NDRYSHORET E RASTËSISHME

§ 1. KONCEPTI I NJË VARIABLE TË RASTËSISHME.

Në fizikë dhe shkenca të tjera natyrore ka shumë sasi të ndryshme të natyrave të ndryshme, si koha, gjatësia, vëllimi, pesha, etj. Një sasi konstante është një sasi që merr vetëm një vlerë fikse. Sasitë që mund të marrin vlera të ndryshme quhen variabla. Një sasi konsiderohet e dhënë nëse specifikohet grupi i vlerave që mund të marrë. Nëse dihet pa mëdyshje se cilën vlerë nga bashkësia do të marrë një sasi kur krijohen kushte të caktuara, atëherë flitet për një madhësi "të zakonshme", përcaktuese. Një shembull i një sasie të tillë është numri i shkronjave në një fjalë. Shumica sasive fizike maten duke përdorur instrumente me saktësi të natyrshme matëse dhe, në kuptimin e përkufizimit të mësipërm, ato nuk janë "të zakonshme". Këto lloj sasish "të pazakonta" quhen e rastit . Për variabla të rastësishme, është e përshtatshme që grupi të quhet bashkësia e vlerave të mundshme. Një ndryshore e rastësishme merr një vlerë ose një tjetër me një probabilitet të caktuar. Vini re se të gjitha sasitë mund të konsiderohen të rastësishme, pasi një sasi përcaktuese është një ndryshore e rastësishme që merr çdo vlerë me një probabilitet të barabartë me një. Gjithçka e thënë më sipër është një bazë e mjaftueshme për të studiuar variablat e rastësishëm.

Përkufizimi. Ndryshore e rastësishme është një sasi që, si rezultat i eksperimentit, mund të marrë një ose një vlerë tjetër (por detyrimisht vetëm një) dhe nuk dihet paraprakisht se cila.

Koncepti i një ndryshoreje të rastësishme është një koncept themelor në teorinë e probabilitetit dhe luan një rol të rëndësishëm në aplikimet e tij.

Variablat e rastësishëm shënohen: , dhe vlerat e tyre, përkatësisht: .

Ekzistojnë dy klasa kryesore të ndryshoreve të rastësishme: diskrete dhe e vazhdueshme.

Përkufizimi. Ndryshore diskrete e rastësishme është një ndryshore e rastësishme, numri i vlerave të mundshme të së cilës është i fundëm ose i numërueshëm.

Shembuj variablat diskrete të rastësishme:

1. - shkalla e goditjes me tre të shtëna. Vlerat e mundshme:

2. - numri i produkteve me defekt nga copa. Vlerat e mundshme:

3. - numri i goditjeve para goditjes së parë. Vlerat e mundshme:

Përkufizimi. Ndryshore e vazhdueshme e rastësishme quhet një ndryshore e tillë e rastësishme vlerat e mundshme i cili në mënyrë jo të vazhdueshme mbush një interval të caktuar (të fundëm ose të pafund).

Shembuj variabla të rastësishme të vazhdueshme:

1. - devijimi i rastësishëm në diapazonin nga pika e goditjes deri te objektivi kur qëllohet nga një armë.

Meqenëse një predhë mund të godasë çdo pikë në intervalin e kufizuar nga vlerat minimale dhe maksimale të diapazonit të fluturimit të predhës të mundshme për një armë të caktuar, vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme mbushin hendekun midis vlerave minimale dhe maksimale.

2. - gabime në matjet e radarit.

3. - koha e funksionimit të pajisjes.

Një ndryshore e rastësishme është një lloj shprehjeje abstrakte e ndonjë ngjarjeje të rastësishme. Çdo ngjarje e rastësishme mund të shoqërohet me një ose më shumë ndryshore të rastësishme që e karakterizojnë atë. Për shembull, kur gjuani në një objektiv, mund të merrni parasysh variablat e mëposhtme të rastësishme: numrin e goditjeve në objektiv, frekuencën e goditjeve në objektiv, numrin e pikëve të shënuara kur goditni zona të caktuara të objektivit, etj.

§ 2 LIGJET E SHPËRNDARJES SË PROBABILITETIT

NDRYSHORET E RASTËSISHME.

Përkufizimi. Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme është çdo lidhje që vendos një lidhje midis vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme dhe probabiliteteve përkatëse.

Nëse kujtojmë përkufizimin e një funksioni, atëherë ligji i shpërndarjes është një funksion, fusha e përkufizimit të të cilit është diapazoni i vlerave të ndryshores së rastësishme, dhe diapazoni i vlerave të funksionit në fjalë përbëhet nga probabilitetet e vlerat e ndryshores së rastësishme.

2.1. FAMI I SHPËRNDARJES

Le të shqyrtojmë një ndryshore të rastësishme diskrete, vlerat e mundshme të së cilës janë të njohura për ne. Por njohja e vlerave të një ndryshoreje të rastësishme padyshim që nuk na lejon ta përshkruajmë plotësisht atë, pasi nuk mund të themi se sa shpesh duhet të presim disa vlera të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme kur përsërisim eksperimentin në të njëjtat kushte. Për ta bërë këtë, ju duhet të dini ligjin e shpërndarjes së probabilitetit.

Si rezultat i eksperimentit, një ndryshore e rastësishme diskrete merr një nga vlerat e saj të mundshme, d.m.th. do të ndodhë një nga ngjarjet e mëposhtme:

të cilat formojnë një grup të plotë ngjarjesh të papajtueshme.

Mundësitë e këtyre ngjarjeve:

Ligji më i thjeshtë i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete është një tabelë që tregon të gjitha vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme dhe probabilitetet përkatëse:

Kjo tabelë quhet afër shpërndarjes ndryshore e rastësishme.

Për qartësi, seria e shpërndarjes mund të përfaqësohet nga një grafik:

Kjo vijë e thyer quhet poligonin e shpërndarjes . Kjo është gjithashtu një nga format e specifikimit të ligjit të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Shuma e ordinatave të poligonit të shpërndarjes, që përfaqëson shumën e probabiliteteve të të gjitha vlerave të mundshme të ndryshores së rastit, është e barabartë me një.

Shembulli 1. Tre të shtëna janë qëlluar në objektiv. Probabiliteti i një goditjeje me çdo goditje është 0.7. Hartoni një seri shpërndarjeje për numrin e goditjeve.

Ndryshorja e rastësishme - "numri i goditjeve" mund të marrë vlera nga 0 në 3 - x, dhe në këtë rast probabilitetet përcaktohen nga formula e Bernoulli:

.

Ekzaminimi

Shembulli 2. Urna përmban 4 topa të bardhë dhe 6 të zinj. 4 topa janë tërhequr në mënyrë të rastësishme. Gjeni ligjin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme - "numri i topave të bardhë midis atyre të përzgjedhurve".

Kjo ndryshore e rastësishme mund të marrë vlera nga 0 në 4 - x. Le të gjejmë probabilitetet e vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme.

Mund të kontrollojmë që shuma e probabiliteteve të fituara të jetë e barabartë me një.

2.2. FUNKSIONI I SHPËRNDARJES.

Një seri shpërndarjeje nuk mund të ndërtohet për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme, pasi ajo merr pafundësisht shumë vlera. Një ligj më universal i shpërndarjes i përshtatshëm si për ndryshoret e rastësishme diskrete ashtu edhe për ato të vazhdueshme është funksioni i shpërndarjes.

Përkufizimi. Funksioni i shpërndarjes (ligji i shpërndarjes integrale) i një ndryshoreje të rastësishme është caktimi i probabilitetit të përmbushjes së pabarazisë, d.m.th.

(1)

Kështu, funksioni i shpërndarjes është i barabartë me probabilitetin që ndryshorja e rastësishme si rezultat i eksperimentit të bjerë në të majtë të pikës.

Për një ndryshore të rastësishme diskrete për të cilën ne e dimë serinë e shpërndarjes:

funksioni i shpërndarjes do të duket si ky:

Grafiku i funksionit të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete është një figurë hapi e ndërprerë. Për qartësi, le të shohim një shembull.

Shembulli 3 Jepet një seri shpërndarjesh. Gjeni funksionin e shpërndarjes dhe vizatoni atë

A-parësore,

VETITË E FUNKSIONIT TË SHPËRNDARJES

1 Funksioni i shpërndarjes është një funksion jo negativ, vlerat e të cilit qëndrojnë midis 0 dhe 1, d.m.th.

2 Probabiliteti që një ndryshore e rastësishme të shfaqet në interval është e barabartë me ndryshimin midis vlerave të funksionit të shpërndarjes në skajet e intervalit:

3 Funksioni i shpërndarjes është një funksion jo-zvogëlues, d.m.th. kur bëhet: ;

Le të kalojmë në barazinë (2) në kufirin në . Në vend të probabilitetit që një ndryshore e rastësishme të bjerë në një interval, marrim probabilitetin e një vlere pikë të një ndryshoreje të rastësishme, d.m.th.

Vlera e këtij kufiri varet nëse pika është një pikë e vazhdimësisë së funksionit, apo nëse funksioni ka një ndërprerje në këtë pikë. Nëse funksioni është i vazhdueshëm në pikën , atëherë kufiri është 0, d.m.th. . Nëse në këtë pikë funksioni ka një ndërprerje (lloji 1), atëherë kufiri është i barabartë me vlerën e kërcimit të funksionit në pikë.

Meqenëse një ndryshore e rastësishme e vazhdueshme ka një funksion të shpërndarjes së vazhdueshme, nga barazia e kufirit (3) në zero rezulton se probabiliteti i çdo vlere fikse të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është zero. Kjo rrjedh nga fakti se ka pafundësisht shumë vlera të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme. Nga kjo, në veçanti, rrjedh se probabilitetet e mëposhtme përkojnë:

Vetitë e dhëna të funksionit të shpërndarjes mund të formulohen si më poshtë: funksioni i shpërndarjes është një funksion jo-negativ jo-zvogëlues që plotëson kushtet: Po ashtu pohimi i kundërt vlen: një funksion i vazhdueshëm në rritje monotone që plotëson kushtet

është funksioni i shpërndarjes së disa ndryshoreve të rastësishme të vazhdueshme. Nëse vlerat e kësaj sasie janë të përqendruara në një interval të caktuar, atëherë grafiku i këtij funksioni mund të përshkruhet skematikisht si më poshtë:

Le të shqyrtojmë shembull. Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme specifikohet si më poshtë:

Gjeni vlerën e "", ndërtoni një grafik dhe gjeni probabilitetin

Meqenëse funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është i vazhdueshëm, atëherë ai është një funksion i vazhdueshëm dhe barazia duhet të plotësohet:

ose , d.m.th.

Le ta përshkruajmë këtë funksion

Le të gjejmë probabilitetin e kërkuar

Komentoni. Funksioni i shpërndarjes, ndonjëherë i quajtur edhe ligji integral i shpërndarjes . Më poshtë do të shpjegojmë saktësisht pse.

2.3 DENSITETI I SHPËRNDARJES .

Që nga përdorimi i funksionit të shpërndarjes diskrete

variabël e rastësishme në çdo moment mund të përcaktojmë probabilitetin e vlerave të mundshme, atëherë ajo përcakton në mënyrë unike ligjin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Megjithatë, është e vështirë të gjykohet nga funksioni i shpërndarjes natyrën e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme në një lagje të vogël të një pike të caktuar në boshtin numerik.

Një paraqitje më vizuale e natyrës së shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme pranë pikave të ndryshme jepet nga një funksion i quajtur dendësia e shpërndarjes (ose ligji i shpërndarjes diferenciale)

Le të jetë një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme me funksion shpërndarjeje. Le të gjejmë probabilitetin që kjo ndryshore e rastësishme të bjerë në një seksion elementar.

Sipas formulës (2), kemi

Le ta ndajmë këtë barazi me

Lidhja në të majtë quhet probabiliteti mesatar për njësi gjatësi të seksionit.

Duke e konsideruar funksionin si të diferencueshëm, le të vazhdojmë te kufiri në këtë barazi

Përkufizimi. Kufiri i raportit të probabilitetit që një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme të bjerë në një seksion elementar me gjatësinë e këtij seksioni quhet dendësia e shpërndarjes sasi e vazhdueshme e rastësishme dhe shënohet si rrjedhim,

Dendësia e shpërndarjes tregon se sa shpesh një ndryshore e rastësishme shfaqet në një lagje të caktuar të një pike kur përsëriten eksperimentet.

Lakorja që përshkruan grafikun e densitetit të shpërndarjes quhet kurba e shpërndarjes.

Nëse vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme mbushin një interval të caktuar, atëherë jashtë këtij intervali.

Përkufizimi. Ndryshorja e rastësishme quhet të vazhdueshme , nëse funksioni i tij i shpërndarjes është i vazhdueshëm në të gjithë vijën numerike dhe dendësia e shpërndarjes është e vazhdueshme kudo, me përjashtim të mundshëm të një numri të fundëm pikash (pikat e ndërprerjes së llojit të parë).

VETITË E SHPËRNDARJES SË DENDËSISË

1. Dendësia e shpërndarjes është jo negative, d.m.th.

(kjo rrjedh nga fakti që është derivat i një funksioni jo-zvogëlues).

2. Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme

ne jemi të barabartë me integralin e densitetit të shpërndarjes (dhe për rrjedhojë është ligji i shpërndarjes integrale), d.m.th.

Në të vërtetë, (sipas përkufizimit të diferencialit të një funksioni). Prandaj,

Në grafikun e densitetit të shpërndarjes, funksioni i shpërndarjes

përfaqësohet nga zona e zonës me hije.

3. Probabiliteti që një ndryshore e rastësishme të bjerë në një zonë është e barabartë me integralin e densitetit të shpërndarjes mbi këtë interval, d.m.th.

Me të vërtetë,

4. Integrali mbi kufijtë e pafundëm të densitetit të shpërndarjes është i barabartë me njësinë, d.m.th.

Me fjalë të tjera, sipërfaqja e figurës nën grafikun e densitetit të shpërndarjes është e barabartë me 1. Në veçanti, nëse vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme janë të përqendruara në zonë, atëherë

Shembull. Lëreni densitetin e shpërndarjes të përcaktohet nga funksioni

Gjeni: a) vlerën e parametrit; b) funksioni i shpërndarjes c) Llogaritni probabilitetin që një ndryshore e rastësishme të marrë një vlerë nga segmenti .

a) Nga pasuria 4, . Pastaj

b) Sipas pronës 2, Nëse

Nëse, .

Kështu,

c) Sipas pronës 3,

§ 3. KARAKTERISTIKAT NUMERIKE TË RASTËSISË

Kur zgjidhen shumë probleme praktike, nuk ka nevojë të dihen të gjitha karakteristikat probabilistike të një ndryshoreje të rastësishme. Ndonjëherë mjafton të njihen vetëm disa karakteristika numerike të ligjit të shpërndarjes.

Karakteristikat numerike bëjnë të mundur që të shprehen në një formë koncize tiparet më domethënëse të një shpërndarjeje të caktuar.

Për çdo ndryshore të rastësishme, para së gjithash, është e nevojshme të dihet vlera mesatare e saj, rreth së cilës grupohen të gjitha vlerat e mundshme të kësaj vlere, si dhe një numër i caktuar që karakterizon shkallën e shpërndarjes së këtyre vlerave në lidhje me mesatare.

Bëhet dallimi midis karakteristikave të pozicionit dhe karakteristikave të shpërndarjes. Një nga më karakteristika të rëndësishme pozicioni është pritshmëria matematikore.

3.1 Pritshmëria matematikore (vlera mesatare).

Le të shqyrtojmë së pari një ndryshore të rastësishme diskrete që ka vlera të mundshme me probabilitete

Përkufizimi. Pritshmëria matematikore Një ndryshore e rastësishme diskrete është shuma e produkteve të të gjitha vlerave të mundshme të kësaj variabli dhe probabiliteteve të tyre, d.m.th.

Përndryshe, shënohet pritshmëria matematikore

Shembull. Le të jepet seria e shpërndarjes:

Le të shqyrtojmë tani një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme, të gjitha vlerat e mundshme të së cilës përmbahen në interval.

Le ta ndajmë këtë segment në segmente të pjesshme, gjatësitë e të cilave shënojmë: , dhe në çdo interval të pjesshëm marrim përkatësisht një pikë arbitrare.

Meqenëse produkti është afërsisht i barabartë me probabilitetin që një ndryshore e rastësishme të bjerë në një seksion elementar, atëherë shuma e produkteve e përpiluar në analogji me përkufizimin e pritjes matematikore të një ndryshoreje të rastësishme diskrete, është afërsisht e barabartë me pritjen matematikore të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme Let .

Pastaj

Përkufizimi. Pritshmëria matematikore një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme quhet integrali i caktuar vijues:

(2)

Nëse një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme merr vlera në të gjithë vijën numerike, atëherë

Shembull. Le të jepet densiteti i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme:

Atëherë pritshmëria e tij matematikore është:

Koncepti i pritjes matematikore ka një interpretim të thjeshtë mekanik. Shpërndarja e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme mund të interpretohet si shpërndarja e një mase njësi përgjatë një vije të drejtë. Një ndryshore e rastësishme diskrete që merr vlera me probabilitete korrespondon me një vijë të drejtë në të cilën masat janë të përqendruara në pika. Një ndryshore e rastësishme e vazhdueshme korrespondon me një shpërndarje të vazhdueshme të masave përgjatë gjithë vijës ose në një segment të fundëm të kësaj linje. Atëherë pritshmëria matematikore është abshisa e qendrës së gravitetit .

VETITË E PRITJES MATEMATIKE

1. Pritja matematikore e një vlere konstante është e barabartë me vetë konstantën:

2. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e pritjes matematikore:

3. Pritshmëria matematikore e shumës algjebrike të ndryshoreve të rastit është e barabartë me shumën algjebrike të pritjeve të tyre matematikore:

4. Pritshmëria matematikore e prodhimit të ndryshoreve të rastësishme të pavarura është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore:

5. Pritja matematikore e devijimit të një ndryshoreje të rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore është e barabartë me zero:

3.2. Modaliteti dhe medianaja e një ndryshoreje të rastësishme.

Këto janë dy karakteristika të tjera të pozicionit të një ndryshoreje të rastësishme.

Përkufizimi. Moda e një ndryshoreje të rastësishme diskrete është vlera më e mundshme e saj. Për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme, modaliteti është pika e maksimumit të funksionit.

Nëse një poligon i shpërndarjes (për një ndryshore të rastësishme diskrete) ose një kurbë shpërndarjeje (për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme) ka dy ose më shumë pika maksimale, atëherë shpërndarja quhet përkatësisht bimodale ose multimodale.

Nëse nuk ka pikë maksimale, atëherë shpërndarja quhet antimodale.

Përkufizimi. mesatare ndryshorja e rastësishme është vlera e saj, në raport me të cilën është po aq e mundshme që të fitohet një vlerë më e madhe ose më e vogël e ndryshores së rastit, d.m.th.

Me fjalë të tjera, kjo është abshisa e pikës në të cilën zona nën grafikun e densitetit të shpërndarjes (poligoni i shpërndarjes) ndahet në gjysmë.

Shembull. Duke pasur parasysh dendësinë e ndryshores së rastësishme:

Gjeni mesataren e kësaj ndryshoreje të rastësishme.

Le të gjejmë mesataren nga gjendja . Në rastin tonë,

Nga katër rrënjët, duhet të zgjidhni atë që është midis 0 dhe 2, d.m.th.

Koment. Nëse shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme është njëmodale dhe simetrike (normale), atëherë të tre karakteristikat e pozicionit: pritshmëria matematikore, mënyra dhe mediana, përkojnë.

3.3 Varianca dhe devijimi standard.

Vlerat e variablave të rastësishme të vëzhguara zakonisht luhaten pak a shumë rreth një vlere mesatare. Ky fenomen quhet shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme rreth vlerës mesatare të saj. Karakteristikat numerike që tregojnë se sa fort janë grupuar vlerat e mundshme të një vlere të rastësishme rreth mesatares quhen karakteristika të shpërndarjes. Nga vetia 5 e pritshmërisë matematikore rrjedh se devijimi linear i vlerave të një sasie të rastësishme nga vlera mesatare nuk mund të shërbejë si karakteristikë e shpërndarjes, pasi devijimet pozitive dhe negative "anulojnë" njëra-tjetrën. Prandaj, karakteristika kryesore e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme konsiderohet të jetë pritshmëria matematikore e devijimit në katror të ndryshores së rastit nga mesatarja.

Përkufizimi. Varianca quhet pritshmëria matematikore - devijimi në katror i një ndryshoreje të rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore (vlera mesatare), d.m.th.

(3)

(4) për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme:

(5)

Por, pavarësisht nga komoditeti i kësaj karakteristike shpërndarjeje, është e dëshirueshme që të kemi një karakteristikë shpërndarjeje në përpjesëtim me vetë variablin e rastësishëm dhe pritshmërinë e saj matematikore.

Prandaj, futet një karakteristikë tjetër shpërndarjeje, e cila quhet devijimi standard dhe Rav -mbi hardhi nga varianca, d.m.th. .

Për të llogaritur variancën, është e përshtatshme të përdoret formula e dhënë nga teorema e mëposhtme.

TEOREMA. Varianca e një ndryshoreje të rastësishme është e barabartë me diferencën ndërmjet pritjes matematikore të katrorit të ndryshores së rastësishme dhe katrorit të pritjes së saj matematikore, d.m.th.

Në fakt, sipas përkufizimit

Sepse.

VETITË E SHPËRNDARJES:

1. Varianca e një ndryshoreje të rastësishme konstante është zero, d.m.th.

2. Faktori konstant i ndryshores së rastit nxirret nga varianca me katrorin, d.m.th.

3. Varianca e shumës algjebrike të dy ndryshoreve të rastit është e barabartë me shumën e variancave të tyre, d.m.th.

Pasoja nga 2 dhe 3 prona:

Le të shohim shembuj..

Shembulli 1. Jepet një seri shpërndarjeje e një ndryshoreje të rastësishme diskrete. Gjeni devijimin e tij standard.

Së pari le të gjejmë

Pastaj devijimi standard

Shembulli 2. Le të jepet densiteti i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme:

Gjeni variancën dhe devijimin standard të saj.

3.4 Momentet e ndryshoreve të rastit.

Ekzistojnë dy lloje momentesh: fillestare dhe qendrore.

Përkufizimi. Momenti fillestar i porosisë e rastit

sasi quhen pritshmëri matematikore e sasisë, d.m.th. .

Për një ndryshore të rastësishme diskrete:

Për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme:

Në veçanti, pritshmëria matematikore është momenti fillestar i rendit të parë.

Përkufizimi. Momenti qendror është gjysmë porosie një ndryshore e rastësishme është pritshmëria matematikore e vlerës, d.m.th.

Për një ndryshore të rastësishme diskrete:

Për të vazhduar -

Momenti qendror i rendit të parë është i barabartë me zero (vetia 5 e pritjes matematikore); ; karakterizon asimetrinë (shtjellimin) e grafikut të densitetit të shpërndarjes. thirrur koeficienti i asimetrisë.

Shërben për të karakterizuar mprehtësinë e shpërndarjes.

Përkufizimi. Teprica ndryshorja e rastësishme është numri

Për një ndryshore të rastësishme të shpërndarë normalisht, relacioni Prandaj, kurbat e shpërndarjes që janë më të theksuara se normale kanë një kurtozë pozitive (), dhe ato që janë më të sheshta kanë një kurtozë negative ().

Shembull. Le të jepet densiteti i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme:

Gjeni koeficientin e anshmërisë dhe kurtozën e kësaj ndryshoreje të rastësishme.

Le të gjejmë pikat e nevojshme për këtë:

Pastaj koeficienti i asimetrisë: (asimetri negative).

Le të specifikohet një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X nga funksioni i shpërndarjes F(X) . Le të supozojmë se të gjitha vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme i përkasin segmentit [ A, B].

Përkufizimi. Pritshmëria matematikore një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X, vlerat e mundshme të së cilës i përkasin segmentit, quhet një integral i caktuar.

Nëse vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme merren parasysh në të gjithë boshtin numerik, atëherë pritshmëria matematikore gjendet me formulën:

Në këtë rast, natyrisht, supozohet se integrali i papërshtatshëm konvergjon.

Përkufizimi. Varianca e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është pritshmëria matematikore e katrorit të devijimit të saj.

Për analogji me variancën e një ndryshoreje të rastësishme diskrete, për të llogaritur praktikisht variancën, përdoret formula:

Përkufizimi. Devijimi standard Quhet rrënja katrore e variancës.

Përkufizimi. Moda M0 e një ndryshoreje të rastësishme diskrete quhet vlera e saj më e mundshme. Për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme, modaliteti është vlera e ndryshores së rastësishme në të cilën densiteti i shpërndarjes ka një maksimum.

Nëse poligoni i shpërndarjes për një ndryshore të rastësishme diskrete ose kurba e shpërndarjes për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme ka dy ose më shumë maksimum, atëherë një shpërndarje e tillë quhet Bimodale ose Multimodale.

Nëse një shpërndarje ka një minimum, por jo maksimum, atëherë quhet Antimodale.

Përkufizimi. mesatare MD e një ndryshoreje të rastësishme X është vlera e saj në raport me të cilën është po aq e mundshme që të merret një vlerë më e madhe ose më e vogël e ndryshores së rastësishme.

Gjeometrikisht, mediana është abshisa e pikës në të cilën zona e kufizuar nga kurba e shpërndarjes ndahet në gjysmë.

Vini re se nëse shpërndarja është njëmodale, atëherë mënyra dhe mediana përkojnë me pritshmërinë matematikore.

Përkufizimi. Momenti i fillimit Rreth K Një ndryshore e rastësishme X është pritshmëria matematikore e vlerës X K.

Për një ndryshore të rastësishme diskrete: .

.

Momenti fillestar i rendit të parë është i barabartë me pritjen matematikore.

Përkufizimi. Momenti qendror Rreth K ndryshorja e rastësishme X është pritshmëria matematikore e vlerës

Për një ndryshore të rastësishme diskrete: .

Për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme: .

Momenti qendror i rendit të parë është gjithmonë zero, dhe momenti qendror i rendit të dytë është i barabartë me dispersionin. Momenti qendror i rendit të tretë karakterizon asimetrinë e shpërndarjes.

Përkufizimi. Raporti i momentit qendror të rendit të tretë me devijimin standard ndaj fuqisë së tretë quhet Koeficienti i asimetrisë.

Përkufizimi. Për të karakterizuar kulmin dhe rrafshimin e shpërndarjes, një sasi e quajtur Teprica.

Përveç sasive të marra, përdoren edhe të ashtuquajturat momente absolute:

Momenti absolut i fillimit: .

Momenti qendror absolut: .

Momenti qendror absolut i rendit të parë quhet Devijimi mesatar aritmetik.

Shembull. Për shembullin e diskutuar më sipër, përcaktoni pritshmërinë matematikore dhe variancën e ndryshores së rastësishme X.

Shembull. Në një urnë ka 6 topa të bardhë dhe 4 të zinj. Prej tij hiqet një top pesë herë radhazi dhe çdo herë topi i hequr kthehet prapa dhe topat përzihen. Duke marrë numrin e topave të bardhë të nxjerrë si një ndryshore të rastësishme X, hartoni një ligj të shpërndarjes për këtë vlerë, përcaktoni pritshmërinë dhe shpërndarjen e saj matematikore.

Meqenëse topat në secilin eksperiment kthehen dhe përzihen, testet mund të konsiderohen të pavarura (rezultati i eksperimentit të mëparshëm nuk ndikon në probabilitetin e shfaqjes ose të mos ndodhjes së një ngjarjeje në një eksperiment tjetër).

Kështu, probabiliteti që një top i bardhë të shfaqet në çdo eksperiment është konstant dhe i barabartë me

Kështu, si rezultat i pesë provave radhazi, topi i bardhë mund të mos shfaqet fare, ose të shfaqet një, dy, tre, katër ose pesë herë.

Për të hartuar një ligj të shpërndarjes, ju duhet të gjeni probabilitetet e secilës prej këtyre ngjarjeve.

1) Topi i bardhë nuk u shfaq fare:

2) Topi i bardhë u shfaq një herë:

3) Topi i bardhë do të shfaqet dy herë: .

4) Topi i bardhë do të shfaqet tre herë:

Ndryshorja e rastësishme diskrete dhe ligji i shpërndarjes së saj

Së bashku me konceptin e një ngjarjeje të rastësishme, teoria e probabilitetit përdor gjithashtu konceptin më të përshtatshëm ndryshore e rastësishme.

Përkufizimi. Ndryshore e rastësishmeështë një sasi që, si rezultat i eksperimentit, merr një nga vlerat e saj të mundshme dhe nuk dihet paraprakisht se cila.

Variablat e rastësishëm do t'i shënojmë me shkronja të mëdha të alfabetit latin ( X, Y, Z,…), dhe kuptimet e tyre të mundshme tregohen me shkronja të vogla përkatëse ( x i, y i,…).

Shembuj: numri i pikëve të marra gjatë hedhjes së një trupi; numri i paraqitjeve të stemës në 10 hedhje monedhash; numri i të shtënave deri në goditjen e parë në objektiv; distanca nga qendra e objektivit deri te vrima pas goditjes.

Mund të vërehet se grupi i vlerave të mundshme për variablat e rastësishme të listuara ka lloj të ndryshëm: për dy sasitë e paraështë e fundme (6 dhe 11 vlera, respektivisht), për sasinë e tretë grupi i vlerave është i pafund dhe përfaqëson një grup numrat natyrorë, A për të katërtin- të gjitha pikat e një segmenti gjatësia e të cilit është e barabartë me rrezen e objektivit. Kështu, për tre sasitë e para marrim një grup vlerash nga vlera individuale (diskrete) të izoluara nga njëra-tjetra, dhe për të katërtën përfaqëson një zonë të vazhdueshme. Sipas këtij treguesi, variablat e rastësishëm ndahen në dy grupe: diskrete dhe të vazhdueshme.

Përkufizimi. diskrete, nëse merr vlera të ndara, të izoluara të mundshme me probabilitete të caktuara. Numri i vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme diskrete mund të jetë i fundëm ose i pafund.

Përkufizimi. Ndryshorja e rastësishme quhet të vazhdueshme, nëse grupi i vlerave të tij të mundshme plotëson plotësisht një interval të fundëm ose të pafund. Numri i vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është i pafund.

Për të specifikuar një ndryshore të rastësishme diskrete, duhet të dini vlerat e mundshme të saj dhe probabilitetet me të cilat pranohen këto vlera. Korrespondenca mes tyre quhet ligji i shpërndarjes ndryshore e rastësishme. Mund të jetë në formën e një tabele, formule ose grafiku.

Një tabelë që liston vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme diskrete dhe probabilitetet përkatëse të tyre quhet afër shpërndarjes:

Vini re se ngjarja që një ndryshore e rastësishme merr një nga vlerat e saj të mundshme është e besueshme, pra, ose

Detyrë. Monedha hidhet 5 herë. Vlera e rastësishme X– bie numri i stemave. Krijoni një seri shpërndarjesh të një ndryshoreje të rastësishme X.

Zgjidhje. Është e qartë se X mund të marrë 5 vlera: 0, 1, 2, 3, 4, 5, kjo eshte X= 0, 1, 2, 3, 4, 5. Sipas kushtit, . Le të llogarisim probabilitetin e secilës vlerë duke përdorur formulën e Bernulit: .

Stema nuk do të shfaqet as edhe një herë (k = 0): .

Ose .

Stema do të shfaqet një herë (k = 1):
.

Stema do të shfaqet dy herë (k = 2):

Stema do të shfaqet tre herë (k = 3):

Stema do të shfaqet katër herë (k = 4):

Stema do të shfaqet pesë herë (k = 5):

Prandaj, seria e shpërndarjes duket si kjo:

Në këtë rast, shuma e probabiliteteve është e barabartë me një:

Grafikisht, ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete mund të përfaqësohet si poligonin e shpërndarjes- një vijë e thyer që lidh pikat e aeroplanit me koordinatat ( x i, p i). Kjo do të thotë, vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme vizatohen përgjatë boshtit të abshisës, dhe probabilitetet e këtyre vlerave vizatohen përgjatë boshtit të ordinatave. Për qartësi, pikat që rezultojnë janë të lidhura me segmente të drejta. Poligoni i shpërndarjes, ashtu si seria e shpërndarjes, karakterizon plotësisht variablin e rastësishëm dhe është një nga format e ligjit të shpërndarjes.

Dërgoni punën tuaj të mirë në bazën e njohurive është e thjeshtë. Përdorni formularin e mëposhtëm

Studentët, studentët e diplomuar, shkencëtarët e rinj që përdorin bazën e njohurive në studimet dhe punën e tyre do t'ju jenë shumë mirënjohës.

Postuar ne http://www.allbest.ru/

Variabla të rastësishme diskrete

Le të kryhet një test, rezultati i të cilit është një nga ngjarjet e rastësishme të papajtueshme (numri i ngjarjeve është ose i fundëm ose i numërueshëm, domethënë, ngjarjet mund të numërohen). Çdo rezultat është i lidhur me një të caktuar numër real, domethënë, një funksion real X me vlera jepet në një grup ngjarjesh të rastësishme. Ky funksion X quhet diskrete e rastit madhësia(Termi "diskret" përdoret sepse vlerat e një ndryshoreje të rastësishme janë numra individualë, në krahasim me funksionet e vazhdueshme). Meqenëse vlerat e një ndryshoreje të rastësishme ndryshojnë në varësi të ngjarjeve të rastësishme, interesi kryesor është në probabilitetet me të cilat ndryshorja e rastësishme merr vlera të ndryshme numerike. Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme është çdo marrëdhënie që vendos një lidhje midis vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme dhe probabiliteteve përkatëse. Ligji i shpërndarjes mund të marrë forma të ndryshme. Për një ndryshore të rastësishme diskrete, ligji i shpërndarjes është një grup çiftesh numrash (), ku janë vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme dhe janë probabilitetet me të cilat merr këto vlera: . Ku.

Çiftet mund të konsiderohen si pika në një sistem koordinativ. Duke i lidhur këto pika me segmente të drejtëza, marrim një paraqitje grafike të ligjit të shpërndarjes - një poligon të shpërndarjes. Më shpesh, ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete shkruhet në formën e një tabele në të cilën futen çiftet.

Shembull. Monedha hidhet dy herë. Hartoni një ligj për shpërndarjen e numrit të stemave në këtë test.

Zgjidhje. Ndryshorja e rastësishme X është numri i herëve që "stema" shfaqet në një test të caktuar. Natyrisht, X mund të marrë një nga tre vlerat: 0, 1, 2. Probabiliteti që një "stemë" të shfaqet gjatë një hedhjeje të një monedhe është p = 0.5, dhe probabiliteti që "bishti" të bjerë është q = 1. - p = 0,5. Ne gjejmë probabilitetet me të cilat ndryshorja e rastësishme merr vlerat e listuara duke përdorur formulën e Bernoulli:

Ligjin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme X e shkruajmë në formën e një tabele shpërndarjeje

Kontrolli:

Disa ligje të shpërndarjes së ndryshoreve diskrete të rastit, të hasura shpesh në zgjidhjen e problemeve të ndryshme, kanë marrë emra të veçantë: shpërndarja gjeometrike, shpërndarja hipergjeometrike, shpërndarja binomiale, shpërndarja Poisson etj.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete mund të specifikohet duke përdorur funksionin e shpërndarjes F(x), i cili është i barabartë me probabilitetin që ndryshorja e rastësishme X të marrë vlera në intervalin ????х?: F(x) = P(X

Funksioni F(x) është përcaktuar në të gjithë boshtin real dhe ka këto veti:

1) ? ? F(x) ? 1;

2) F(x) - funksion jo-zvogëlues;

3) F(??) = 0, F(+?) = 1;

4) F(b) - F(a) = P(a ? X< b) - вероятность того, что случайная величина Х примет значения на промежутке 2 =(1-2.3) 2 =1.69

2 =(2-2.3) 2 =0.09

2 =(5-2.3) 2 =7.29

Le të shkruajmë ligjin e shpërndarjes së devijimit në katror:

Zgjidhje: Le të gjejmë pritshmërinë matematikore M(x):

M(x)=2*0.1+3*0.6+5*0.3=3.5

Le të shkruajmë ligjin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme X 2

Le të gjejmë pritshmërinë matematikore M(x 2):

M(x 2)=4*0.1+9*0.6+25*0.3=13.5

Varianca e kërkuar është D(x)=M(x 2)- 2 =13.3-(3.5) 2 =1.05

Vetitë e dispersionit

1. Varianca e vlerës konstante C është zero: D(C)=0

2. Faktori konstant mund të nxirret nga shenja e dispersionit duke e kuadruar atë. D(Cx)=C 2 D(x)

3. Varianca e shumës së variablave të pavarur të rastit është e barabartë me shumën e variancave të këtyre variablave. D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)

4. Varianca e shpërndarjes binomiale është e barabartë me produktin e numrit të provave dhe probabilitetit të ndodhjes dhe mosndodhjes së një ngjarjeje në një provë D(X)=npq.

Për të vlerësuar shpërndarjen e vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme rreth vlerës mesatare të saj, përveç shpërndarjes, përdoren edhe disa karakteristika të tjera. Këto përfshijnë devijimin standard.

PËRKUFIZIM. Devijimi standard i një ndryshoreje të rastësishme X është rrënja katrore e variancës:

Shembulli 8. Ndryshorja e rastësishme X jepet nga ligji i shpërndarjes

Gjeni devijimin standard të y(x)

Zgjidhja: Le të gjejmë pritshmërinë matematikore të X:

M(x)=2*0.1+3*0.4+10*0.5=6.4

Le të gjejmë pritshmërinë matematikore të X 2:

M(x 2)=2 2 *0.1+3 2 *0.4+10 2 *0.5=54

Le të gjejmë variancën:

D(x)=M(x 2)=M(x2)- 2 =54-6.4 2 =13.04

Devijimi standard i kërkuar

y(X)=vD(X)=v13.04?3.61

Teorema. Devijimi standard i shumës së një numri të fundëm të ndryshoreve të rastit reciprokisht të pavarura është i barabartë me rrënjën katrore të shumës së katrorëve të devijimeve standarde të këtyre variablave:

Variabla të rastësishme

Koncepti i një ndryshoreje të rastësishme është thelbësor në teorinë e probabilitetit dhe aplikimet e saj. Variablat e rastësishëm, për shembull, janë numri i pikave të marra gjatë një hedhjeje të vetme të një zari, numri i atomeve të radiumit të prishur gjatë një periudhe të caktuar kohe, numri i thirrjeve në një central telefonik për një periudhë të caktuar kohore, devijimi nga vlera nominale e një madhësie të caktuar të një pjese me një proces teknologjik të rregulluar siç duhet etj.

Kështu, e rastit madhësiaështë një sasi e ndryshueshme që, si rezultat i eksperimentit, mund të marrë një ose një vlerë tjetër numerike.

Në vijim do të shqyrtojmë dy lloje të ndryshoreve të rastësishme - diskrete dhe të vazhdueshme.

1. Variabla të rastësishme diskrete

Konsideroni një ndryshore të rastësishme *, vlerat e mundshme të së cilës formojnë një sekuencë të fundme ose të pafundme numrash x1 , x2 , . .., xn, . .. . Le të jepet funksioni p(x), vlera e së cilës në çdo pikë x=xi(i=1,2,. ..) është e barabartë me probabilitetin që sasia të marrë vlerën xi.

Një ndryshore e tillë e rastësishme quhet diskrete (me ndërprerje). Funksioni p(x) thirrur me ligj shpërndarja probabilitetet e rastit sasive, ose shkurtimisht, me ligj shpërndarja. Ky funksion përcaktohet në pikat e sekuencës x1 , x2 , . .., xn, . .. . Meqenëse në secilin nga testet ndryshorja e rastësishme merr gjithmonë një vlerë nga diapazoni i ndryshimit të saj, atëherë

Shembull1. Një variabël i rastësishëm është numri i pikëve që shfaqen kur një kësulë hidhet një herë. Vlerat e mundshme janë numrat 1, 2, 3, 4, 5 dhe 6. Për më tepër, probabiliteti që ndonjë nga këto vlera të marrë është i njëjtë dhe i barabartë me 1/6. Cili do të jetë ligji i shpërndarjes? ( Zgjidhje)

Shembull2. Lëreni variablin e rastësishëm të jetë numri i ndodhjes së ngjarjes A në një test, dhe P(A)=p. Seti i vlerave të mundshme përbëhet nga 2 numra 0 dhe 1: =0 , nëse ngjarje A nuk ndodhi dhe =1 , nëse ngjarje A ndodhi. Kështu,

Le të supozojmë se është prodhuar n teste të pavarura, si rezultat i secilës prej të cilave një ngjarje mund ose nuk mund të ndodhë A. Le të ndodhë probabiliteti i një ngjarjeje A në çdo test është e barabartë me fq A në n teste të pavarura. Gama e ndryshimit përbëhet nga të gjithë numrat e plotë nga 0 përpara n përfshirëse. Ligji i shpërndarjes së probabilitetit p(m) përcaktohet nga formula e Bernoulli (13"):

Ligji i shpërndarjes së probabilitetit sipas formulës së Bernulit shpesh quhet binom, sepse Pn(m) përfaqëson m mandati i zgjerimit binomial.

Lëreni një ndryshore të rastësishme të marrë çdo vlerë të plotë jo-negative, dhe

ku është një konstante pozitive. Në këtë rast, ndryshorja e rastësishme thuhet se shpërndahet ligji Poisson, Vini re se kur k=0 duhet vënë 0!=1 .

Siç e dimë, për një numër të madh n probabiliteti i pavarur i testit Pn(m) fyese m herë ngjarjet Aështë më e përshtatshme të gjesh jo me formulën e Bernoulli-t, por me formulën e Laplace-it [shih. formula (15)]. Megjithatë, kjo e fundit jep gabime të mëdha me një probabilitet të ulët R ndodhja e një ngjarjeje A në një test. Në këtë rast, për të llogaritur probabilitetin Pn(m)Është i përshtatshëm për të përdorur formulën Poisson, në të cilën duhet të vendosim.

Formula e Poisson-it mund të merret si një rast kufizues i formulës së Bernoulli me një rritje të pakufizuar në numrin e testeve n dhe ndërsa probabiliteti i afrohet zeros.

Shembull3. Një grumbull prej 1000 pjesësh mbërriti në fabrikë. Probabiliteti që pjesa të jetë me defekt është 0.001. Sa është probabiliteti që midis pjesëve të mbërritura të ketë 5 defekte? ( Zgjidhje)

Shpërndarja Poisson shpesh gjendet në probleme të tjera. Kështu, për shembull, nëse një operator telefonik merr mesatarisht në një orë N thirrjet, si mund të tregohet, probabiliteti Р(k)çfarë do të marrë ajo në një minutë k thërret, shprehet me formulën Poisson, nëse vendosim.

Nëse vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme formojnë një sekuencë të fundme x1 , x2 , . .., xn, atëherë ligji i shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme specifikohet në formën e tabelës së mëposhtme, në të cilën

Kjo tabelë quhet afër shpërndarja ndryshore e rastësishme. Është e qartë se funksioni p(x) mund të paraqitet si grafik. Për ta bërë këtë, ne marrim një sistem koordinativ drejtkëndor në aeroplan.

Ne do të vizatojmë vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme përgjatë boshtit horizontal dhe vlerat e funksionit përgjatë boshtit vertikal. Grafiku i një funksioni p(x) treguar në Fig. 2. Nëse i lidhni pikat e këtij grafiku me segmente drejtvizore, do të merrni një figurë të quajtur shumëkëndëshi shpërndarja.

Shembull4. Lëreni ngjarjen A-- shfaqja e një pike gjatë hedhjes së një kërmale; P(A)=1/6. Konsideroni një ndryshore të rastësishme - numrin e dukurive të një ngjarjeje A me dhjetë hedhje zare. Vlerat e funksionit p(x)(ligji i shpërndarjes) jepen në tabelën e mëposhtme:

Probabilitetet p(xi) llogaritur duke përdorur formulën e Bernulit në n=10. Për x>6 praktikisht janë të barabarta me zero. Grafiku i funksionit p(x) është paraqitur në Fig. 3.

Funksioni i shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme dhe vetitë e saj

Merrni parasysh funksionin F(x), të përcaktuara në të gjithë vijën numerike si më poshtë: për secilën X kuptimi F(x)është e barabartë me probabilitetin që një ndryshore e rastësishme diskrete të marrë një vlerë më të vogël se X, d.m.th.

Ky funksion quhet funksionin shpërndarja probabilitetet, ose shkurtimisht, funksionin shpërndarja.

Shembull1. Gjeni funksionin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme të dhënë në shembullin 1, hapi 1. ( Zgjidhje)

Shembull2. Gjeni funksionin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme të dhënë në shembullin 2, hapi 1. ( Zgjidhje)

Njohja e funksionit të shpërndarjes F(x), është e lehtë të gjesh probabilitetin që një ndryshore e rastësishme të plotësojë pabarazitë.

Konsideroni ngjarjen që një ndryshore e rastësishme do të marrë një vlerë që është më e vogël. Kjo ngjarje ndahet në shumën e dy ngjarjeve të papajtueshme: 1) ndryshorja e rastësishme merr vlera më të vogla, d.m.th. ; 2) ndryshorja e rastësishme merr vlera që plotësojnë pabarazitë. Duke përdorur aksiomën e mbledhjes, marrim

Por sipas përkufizimit të funksionit të shpërndarjes F(x)[cm. formula (18)], kemi

prandaj,

Kështu, probabiliteti godet diskrete e rastit sasive V intervali e barabartë me rritje funksione shpërndarja në kjo intervali.

Le të shqyrtojmëbazëVetitëfunksioneshpërndarjet.

1°. Funksioni shpërndarja është jo në rënie.

Në fakt, le< . Так как вероятность любого события неотрицательна, то. Поэтому из формулы (19) следует, что

2°. Vlerat funksione shpërndarja kënaq pabarazitë .

Kjo pronë rrjedh nga fakti se F(x) përcaktuar si probabilitet [shih formula (18)]. Është e qartë se * dhe.

3°. Probabiliteti Togo, Çfarë diskrete e rastit magnitudë do të pranojë një nga të mundshme vlerat xi, e barabartë me galop funksione shpërndarja V pikë xi.

Në të vërtetë, le xi- vlera e marrë nga ndryshorja e rastësishme diskrete, dhe. Duke supozuar në formulën (19), marrim

Në kufirin në, në vend të probabilitetit që një ndryshore e rastësishme të bjerë në një interval, marrim probabilitetin që vlera të marrë një vlerë të caktuar xi:

Nga ana tjetër, marrim, d.m.th. kufiri i një funksioni F(x) në të djathtë, sepse Prandaj, në kufi formula (20) merr formën

ato. kuptimi p(xi) e barabartë me kërcimin e funksionit** xi. Kjo veti është ilustruar qartë në Fig. 4 dhe fig. 5.

Variabla të rastësishme të vazhdueshme

Përveç variablave diskrete të rastësishme, vlerat e mundshme të të cilave formojnë një sekuencë të fundme ose të pafundme numrash që nuk plotësojnë plotësisht asnjë interval, shpesh ka variabla të rastësishëm, vlerat e mundshme të të cilave formojnë një interval të caktuar. Një shembull i një ndryshoreje të tillë të rastësishme është devijimi nga vlera nominale e një madhësie të caktuar të një pjese me një proces teknologjik të rregulluar siç duhet. Ky lloj variablash të rastësishëm nuk mund të specifikohet duke përdorur ligjin e shpërndarjes së probabilitetit p(x). Megjithatë, ato mund të specifikohen duke përdorur funksionin e shpërndarjes së probabilitetit F(x). Ky funksion përcaktohet saktësisht në të njëjtën mënyrë si në rastin e një ndryshoreje të rastësishme diskrete:

Kështu, edhe këtu funksioni F(x) të përcaktuara në të gjithë vijën numerike dhe vlerën e saj në pikë Xështë e barabartë me probabilitetin që ndryshorja e rastësishme të marrë një vlerë më të vogël se X.

Formula (19) dhe vetitë 1° dhe 2° janë të vlefshme për funksionin e shpërndarjes së çdo ndryshoreje të rastësishme. Prova kryhet në mënyrë të ngjashme me rastin e një sasie diskrete.

Ndryshorja e rastësishme quhet të vazhdueshme, nëse për të ka një funksion të vazhdueshëm jo-negativ pjesë-pjesë* që kënaq për çdo vlerë x barazisë

Funksioni thirret dendësia shpërndarja probabilitetet, ose shkurtimisht, dendësia shpërndarja. Nëse x 1 2 , pastaj bazuar në formulat (20) dhe (22) kemi

Bazuar në kuptimin gjeometrik të integralit si zonë, mund të themi se probabiliteti i plotësimit të pabarazive është i barabartë me sipërfaqen e një trapezi lakor me bazë. , i kufizuar sipër nga kurba (Fig. 6).

Meqenëse, dhe bazuar në formulën (22)

Duke përdorur formulën (22), gjejmë si derivat të integralit në lidhje me ndryshoren e kufirit të sipërm, duke e konsideruar densitetin e shpërndarjes si të vazhdueshme**:

Vini re se për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme funksioni i shpërndarjes F(x) të vazhdueshme në çdo moment X, ku funksioni është i vazhdueshëm. Kjo rrjedh nga fakti se F(x)është i diferencueshëm në këto pika.

Bazuar në formulën (23), duke supozuar x 1 =x, ne kemi

Për shkak të vazhdimësisë së funksionit F(x) ne e marrim atë

Prandaj

Kështu, probabiliteti Togo, Çfarë të vazhdueshme e rastit magnitudë Ndoshta pranoj ndonjë veçuar kuptimi X, e barabartë me zero.

Nga kjo rrjedh se ngjarjet që konsistojnë në përmbushjen e secilës prej pabarazive

Ata kanë të njëjtën probabilitet, d.m.th.

Në fakt, për shembull,

Komentoni. Siç e dimë, nëse një ngjarje është e pamundur, atëherë probabiliteti i ndodhjes së saj është zero. Me përkufizimin klasik të probabilitetit, kur numri i rezultateve të testit është i fundëm, vlen edhe propozimi i kundërt: nëse probabiliteti i një ngjarjeje është zero, atëherë ngjarja është e pamundur, pasi në këtë rast asnjë nga rezultatet e testit nuk e favorizon atë. Në rastin e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme, numri i vlerave të tij të mundshme është i pafund. Probabiliteti që kjo sasi të marrë një vlerë specifike x 1 siç e pamë, është e barabartë me zero. Megjithatë, nga kjo nuk rezulton se kjo ngjarje është e pamundur, pasi si rezultat i provës ndryshorja e rastësishme, në veçanti, mund të marrë vlerën x 1 . Prandaj, në rastin e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme, ka kuptim të flasim për probabilitetin që ndryshorja e rastësishme të bjerë në interval, dhe jo për probabilitetin që ajo të marrë një vlerë specifike.

Kështu, për shembull, kur bëjmë një rul, nuk na intereson probabiliteti që diametri i tij të jetë i barabartë me vlerën nominale. Ajo që është e rëndësishme për ne është probabiliteti që diametri i rulit të jetë brenda intervalit të tolerancës.

Shembull. Dendësia e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme jepet si më poshtë:

Grafiku i funksionit është paraqitur në Fig. 7. Përcaktoni probabilitetin që një ndryshore e rastësishme të marrë një vlerë që plotëson pabarazitë Gjeni funksionin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të dhënë. ( Zgjidhje)

Dy paragrafët e ardhshëm i kushtohen shpërndarjeve të variablave të rastësishme të vazhdueshme që hasen shpesh në praktikë - shpërndarje uniforme dhe normale.

* Një funksion quhet i vazhdueshëm pjesë-pjesë në të gjithë vijën numerike nëse është ose i vazhdueshëm në ndonjë segment ose ka një numër të kufizuar pikash ndërprerje të llojit të parë.

** Rregulli për diferencimin e një integrali me një kufi të sipërm të ndryshueshëm, i nxjerrë në rastin e një kufiri të poshtëm të fundëm, mbetet i vlefshëm për integralet me një kufi të poshtëm të pafund. Me të vërtetë,

Që nga integrali

ka një vlerë konstante.

Variabla të rastësishme

Variablat e rastësishëm nënkuptojnë karakteristikat numerike të ngjarjeve të rastësishme. Me fjalë të tjera, variablat e rastësishëm janë rezultate numerike të eksperimenteve, vlerat e të cilave nuk mund të parashikohen paraprakisht (në një kohë të caktuar).

Për shembull, vlerat e mëposhtme mund të konsiderohen të rastësishme:

2. Përqindja e djemve midis fëmijëve të lindur në një maternitet të caktuar në një ditë të caktuar.

3. Numri dhe sipërfaqja e njollave të diellit të dukshme në një observator të caktuar gjatë një dite të caktuar.

4. Numri i studentëve që u vonuan në këtë leksion.

5. Kursi i këmbimit të dollarit në bursë (të themi, në MICEX), megjithëse mund të mos jetë aq "i rastësishëm" sa u duket njerëzve të zakonshëm.

6. Numri i dështimeve të pajisjeve në një ditë të caktuar në një ndërmarrje të caktuar.

Variablat e rastësishëm ndahen në diskrete dhe të vazhdueshme, në varësi të faktit nëse grupi i të gjitha vlerave të mundshme të karakteristikës përkatëse është diskrete ose i vazhdueshëm.

Kjo ndarje është mjaft arbitrare, por e dobishme kur zgjedh metoda adekuate kërkimore. Nëse numri i vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme është i fundëm ose i krahasueshëm me grupin e të gjithë numrave natyrorë (d.m.th. mund të rinumërohet), atëherë ndryshorja e rastësishme PDF e krijuar me versionin e provës FinePrint pdfFactory http://www.fineprint.com quhet diskrete. Përndryshe, ai quhet i vazhdueshëm, edhe pse në fakt supozohet në mënyrë implicite se variablat e rastësishme në të vërtetë të vazhdueshme e marrin vlerën e tyre në një interval të thjeshtë numerik (segment, interval). Për shembull, variablat e rastësishëm të dhëna më sipër nën numrat 4 dhe 6 do të jenë diskrete dhe të vazhdueshme - nën numrat 1 dhe 3 (zonat e pikave). Ndonjëherë një ndryshore e rastësishme ka një karakter të përzier. I tillë, për shembull, është kursi i këmbimit të dollarit (ose ndonjë monedhë tjetër), e cila në fakt merr vetëm një grup diskrete vlerash, por në të njëjtën kohë rezulton të jetë e përshtatshme të merret parasysh se grupi i vlerave të tij është "i vazhdueshëm".

Variablat e rastësishëm mund të specifikohen në mënyra të ndryshme.

Ndryshoret diskrete të rastësishme zakonisht specifikohen nga ligji i tyre i shpërndarjes. Këtu, çdo vlerë e mundshme x1, x2,... e një ndryshoreje të rastësishme X shoqërohet me probabilitetin p1,p2,... të kësaj vlere. Rezultati është një tabelë e përbërë nga dy rreshta:

Ky është ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme.

Variablat e rastësishëm të vazhdueshëm nuk mund të specifikohen nga një ligj i shpërndarjes, pasi nga vetë përkufizimi i tyre vlerat e tyre nuk mund të rinumërohen dhe për këtë arsye vendosja e tyre në formën e një tabele përjashtohet këtu. Sidoqoftë, për variablat e rastësishme të vazhdueshme ekziston një mënyrë tjetër për të specifikuar (e zbatueshme, meqë ra fjala, edhe për variablat diskrete) - ky është funksioni i shpërndarjes:

e barabartë me probabilitetin e ngjarjes, që është se ndryshorja e rastësishme X do të marrë një vlerë më të vogël se një numër i dhënë x.

Shpesh, në vend të funksionit të shpërndarjes, është e përshtatshme të përdoret një funksion tjetër - dendësia f(x) e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme X. Nganjëherë quhet edhe funksioni i shpërndarjes diferenciale, dhe F(x) në këtë terminologji është quhet funksioni kumulativ i shpërndarjes. Këto dy funksione përcaktojnë njëri-tjetrin duke përdorur formulat e mëposhtme:

Nëse ndryshorja e rastësishme është diskrete, atëherë për të ka kuptim edhe koncepti i një funksioni shpërndarjeje; në këtë rast, grafiku i funksionit të shpërndarjes përbëhet nga seksione horizontale, secila prej të cilave ndodhet mbi të mëparshmen me një sasi të barabartë me pi. .

Shembuj të rëndësishëm të sasive diskrete janë, për shembull, sasitë e shpërndara binomiale (shpërndarja Bernoulli), për të cilat PDF u krijua me versionin e provës FinePrint pdfFactory http://www.fineprint.com

n pk(1-p)n-k= !()!

ku p është probabiliteti i një ngjarjeje individuale (nganjëherë quhet në mënyrë konvencionale "probabiliteti i suksesit"). Kështu shpërndahen rezultatet e një sërë testesh homogjene sekuenciale (skema Bernoulli). Rasti kufizues i shpërndarjes binomiale (me rritjen e numrit të provave) është shpërndarja Poisson, për të cilën

pk=?k/k!exp(-?),

ku?>0 është një parametër pozitiv.

Shembulli më i thjeshtë i një shpërndarjeje të vazhdueshme është shpërndarja uniforme. Ka një densitet konstant të shpërndarjes në segment të barabartë me 1/(b-a), dhe jashtë këtij segmenti dendësia është 0.

Një shembull jashtëzakonisht i rëndësishëm i një shpërndarjeje të vazhdueshme është shpërndarja normale. Përcaktohet nga dy parametra m dhe? (pritshmëria matematikore dhe devijimi standard - shih më poshtë), densiteti i shpërndarjes së tij ka formën:

1 ekspres(-(x-m)2/2?2)

Roli themelor i shpërndarjes normale në teorinë e probabilitetit shpjegohet me faktin se, për shkak të Teoremës së Kufirit Qendror (CLT), shuma e një numri të madh të ndryshoreve të rastësishme që janë të pavarura në çift (shih më poshtë për konceptin e pavarësisë së rastësisë variabla) ose të varur dobët rezulton të jetë përafërsisht e shpërndarë sipas ligjit normal. Nga kjo rrjedh se një ndryshore e rastësishme, rastësia e së cilës shkaktohet nga imponimi i një numri të madh faktorësh të rastit të varur dobët, mund të konsiderohet afërsisht si i shpërndarë normalisht (pavarësisht se si janë shpërndarë faktorët që e përbëjnë atë). Me fjalë të tjera, ligji i shpërndarjes normale është shumë universal.

Ekzistojnë disa karakteristika numerike që janë të përshtatshme për t'u përdorur gjatë studimit të ndryshoreve të rastësishme. Ndër to veçojmë pritshmërinë matematikore

e barabartë me vlerën mesatare të ndryshores së rastësishme, variancë

D(X)=M(X-M(X))2,

e barabartë me pritjen matematikore të devijimit në katror të ndryshores së rastësishme nga vlera mesatare, dhe një tjetër, e përshtatshme në praktikë, vlerë shtesë (me të njëjtin dimension me variablin e rastësishëm origjinal):

quhet devijimi standard. Ne do të supozojmë (pa e specifikuar këtë më tej) se të gjitha integralet e shkruara ekzistojnë (d.m.th., konvergojnë në të gjithë boshtin numerik). Siç dihet, dispersioni dhe devijimi standard karakterizojnë shkallën e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme rreth vlerës së saj mesatare. Sa më e vogël të jetë varianca PDF e krijuar me versionin e provës FinePrint pdfFactory http://www.fineprint.com, aq më afër grupohen vlerat e ndryshores së rastësishme rreth vlerës mesatare të saj.

