Skaitinių trigonometrinių formulių reiškinių transformacijos. Pamoka „trigonometrinių išraiškų supaprastinimas“

AT identiškos transformacijos trigonometrinės išraiškos gali būti naudojami tokie algebriniai triukai: identiškų terminų pridėjimas ir atėmimas; bendro faktoriaus išėmimas iš skliaustų; daugyba ir dalyba iš tos pačios vertės; sutrumpintų daugybos formulių taikymas; viso kvadrato pasirinkimas; kvadratinio trinario faktorius; naujų kintamųjų įvedimas, siekiant supaprastinti transformacijas.

Konvertuodami trigonometrines išraiškas, kuriose yra trupmenų, galite naudoti proporcijos, trupmenų mažinimo arba trupmenų sumažinimo į bendrą vardiklį savybes. Be to, galite pasirinkti sveikąją trupmenos dalį, padaugindami trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš tos pačios vertės, taip pat, jei įmanoma, atsižvelgti į skaitiklio ar vardiklio vienodumą. Jei reikia, trupmeną galite pateikti kaip kelių paprastesnių trupmenų sumą arba skirtumą.

Be to, taikant visus būtinus trigonometrinių išraiškų konvertavimo metodus, būtina nuolat atsižvelgti į konvertuotų išraiškų leistinų verčių diapazoną.

Pažvelkime į kelis pavyzdžius.

1 pavyzdys

Apskaičiuokite A = (sin (2x - π) cos (3π - x) + sin (2x - 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x - π/2) cos ( 2x - 7π /2) +
+ sin (3π/2 - x) sin (2x -5π/2)) 2

Sprendimas.

Tai išplaukia iš redukcijos formulių:

sin (2x - π) \u003d -sin 2x; cos (3π - x) \u003d -cos x;

nuodėmė (2x - 9π / 2) \u003d -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x - π / 2) \u003d sin x; cos (2x - 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π / 2 - x) \u003d -cos x; nuodėmė (2x - 5π / 2) \u003d -cos 2x.

Iš čia, remiantis argumentų pridėjimo formulėmis ir pagrindine trigonometrine tapatybe, gauname

A \u003d (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 \u003d nuodėmė 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) \u003d
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Atsakymas: 1.

2 pavyzdys

Išreiškimą M = cos α + cos (α + β) cos γ + cos β – sin (α + β) sin γ + cos γ paverskite sandauga.

Sprendimas.

Iš argumentų pridėjimo formulių ir trigonometrinių funkcijų sumos pavertimo sandauga formulių po atitinkamo sugrupavimo gauname

М = (cos (α + β) cos γ - sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2).

Atsakymas: М = 4cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2) cos ((β + γ)/2).

3 pavyzdys.

Parodykite, kad išraiška A \u003d cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) paima visus x iš R vieno ir ta pati vertė. Raskite šią vertę.

Sprendimas.

Pateikiame du šios problemos sprendimo būdus. Taikydami pirmąjį metodą, išskirdami visą kvadratą ir naudodami atitinkamas pagrindines trigonometrines formules, gauname

A \u003d (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) cos (x - π / 6) \u003d

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2 (cos 2x + cos π/3) =

Nuodėmė 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 = 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 = 3/4.

Išspręsdami uždavinį antruoju būdu, apsvarstykite A kaip x iš R funkciją ir apskaičiuokite jo išvestinę. Po transformacijų gauname

А´ \u003d -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x - π/6) + cos (x + π/6) sin ( x + π/6)) – 2cos (x – π/6) sin (x – π/6) =

Nuodėmė 2 (x + π/6) + nuodėmė ((x + π/6) + (x – π/6)) – nuodėmė 2 (x – π/6) =

Sin 2x – (sin (2x + π/3) + nuodėmė (2x – π/3)) =

Sin 2x - 2sin 2x cos π/3 = nuodėmė 2x - nuodėmė 2x ≡ 0.

Taigi, remiantis intervale diferencijuojamos funkcijos pastovumo kriterijumi, darome išvadą, kad

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 – cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x ∈ R.

Atsakymas: A = 3/4 už x € R.

Pagrindiniai trigonometrinių tapatybių įrodinėjimo būdai yra šie:

a) kairiosios tapatybės pusės sumažinimas į dešinę atitinkamais transformacijomis;
b) dešinės tapatybės pusės sumažinimas į kairę;
in) dešinės ir kairės tapatybės dalių sumažinimas iki vienodos formos;
G) skirtumo tarp kairiosios ir dešiniosios įrodomos tapatybės dalių sumažinimas iki nulio.

4 pavyzdys

Patikrinkite, ar cos 3x = -4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3).

Sprendimas.

Transformuojasi dešinioji pusėšią tapatybę turime pagal atitinkamas trigonometrines formules

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) - cos x = cos 3x.

Dešinė tapatybės pusė sumažinama į kairę.

