Adabiyotlar ro'yxati.

• Vilenkin N.Ya., Joxov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 5-sinf uchun matematika darslik. ta'lim muassasalari.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 7-sinf uchun darslik. ta'lim muassasalari.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 8-sinf uchun darslik. ta'lim muassasalari.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 9-sinf uchun darslik. ta'lim muassasalari.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. va boshqalar.Algebra va tahlilning boshlanishi: Umumta’lim muassasalarining 10-11-sinflari uchun darslik.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma).

Oldinroq biz sonning kuchi nima ekanligi haqida gapirgan edik. U muammolarni hal qilishda foydali bo'lgan ma'lum xususiyatlarga ega: biz ushbu maqolada ularni va barcha mumkin bo'lgan ko'rsatkichlarni tahlil qilamiz. Ularni qanday isbotlash va amalda to‘g‘ri qo‘llash mumkinligini misollar bilan ham aniq ko‘rsatamiz.

Tabiiy ko'rsatkichli darajaning ilgari tuzilgan tushunchasini eslaylik: bu har biri a ga teng bo'lgan n-sonli omillarning mahsulotidir. Haqiqiy raqamlarni qanday qilib to'g'ri ko'paytirishni ham eslab qolishimiz kerak bo'ladi. Bularning barchasi tabiiy ko'rsatkichli daraja uchun quyidagi xususiyatlarni shakllantirishga yordam beradi:

Ta'rif 1

1. Darajaning asosiy xossasi: a m · a n = a m + n

Quyidagilarga umumlashtirish mumkin: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. Asoslari bir xil bo‘lgan darajalar uchun qismning xossasi: a m: a n = a m − n.

3. Mahsulot darajasi xossasi: (a · b) n = a n · b n

Tenglikni quyidagicha kengaytirish mumkin: (a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

4. Ko'rsatkichning natural darajaga xosligi: (a: b) n = a n: b n

5. Quvvatni kuchga ko'taring: (a m) n = a m n,

Quyidagilarga umumlashtirish mumkin: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 · n 2 · … · n k

6. Darajani nol bilan solishtiring:

• a > 0 bo'lsa, har qanday natural n soni uchun a n bo'ladi Noldan yuqori;
• 0 ga teng bo'lsa, a n ham nolga teng bo'ladi;
• da a< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• da a< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Tenglik a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. a m > a n tengsizlik m va n natural sonlar, m n dan katta va a noldan katta va birdan kam bo‘lmagan holda to‘g‘ri bo‘ladi.

Natijada biz bir nechta tenglikni oldik; agar yuqorida ko'rsatilgan barcha shartlar bajarilsa, ular bir xil bo'ladi. Tenglikning har biri uchun, masalan, asosiy xususiyat uchun siz o'ng va chap tomonlarni almashtirishingiz mumkin: a m · a n = a m + n - m + n = a m · a n bilan bir xil. Ushbu shaklda u ko'pincha ifodalarni soddalashtirish uchun ishlatiladi.

1. Darajaning asosiy xususiyatidan boshlaylik: a m · a n = a m + n tengligi har qanday natural m va n va haqiqiy a uchun to‘g‘ri bo‘ladi. Ushbu bayonotni qanday isbotlash mumkin?

Tabiiy ko'rsatkichli kuchlarning asosiy ta'rifi tenglikni omillar mahsulotiga aylantirish imkonini beradi. Biz shunday rekordni olamiz:

Buni qisqartirish mumkin (ko'paytirishning asosiy xususiyatlarini eslang). Natijada m+n natural ko‘rsatkichli a sonining kuchiga ega bo‘ldik. Shunday qilib, darajaning asosiy xususiyatini bildiruvchi m + n isbotlangan.

Keling, buni tasdiqlovchi aniq bir misolni ko'rib chiqaylik.

1-misol

Shunday qilib, bizda 2 ta asosli ikkita kuch bor. Ularning tabiiy ko'rsatkichlari mos ravishda 2 va 3 ni tashkil qiladi. Bizda tenglik bor: 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Keling, ushbu tenglikning haqiqiyligini tekshirish uchun qiymatlarni hisoblaylik.

Kerakli matematik amallarni bajaramiz: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 va 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

Natijada, biz oldik: 2 2 · 2 3 = 2 5. Mulk isbotlangan.

Ko'paytirishning xususiyatlaridan kelib chiqqan holda, biz xususiyatni ko'rsatkichlari bo'lgan uch yoki undan ortiq darajalar shaklida shakllantirish orqali umumlashtirishimiz mumkin. natural sonlar, va asoslari bir xil. Agar n 1, n 2 va hokazo natural sonlar sonini k harfi bilan belgilasak, to‘g‘ri tenglikni olamiz:

a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k.

2-misol

2. Keyinchalik, bo'lim xossasi deb ataladigan va bir xil asoslarga ega bo'lgan darajalarga xos bo'lgan quyidagi xususiyatni isbotlashimiz kerak: bu a m tengligi: a n = a m - n, har qanday natural m va n (va m) uchun amal qiladi. n)) va har qanday nolga teng bo'lmagan real a dan katta.

Boshlash uchun, keling, formulada ko'rsatilgan shartlarning ma'nosi nima ekanligini aniqlaylik. Agar biz nolga teng bo'lsak, biz nolga bo'linish bilan yakunlaymiz, biz buni qila olmaymiz (oxir-oqibat, 0 n = 0). Tabiiy ko‘rsatkichlar chegarasida qolishimiz uchun m soni n dan katta bo‘lishi sharti zarur: m dan n ni ayirib, natural sonni olamiz. Agar shart bajarilmasa, biz manfiy son yoki nolga ega bo'lamiz va yana tabiiy ko'rsatkichlar bilan darajalarni o'rganishdan tashqariga chiqamiz.

Endi biz dalillarga o'tishimiz mumkin. Biz ilgari o'rgangan narsalarimizdan kasrlarning asosiy xossalarini eslaylik va tenglikni quyidagicha shakllantiramiz:

a m - n · a n = a (m - n) + n = a m

Undan shunday xulosa chiqarishimiz mumkin: a m - n · a n = a m

Keling, bo'linish va ko'paytirish o'rtasidagi bog'liqlikni eslaylik. Bundan kelib chiqadiki, a m - n - a m va a n darajalarning ko'rsatkichi. Bu darajaning ikkinchi xususiyatining isbotidir.

3-misol

Aniqlik uchun aniq raqamlarni ko'rsatkichlarga almashtiramiz va daraja asosini p : p 5: p 2 = p 5 - 3 = p 3 deb belgilaymiz.

3. Keyinchalik mahsulotning kuch xususiyatini tahlil qilamiz: (a · b) n = a n · b n har qanday haqiqiy a va b va tabiiy n uchun.

Tabiiy ko'rsatkichli kuchning asosiy ta'rifiga ko'ra, biz tenglikni quyidagicha qayta shakllantirishimiz mumkin:

Ko'paytirishning xususiyatlarini eslab, biz yozamiz: . Bu n · b n bilan bir xil degan ma'noni anglatadi.

4-misol

2 3 · - 4 2 5 4 = 2 3 4 · - 4 2 5 4

Agar bizda uchta yoki undan ko'p omillar mavjud bo'lsa, unda bu xususiyat bu holatga ham tegishli. Omillar soni uchun k belgisini kiritamiz va yozamiz:

(a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

5-misol

Muayyan raqamlar bilan biz quyidagi to'g'ri tenglikni olamiz: (2 · (- 2, 3) · a) 7 = 2 7 · (- 2, 3) 7 · a

4. Shundan so'ng biz qismning xossasini isbotlashga harakat qilamiz: (a: b) n = a n: b n har qanday haqiqiy a va b uchun, agar b 0 ga teng bo'lmasa va n natural son bo'lsa.

Buni isbotlash uchun siz darajalarning oldingi xususiyatidan foydalanishingiz mumkin. Agar (a: b) n · b n = ((a: b) · b) n = a n va (a: b) n · b n = a n bo‘lsa, u holda (a: b) n bo‘linish ko‘rsatkichi hisoblanadi. a n by b n.

6-misol

Misol hisoblaymiz: 3 1 2: - 0. 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

7-misol

Darhol misol bilan boshlaylik: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

Keling, tenglik to'g'ri ekanligini isbotlaydigan tengliklar zanjirini tuzamiz:

Agar biz misolda daraja darajalariga ega bo'lsak, bu xususiyat ular uchun ham to'g'ri keladi. Agar bizda p, q, r, s natural sonlari bo'lsa, u to'g'ri bo'ladi:

a p q y s = a p q y s

8-misol

Keling, ba'zi xususiyatlarni qo'shamiz: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30

6. Biz isbotlashimiz kerak bo'lgan natural ko'rsatkichli darajalarning yana bir xossasi taqqoslash xususiyatidir.

Birinchidan, darajani nolga solishtiramiz. Nima uchun a 0 dan katta bo'lsa, a n > 0 bo'ladi?

Agar bitta ijobiy sonni boshqasiga ko'paytirsak, biz ham ijobiy sonni olamiz. Bu haqiqatni bilib, biz bu omillar soniga bog'liq emasligini aytishimiz mumkin - har qanday ijobiy sonlarni ko'paytirish natijasi ijobiy sondir. Agar raqamlarni ko'paytirish natijasi bo'lmasa, qanday daraja? U holda musbat asos va tabiiy ko'rsatkichga ega bo'lgan har qanday a n kuch uchun bu to'g'ri bo'ladi.

9-misol

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 va 34 9 13 51 > 0

Bundan tashqari, asosi nolga teng bo'lgan kuchning o'zi nolga teng ekanligi aniq. Qaysi kuchni nolga ko'tarmasak ham, u nol bo'lib qoladi.

10-misol

0 3 = 0 va 0 762 = 0

Agar daraja asosi manfiy son bo'lsa, unda isbotlash biroz murakkabroq, chunki juft/toq ko'rsatkich tushunchasi muhim bo'ladi. Avval ko‘rsatkich juft bo‘lgan holatni olaylik va uni 2 · m deb belgilaymiz, bu yerda m natural sondir.

Keling, salbiy sonlarni qanday qilib to'g'ri ko'paytirishni eslaylik: a · a mahsuloti modullarning ko'paytmasiga teng va shuning uchun u ijobiy son bo'ladi. Keyin a 2 m darajasi ham ijobiydir.

11-misol

Masalan, (− 6) 4 > 0, (− 2, 2) 12 > 0 va - 2 9 6 > 0

Agar manfiy asosli ko'rsatkich toq son bo'lsa-chi? Uni 2 · m − 1 deb belgilaymiz.

Keyin

Ko'paytirish xossalariga ko'ra barcha a · a ko'paytmalari musbat bo'lib, ularning hosilasi ham ijobiydir. Ammo agar biz uni qolgan yagona a soniga ko'paytirsak, yakuniy natija manfiy bo'ladi.

Keyin biz olamiz: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Buni qanday isbotlash mumkin?

a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

12-misol

Masalan, quyidagi tengsizliklar to'g'ri: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Biz faqat oxirgi xossani isbotlashimiz kerak: agar bizda asoslari bir xil va musbat, ko‘rsatkichlari natural sonlar bo‘lgan ikkita kuch bo‘lsa, unda ko‘rsatkichi kichikroq bo‘lgani katta bo‘ladi; va tabiiy koʻrsatkichlari va bir xil asoslari birdan katta boʻlgan ikki darajaning koʻrsatkichi katta boʻlgani katta boʻladi.

Keling, ushbu bayonotlarni isbotlaylik.

Avvalo, biz ishonch hosil qilishimiz kerak a m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Qavslar ichidan n ni chiqaramiz, shundan so'ng bizning farqimiz a n · (a m - n - 1) ko'rinishini oladi. Uning natijasi salbiy bo'ladi (chunki musbat sonni manfiy songa ko'paytirish natijasi salbiy). Axir, dastlabki shartlarga ko'ra, m - n > 0, keyin a m - n - 1 manfiy, birinchi omil esa ijobiy asosga ega bo'lgan har qanday tabiiy kuch kabi ijobiydir.

Ma'lum bo'lishicha, a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Yuqorida keltirilgan fikrning ikkinchi qismini isbotlash qoladi: a m > a m > n va a > 1 uchun to‘g‘ri. Farqni ko'rsatamiz va qavs ichidan n ni qo'yamiz: (a m - n - 1).Birdan katta uchun n ning kuchi beradi. ijobiy natija; va farqning o'zi ham boshlang'ich shartlar tufayli ijobiy bo'lib chiqadi va a > 1 uchun a m - n daraja birdan katta. Ma’lum bo‘lishicha, a m − a n > 0 va a m > a n ni isbotlashimiz kerak edi.

13-misol

Muayyan raqamlarga misol: 3 7 > 3 2

Butun darajali darajalarning asosiy xossalari

Musbat butun ko'rsatkichli darajalar uchun xossalar o'xshash bo'ladi, chunki musbat butun sonlar natural sonlardir, demak, yuqorida isbotlangan barcha tengliklar ular uchun ham to'g'ri keladi. Ular ko'rsatkichlar manfiy yoki nolga teng bo'lgan holatlar uchun ham mos keladi (agar daraja asosining o'zi nolga teng bo'lmasa).

Shunday qilib, darajalarning xossalari har qanday a va b asoslar (agar bu sonlar haqiqiy va 0 ga teng bo'lmasa) va har qanday ko'rsatkichlar m va n (agar ular butun son bo'lsa) uchun bir xil bo'ladi. Keling, ularni qisqacha formulalar shaklida yozamiz:

Ta'rif 2

1. a m · a n = a m + n

2. a m: a n = a m - n

3. (a · b) n = a n · b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (a m) n = a m n

6. a n< b n и a − n >b - n musbat butun n, musbat a va b, a bo'ysunadi< b

7:00< a n , при условии целых m и n , m >n va 0< a < 1 , при a >1 a m > a n.

Agar daraja asosi nolga teng bo'lsa, u holda a m va a n yozuvlari faqat tabiiy va musbat m va n holatlarida ma'noga ega bo'ladi. Natijada, yuqoridagi formulalar, agar boshqa barcha shartlar bajarilgan bo'lsa, nol asosga ega bo'lgan kuchga ega bo'lgan holatlar uchun ham mos kelishini aniqlaymiz.

Bu holda bu xususiyatlarning dalillari oddiy. Tabiiy va butun ko'rsatkichli daraja nima ekanligini, shuningdek, harakatlar xususiyatlarini eslab qolishimiz kerak. haqiqiy raqamlar.

Keling, kuch-quvvat xususiyatini ko'rib chiqamiz va uning musbat va musbat bo'lmagan butun sonlar uchun to'g'ri ekanligini isbotlaymiz. Keling, (a p) q = a p · q, (a − p) q = a (− p) · q, (a p) − q = a p · (− q) va (a − p) − q tengliklarini isbotlashdan boshlaylik. = a (− p) · (− q)

Shartlar: p = 0 yoki natural son; q - o'xshash.

Agar p va q qiymatlari 0 dan katta bo'lsa, biz (a p) q = a p · q ni olamiz. Biz allaqachon shunga o'xshash tenglikni isbotlaganmiz. Agar p = 0 bo'lsa, u holda:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

Demak, (a 0) q = a 0 q

q = 0 uchun hamma narsa bir xil:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

Natija: (a p) 0 = a p · 0 .

Agar ikkala ko'rsatkich ham nolga teng bo'lsa, u holda (a 0) 0 = 1 0 = 1 va a 0 · 0 = a 0 = 1, ya'ni (a 0) 0 = a 0 · 0.

Keling, yuqorida isbotlangan darajada bo'laklarning xossasini eslaylik va yozamiz:

1 a p q = 1 q a p q

Agar 1 p = 1 1 … 1 = 1 va a p q = a p q bo‘lsa, u holda 1 q a p q = 1 a p q bo‘ladi.

Bu belgini ko'paytirishning asosiy qoidalari tufayli a (− p) · q ga o'zgartirishimiz mumkin.

Shuningdek: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p · q = a - (p · q) = a p · (- q) .

Va (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Darajaning qolgan xossalari xuddi shunday tarzda mavjud tengsizliklarni o'zgartirish orqali isbotlanishi mumkin. Biz bu haqda batafsil to'xtalib o'tirmaymiz, faqat qiyin tomonlarini ko'rsatamiz.

Oxirgidan oldingi xususiyatning isboti: esda tutingki, a - n > b - n har qanday manfiy butun sonlar n va har qanday musbat a va b uchun to'g'ri bo'ladi, agar a b dan kichik bo'lsa.

Keyin tengsizlikni quyidagicha o'zgartirish mumkin:

1 a n > 1 b n

Keling, o'ng va chap tomonlarni farq sifatida yozamiz va kerakli o'zgarishlarni bajaramiz:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n · b n

Eslatib o'tamiz, a shartida b dan kichik bo'lsa, u holda tabiiy ko'rsatkichli daraja ta'rifiga ko'ra: - a n.< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n ijobiy son bo'lib tugaydi, chunki uning omillari ijobiydir. Natijada, bizda b n - a n a n · b n kasr mavjud bo'lib, u ham pirovardida ijobiy natija beradi. Demak, 1 a n > 1 b n bu yerdan a − n > b − n , buni isbotlashimiz kerak edi.

Butun darajali darajalarning oxirgi xossasi natural darajali darajalarning xossasi kabi isbotlangan.

Ratsional darajali darajalarning asosiy xossalari

Oldingi maqolalarda biz ratsional (kasr) ko'rsatkichli daraja nima ekanligini ko'rib chiqdik. Ularning xossalari butun darajali darajalar bilan bir xil. Keling, yozamiz:

Ta'rif 3

1. a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 uchun a > 0 va agar m 1 n 1 > 0 va m 2 n 2 > 0 bo‘lsa, a ≥ 0 uchun (mahsulot xossasi) bir xil asoslarga ega darajalar).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2, agar a > 0 bo‘lsa (bo‘lim xossasi).

3. a > 0 va b > 0 uchun a · b m n = a m n · b m n va agar m 1 n 1 > 0 va m 2 n 2 > 0 bo‘lsa, u holda a ≥ 0 va (yoki) b ≥ 0 (mahsulot xossasi kasr darajasi).

4. a: b m n = a m n: a > 0 va b > 0 uchun b m n, agar m n > 0 bo‘lsa, a ≥ 0 va b > 0 uchun (bo‘limning kasr darajasiga xosligi).

5. a > 0 uchun a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 · m 2 n 2 va agar m 1 n 1 > 0 va m 2 n 2 > 0 bo‘lsa, u holda a ≥ 0 uchun (darajaning xossasi) darajalarda).

6.a p< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0 ; agar p< 0 - a p >b p (kuchlarni teng ratsional ko'rsatkichlar bilan taqqoslash xususiyati).

7.a p< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q 0 da< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

Ushbu qoidalarni isbotlash uchun kasr ko'rsatkichli daraja nima ekanligini, n-darajali arifmetik ildizning xususiyatlari va butun darajali darajaning xususiyatlari qanday ekanligini eslashimiz kerak. Keling, har bir mulkni ko'rib chiqaylik.

Kasr ko'rsatkichli daraja qancha bo'lishiga qarab, biz quyidagilarni olamiz:

a m 1 n 1 = a m 1 n 1 va a m 2 n 2 = a m 2 n 2, shuning uchun a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 · a m 2 n 2

Ildizning xususiyatlari bizga tengliklarni olish imkonini beradi:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

Bundan kelib chiqadiki: a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Keling, aylantiramiz:

a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Ko'rsatkichni quyidagicha yozish mumkin:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Bu dalil. Ikkinchi xususiyat aynan shu tarzda isbotlangan. Keling, tenglik zanjirini yozamiz:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

Qolgan tengliklarning dalillari:

a · b m n = (a · b) m n = a m · b m n = a m n · b m n = a m n · b m n; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

Keyingi xususiyat: a va b ning 0 dan katta har qanday qiymatlari uchun, agar a b dan kichik bo'lsa, a p qanoatlantirilishini isbotlaylik.< b p , а для p больше 0 - a p >b p

Ratsional p sonni m n deb ifodalaymiz. Bunda m butun son, n natural son. Keyin shartlar p< 0 и p >0 m gacha uzaytiriladi< 0 и m >0 . m > 0 va a uchun< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Biz ildiz va chiqish xususiyatidan foydalanamiz: a m n< b m n

a va b ning ijobiy qiymatlarini hisobga olib, biz tengsizlikni m n sifatida qayta yozamiz.< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

Xuddi shu tarzda m< 0 имеем a a m >b m, a m n > b m n ni olamiz, bu a m n > b m n va p > b p ma’nosini bildiradi.

Oxirgi mulkni tasdiqlovchi hujjatni taqdim etish biz uchun qoladi. 0 da p va q ratsional sonlar uchun p > q ekanligini isbotlaylik< a < 1 a p < a q , а при a >0 a p > a q rost bo'ladi.

Ratsional p va q sonlarni umumiy maxrajga keltirish va m 1 n va m 2 n kasrlarni olish mumkin.

Bu yerda m 1 va m 2 butun sonlar, n esa natural sondir. Agar p > q bo'lsa, u holda m 1 > m 2 (kasrlarni solishtirish qoidasini hisobga olgan holda). Keyin 0 da< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – tengsizlik a 1 m > a 2 m.

Ularni quyidagicha qayta yozish mumkin:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Keyin siz o'zgarishlarni amalga oshirishingiz va yakunlashingiz mumkin:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Xulosa qilish uchun: p > q va 0 uchun< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

Irratsional darajali darajalarning asosiy xossalari

Ratsional darajali darajaga ega bo'lgan yuqorida tavsiflangan barcha xususiyatlarni shunday darajada kengaytirish mumkin. Bu biz oldingi maqolalardan birida bergan uning ta'rifidan kelib chiqadi. Bu xossalarni qisqacha shakllantiramiz (shartlar: a > 0, b > 0, p va q darajalari irratsional sonlar):

Ta'rif 4

1. a p · a q = a p + q

2. a p: a q = a p - q

3. (a · b) p = a p · b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p · q

6.a p< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >b p

7.a p< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0, keyin a p > a q.

Shunday qilib, a > 0 bo'lgan ko'rsatkichlari p va q haqiqiy sonlar bo'lgan barcha darajalar bir xil xususiyatlarga ega.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Ko‘rib chiqish:

MUNITIPAL BUDJETT TA'LIM MASSASI

11-son O‘RTA TA’LIM MAKTABI

MUNITIPAL SHAHAR - ANAPA RESORT

"Fizika-matematika fanlari (matematika)" nominatsiyasi

Mavzu bo'yicha reja - dars xulosasi:

7-sinf

Ishlab chiquvchi: Bykova E.A., oliy malaka toifali matematika o'qituvchisi

Anapa, 2013 yil

7-sinfda algebra fanidan ochiq dars mavzusi:

"Tabiiy ko'rsatkichli darajaning xususiyatlari"

Dars maqsadlari:

Tarbiyaviy:- tabiiy ko'rsatkichli darajalar haqidagi bilimlarni tizimlashtirish va umumlashtirish, tabiiy ko'rsatkichli darajalarni o'z ichiga olgan ifodalarni oddiy o'zgartirish ko'nikmalarini mustahkamlash va takomillashtirish.

Tarbiyaviy: - kognitiv faollikni, mas'uliyat hissini, muloqot madaniyatini, muloqot madaniyatini tarbiyalash.

Tarbiyaviy: - vizual xotirani matematik jihatdan rivojlantirish malakali nutq, mantiqiy fikrlash, o‘quv materialini ongli idrok etish.

Vazifalar:

1. Mavzu: mavzu bo'yicha bilimlarni takrorlash, umumlashtirish va tizimlashtirish, bilim va ko'nikmalarni o'zlashtirishni nazorat qilish (o'zaro nazorat) uchun sharoit yaratish; talabalarning mavzuni o'rganishga bo'lgan motivatsiyasini shakllantirishni davom ettirish.

2. Meta-mavzu: operativ fikrlash uslubini rivojlantirish, birgalikda ishlashda talabalarning muloqot ko'nikmalarini egallashiga yordam berish va ijodiy fikrlashni faollashtirish; Talabalarning samarali ijtimoiylashuvi, o'z-o'zini tarbiyalash va o'z-o'zini tarbiyalash ko'nikmalariga hissa qo'shadigan muayyan kompetensiyalarni rivojlantirishni davom ettiring.

3. Shaxsiy: madaniyatni tarbiyalash, odamlarga va hayotga do'stona, bag'rikenglik bilan munosabatda bo'lishga qaratilgan shaxsiy fazilatlarni shakllantirishga ko'maklashish; faoliyatda tashabbuskorlik va mustaqillikni rivojlantirish; davlat yakuniy attestatsiyasiga muvaffaqiyatli tayyorgarlik ko‘rish uchun o‘rganilayotgan mavzuning zarurligini tushunishga olib keladi.

Dars turi: mavzu bo'yicha umumiy dars.

Dars turi: birlashtirilgan.

Darsning tuzilishi:

1. Tashkiliy moment.

2. Dars mavzusi, maqsad va vazifalari haqida xabar bering.

3. O'rganilgan narsalarni takrorlash va uni standart vaziyatlarda qo'llash.

4. O`zlashtirilgan bilimlarni o`tkazish, ularni yangi yoki o`zgargan sharoitlarda, malakalarni rivojlantirish maqsadida birlamchi qo`llash.

5.Salomatlikni tejaydigan texnologiyalar elementlari.