Për shembull, vlera e pritur për një shpërndarje Poisson është ?, për një shpërndarje uniforme është e barabartë me (a+b)/2 dhe për një shpërndarje normale është e barabartë me m. Varianca për shpërndarjen Poisson është e barabartë me?, për shpërndarjen uniforme (b-a) 2/12, dhe për shpërndarjen normale është e barabartë me?2. Në vijim, do të përdoren vetitë e mëposhtme të pritjes dhe shpërndarjes matematikore:

1. M(X+Y)= M(X)+M(Y).

3. D(cX)=c2D(X), ku c është një numër konstant arbitrar.

4. D(X+A)=D(A) për një vlerë arbitrare konstante (jo të rastësishme) A.

Ndryshorja e rastësishme?=U-MU quhet e përqendruar. Nga vetia 1 del se M?=M(U-MU)=M(U)-M(U)=0, pra vlera mesatare e tij është 0 (kështu lidhet emri i tij). Për më tepër, në bazë të vetive 4 kemi D(?)=D(U).

Ekziston gjithashtu një lidhje e dobishme që është e përshtatshme për t'u përdorur në praktikë për llogaritjen e variancës dhe sasive përkatëse:

5. D(X)=M(X2)-M(X)2

Variablat e rastësishëm X dhe Y quhen të pavarur nëse për vlerat e tyre arbitrare x dhe y, përkatësisht, ngjarjet dhe janë të pavarura. Për shembull, rezultatet e matjes së tensionit në rrjetin elektrik dhe rritja e inxhinierit kryesor të energjisë të ndërmarrjes do të jenë të pavarura (me sa duket...). Por fuqia e këtij rrjeti elektrik dhe paga e inxhinierit kryesor të energjisë në ndërmarrje nuk mund të konsiderohen gjithmonë të pavarura.

Nëse ndryshoret e rastësishme X dhe Y janë të pavarura, atëherë vlejnë edhe vetitë e mëposhtme (të cilat mund të mos vlejnë për variablat e rastësishme arbitrare):

5. M(XY)=M(X)M(Y).

6. D(X+Y)=D(X)+D(Y).

Krahas ndryshoreve individuale të rastit X,Y,..., studiohen edhe sistemet e variablave të rastit. Për shembull, një palë (X, Y) ndryshoresh të rastësishme mund të trajtohen si një ndryshore e re e rastësishme, vlerat e së cilës janë vektorë dydimensionale. Sistemet e një numri më të madh të ndryshoreve të rastësishme, të quajtura ndryshore të rastësishme shumëdimensionale, mund të konsiderohen në mënyrë të ngjashme. Sistemet e sasive të këtij lloji specifikohen edhe nga funksioni i tyre i shpërndarjes. Për shembull, për një sistem me dy ndryshore të rastësishme ky funksion ka formën

F(x,y)=P,

domethënë, është e barabartë me probabilitetin e ngjarjes që ndryshorja e rastësishme X të marrë një vlerë më të vogël se një numër i dhënë x dhe ndryshorja e rastësishme Y të marrë një vlerë më të vogël se një numër i caktuar y. Ky funksion quhet edhe funksioni i përbashkët i shpërndarjes së variablave të rastësishëm X dhe Y. Ju gjithashtu mund të merrni parasysh vektorin mesatar - një analog natyror i pritjes matematikore, por në vend të dispersionit duhet të studioni disa karakteristika numerike të quajtura momente të rendit të dytë. Këto janë, së pari, dy varianca të pjesshme DX dhe DY PDF të krijuara me versionin e provës FinePrint pdfFactory http://www.fineprint.com të variablave të rastësishëm X dhe Y, të konsideruara veçmas dhe, së dyti, momenti i kovariancës, i diskutuar më në detaje më poshtë .

Nëse ndryshoret e rastësishme X dhe Y janë të pavarura, atëherë

F(x,y)=FX(x)FY(y)

Produkti i funksioneve të shpërndarjes së variablave të rastësishëm X dhe Y dhe për këtë arsye studimi i një çifti ndryshoresh të rastësishme të pavarura reduktohet kryesisht në studimin e thjeshtë të X dhe Y veç e veç.

Variabla të rastësishme

Më sipër kemi konsideruar eksperimente, rezultatet e të cilave janë ngjarje të rastësishme. Megjithatë, shpesh ekziston nevoja për të paraqitur në mënyrë sasiore rezultatet e një eksperimenti në formën e një sasie të caktuar, e cila quhet ndryshore e rastësishme. Një ndryshore e rastësishme është objekti i dytë (pas një ngjarjeje të rastësishme) objekti kryesor i studimit në teorinë e probabilitetit dhe ofron një mënyrë më të përgjithshme për të përshkruar një përvojë me një rezultat të rastësishëm sesa një koleksion ngjarjesh të rastësishme.

Kur shqyrtonim eksperimentet me rezultate të rastësishme, ne kishim të bënim tashmë me ndryshore të rastësishme. Kështu, numri i sukseseve në një seri provash është një shembull i një ndryshoreje të rastësishme. Shembuj të tjerë të variablave të rastësishëm janë: numri i thirrjeve në një central telefonik për njësi të kohës; koha e pritjes për thirrjen tjetër; numri i grimcave me një energji të caktuar në sistemet e grimcave të konsideruara në fizikën statistikore; temperatura mesatare ditore në një zonë të caktuar etj.

Një ndryshore e rastësishme karakterizohet nga fakti se është e pamundur të parashikohet me saktësi vlera që do të marrë, por nga ana tjetër, zakonisht dihet grupi i vlerave të tij të mundshme. Pra, për numrin e sukseseve në një sekuencë provash, ky grup është i kufizuar, pasi numri i sukseseve mund të marrë vlera. Grupi i vlerave të një ndryshoreje të rastësishme mund të përkojë me gjysmë-boshtin real, si në rastin e kohës së pritjes, etj.

Le të shqyrtojmë shembuj të eksperimenteve me një rezultat të rastësishëm, për përshkrimin e të cilave zakonisht përdoren ngjarje të rastësishme dhe të prezantojmë një përshkrim ekuivalent duke specifikuar një ndryshore të rastësishme.

1). Le të jetë rezultati i përvojës një ngjarje ose ngjarje. Atëherë ky eksperiment mund të shoqërohet me një ndryshore të rastësishme që merr dy vlera, për shembull, dhe me probabilitete dhe, dhe barazitë ndodhin: dhe. Kështu, një përvojë karakterizohet nga dy rezultate me probabilitete dhe, ose e njëjta përvojë karakterizohet nga një ndryshore e rastësishme që merr dy vlera dhe me probabilitete dhe.

2). Konsideroni eksperimentin e hedhjes së një trupi. Këtu, rezultati i eksperimentit mund të jetë një nga ngjarjet, ku - shfaqja e një ane me një numër. Probabilitetet. Le të prezantojmë një përshkrim ekuivalent të këtij eksperimenti duke përdorur një ndryshore të rastësishme që mund të marrë vlera me probabilitete.

3). Një sekuencë provash të pavarura karakterizohet nga një grup i plotë ngjarjesh të papajtueshme, ku është një ngjarje që konsiston në shfaqjen e suksesit në një seri sprovash; dhe probabiliteti i një ngjarjeje përcaktohet nga formula e Bernoulli, d.m.th. Këtu mund të futni një variabël të rastësishëm - numrin e sukseseve, i cili merr vlera me probabilitete. Kështu, një sekuencë provash të pavarura karakterizohet nga ngjarje të rastësishme me probabilitetet e tyre ose një ndryshore e rastësishme me probabilitetet e asaj që merr vlera.

4). Megjithatë, jo për çdo eksperiment me një rezultat të rastësishëm ekziston një korrespondencë kaq e thjeshtë midis një ndryshoreje të rastësishme dhe një grupi ngjarjesh të rastësishme. Për shembull, merrni parasysh një eksperiment në të cilin një pikë hidhet rastësisht në një segment. Këtu është e natyrshme të prezantohet një ndryshore e rastësishme - koordinata në segmentin ku bie pika. Kështu, mund të flasim për një ngjarje të rastësishme, ku është numri i. Megjithatë, probabiliteti i kësaj ngjarje. Mund ta bëni ndryshe - ndani segmentin në një numër të fundëm segmentesh të ndarë dhe merrni parasysh ngjarjet e rastësishme që konsistojnë në faktin se një ndryshore e rastësishme merr vlera nga intervali. Atëherë probabilitetet janë sasi të fundme. Sidoqoftë, kjo metodë ka gjithashtu një pengesë të konsiderueshme, pasi segmentet zgjidhen në mënyrë arbitrare. Për të eliminuar këtë pengesë, merrni parasysh segmentet e formës ku variabla. Atëherë probabiliteti përkatës është funksion i argumentit. Kjo e ndërlikon përshkrimin matematikor të ndryshores së rastësishme, por në të njëjtën kohë përshkrimi (29.1) bëhet unik dhe eliminohet paqartësia në zgjedhjen e segmenteve.

Për secilin nga shembujt e shqyrtuar, është e lehtë të përcaktohet një hapësirë ​​probabiliteti, ku është hapësira e ngjarjeve elementare, është algjebra e ngjarjeve (nëngrupeve) dhe është probabiliteti i përcaktuar për cilindo. Për shembull, në shembullin e fundit, - është algjebra e të gjitha segmenteve të përfshira në.

Shembujt e konsideruar çojnë në përkufizimin e mëposhtëm të një ndryshoreje të rastësishme.

Le të jetë një hapësirë ​​probabiliteti. Një ndryshore e rastësishme është një funksion real me një vlerë të vetme, i përcaktuar në, për të cilin grupi i ngjarjeve elementare të formës është një ngjarje (d.m.th., i përket) për çdo numër real.

Kështu, përkufizimi kërkon që për çdo real një grup, dhe ky kusht siguron që për secilin të përcaktohet probabiliteti i një ngjarjeje. Kjo ngjarje zakonisht shënohet me një hyrje më të shkurtër.

Funksioni i shpërndarjes së probabilitetit

Funksioni quhet funksioni i shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme.

Funksioni nganjëherë quhet shkurtimisht - funksioni i shpërndarjes, dhe gjithashtu - ligji integral i shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme. Një funksion është një karakteristikë e plotë e një ndryshoreje të rastësishme, domethënë është një përshkrim matematikor i të gjitha vetive të një ndryshoreje të rastësishme dhe nuk ka asnjë mënyrë më të detajuar për të përshkruar këto veti.

Le të vërejmë veçorinë e mëposhtme të rëndësishme të përkufizimit (30.1). Shpesh një funksion përcaktohet ndryshe:

Sipas (30.1), funksioni është i drejtë i vazhdueshëm. Kjo çështje do të diskutohet më në detaje më poshtë. Nëse përdorim përkufizimin (30.2), atëherë - është i vazhdueshëm në të majtë, që është pasojë e aplikimit të pabarazisë strikte në relacionin (30.2). Funksionet (30.1) dhe (30.2) janë përshkrime ekuivalente të një ndryshoreje të rastësishme, pasi nuk ka rëndësi se cili përkufizim përdoret si gjatë studimit të çështjeve teorike ashtu edhe gjatë zgjidhjes së problemeve. Për saktësi, në atë që vijon do të përdorim vetëm përkufizimin (30.1).