5 pavyzdys

Įrodykite, kad sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ = 2, jei α, β, γ yra kurio nors trikampio vidiniai kampai.

Sprendimas.

Atsižvelgdami į tai, kad α, β, γ yra kurio nors trikampio vidiniai kampai, gauname, kad

α + β + γ = π, taigi γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ =

Sin 2 α + nuodėmė 2 β + nuodėmė 2 (π - α - β) - 2cos α cos β cos (π - α - β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) (cos (α + β) =

1/2 (1 – cos 2α) + ½ (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 (cos 2α + cos 2β) = 2.

Pirminė lygybė įrodyta.

6 pavyzdys

Įrodykite, kad norint, kad vienas iš trikampio kampų α, β, γ būtų lygus 60°, būtina ir pakanka, kad sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Sprendimas.

Šios problemos sąlyga suponuoja ir būtinumo, ir pakankamumo įrodymą.

Pirmiausia įrodome reikia.

Galima parodyti, kad

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

Taigi, atsižvelgiant į tai, kad cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, gauname, kad jei vienas iš kampų α, β arba γ yra lygus 60°, tada

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, taigi sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Įrodykime dabar adekvatumas nurodyta sąlyga.

Jei sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, tai cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, todėl

arba cos (3α/2) = 0, arba cos (3β/2) = 0, arba cos (3γ/2) = 0.

Vadinasi,

arba 3α/2 = π/2 + πk, t.y. α = π/3 + 2πk/3,

arba 3β/2 = π/2 + πk, t.y. β = π/3 + 2πk/3,

arba 3γ/2 = π/2 + πk,

tie. γ = π/3 + 2πk/3, kur k ϵ Z.

Iš to, kad α, β, γ yra trikampio kampai, turime

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Todėl, jei α = π/3 + 2πk/3 arba β = π/3 + 2πk/3 arba

γ = π/3 + 2πk/3 iš visų kϵZ tinka tik k = 0.

Iš to išplaukia, kad arba α = π/3 = 60°, arba β = π/3 = 60°, arba γ = π/3 = 60°.

Teiginys pasitvirtino.

Ar turite kokių nors klausimų? Nežinote, kaip supaprastinti trigonometrines išraiškas?
Norėdami gauti korepetitoriaus pagalbą – registruokitės.
Pirma pamoka nemokama!

svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.

Voronkova Olga Ivanovna

MBOU „Vidurinė mokykla

Nr. 18"

Engelsas, Saratovo sritis.

Matematikos mokytojas.

"Trigonometrinės išraiškos ir jų transformacijos"

Įvadas …………………………………………………………………………….3

1 skyrius Trigonometrinių reiškinių transformacijų naudojimo užduočių klasifikacija ………………………………………………………5

1.1. Skaičiavimo užduotys trigonometrinių išraiškų reikšmės……….5

1.2.Trigonometrinių išraiškų supaprastinimo užduotys .... 7

1.3. Skaitinių trigonometrinių reiškinių konvertavimo užduotys ... ..7

1.4 Mišrios užduotys…………………………………………………………………

2 skyrius

2.1 Teminis kartojimas 10 klasėje……………………………………………11

1 testas………………………………………………………………………………..12

2 testas…………………………………………………………………………………..13

3 testas…………………………………………………………………………………..14

2.2 Galutinis kartojimas 11 klasėje…………………………………………………15

1 testas…………………………………………………………………………………..17

2 testas…………………………………………………………………………………..17

3 testas…………………………………………………………………………………..18

Išvada………………………………………………………………………………………………………….

Naudotos literatūros sąrašas………………………………………..…….20

Įvadas.

Šiandienos sąlygomis svarbiausias klausimas: „Kaip galime padėti pašalinti kai kurias mokinių žinių spragas ir įspėti juos nuo galimų egzamino klaidų? Norint išspręsti šią problemą, būtina pasiekti, kad studentai ne formaliai įsisavintų programos medžiagą, o gilų ir sąmoningą jos supratimą, ugdytų žodinių skaičiavimų ir transformacijų greitį, taip pat ugdytų įgūdžius sprendžiant paprasčiausius dalykus. problemos „galvoje“. Būtina įtikinti studentus, kad tik esant aktyvioms pareigoms, studijuojant matematiką, įgyjant praktinius įgūdžius ir juos naudojant, galima tikėtis tikros sėkmės. Būtina išnaudoti visas galimybes ruošiantis egzaminui, įskaitant pasirenkamuosius dalykus 10-11 klasėje, reguliariai kartu su mokiniais analizuoti sudėtingas užduotis, pasirenkant racionaliausią jų sprendimo būdą klasėje ir papildomose pamokose.teigiamas rezultatastipinių problemų sprendimo sritį galima pasiekti, jei matematikos mokytojai sukursgeras bazinis studentų parengimas, ieškoti naujų būdų sprendžiant prieš mus atsivėrusias problemas, aktyviai eksperimentuoti, taikyti šiuolaikines pedagogines technologijas, metodus, būdus, kurie sukuria palankias sąlygas efektyviai studentų savirealizacijai ir apsisprendimui. naujas socialines sąlygas.

