Trigonometrik tenglamalarni echishning asosiy usullari quyidagilardir: tenglamalarni eng sodda qilib kamaytirish (trigonometrik formulalar yordamida), yangi o'zgaruvchilarni kiritish, faktorizatsiya. Keling, ularning qo'llanilishini misollar bilan ko'rib chiqaylik. Trigonometrik tenglamalar echimlarini yozish dizayniga e'tibor bering.
Trigonometrik tenglamalarni muvaffaqiyatli hal etishning sharti trigonometrik formulalarni bilishdir (6 -ishning 13 -mavzusi).
Misollar.
1. Eng sodda qilib kamaytiradigan tenglamalar.
1) tenglamani yeching
Yechim:
Javob:
2) tenglamaning ildizlarini toping
(sinx + cosx) 2 = 1 - segmentga tegishli sinxcosx.
Yechim:
Javob:
2. Kvadratga kamaytiruvchi tenglamalar.
1) 2 sin 2 x - cosx –1 = 0 tenglamani yeching.
Yechim: Sin 2 x = 1 - cos 2 x formulasidan foydalanib, biz olamiz
Javob:
2) cos 2x = 1 + 4 cosx tenglamasini yeching.
Yechim: Cos 2x = 2 cos 2 x - 1 formulasidan foydalanib, biz olamiz
Javob:
3) tgx - 2ctgx + 1 = 0 tenglamani yeching
Yechim:
Javob:
3. Bir hil tenglamalar
1) 2sinx - 3cosx = 0 tenglamasini yeching
Yechish: cosx = 0 bo'lsin, keyin 2sinx = 0 va sinx = 0 - sin 2 x + cos 2 x = 1. Demak, cosx ≠ 0 va tenglamani cosx ga bo'lish mumkin. Biz olamiz
Javob:
2) 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x tenglamani yeching
Yechim:
1 = sin 2 x + cos 2 x va sin 2x = 2 sinxcosx formulalar yordamida biz olamiz
gunoh 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
gunoh 2 x - 6sinxcosx + 8cos 2 x = 0
Cosx = 0 bo'lsin, keyin sin 2 x = 0 va sinx = 0 - sin 2 x + cos 2 x = 1 ekanligiga zid.
Demak cosx ≠ 0 va tenglamani cos 2 x ga bo'lish mumkin .
Biz olamiz
tg 2 x - 6 tgx + 8 = 0
Tgx = y ni belgilang
y 2 - 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y 2 = 2
a) tgx = 4, x = arctg4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x = arctg2 + 2 k, k .
Javob: arctg4 + 2 k, arctg2 + 2 k, k
4. Shaklning tenglamalari a sinx + b cosx = s, s≠ 0.
1) tenglamani yeching.
Yechim:
Javob:
5. Faktorizatsiya orqali echilgan tenglamalar.
1) sin2x - sinx = 0 tenglamasini yeching.
Tenglamaning ildizi f (NS) = φ ( NS), faqat 0 raqami xizmat qila oladi. Buni tekshirib ko'ramiz:
cos 0 = 0 + 1 - tenglik to'g'ri.
0 raqami bu tenglamaning yagona ildizi.
Javob: 0.
Mavzu:"Trigonometrik tenglamalarni echish usullari".
Dars maqsadlari:
tarbiyaviy:
Trigonometrik tenglamalar turlarini farqlash ko'nikmalarini rivojlantirish;
Trigonometrik tenglamalarni echish usullari haqidagi tushunchalarni chuqurlashtirish;
tarbiyaviy:
O'quv jarayoniga kognitiv qiziqishni rivojlantirish;
Vazifani tahlil qilish qobiliyatini shakllantirish;
rivojlanmoqda:
Vaziyatni tahlil qilish ko'nikmalarini shakllantirish, keyinchalik undan chiqishning eng oqilona yo'lini tanlash.
Uskunalar: asosiy trigonometrik formulali plakat, kompyuter, proyektor, ekran.
Darsni har qanday tenglamani echishning asosiy texnikasini takrorlashdan boshlaylik: uni standart shaklga tushirish. Transformatsiyalar yordamida chiziqli tenglamalar ax = b, kvadratik - shaklga tushiriladi bolta 2 +bx +c = 0. Trigonometrik tenglamalar bo'lsa, ularni soddalashtirish kerak: sinx = a, cosx = a, tgx = a, ularni osongina echish mumkin.
Albatta, buning uchun afishada ko'rsatilgan asosiy trigonometrik formulalardan foydalanish kerak: qo'shilish formulalari, ikki burchakli formulalar, tenglamaning ko'pligini kamaytiradi. Biz bunday tenglamalarni qanday hal qilishni bilamiz. Keling, ulardan ba'zilarini takrorlaylik:
Shu bilan birga, tenglamalar mavjud bo'lib, ularning echimi ba'zi maxsus texnikalarni bilishni talab qiladi.
Bizning darsimizning mavzusi - bu texnikani ko'rib chiqish va trigonometrik tenglamalarni echish usullarini tizimlashtirish.
Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari.
1. Trigonometrik funktsiyaga nisbatan kvadratik tenglamaga o'tish va undan keyin o'zgaruvchining o'zgarishi.
Keling, sanab o'tilgan usullarning har birini misollar bilan ko'rib chiqaylik, lekin oxirgi ikkitasiga batafsil to'xtalib o'tamiz, chunki biz tenglamalarni echishda birinchi ikkitasini ishlatganmiz.
1. Trigonometrik funksiyaga nisbatan kvadratik tenglamaga aylantirish.
2. Tenglamalarni faktorizatsiya usuli bilan yechish.
3. Bir hil tenglamalarni yechish.
Formadagi tenglamalar birinchi va ikkinchi darajali bir hil tenglamalar deyiladi:
navbati bilan (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0).
Bir hil tenglamalarni echishda tenglamaning har ikki tomoni ham (1) tenglama uchun cosx ga va (2) uchun cos 2 x ga bo'linadi. Bu bo'linish mumkin, chunki sinx va cosx bir vaqtning o'zida nolga teng emas - ular turli nuqtalarda yo'qoladi. Birinchi va ikkinchi darajali bir hil tenglamalarni yechish misollarini ko'rib chiqing.
Keling, bu tenglamani eslaylik: keyingi usulni - yordamchi argumentni kiritishda, biz uni boshqacha hal qilamiz.
4. Yordamchi argumentni kiritish.
Oldingi usul bilan hal qilingan tenglamani ko'rib chiqing:
Ko'rib turganingizdek, xuddi shunday natijaga erishiladi.
Yana bir misol keltiraylik:
Ko'rib chiqilgan misollarda, yordamchi dalilni kiritish uchun, asl tenglamani nimaga bo'lish kerakligi aniq edi. Ammo shunday bo'lishi mumkinki, qaysi bo'linuvchini tanlash aniq emas. Buning uchun maxsus texnika mavjud, uni hozir umumiy ma'noda ko'rib chiqamiz. Tenglama berilsin.
Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari Mundarija
- O'zgaruvchan almashtirish usuli
- Faktoring usuli
- Bir hil trigonometrik tenglamalar
- Trigonometrik formulalar yordamida:
- Qo'shish formulalari
- Formulalarni quyish
- Ikkita argumentli formulalar
T = sinx yoki t = cosx almashtirish orqali, bu erda t∈ [−1;1] asl tenglamani yechish kvadratik yoki boshqa algebraik tenglamani echishga kamayadi.
1-3 misollarga qarang
Ba'zida universal trigonometrik almashtirish ishlatiladi: t = tg
1 -misol 2 -misol 3 -misol Faktoring usuli
Bu usulning mohiyati shundan iboratki, agar ulardan kamida bittasi nolga teng bo'lsa, bir nechta omillarning mahsuloti nolga teng bo'ladi, qolganlari o'z ma'nosini yo'qotmaydi:
f (x) g (x) h (x)… = 0⟺ f (x) = 0 yoki g (x) = 0 yoki h (x) = 0
va hokazo. har bir omil mavjudligiga bog'liq
4-5 misollarga qarang
4 -misol 5 -misol Bir hil trigonometrik tenglamalar Sin x + b cos x = 0 shaklidagi tenglama birinchi darajali bir hil trigonometrik tenglama deyiladi.
gunoh x + b cos x = 0
Sharh.