Le të shqyrtojmë një shembull të ndërtimit të një grafiku të një funksioni. Lëreni variablin e rastësishëm të marrë vlera, me probabilitete dhe. Kështu, kjo ndryshore e rastësishme merr vlera të tjera përveç atyre të treguara me probabilitet zero:, për çdo,. Ose siç thonë ata, një ndryshore e rastësishme nuk mund të marrë vlera të tjera se. Le të jetë me siguri. Le të gjejmë vlerat e funksionit për intervalet: 1), 2), 3), 4), 5), 6), 7). Në intervalin e parë, pra funksioni i shpërndarjes. 2). Nese atehere. Ngjarje të dukshme të rastësishme dhe të papajtueshme, pra, sipas formulës për shtimin e probabiliteteve. Sipas kushtit, ngjarja është e pamundur dhe, a. Kjo është arsyeja pse. 3). Le të jetë atëherë. Këtu është termi i parë, dhe i dyti, pasi ngjarja është e pamundur. Kështu, për këdo që plotëson kushtin. 4). Le të jetë atëherë. 5). Nese atehere. 6) Kur kemi. 7) Nëse, atëherë. Rezultatet e llogaritjes janë paraqitur në Fig. 30.1 grafiku i një funksioni. Në pikat e ndërprerjes, tregohet vazhdimësia e funksionit në të djathtë.

Vetitë themelore të funksionit të shpërndarjes së probabilitetit

Le të shqyrtojmë vetitë kryesore të funksionit të shpërndarjes, të cilat rrjedhin drejtpërdrejt nga përkufizimi:

1. Le të prezantojmë shënimin:. Pastaj rrjedh nga përkufizimi. Këtu shprehja konsiderohet si një ngjarje e pamundur me probabilitet zero.

2. Lëreni. Pastaj rrjedh nga përkufizimi i funksionit. Një ngjarje e rastësishme është e besueshme dhe probabiliteti i saj është i barabartë me një.

3. Probabiliteti i një ngjarjeje të rastësishme që konsiston në faktin që një ndryshore e rastësishme merr një vlerë nga intervali në përcaktohet përmes funksionit nga barazia e mëposhtme

Për të vërtetuar këtë barazi, merrni parasysh relacionin.

Ngjarjet dhe janë të papajtueshme, prandaj, sipas formulës për mbledhjen e probabiliteteve nga (31.3) rrjedh se dhe përkon me formulën (31.2), pasi dhe.

4. Funksioni nuk është në rënie. Për provë, le të shohim. Në këtë rast, barazia (31.2) është e vlefshme. Ana e majtë e saj është sepse probabiliteti merr vlera nga intervali. Prandaj, ana e djathtë e barazisë (31.2) është jo negative:, ose. Kjo barazi fitohet me kushtin, pra, është një funksion jo-zvogëlues.

5. Funksioni është i drejtë i vazhdueshëm në çdo pikë, d.m.th.

ku është ndonjë sekuencë që priret djathtas, d.m.th. Dhe.

Për ta vërtetuar këtë, le të paraqesim funksionin si:

Tani, bazuar në aksiomën e aditivitetit të numërueshëm të probabilitetit, shprehja në kllapa kaçurrela është e barabartë, duke vërtetuar kështu vazhdimësinë e duhur të funksionit.

Kështu, çdo funksion i shpërndarjes së probabilitetit ka vetitë 1-5. Deklarata e kundërt është gjithashtu e vërtetë: nëse plotëson kushtet 1-5, atëherë mund të konsiderohet si funksion i shpërndarjes së disa ndryshoreve të rastësishme.

Funksioni i shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme diskrete

Një ndryshore e rastësishme quhet diskrete nëse grupi i vlerave të tij është i fundëm ose i numërueshëm.

Për një përshkrim të plotë probabilistik të një ndryshoreje të rastësishme diskrete që merr vlera, mjafton të specifikohen probabilitetet që ndryshorja e rastësishme të marrë një vlerë. Nëse jepen dhe, atëherë funksioni i shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme diskrete mund të përfaqësohet si:

Këtu përmbledhja kryhet mbi të gjithë indekset që plotësojnë kushtin.

Funksioni i shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje diskrete të rastësishme ndonjëherë përfaqësohet përmes të ashtuquajturit funksion kërcimi në njësi.

Në këtë rast, ajo merr formën nëse ndryshorja e rastësishme merr një grup vlerash të fundme, dhe kufiri i sipërm i mbledhjes në (32.4) vendoset të jetë i barabartë nëse ndryshorja e rastësishme merr një grup vlerash të numërueshme.

Një shembull i ndërtimit të një grafiku të funksioneve të shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme diskrete është konsideruar në paragrafin 30.

Dendësia e shpërndarjes së probabilitetit

Le të ketë një ndryshore e rastësishme një funksion të shpërndarjes së probabilitetit të diferencueshëm, atëherë funksioni quhet densiteti i shpërndarjes së probabilitetit (ose densiteti i probabilitetit) të ndryshores së rastësishme, dhe ndryshorja e rastësishme quhet ndryshore e vazhdueshme e rastësishme.

Le të shqyrtojmë vetitë themelore të densitetit të probabilitetit.

Nga përkufizimi i derivatit barazia vijon:

Sipas vetive të funksionit, vlen barazia. Prandaj (33.2) merr formën:

Kjo marrëdhënie shpjegon emrin e funksionit. Në të vërtetë, sipas (33.3), funksioni është probabiliteti për interval njësi në pikë, pasi. Kështu, densiteti i probabilitetit të përcaktuar nga relacioni (33.3) është i ngjashëm me përkufizimet e densitetit të sasive të tjera të njohura në fizikë, si dendësia e rrymës, dendësia e lëndës, dendësia e ngarkesës, etj.

2. Meqenëse është një funksion jo-zvogëlues, derivati ​​i tij është një funksion jo negativ:

3. Rrjedh nga (33.1), pasi. Pra, barazia është e vërtetë

4. Meqenëse, rrjedh nga relacioni (33.5)

Një barazi e quajtur kushti i normalizimit. Ana e majtë e saj është probabiliteti i një ngjarjeje të caktuar.

5. Le të vijojë nga (33.1)

Kjo marrëdhënie është e rëndësishme për aplikacionet sepse lejon llogaritjen e probabilitetit përmes funksionit të densitetit të probabilitetit ose përmes funksionit të shpërndarjes së probabilitetit. Nëse e vendosim, atëherë relacioni (33.6) rrjedh nga (33.7).

Në Fig. Figura 33.1 tregon shembuj të funksionit të shpërndarjes dhe grafikëve të densitetit të probabilitetit.

Vini re se densiteti i shpërndarjes së probabilitetit mund të ketë disa maksimum. Vlera e argumentit në të cilin dendësia ka një maksimum quhet mënyra e shpërndarjes së ndryshores së rastit. Nëse dendësia ka më shumë se një modalitet, ajo quhet multimodale.

Dendësia e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme diskrete

dendësia e probabilitetit diskrete të shpërndarjes

Lëreni variablin e rastësishëm të marrë vlera me probabilitete. Atëherë funksioni i shpërndarjes së probabilitetit të tij është ku është funksioni i kërcimit të njësisë. Dendësia e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme mund të përcaktohet nga funksioni i shpërndarjes së saj, duke marrë parasysh barazinë. Megjithatë, vështirësitë matematikore lindin në këtë rast për shkak të faktit se funksioni i kërcimit të njësisë i përfshirë në (34.1) ka një ndërprerje të llojit të parë në. Prandaj, nuk ka asnjë derivat të funksionit në një pikë.

Për të kapërcyer këtë kompleksitet, futet funksioni -. Funksioni i kërcimit të njësisë mund të përfaqësohet përmes funksionit - me barazinë e mëposhtme:

Pastaj formalisht, derivati ​​dhe densiteti i probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme diskrete përcaktohen nga relacioni (34.1) si derivat i funksionit:

Funksioni (34.4) ka të gjitha vetitë e një densiteti probabiliteti. Le të shohim një shembull. Lëreni një ndryshore të rastësishme diskrete të marrë vlerat me probabilitete dhe le të,. Pastaj probabiliteti që një ndryshore e rastësishme të marrë një vlerë nga segmenti mund të llogaritet bazuar në vetitë e përgjithshme të densitetit duke përdorur formulën:

Këtu, meqenëse pika njëjës e funksionit të përcaktuar nga kushti ndodhet brenda fushës së integrimit në, dhe në pikën njëjës ndodhet jashtë fushës së integrimit. Kështu.

Për funksionin (34.4) plotësohet edhe kushti i normalizimit:

Vini re se në matematikë, shënimi i formës (34.4) konsiderohet i pasaktë (i pasaktë), dhe shënimi (34.2) konsiderohet i saktë. Kjo për faktin se - është një funksion me një argument zero, dhe thuhet se nuk ekziston. Nga ana tjetër, në (34.2) funksioni gjendet nën integralin. Për më tepër, ana e djathtë e (34.2) është një vlerë e fundme për cilindo, d.m.th. ekziston integrali i funksionit -. Përkundër kësaj, në fizikë, teknologji dhe aplikime të tjera të teorisë së probabilitetit, shpesh përdoret përfaqësimi i densitetit në formën (34.4), i cili, së pari, lejon që dikush të marrë rezultate të sakta duke përdorur vetitë - funksionet, dhe së dyti, ka një fizik të dukshëm interpretimi.

Shembuj të funksioneve të shpërndarjes së densitetit dhe probabilitetit

35.1. Një ndryshore e rastësishme thuhet se shpërndahet në mënyrë uniforme në një interval nëse densiteti i shpërndarjes së probabilitetit të saj

ku është numri i përcaktuar nga kushti i normalizimit:

Zëvendësimi i (35.1) në (35.2) çon në barazi, zgjidhja e së cilës ka formën:.

Funksioni i shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë në mënyrë uniforme mund të gjendet duke përdorur formulën (33.5), e cila përcakton përmes densitetit:

Në Fig. Figura 35.1 tregon grafikët e funksioneve dhe një ndryshore të rastësishme të shpërndarë në mënyrë uniforme.

35.2. Një ndryshore e rastësishme quhet normale (ose Gaussian) nëse densiteti i shpërndarjes së probabilitetit të saj është:

ku numrat quhen parametra funksioni. Kur funksioni merr vlerën e tij maksimale:. Parametri ka kuptimin e gjerësisë efektive. Përveç këtij interpretimi gjeometrik, parametrat kanë edhe një interpretim probabilistik, i cili do të diskutohet më vonë.

Nga (35.4) vijon shprehja për funksionin e shpërndarjes së probabilitetit

ku është funksioni Laplace. Në Fig. 35.2 tregon grafikët e funksioneve dhe një ndryshore normale të rastit. Shënimi përdoret shpesh për të treguar se një ndryshore e rastësishme ka një shpërndarje normale me parametra.

35.3. Një ndryshore e rastësishme ka një funksion të densitetit të probabilitetit Cauchy nëse

Kjo densitet korrespondon me funksionin e shpërndarjes

35.4. Një ndryshore e rastësishme thuhet se shpërndahet sipas një ligji eksponencial nëse densiteti i shpërndarjes së probabilitetit të tij ka formën:

Le të përcaktojmë funksionin e shpërndarjes së probabilitetit të tij. Kur rrjedh nga (35.8). Nese atehere

35.5. Shpërndarja e probabilitetit Rayleigh të një ndryshoreje të rastësishme përcaktohet nga një densitet i formës

Kjo densitet korrespondon me një funksion të shpërndarjes së probabilitetit në dhe të barabartë me at.

35.6. Le të shqyrtojmë shembuj të ndërtimit të funksionit të shpërndarjes dhe densitetit të një ndryshoreje të rastësishme diskrete. Lëreni variablin e rastësishëm të jetë numri i sukseseve në një sekuencë provash të pavarura. Pastaj ndryshorja e rastësishme merr vlera me një probabilitet të përcaktuar nga formula e Bernoulli:

ku janë probabilitetet e suksesit dhe dështimit në një eksperiment. Kështu, funksioni i shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme ka formën

ku është funksioni i kërcimit të njësisë. Prandaj dendësia e shpërndarjes:

ku është funksioni delta.

Variabla të rastit njëjës

Përveç variablave të rastësishme diskrete dhe të vazhdueshme, ekzistojnë edhe të ashtuquajturat ndryshore të rastësishme singulare. Këto ndryshore të rastësishme karakterizohen nga fakti se funksioni i tyre i shpërndarjes së probabilitetit është i vazhdueshëm, por pikat e rritjes formojnë një grup matjesh zero. Pika e rritjes së një funksioni është vlera e argumentit të tij e tillë që derivati.