6.Talabalar o`qituvchi nazorati ostida mustaqil ravishda topshiriqlarni bajaradilar.

7. Darsni yakunlash va uy vazifasini belgilash.

Uskunalar: multimedia proyektori, kompyuter.

Microsoft Office Power Point 2007 da taqdimot(1-ilova)

Dars rejasi:

Adabiyot:

1. Algebra: darslik. 7-sinf uchun umumiy ta'lim muassasalar / Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk va boshqalar; S.A tomonidan tahrirlangan. Telyakovskiy. – M.: Ta’lim, 2008 yil.

2. Zvavich L.I., Kuznetsova L.V., Suvorova S.B. 7-sinf uchun algebra bo'yicha didaktik materiallar. – M.: Ta’lim, 2009 yil.

3. To'plam test topshiriqlari tematik va yakuniy nazorat uchun. Algebra 7-sinf / S.A. Pushkin, I.L. Gusev. - M.: "Aql-idrok", 2013 yil.

4. T.Yu.Dyumina, A.A.Maxonina, “Algebra. Dars rejalari." - Volgograd: "O'qituvchi", 2013 yil

Darslar davomida

1. Tashkiliy moment.

2. Uy vazifasini tekshirish

3. Dars mavzusi. Darsning maqsad va vazifalari.

Matematika, do'stlar,

Bu mutlaqo hammaga kerak.

Sinfda tirishqoqlik bilan ishlang

Va muvaffaqiyat sizni kutmoqda!

4. Og'zaki ish.

a) Darajaning xossalarini natural ko‘rsatkich bilan takrorlash. Jadval beriladi. Chap ustundagi etishmayotgan joylarni to'ldiring va o'ng ustundagi vazifalarni bajaring.

b) O'z ichiga vakolatli iboralarni o'zgartirish bo'yicha topshiriqlarni bajarishda talaba quyidagi xatolarga yo'l qo'ydi:(doskaga yozing)

1) a) ; b) ;

V) ; G) ;

2) a) ; b) ;

V) ; G) ;

3) a) ; b) ;

V) .

Talaba qanday ta'riflar, xususiyatlar, qoidalarni bilmaydi?

5. Trening mashqlari.

447-son – doskada va daftarlarda, darajalar xossalaridan foydalangan holda batafsil sharhlar;

No 450 (a, c) - doskada va daftarlarda;

№ 445 - og'zaki.

6. Jismoniy mashqlar

Ular tezda o'rnidan turishdi, jilmayishdi,

Ular o'zlarini balandroq va balandroq tortdilar.

Xo'sh, elkangizni tekislang,

Ko'taring, tushiring.

O'ngga, chapga buriling,

Qo'llaringizga tizzalaringiz bilan teging.

Ular o'tirishdi, turishdi, o'tirishdi, turishdi,

Va ular joyiga yugurishdi.

Yoshlar siz bilan birga o'qishadi

Ham irodani, ham zukkolikni rivojlantiring.

7. Individual tekshirish ishi.

Har bir talaba topshiriqlarni bajaradi va javoblarni harf bilan taxmin qilishning oldini olish uchun butun alifbodan foydalanadigan kalit bilan birga keladi. To'g'ri qaror bo'lsa, to'g'ri so'z.

Har bir qator uchun vazifalar individualdir.

Kalit

Ish natijalari o'z-o'zini sinab ko'rish uchun slaydda ko'rsatiladi:

Matematika

8. Dars xulosasi:

Darsni yakunlash, baholash.

– Darajaning xossalarini tabiiy ko‘rsatkichli sanab bering.

Dars davomida javob bergan o'quvchilarning javoblarini inobatga olgan holda testlar bilan ishni tekshirib bo'lgach, darsga baho qo'yamiz.

Krossvordni yeching

Vertikal:

1. U dividendlarni taqsimlaydi
2. Samolyotdagi elementar figura
3. Haqiqiy tenglik
4. Biridan keyin to'qqizta nol
5. U shunga o'xshash bilan o'ralgan
6. Ikkidan uchning kuchiga

Gorizontal:

2. Uchburchakning tomonlari soni

4. Monomiylar yig‘indisi

5. Xulosa qiling

7. Aylanadagi nuqtani markazi bilan tutashtiruvchi segment

8. Hisoblovchi va ayiruvchiga ega

9. Uy vazifasi:

Tabiiy ko'rsatkichi n bo'lgan a sonining kuchi ____________ n ____________ deyiladi, ularning har biri a ga teng. 1. Mahsulotni kuch sifatida taqdim eting: a). (-8) * (-8) * (-8) * (-8) * (-8) * ; b). (x-y)* (x-y) * (x-y) * (x-y) * ; 2. Bir kuchga ko'taring: 3 4 ; (-0,2) 3; (2 /3) 2 Yozma darajalarning asosini va ko'rsatkichini ayting. Bir xil asoslar bilan darajalarni ko'paytirishda ___________ bir xil qoldiriladi va ___________ qo'shiladi. Quyidagi amallarni bajaring: a 4 * a 12 ; a 6 * a 9 * a; 3 2 * 3 3 Bir xil asoslarga ega bo'lgan darajalarni bo'lishda ___________ bir xil va __________ hisoblagichdan _________ __________ maxraj qoldiriladi. Quyidagi amallarni bajaring: a 12: a 4 ; p 9: p 3: p; 3 5: 3 2 Quvvatni kuchga ko'tarishda _______________ o'zgarishsiz qoladi va __________ ko'paytiriladi. Quyidagi amallarni bajaring: ; (m 3) 7 ; (k 4) 5 ; (4 2) 3 Mahsulotni quvvatga ko'tarishda _____________ ____________ shu kuchga ko'tariladi va natijalar ko'paytiriladi. Darajani bajaring: (-2 a 3 b 2) 5; (1 /3p 2 q 3) 3 Nolga teng bo'lmagan, nol ko'rsatkichli a sonining kuchi Hisoblang: x = 2,6 da 3 x 0 Takrorlang!

Aqliy hujum

Ular tezda o'rnidan turdilar, tabassum qildilar va o'zlarini balandroq va balandroq tortdilar. Keling, elkangizni to'g'rilang, ularni ko'taring, tushiring. O'ngga, chapga buriling, tizzangiz bilan qo'llaringizni ushlang. Ular o'tirishdi, turishdi, o'tirishdi, turishdi va joyida yugurishdi. Yoshlar siz bilan birga irodani ham, topqirlikni ham rivojlantirishni o‘rganadilar.

Individual test ishi № p/p 1-qator № p/p topshiriq 2-qator № p/p 3-qator 1 m 3 * m 2 * m 8 1 a 4 * a 3 * a 2 1 a 4 * a * a 3 * a 2 p 20: p 17 2 (2 4) 5: (2 7) 2 2 (7x) 2 3 c 5: c 0 3 3 * 3 2 * 3 0 3 p * p 2 * p 0 4 (3a) ) 3 4 (2y) 5 4 c * c 3 * c 5 m * m 5 * m 3 * m 0 5 (m 2) 4 * m 5 m * m 4 * (m 2) 2 * m 0 6 2 14 : 2 8 6 (2 3) 2 6 (2 3) 7: (2 5) 3 7 (-x) 3 * x 4 7 (-x 3) *(- x) 4 7 -x 3 * (-x ) 4 8 (p * p 3) : p 5 8 (p 2 * p 5) : p 4 * p 0 8 (p 2) 4: p 5 9 3 7 * (3 2) 3: 3 10 9 (3) 5) 2 * 3 7: 3 14 9 (3 4) 2 * (3 2) 3: 3 11

O'zingizni tekshiring! Kalit! A B C D E F G H I K m 9 32y 5 81 a 9 x 3 49x 2 m 5 p 4 c 5 27a 3 L M N O P R S T U V 64 3 4 p 3 27 2 5 x 7 p 6 m 3 m 13 a c Shy 8 Ts 13 a Shy 8 7 16a 4 25 10y 5 9y 7 -x 7 a 2 32x 5 49y 3 I x 5

matematika

SOZNI TASARLAYING Vertikal: 1. Dividendni ajratadi 2. Tekislikdagi elementar figura 3. To‘g‘ri tenglik 4. To‘qqiz nol bo‘lgan bir 5. Like 6 ga qo‘shiladi. Ikki uchning kuchiga Gorizontal: 2. Son uchburchakning tomonlari 4. monomlarning yig‘indisi 5. yig‘indisi 7. Aylanadagi nuqtani markazi bilan bog‘lovchi segment 8. Pay va maxrajga ega.

Dars xulosasi Baholash Uy vazifasi savollariga javob berish 101-bet, No450(b,d), No534, No453.