Cos x ga bo'linish qabul qilinadi, chunki cos x = 0 tenglamaning echimlari sin x + b cos x = 0 tenglamaning echimi emas.
gunoh x b cos x 0
a tg x + b = 0
tg x = -
Bir hil trigonometrik tenglamalar
a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0
Sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0 shaklidagi tenglama ikkinchi darajali bir hil trigonometrik tenglama deyiladi.
a tg2x + b tg x + c = 0
a sin2x b sin x cos x c cos2x 0
Sharh. Agar bu tenglamada a = 0 yoki c = 0 bo'lsa, tenglama kengaytirish usuli bilan hal qilinadi
omillar bo'yicha.
Misol 6
8 -misol 9 -misol 10 -misol 10 -misol 1. Qo'shish formulalari:
sin (x + y) = sinx qulay + cosx siny
cos (x + y) = cosx qulay - sinx siny
tgx + tgy
tg (x + y) =
1 - tgx tgy
sin (x - y) = sinx shinam + cosx siny
cos (x - y) = cosx qulay + sinx siny
tgx - tgy
tg (x - y) =
1 + tgx tgy
ctgx ctgy - 1
ctg (x + y) =
ctgu + tgx bilan
ctgx ctgy + 1
ctg (x - y) =
ctgu - tgx bilan
12 -misol 13 -misol Trigonometrik formulalardan foydalanish 2. Qisqartirish formulalari:
Ot qoidasi
Yaxshi kunlarda, matematik yo'q edi, u javob qidirganda, funktsiyani o'zgartiradi yoki o'zgartirmaydi ( sinus yoqilgan kosinus), uning aqlli otiga qaradi va u argumentning birinchi muddatiga mos keladigan nuqta tegishli bo'lgan koordinata o'qi bo'ylab boshini qimirlatdi. π/ 2 + α yoki π + α .
Agar ot o'qi bo'ylab bosh irg'agan bo'lsa OU, keyin matematik bu javob ekanligiga ishondi "Ha, o'zgartiring" agar o'q bo'ylab OH, keyin "Yo'q, o'zgarmang".
Trigonometrik formulalardan foydalanish 3. Ikkita dalil uchun formulalar:
gunoh 2x = 2 sinx cosx
cos 2x = cos2x - sin2x
cos 2x = 2cos2x - 1
cos 2x = 1 - 2sin2x
1 - tg2x
ctg 2x =
ctg2x - 1
14 -misol Trigonometrik formulalardan foydalanish 4. Darajani pasaytirish formulalari:
5. Yarim burchakli formulalar:
Trigonometrik formulalardan foydalanish 6. Summa va farq formulalari: Trigonometrik formulalardan foydalanish 7. Mahsulot formulalari: "Trigonometriya sizning kaftingizda" mnemonik qoidasi.
Ko'pincha siz ma'nolarni yoddan bilishingiz kerak chunki, gunoh, tg, ctg 0 °, 30 °, 45 °, 60 °, 90 ° burchaklar uchun.
Ammo agar to'satdan biron bir ma'no unutilsa, siz qo'l qoidasidan foydalanishingiz mumkin.
Qoidalar: Agar siz barmoq va bosh barmog'ingiz orqali chiziqlar chizsangiz,
keyin ular "oy tepasi" deb nomlangan nuqtada kesishadi.
90 ° burchak hosil bo'ladi. Kichik barmoq chizig'i 0 ° burchak hosil qiladi.
"Oy tepaligidan" nurlarni noma'lum, o'rta va ko'rsatkich barmoqlari orqali tortib, biz 30 °, 45 °, 60 ° burchaklarni olamiz.
Buning o'rniga n: 0, 1, 2, 3, 4, biz qiymatlarni olamiz gunoh, 0 °, 30 °, 45 °, 60 °, 90 ° burchaklar uchun.
Uchun chunki sanash teskari tartibda sodir bo'ladi.