Kështu, pothuajse kudo në fushën e përcaktimit të funksionit. Një funksion që plotëson këtë kusht quhet gjithashtu njëjës. Një shembull i një funksioni të shpërndarjes njëjës është kurba Cantor (Fig. 36.1), e cila është ndërtuar si më poshtë. Mbështetet mbi dhe mbi. Pastaj intervali ndahet në tre pjesë (segmente) të barabarta dhe vlera përcaktohet për segmentin e brendshëm - si gjysmë shuma e vlerave të përcaktuara tashmë në segmentet më të afërt djathtas dhe majtas. Në këtë pikë, funksioni përcaktohet për vlerën e tij dhe për me një vlerë. Gjysma e këtyre vlerave është e barabartë dhe përcakton vlerën në segmentin e brendshëm. Pastaj konsiderohen segmentet dhe secili prej tyre ndahet në tre segmente të barabarta dhe funksioni përcaktohet në segmentet e brendshme si gjysma e vlerave të funksioneve të dhëna më afër djathtas dhe majtas. Kështu, kur funksioni është si një gjysmë shuma e numrave dhe. Në mënyrë të ngjashme në funksionin e intervalit. Më pas, funksioni përcaktohet në intervalin në të cilin, etj.

...

Dokumente të ngjashme

Variabla të rastësishme. Dendësia e shpërndarjes së funksionit dhe probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme diskrete. Variabla të rastit njëjës. Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme. Pabarazia e Chebyshev. Momentet, kumulantët dhe funksioni karakteristik.

abstrakt, shtuar 12/03/2007


Konceptet e teorisë së probabilitetit dhe statistikave matematikore, zbatimi i tyre në praktikë. Përkufizimi i një ndryshoreje të rastësishme. Llojet dhe shembujt e ndryshoreve të rastit. Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete. Ligjet e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme.

abstrakt, shtuar më 25.10.2015


Probabiliteti që një ndryshore e rastësishme X të bjerë në një interval të caktuar. Hartimi i funksionit të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme. Përcaktimi i probabilitetit që një produkt i marrë në mënyrë të rastësishme plotëson standardin. Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

test, shtuar 24.01.2013


Ndryshoret diskrete të rastit dhe shpërndarjet e tyre. Formula e probabilitetit total dhe formula e Bayes. Vetitë e përgjithshme të pritshmërisë matematikore. Varianca e një ndryshoreje të rastësishme. Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme. Përkufizimi klasik i probabilitetit.

test, shtuar më 13.12.2010


Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme. Pritja matematikore e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme, dendësia e shpërndarjes së probabilitetit të sistemit. Kovarianca. Koeficienti i korrelacionit.

punë laboratorike, shtuar 19.08.2002


Karakteristikat e shpërndarjes funksionojnë si karakteristika më universale e një ndryshoreje të rastësishme. Përshkrimi i vetive të tij, përfaqësimi i tyre duke përdorur interpretimin gjeometrik. Rregullsitë e llogaritjes së probabilitetit të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

prezantim, shtuar 11/01/2013


Përcaktimi i probabiliteteve të ngjarjeve të ndryshme duke përdorur formulën e Bernulit. Hartimi i ligjit të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete, llogaritja e pritjes matematikore, dispersionit dhe devijimit standard të ndryshores së rastësishme, densiteteve të probabilitetit.

test, shtuar 10/31/2013


Përdorimi i formulës së Bernulit për të gjetur probabilitetin e ndodhjes së një ngjarjeje. Hartimi i një grafiku të një ndryshoreje të rastësishme diskrete. Pritshmëria matematikore dhe vetitë e funksionit të shpërndarjes integrale. Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme.

test, shtuar 29.01.2014


Teoria e probabilitetit dhe modelet e dukurive të rastësishme në masë. Pabarazia dhe teorema e Chebyshev. Karakteristikat numerike të një ndryshoreje të rastësishme. Dendësia e shpërndarjes dhe transformimi Furier. Funksioni karakteristik i një ndryshoreje të rastësishme Gaussian.

abstrakt, shtuar më 24.01.2011


Llogaritja e pritjes matematikore, varianca, funksioni i shpërndarjes dhe devijimi standard i një ndryshoreje të rastësishme. Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme. Përkufizimi klasik i probabilitetit të një ngjarjeje. Gjetja e densitetit të shpërndarjes.

Institucioni arsimor "Shteti Bjellorusi".

Akademia Bujqësore"

Departamenti i Matematikës së Lartë

Udhëzimet

për të studiuar temën “Ndryshoret e rastësishme” nga studentët e Fakultetit të Kontabilitetit për Edukimin me Korrespondencë (NISPO)

Gorki, 2013

Variabla të rastësishme

Variabla të rastësishme diskrete dhe të vazhdueshme

Një nga konceptet kryesore në teorinë e probabilitetit është koncepti ndryshore e rastësishme . Ndryshore e rastësishme është një sasi që si rezultat i testimit merr vetëm një nga vlerat e shumta të mundshme dhe nuk dihet paraprakisht se cila.

Ka variabla të rastësishëm diskrete dhe të vazhdueshme . Ndryshore diskrete e rastësishme (DRV) është një ndryshore e rastësishme që mund të marrë një numër të kufizuar vlerash të izoluara nga njëra-tjetra, d.m.th. nëse vlerat e mundshme të kësaj sasie mund të rillogariten. Ndryshore e vazhdueshme e rastësishme (CNV) është një ndryshore e rastësishme, të gjitha vlerat e mundshme të së cilës plotësojnë plotësisht një interval të caktuar të vijës numerike.

Variablat e rastësishëm shënohen me shkronja të mëdha të alfabetit latin X, Y, Z, etj. Vlerat e mundshme të variablave të rastësishëm tregohen me shkronjat e vogla përkatëse.

Regjistro
do të thotë "probabiliteti që një ndryshore e rastësishme X do të marrë një vlerë prej 5, e barabartë me 0,28.”

Shembulli 1 . Zari hidhet një herë. Në këtë rast, numrat nga 1 në 6 mund të shfaqen, duke treguar numrin e pikëve. Le të shënojmë variablin e rastësishëm X= (numri i pikave të rrotulluara). Kjo variabël e rastësishme si rezultat i testit mund të marrë vetëm një nga gjashtë vlerat: 1, 2, 3, 4, 5 ose 6. Prandaj, ndryshorja e rastësishme X ka DSV.

Shembulli 2 . Kur një gur hidhet, ai përshkon një distancë të caktuar. Le të shënojmë variablin e rastësishëm X=(distanca e fluturimit me gurë). Kjo ndryshore e rastësishme mund të marrë çdo vlerë, por vetëm një, nga një interval i caktuar. Prandaj, ndryshorja e rastësishme X ka NSV.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete

Një ndryshore e rastësishme diskrete karakterizohet nga vlerat që mund të marrë dhe nga probabilitetet me të cilat merren këto vlera. Korrespondenca midis vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme diskrete dhe probabiliteteve përkatëse të tyre quhet ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete .

Nëse dihen të gjitha vlerat e mundshme
ndryshore e rastësishme X dhe probabilitetet
shfaqja e këtyre vlerave, atëherë besohet se ligji i shpërndarjes së DSV Xështë i njohur dhe mund të shkruhet në formën e tabelës:

Ligji i shpërndarjes DSV mund të përshkruhet grafikisht nëse pikat përshkruhen në një sistem koordinativ drejtkëndor
,
, …,
dhe lidhni ato me segmente të drejtë. Shifra që rezulton quhet poligon i shpërndarjes.

Shembulli 3 . Kokrra e destinuar për pastrim përmban 10% barërat e këqija. 4 kokrra janë përzgjedhur në mënyrë të rastësishme. Le të shënojmë variablin e rastësishëm X=(numri i barërave të këqija midis katër të përzgjedhurve). Ndërtoni ligjin e shpërndarjes DSV X dhe poligonin e shpërndarjes.

Zgjidhje . Sipas kushteve të shembullit. Pastaj:

Le të shkruajmë ligjin e shpërndarjes së DSV X në formën e një tabele dhe të ndërtojmë një poligon të shpërndarjes:

Pritja e një ndryshoreje të rastësishme diskrete

Vetitë më të rëndësishme të një ndryshoreje të rastësishme diskrete përshkruhen nga karakteristikat e saj. Një nga këto karakteristika është vlera e pritur ndryshore e rastësishme.

Le të dihet ligji i shpërndarjes së DSV X:

Pritshmëria matematikore DSV Xështë shuma e produkteve të secilës vlerë të kësaj sasie me probabilitetin përkatës:
.

Pritja matematikore e një ndryshoreje të rastësishme është afërsisht e barabartë me mesataren aritmetike të të gjitha vlerave të saj. Prandaj, në problemet praktike, vlera mesatare e kësaj ndryshoreje të rastësishme shpesh merret si pritshmëri matematikore.

Shembull 8 . Qitësi shënon 4, 8, 9 dhe 10 pikë me probabilitete 0.1, 0.45, 0.3 dhe 0.15. Gjeni pritshmërinë matematikore të numrit të pikëve me një goditje.

Zgjidhje . Le të shënojmë variablin e rastësishëm X= (numri i pikëve të shënuara). Pastaj . Kështu, numri mesatar i pritur i pikëve të shënuar me një goditje është 8.2, dhe me 10 goditje - 82.

Vetitë kryesore pritjet matematikore janë:

.

.

, Ku
,
.

.

, Ku X Dhe Y

Diferenca
thirrur devijimi ndryshore e rastësishme X nga pritshmëria e tij matematikore. Ky ndryshim është një ndryshore e rastësishme dhe pritshmëria e saj matematikore është zero, d.m.th.
.

Varianca e një ndryshoreje të rastësishme diskrete

Për të karakterizuar një ndryshore të rastësishme, përveç pritshmërisë matematikore, përdorim edhe dispersion , e cila bën të mundur vlerësimin e shpërndarjes (përhapjes) të vlerave të një ndryshoreje të rastësishme rreth pritshmërisë së saj matematikore. Kur krahasohen dy ndryshore homogjene të rastit me pritshmëri të barabarta matematikore, vlera “më e mirë” konsiderohet ajo që ka më pak përhapje, d.m.th. më pak shpërndarje.

Varianca ndryshore e rastësishme X quhet pritshmëria matematikore e devijimit në katror të një ndryshoreje të rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore: .

Në problemet praktike, përdoret një formulë ekuivalente për të llogaritur variancën.

Karakteristikat kryesore të dispersionit janë:

.

.

, Ku X Dhe Y janë variabla të rastësishme të pavarura.

Dispersioni karakterizon përhapjen e një ndryshoreje të rastësishme rreth pritshmërisë së saj matematikore dhe, siç shihet nga formula, matet në njësi katrore në krahasim me njësitë e vetë ndryshores së rastësishme. Prandaj, për të harmonizuar njësitë matëse të përhapjes së një ndryshoreje të rastit me njësitë matëse të vetë vlerës, ne prezantojmë devijimi standard
.

Shembull 9 . Gjeni dispersionin dhe devijimin standard të DSV X, dhënë nga ligji i shpërndarjes:

Zgjidhje . Varianca DSV X llogaritur me formulë

Le të gjejmë pritshmërinë matematikore të kësaj ndryshoreje të rastësishme: . Le të shkruajmë ligjin e shpërndarjes për një ndryshore të rastësishme
:

,
.

Pyetje për vetëkontrollin e njohurive

Çfarë është një ndryshore e rastësishme?

Cila variabël e rastësishme quhet diskrete dhe cila quhet e vazhdueshme?

Si quhet ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete?

Cila është pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme diskrete dhe cilat janë vetitë kryesore të saj?

Cili është devijimi i një ndryshoreje të rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore?

Si quhet varianca e një ndryshoreje të rastësishme diskrete dhe cilat janë vetitë kryesore të saj?

Pse futet devijimi standard dhe si llogaritet ai?

Detyrat për punë të pavarur