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ અને સંખ્યા અક્ષ પરના તમામ બિંદુઓ વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર છે: દરેક બિંદુ એક સંખ્યાને અનુલક્ષે છે અને તેનાથી વિપરીત, દરેક સંખ્યા એક બિંદુને અનુરૂપ છે. પરિણામે, વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ સતત અને અનંત છે, જેમ સંખ્યા રેખા સતત અને અનંત છે.

વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહના કેટલાક ઉપગણોને સંખ્યાત્મક અંતરાલ કહેવામાં આવે છે. સંખ્યાત્મક અંતરાલના ઘટકો એ R$ માં $x\n સંખ્યાઓ છે જે ચોક્કસ અસમાનતાને સંતોષે છે. ચાલો $a\in R$, $b\in R$ અને $a\le b$. આ કિસ્સામાં, અંતરાલોના પ્રકારો નીચે મુજબ હોઈ શકે છે:

અંતરાલ $\left(a,\; b\જમણે)$. તે જ સમયે $a
સેગમેન્ટ $\left$. વધુમાં, $a\le x\le b$.
અર્ધ-સેગમેન્ટ્સ અથવા અડધા-અંતરો $\left$. વધુમાં $ a \le x
અનંત અંતરાલો, ઉદાહરણ તરીકે $a

બિંદુની પડોશી તરીકે ઓળખાતા અંતરાલનો પ્રકાર પણ મહત્વપૂર્ણ છે. આપેલ બિંદુ $x_(0) \in R$ ની પડોશ એ એક મનસ્વી અંતરાલ $\left(a,\; b\right)$ છે જેમાં આ બિંદુ પોતાની અંદર છે, એટલે કે, $a 0$ તેની ત્રિજ્યા છે.

સંખ્યાનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય

વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ નું સંપૂર્ણ મૂલ્ય (અથવા મોડ્યુલસ) એ બિન-નકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યા છે $\left|x\right|$, જે સૂત્ર દ્વારા નક્કી થાય છે: $\left|x\right|=\left\(\ બીન(એરે)(c) (\; \; x\; \; (\rm at)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm at)\; \; x

ભૌમિતિક રીતે, $\left|x\right|$ એટલે અંક રેખા પર $x$ અને 0 વચ્ચેનું અંતર.

સંપૂર્ણ મૂલ્યોના ગુણધર્મો:

વ્યાખ્યામાંથી તે અનુસરે છે કે $\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
સરવાળાના મોડ્યુલસ માટે અને બે સંખ્યાઓના તફાવતના મોડ્યુલસ માટે, નીચેની અસમાનતાઓ માન્ય છે: $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right| $, $\left|x-y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, તેમજ $\left|x+y\right|\ge \left|x\right |-\left|y\right|$,$\ left|x-y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$;
ઉત્પાદનના મોડ્યુલસ અને બે સંખ્યાના ભાગના મોડ્યુલસ માટે, નીચેની સમાનતાઓ સાચી છે: $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right| $ અને $\left|\frac(x)(y) \right|=\frac(\left|x\right|)(\left|y\right|) $.

મનસ્વી સંખ્યા $a>0$ માટે સંપૂર્ણ મૂલ્યની વ્યાખ્યાના આધારે, અમે અસમાનતાની નીચેની જોડીની સમાનતા પણ સ્થાપિત કરી શકીએ છીએ:

જો $\left|x\right|
જો $\left|x\right|\le a$, તો $-a\le x\le a$;
જો $\left|x\right|>a$, તો કાં તો $xa$;
જો $\left|x\right|\ge a$, તો કાં તો $x\le -a$ અથવા $x\ge a$.

ઉદાહરણ 8

અસમાનતા ઉકેલો $\left|2\cdot x+1\right|

આ અસમાનતા $-7 ની અસમાનતાની સમકક્ષ છે

અહીંથી આપણને મળે છે: $-8

પાછળ આગળ

ધ્યાન આપો! સ્લાઇડ પૂર્વાવલોકનો ફક્ત માહિતીના હેતુ માટે છે અને તે પ્રસ્તુતિની તમામ સુવિધાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકશે નહીં. જો તને દિલચસ્પી હોય તો આ કામ, કૃપા કરીને સંપૂર્ણ સંસ્કરણ ડાઉનલોડ કરો.

લક્ષ્યો:

સાધનો: પ્રોજેક્ટર, સ્ક્રીન, પર્સનલ કમ્પ્યુટર, મલ્ટીમીડિયા પ્રેઝન્ટેશન

વર્ગો દરમિયાન

1. સંસ્થાકીય ક્ષણ.

2. વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાનને અપડેટ કરવું.

2.1. હોમવર્ક વિશે વિદ્યાર્થીઓના પ્રશ્નોના જવાબ આપો.

2.2. ક્રોસવર્ડ પઝલ ઉકેલો (સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીનું પુનરાવર્તન) (સ્લાઇડ 2):

કંઈક વ્યક્ત કરતા ગાણિતિક પ્રતીકોનું સંયોજન

નિવેદન ( ફોર્મ્યુલા.)
અનંત દશાંશ બિન-સામયિક અપૂર્ણાંક. ( અતાર્કિકસંખ્યાઓ)

અંક અથવા અંકોનો સમૂહ અનંત દશાંશમાં પુનરાવર્તિત થાય છે. ( સમયગાળો.)

વસ્તુઓની ગણતરી કરવા માટે વપરાતી સંખ્યાઓ. ( કુદરતીસંખ્યાઓ.)

અનંત દશાંશ સામયિક અપૂર્ણાંક. (તર્કસંગતસંખ્યાઓ .)

તર્કસંગત સંખ્યાઓ + અતાર્કિક સંખ્યાઓ = ? (માન્યસંખ્યાઓ .)

– ક્રોસવર્ડ પઝલ ઉકેલ્યા પછી, હાઇલાઇટ કરેલી ઊભી કૉલમમાં આજના પાઠના વિષયનું નામ વાંચો. (સ્લાઇડ્સ 3, 4)

3. નવા વિષયની સમજૂતી.

3.1. – મિત્રો, તમે મોડ્યુલના ખ્યાલને પહેલાથી જ મળ્યા છો, તમે નોટેશનનો ઉપયોગ કર્યો છે | a| . પહેલાં, અમે ફક્ત તર્કસંગત સંખ્યાઓ વિશે વાત કરતા હતા. હવે આપણે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા માટે મોડ્યુલસનો ખ્યાલ રજૂ કરવાની જરૂર છે.

દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા સંખ્યા રેખા પરના એક બિંદુને અનુલક્ષે છે, અને તેનાથી વિપરીત, સંખ્યા રેખા પરનો દરેક બિંદુ એક વાસ્તવિક સંખ્યાને અનુરૂપ છે. તર્કસંગત સંખ્યાઓ પરની ક્રિયાઓના તમામ મૂળભૂત ગુણધર્મો વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે સાચવેલ છે.

વાસ્તવિક સંખ્યાના મોડ્યુલસની વિભાવના રજૂ કરવામાં આવી છે. (સ્લાઇડ 5).

વ્યાખ્યા. બિન-ઋણાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાનું મોડ્યુલસ xઆ નંબર પર જ કૉલ કરો: | x| = x; નકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાનું મોડ્યુલસ એક્સવિરુદ્ધ નંબર પર કૉલ કરો: | x| = – x .

– તમારી નોટબુકમાં પાઠનો વિષય અને મોડ્યુલની વ્યાખ્યા લખો: