Visos pamokos – Žinių hipermarketas. Keturkampio apibrėžimas

Viena įdomiausių geometrijos temų iš mokyklos kurso yra „Keturkampiai“ (8 klasė). Kokių tipų tokios figūros egzistuoja, kokiomis ypatingomis savybėmis jos pasižymi? Kuo išskirtiniai keturkampiai su devyniasdešimties laipsnių kampais? Panagrinėkime visa tai.

Kokia geometrinė figūra vadinama keturkampiu

Daugiakampiai, susidedantys iš keturių kraštinių ir atitinkamai iš keturių viršūnių (kampų), Euklido geometrijoje vadinami keturkampiais.

Įdomi šio tipo figūrų pavadinimų istorija. Rusų kalboje daiktavardis „keturkampis“ susidaro iš frazės „keturi kampai“ (kaip ir „trikampis“ – trys kampai, „pentagonas“ – penki kampai ir kt.).

Tačiau lotyniškai (per kurią daugelis geometrinių terminų atkeliavo į daugumą pasaulio kalbų) jis vadinamas keturkampiu. Šis žodis sudarytas iš skaitvardžio quadri (keturi) ir daiktavardžio latus (šonas). Taigi galime daryti išvadą, kad tarp senovės šis daugiakampis buvo vadinamas tik „keturkampiu“.

Beje, toks pavadinimas (pabrėžiant, kad šio tipo figūrose yra keturios pusės, o ne kampai) buvo išsaugotas kai kuriose šiuolaikinėse kalbose. Pavyzdžiui, anglų kalba – quadrilateral, o prancūziškai – quadrilatère.

Tuo pačiu metu daugumoje slavų kalbų nagrinėjamas figūrų tipas vis dar identifikuojamas pagal kampų skaičių, o ne pagal puses. Pavyzdžiui, slovakų (štvoruholník), bulgarų ("chetirigalnik"), baltarusių ("chatyrokhkutnik"), ukrainiečių ("chotirikutnik"), čekų (čtyřúhelník), bet lenkų kalboje keturkampis vadinamas skaičiumi šonai – czworoboczny.

Kokie keturkampių tipai nagrinėjami mokyklos programoje

Šiuolaikinėje geometrijoje yra 4 tipų daugiakampiai su keturiomis kraštinėmis.

Tačiau dėl pernelyg sudėtingų kai kurių iš jų savybių geometrijos pamokose moksleiviai supažindinami tik su dviem tipais.

• Lygiagretainis. Tokio keturkampio priešingos kraštinės yra poromis lygiagrečios viena kitai ir atitinkamai yra lygios poromis.
• Trapecija (trapecija arba trapecija).Šį keturkampį sudaro dvi priešingos kraštinės, lygiagrečios viena kitai. Tačiau kitos šonų poros šios funkcijos neturi.

Mokyklos geometrijos kurse nenagrinėti keturkampių tipai

Be to, kas išdėstyta pirmiau, yra dar du keturkampių tipai, su kuriais moksleiviai nėra supažindinami geometrijos pamokose dėl ypatingo sudėtingumo.

• Deltinė (aitvaras)- figūra, kurioje kiekviena iš dviejų gretimų kraštinių porų yra vienodo ilgio viena kitai. Toks keturkampis gavo savo pavadinimą dėl to, kad savo išvaizda jis labai primena graikų abėcėlės raidę - „delta“.
• Antiparalelograma– ši figūra tokia pat sudėtinga, kaip ir jos pavadinimas. Jame dvi priešingos pusės yra lygios, bet tuo pačiu metu jos nėra lygiagrečios viena kitai. Be to, ilgos priešingos šio keturkampio kraštinės kerta viena kitą, kaip ir kitų dviejų trumpesnių kraštinių plėtiniai.

Lygiagretainio tipai

Išnagrinėjus pagrindinius keturkampių tipus, verta atkreipti dėmesį į jo porūšius. Taigi visi lygiagretainiai, savo ruožtu, taip pat yra suskirstyti į keturias grupes.

• Klasikinis lygiagretainis.
• Rombas (rombas)- keturkampė figūra su lygiomis kraštinėmis. Jo įstrižainės susikerta stačiu kampu, padalydamos rombą į keturis vienodus stačiuosius trikampius.
• Stačiakampis. Pavadinimas kalba pats už save. Kadangi tai yra keturkampis su stačiais kampais (kiekvienas iš jų yra lygus devyniasdešimt laipsnių). Jo priešingos pusės yra ne tik lygiagrečios viena kitai, bet ir lygios.
• Kvadratas (kvadratas). Kaip ir stačiakampis, jis yra stačiakampis keturkampis, tačiau jo visos kraštinės yra lygios viena kitai. Ši figūra artima rombui. Taigi galima teigti, kad kvadratas yra rombo ir stačiakampio kryžius.

Stačiakampio specialiosios savybės

Atsižvelgiant į figūras, kuriose kiekvienas kampas tarp kraštinių yra lygus devyniasdešimt laipsnių, verta atidžiau pažvelgti į stačiakampį. Taigi, kokių ypatingų savybių jis išskiria iš kitų lygiagretainių?

Norint teigti, kad nagrinėjamas lygiagretainis yra stačiakampis, jo įstrižainės turi būti lygios viena kitai, o kiekvienas kampas turi būti tiesus. Be to, jo įstrižainių kvadratas turi atitikti dviejų gretimų šios figūros kraštinių kvadratų sumą. Kitaip tariant, klasikinis stačiakampis susideda iš dviejų stačiakampių trikampių, o juose, kaip žinoma, nagrinėjamo keturkampio įstrižainė veikia kaip hipotenuzė.

Paskutinis iš išvardytų šios figūros ženklų taip pat yra jo ypatinga savybė. Be to, yra ir kitų. Pavyzdžiui, tai, kad visos tiriamo keturkampio kraštinės su stačiais kampais yra kartu ir jo aukščiai.

Be to, jei aplink kurį nors stačiakampį nubrėžiamas apskritimas, jo skersmuo bus lygus įrašytos figūros įstrižai.

Be kitų šio keturkampio savybių, jis yra plokščias ir neegzistuoja ne euklido geometrijoje. Taip yra dėl to, kad tokioje sistemoje nėra keturkampių figūrų, kurių kampų suma lygi trims šimtams šešiasdešimt laipsnių.

Aikštė ir jos ypatybės

Išnagrinėjus stačiakampio ženklus ir savybes, verta atkreipti dėmesį į antrąjį mokslui žinomą keturkampį su stačiais kampais (tai yra kvadratas).

Ši figūra iš tikrųjų yra tas pats stačiakampis, bet su lygiomis kraštinėmis, todėl ji turi visas savo savybes. Tačiau skirtingai nei jis, kvadratas yra ne euklido geometrijoje.

Be to, ši figūra turi ir kitų išskirtinių bruožų. Pavyzdžiui, tai, kad kvadrato įstrižainės ne tik yra lygios viena kitai, bet ir susikerta stačiu kampu. Taigi, kaip rombas, kvadratas susideda iš keturių stačiakampių trikampių, į kuriuos jis padalintas įstrižainėmis.

Be to, ši figūra yra simetriškiausia tarp visų keturkampių.

Kokia yra keturkampio kampų suma

Atsižvelgiant į Euklido geometrijos keturkampių ypatybes, verta atkreipti dėmesį į jų kampus.

Taigi kiekviename iš aukščiau pateiktų paveikslų, nepaisant to, ar jis turi stačių kampų, ar ne, jų bendra suma visada yra tokia pati - trys šimtai šešiasdešimt laipsnių. Tai išskirtinis šio tipo figūrų bruožas.

Keturkampių perimetras

Išsiaiškinę, kokia yra keturkampio kampų suma ir kitos ypatingos tokio tipo figūrų savybės, verta žinoti, kokias formules geriausia naudoti apskaičiuojant jų perimetrą ir plotą.

Norėdami nustatyti bet kurio keturkampio perimetrą, tereikia sudėti visų jo kraštinių ilgį.

Pavyzdžiui, KLMN paveiksle jo perimetrą galima apskaičiuoti naudojant formulę: P \u003d KL + LM + MN + KN. Jei čia pakeisite skaičius, gausite: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

Tuo atveju, kai nagrinėjama figūra yra rombas arba kvadratas, norėdami rasti perimetrą, galite supaprastinti formulę tiesiog padaugindami vienos iš jos kraštinių ilgį iš keturių: P \u003d KL x 4. Pavyzdžiui: 6 x 4 \u003d 24 (cm).

Ploto keturkampio formulės

Išsiaiškinę, kaip rasti bet kurios figūros, turinčios keturis kampus ir šonus, perimetrą, verta apsvarstyti populiariausius ir paprasčiausius jos ploto nustatymo būdus.

Kitos keturkampių savybės: įbrėžtieji ir apibrėžtieji apskritimai

Atsižvelgiant į keturkampio, kaip Euklido geometrijos figūros, ypatybes ir savybes, verta atkreipti dėmesį į galimybę apibūdinti aplink arba įrašyti apskritimus jo viduje:

• Jei figūros priešingų kampų sumos yra po šimtą aštuoniasdešimt laipsnių ir yra poromis lygios viena kitai, tai aplink tokį keturkampį galima laisvai apibūdinti apskritimą.
• Pagal Ptolemėjaus teoremą, jei apskritimas yra apibrėžtas už daugiakampio, turinčio keturias kraštines, tada jo įstrižainių sandauga yra lygi duotosios figūros priešingų kraštinių sandaugų sumai. Taigi formulė atrodys taip: KM x LN \u003d KL x MN + LM x KN.
• Jei pastatysite keturkampį, kuriame priešingų kraštinių sumos yra lygios viena kitai, tada jame galima įrašyti apskritimą.

Išsiaiškinę, kas yra keturkampis, kokie jo tipai egzistuoja, kurie iš jų turi tik stačius kampus tarp šonų ir kokias savybes jie turi, verta prisiminti visą šią medžiagą. Visų pirma, formulės, kaip rasti svarstomų daugiakampių perimetrą ir plotą. Juk tokios formos figūros yra vienos labiausiai paplitusių, o šios žinios gali būti naudingos atliekant skaičiavimus realiame gyvenime.

Su keturiais kampais ir keturiomis pusėmis. Keturkampį sudaro uždara polilinija, susidedanti iš keturių grandžių, ir ta plokštumos dalis, kuri yra polilinijos viduje.

Keturkampio žymėjimas susideda iš raidžių jo viršūnėse, jas pavadinant eilės tvarka. Pavyzdžiui, jie sako arba rašo: keturkampis ABCD :

Keturkampyje ABCD taškų A, B, C ir D- Tai keturkampių viršūnių, segmentai AB, pr. Kr, CD ir DA - pusės.

Viršūnės, priklausančios tai pačiai pusei, vadinamos kaimyninis, vadinamos negretimos viršūnės priešingas:

Keturkampyje ABCD viršūnės A ir B, B ir C, C ir D, D ir A yra gretimos, o viršūnės A ir C, B ir D- priešingas. Kampai, esantys gretimose viršūnėse, taip pat vadinami kaimyniniais, o priešingose ​​viršūnėse - priešingais.

Keturkampio kraštinės taip pat gali būti skirstomos poromis į gretimas ir priešingas puses: kraštinės, turinčios bendrą viršūnę, vadinamos. kaimyninis(arba susijęs), pusės, kurios neturi bendrų viršūnių - priešingas:

Vakarėliai AB ir pr. Kr, pr. Kr ir CD, CD ir DA, DA ir AB yra greta, ir šonai AB ir DC, REKLAMA ir pr. Kr- priešingas.

Jei priešingos viršūnės yra sujungtos atkarpa, tada tokia atkarpa bus vadinama keturkampio įstrižainė. Atsižvelgiant į tai, kad keturkampyje yra tik dvi poros priešingų viršūnių, tada gali būti tik dvi įstrižainės:

Segmentai AC ir BD- įstrižainės.

Apsvarstykite pagrindinius išgaubtų keturkampių tipus:

• Trapecija- keturkampis, kuriame viena priešingų kraštinių pora yra lygiagreti viena kitai, o kita pora nėra lygiagreti.
  • Lygiašonis trapecija- trapecija, kurios kraštinės lygios.
  • Stačiakampė trapecija Trapecija su vienu iš stačiųjų kampų.
• Lygiagretainis Keturkampis, kuriame abi priešingų kraštinių poros yra lygiagrečios viena kitai.
  • Stačiakampis Lygiagretainis, kurio visi kampai lygūs.
  • Rombas Lygiagretainis, kurio visos kraštinės lygios.
  • Kvadratas Lygiagretainis su lygiomis kraštinėmis ir kampais. Kvadratas gali būti ir stačiakampis, ir rombas.

Išgaubtų keturkampių kampinės savybės

Visi išgaubti keturkampiai turi šias dvi savybes:

1. Bet koks vidinis kampas, mažesnis nei 180°.
2. Vidinių kampų suma yra 360°.

Mokyklos programoje geometrijos pamokose tenka susidurti su įvairių tipų keturkampiais: rombais, lygiagrečiais, stačiakampiais, trapecijomis, kvadratais. Pačios pirmosios tiriamos formos yra stačiakampis ir kvadratas.

Taigi, kas yra stačiakampis? Bendrosios mokyklos 2 klasės apibrėžimas atrodys taip: tai yra keturkampis, kuriame visi keturi kampai yra teisingi. Nesunku įsivaizduoti, kaip atrodo stačiakampis: tai figūra su 4 stačiais kampais ir kraštinėmis, lygiagrečiomis viena kitai poromis.

Susisiekus su

Kaip suprasti, sprendžiant kitą geometrinę problemą, su kokiu keturkampiu mes susiduriame? Yra trys pagrindinės savybės, pagal kurį galite tiksliai nustatyti, kad kalbame apie stačiakampį. Pavadinkime juos:

• figūra yra keturkampis, kurio trys kampai lygūs 90°;
• pateiktas keturkampis yra lygiagretainis su lygiomis įstrižainėmis;
• lygiagretainis, turintis bent vieną stačią kampą.

Įdomu žinoti: kas yra išgaubta, jo ypatybės ir ženklai.

Kadangi stačiakampis yra lygiagretainis (tai yra keturkampis su poromis lygiagrečiomis priešingomis kraštinėmis), tada jam bus įvykdytos visos jo savybės ir požymiai.

Kraštinių ilgio skaičiavimo formulės

stačiakampyje priešingos pusės yra lygios ir lygiagrečios. Ilgesnė kraštinė paprastai vadinama ilgiu (žymima a), trumpesnė – pločiu (žymima b). Paveikslėlyje esančiame stačiakampyje ilgiai yra AB ir CD kraštinės, o pločiai yra AC ir B.D. Jie taip pat statmeni pagrindams (t. y. jie yra aukščiai).

Norėdami rasti šonus, galite naudoti toliau pateiktas formules. Juose taikomos sutartys: a - stačiakampio ilgis, b - plotis, d - įstrižainė (atkarpa, jungianti dviejų vienas prieš kitą esančių kampų viršūnes), S - figūros plotas, P – perimetras, α – kampas tarp įstrižainės ir ilgio, β – smailusis kampas, sudarytas iš abiejų įstrižainių. Būdai sužinoti šonų ilgius:

• Naudojant įstrižainę ir žinomą pusę: a \u003d √ (d ² - b ²), b \u003d √ (d ² - a ²).
• Pagal figūros plotą ir vieną iš jos kraštinių: a = S / b, b = S / a.
• Naudojant perimetrą ir žinomą pusę: a = (P - 2 b) / 2, b = (P - 2 a) / 2.
• Per įstrižainę ir kampą tarp jos ir ilgio: a = d sinα, b = d cosα.
• Per įstrižainę ir kampą β: a = d sin 0,5 β, b = d cos 0,5 β.

Perimetras ir plotas

Keturkampio perimetras vadinamas visų jo kraštinių ilgių suma. Norėdami apskaičiuoti perimetrą, galite naudoti šias formules:

• Per abi puses: P = 2 (a + b).
• Per plotą ir vieną iš kraštų: P \u003d (2S + 2a ²) / a, P \u003d (2S + 2b ²) / b.

Teritorija yra erdvė, kurią riboja perimetras. Trys pagrindiniai ploto apskaičiavimo būdai:

• Per abiejų pusių ilgius: S = a*b.
• Naudojant perimetrą ir bet kurią žinomą pusę: S \u003d (Pa - 2 a ²) / 2; S = (Pb – 2b²) / 2.
• Įstrižai ir kampas β: S = 0,5 d² sinβ.

Atliekant mokyklinio matematikos kurso užduotis dažnai reikalaujama gerai mokėti stačiakampio įstrižainių savybės. Mes išvardijame pagrindinius:

1. Įstrižainės yra lygios viena kitai ir jų susikirtimo taške yra padalintos į du lygius segmentus.
2. Įstrižainė apibrėžiama kaip abiejų kraštinių sumos kvadratas šaknis (iš Pitagoro teoremos).
3. Įstrižainė padalija stačiakampį į du stačiu kampu turinčius trikampius.
4. Susikirtimo taškas sutampa su apibrėžto apskritimo centru, o pačios įstrižainės sutampa su jo skersmeniu.

Įstrižainės ilgiui apskaičiuoti naudojamos šios formulės:

• Naudojant figūros ilgį ir plotį: d = √ (a ² + b ²).
• Naudojant aplink keturkampį apibrėžto apskritimo spindulį: d = 2 R.

Kvadrato apibrėžimas ir savybės

Kvadratas yra ypatingas rombo, lygiagretainio arba stačiakampio atvejis. Jo skirtumas nuo šių figūrų yra tas, kad visi jo kampai yra tiesūs, o visos keturios kraštinės yra lygios. Kvadratas yra taisyklingas keturkampis.

Keturkampis vadinamas kvadratu šiais atvejais:

1. Jei tai stačiakampis, kurio ilgis a ir plotis b yra lygūs.
2. Jei tai rombas su vienodo ilgio įstrižainėmis ir keturiais stačiais kampais.

Kvadrato savybės apima visas anksčiau aptartas su stačiakampiu susijusias savybes, taip pat:

1. Įstrižainės yra statmenos viena kitai (rombo savybė).
2. Susikirtimo taškas sutampa su įbrėžto apskritimo centru.
3. Abi įstrižainės padalija keturkampį į keturis vienodus stačiakampius ir lygiašonius trikampius.

Štai keletas dažnai naudojamų formulių kvadrato perimetro, ploto ir elementų apskaičiavimas:

• Įstrižainė d = a √2.
• Perimetras P = 4 a.
• Plotas S = a².
• Apibrėžto apskritimo spindulys yra pusė įstrižainės: R = 0,5 a √2.
• Įbrėžto apskritimo spindulys apibrėžiamas kaip pusė kraštinės ilgio: r = a / 2.

Klausimų ir užduočių pavyzdžiai

Pažvelkime į kai kuriuos klausimus, su kuriais galite susidurti studijuodami matematikos kursą mokykloje, ir išspręskite keletą paprastų uždavinių.

1 užduotis. Kaip pasikeis stačiakampio plotas, jei jo kraštinių ilgis padidės trigubai?

Sprendimas : Pradinės figūros plotą pažymėkime kaip S0, o keturkampio, kurio kraštinės ilgis yra trigubas, plotą - S1. Pagal anksčiau nagrinėtą formulę gauname: S0 = ab. Dabar padidinkime ilgį ir plotį 3 kartus ir parašykime: S1= 3 a 3 b = 9 ab. Lyginant S0 ir S1, tampa akivaizdu, kad antrasis plotas yra 9 kartus didesnis nei pirmasis.

1 klausimas. Ar stačiakampis keturkampis yra kvadratas?

Sprendimas : Iš apibrėžimo išplaukia, kad figūra su stačiais kampais yra kvadratas tik tada, kai visų jos kraštinių ilgiai yra lygūs. Priešingu atveju figūra yra stačiakampis.

2 užduotis. Stačiakampio įstrižainės sudaro 60 laipsnių kampą. Stačiakampio plotis lygus 8. Apskaičiuokite, kokia yra įstrižainė.

Sprendimas: Prisiminkite, kad įstrižaines dalija susikirtimo taškas. Taigi, mes susiduriame su lygiašoniu trikampiu, kurio kampas viršūnėje yra 60 °. Kadangi trikampis yra lygiašonis, kampai prie pagrindo taip pat bus vienodi. Atlikdami paprastus skaičiavimus gauname, kad kiekvienas iš jų yra lygus 60 °. Iš to išplaukia, kad trikampis yra lygiakraštis. Mūsų žinomas plotis yra trikampio pagrindas, todėl pusė įstrižainės taip pat yra 8, o visos įstrižainės ilgis yra dvigubai didesnis ir lygus 16.

2 klausimas. Ar stačiakampio visos kraštinės lygios, ar ne?

Sprendimas : Pakanka prisiminti, kad visos kvadrato kraštinės turi būti lygios, o tai yra ypatingas stačiakampio atvejis. Visais kitais atvejais pakankama sąlyga yra bent 3 stačiųjų kampų buvimas. Šalių lygiateisiškumas nėra privalomas požymis.

3 užduotis. Kvadrato plotas žinomas ir lygus 289. Raskite įbrėžtųjų ir apibrėžtųjų apskritimų spindulį.

Sprendimas : Pagal kvadrato formules atliksime šiuos skaičiavimus:

• Nustatykime, kam lygūs pagrindiniai kvadrato elementai: a = √ S = √289 = 17; d = a √2 =1 7√2.
• Apskaičiuokime, kam lygus aprašyto apskritimo aplink keturkampį spindulys: R = 0,5 d = 8,5√2.
• Raskime įbrėžto apskritimo spindulį: r = a / 2 = 17 / 2 = 8,5.

Apibrėžimas. Lygiagretainis yra keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra poromis lygiagrečios.

Nuosavybė. Lygiagretainio priešingos kraštinės yra lygios, o priešingi kampai yra lygūs.

Nuosavybė. Lygiagretainio įstrižainės dalinamos per susikirtimo tašką.

1 lygiagretainio ženklas. Jei dvi keturkampio kraštinės yra lygios ir lygiagrečios, tai keturkampis yra lygiagretainis.

2 lygiagretainio ženklas. Jei keturkampio priešingos kraštinės yra lygios poromis, tai keturkampis yra lygiagretainis.

3 lygiagretainio ženklas. Jei keturkampyje įstrižainės susikerta, o susikirtimo taškas yra padalintas į pusę, tai šis keturkampis yra lygiagretainis.

Apibrėžimas. Trapecija yra keturkampis, kurio dvi kraštinės yra lygiagrečios, o kitos dvi kraštinės nėra lygiagrečios. Lygiagrečios pusės vadinamos pagrindu.

Trapecija vadinama lygiašonis (lygiašonis) jei jo kraštinės lygios. Lygiašonės trapecijos kampai prie pagrindų yra lygūs.

Vadinama trapecija su vienu stačiu kampu stačiakampio formos.

Atkarpa, jungianti kraštinių vidurio taškus, vadinama trapecijos vidurio linija. Vidurinė linija lygiagreti pagrindams ir lygi jų pusei.

Apibrėžimas. Stačiakampis yra lygiagretainis su visais stačiais kampais.

Nuosavybė. Stačiakampio įstrižainės lygios.

Stačiakampis ženklas. Jei lygiagretainio įstrižainės yra lygios, tai šis lygiagretainis yra stačiakampis.

Apibrėžimas. Rombas yra lygiagretainis, kurio visos kraštinės yra lygios.

Nuosavybė. Rombo įstrižainės yra viena kitai statmenos ir dalija jo kampus.

Apibrėžimas. Kvadratas yra stačiakampis, kurio visos kraštinės yra lygios.

Kvadratas yra tam tikros rūšies stačiakampis, taip pat tam tikros rūšies rombas. Todėl jis turi visas savo savybes.

Savybės:
1. Visi kvadrato kampai yra teisingi

2. Kvadrato įstrižainės lygios, viena kitai statmenos, susikirtimo taškas padalintas pusiau, o kvadrato kampai – pusiau.

Pamokos tema

• Keturkampio apibrėžimas.

Pamokos tikslai

• Edukacinis - žinių kartojimas, apibendrinimas ir patikrinimas tema: „Keturkampiai“; pagrindinių įgūdžių ugdymas.
• Lavinantis – ugdyti mokinių dėmesį, užsispyrimą, užsispyrimą, loginį mąstymą, matematinį kalbėjimą.
• Ugdomasis – per pamoką ugdyti dėmesingą požiūrį vienas į kitą, ugdyti gebėjimą išklausyti bendražygius, savitarpio pagalbą, savarankiškumą.

Pamokos tikslai

• Formuoti keturkampio kūrimo įgūdžius naudojant mastelio juostą ir piešimo trikampį.
• Patikrinkite mokinių gebėjimą spręsti problemas.

Pamokos planas

1. Istorijos nuoroda. Neeuklidinė geometrija.
2. Keturkampis.
3. Keturkampių tipai.

Neeuklidinė geometrija

Neeuklido geometrija, geometrija panaši į geometriją Euklidas tuo, kad apibrėžia figūrų judėjimą, bet skiriasi nuo euklido geometrijos tuo, kad vienas iš penkių jos postulatų (antrasis arba penktasis) pakeičiamas jo neigimu. Vieno iš Euklido postulatų (1825 m.) paneigimas buvo reikšmingas įvykis minties istorijoje, nes tai buvo pirmasis žingsnis link Reliatyvumo teorija.

Antrasis Euklido postulatas teigia, kad bet kurią linijos atkarpą galima pratęsti neribotą laiką. Euklidas, matyt, tikėjo, kad šiame postulate taip pat yra teiginys, kad tiesės ilgis yra begalinis. Tačiau "elipsinėje" geometrijoje bet kuri tiesė yra baigtinė ir, kaip apskritimas, yra uždara.

Penktasis postulatas teigia, kad jei tiesė kerta dvi nurodytas tieses taip, kad du vidiniai kampai vienoje jos pusėje yra mažesni už du stačiuosius kampus, tada šios dvi tiesės, jei jos pratęstos neribotai, susikirs toje pusėje, kur šių kampų suma yra mažesnė už dviejų tiesių sumą. Tačiau „hiperbolinėje“ geometrijoje gali egzistuoti tiesė CB (žr. pav.), kuri taške C yra statmena nurodytai tiesei r ir taške B smailiu kampu kerta kitą tiesę s, tačiau, nepaisant to, begalinės tiesės r ir s niekada nesusikirs.

Iš šių pataisytų postulatų išplaukė, kad trikampio kampų suma, lygi 180° Euklido geometrijoje, yra didesnė nei 180° elipsinėje geometrijoje ir mažesnė nei 180° hiperbolinėje geometrijoje.

Keturkampis