Trigonometrija yra neatskiriama mokyklinio matematikos kurso dalis. Geros trigonometrijos žinios ir stiprūs įgūdžiai yra pakankamo matematinės kultūros lygio įrodymas, būtina sąlyga sėkmingai mokytis matematikos, fizikos ir daugelio techninių dalykų. disciplinas.

Kūrinio aktualumas. Nemaža dalis abiturientų kiekvienais metais rodo labai prastą pasiruošimą šiai svarbiai matematikos sekcijai, ką rodo praėjusių metų rezultatai (baigimo procentas 2011 m. – 48,41%, 2012 m. – 51,05%), nuo išlaikymo analizės. vieningas valstybinis egzaminas parodė, kad mokiniai, atlikdami būtent šios dalies užduotis, daro daug klaidų arba tokių užduočių visiškai neatlieka. Viename valstybinis egzaminas klausimų apie trigonometriją galima rasti beveik trijų tipų užduotyse. Tai paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimas B5 užduotyje ir darbas su trigonometrinėmis išraiškomis B7 užduotyje bei trigonometrinių funkcijų tyrimas B14 užduotyje, taip pat B12 užduotys, kuriose yra formulės, apibūdinančios fizikinius reiškinius ir turinčios trigonometrines funkcijas. . Ir tai tik dalis B užduočių! Tačiau taip pat yra mėgstamų trigonometrinių lygčių su šaknų pasirinkimu C1 ir „nelabai mėgstamų“ geometrinių užduočių C2 ir C4.

Tikslas. Analizuokite NAUDOKITE medžiagą užduotys B7, skirtos trigonometrinių reiškinių transformavimui ir klasifikuoti užduotis pagal jų pateikimo testuose formą.

Darbą sudaro du skyriai, įvadas ir išvada. Įvade pabrėžiamas darbo aktualumas. Pirmame skyriuje pateikiama trigonometrinių išraiškų transformacijų panaudojimo teste užduočių klasifikacija NAUDOTI užduotis(2012).

Antrame skyriuje nagrinėjamas temos „Trigonometrinių raiškų transformacija“ kartojimo organizavimas 10, 11 klasėse ir rengiami testai šia tema.

Literatūros sąraše yra 17 šaltinių.

1 skyrius. Trigonometrinių reiškinių transformacijų naudojimo užduočių klasifikacija.

Vadovaujantis vidurinio (visiškojo) išsilavinimo standartu ir mokinių parengimo lygio reikalavimais, trigonometrijos pagrindų žinių užduotys įtraukiamos į reikalavimų kodifikatorių.

Trigonometrijos pagrindų mokymasis bus efektyviausias, kai:

studentai bus teigiamai motyvuoti pakartoti anksčiau studijuotą medžiagą;

ugdymo procese bus diegiamas į mokinį orientuotas požiūris;

bus taikoma užduočių sistema, prisidedanti prie mokinių žinių plėtimo, gilinimo, sisteminimo;

bus naudojamos pažangios pedagoginės technologijos.

Išanalizavę pasirengimo egzaminui literatūrą ir internetinius išteklius, pasiūlėme vieną iš galimų užduočių klasifikacijų B7 (KIM USE 2012-trigonometry): skaičiavimo užduotys.trigonometrinių išraiškų reikšmės; užduotysskaitmeninių trigonometrinių išraiškų konvertavimas; pažodinių trigonometrinių išraiškų transformavimo užduotys; mišrios užduotys.

1.1. Skaičiavimo užduotys trigonometrinių išraiškų reikšmės.

Vienas iš labiausiai paplitusių paprastų trigonometrinių problemų tipų yra trigonometrinių funkcijų verčių apskaičiavimas pagal vienos iš jų reikšmę:

a) Pagrindinio trigonometrinio tapatumo ir jo padarinių naudojimas.

1 pavyzdys . Rasti, jei
ir
.

Sprendimas.
,
,

Nes , tada
.

Atsakymas.

2 pavyzdys . Rasti
, jei
ir .

Sprendimas.
,
,
.

Nes , tada
.

Atsakymas. .

b) Dvigubo kampo formulių naudojimas.

3 pavyzdys . Rasti
, jei
.

Sprendimas. , .

Atsakymas.
.

4 pavyzdys . Raskite išraiškos reikšmę
.

Sprendimas. .

Atsakymas.
.

, jei
ir
. Atsakymas. -0,2

2. Rasti , jei
ir
. Atsakymas. 0.4

, jei. Atsakymas. -12.88

Rasti

, jei
. Atsakymas. -0,84

. Atsakymas. 6

1.2.Trigonometrinių išraiškų supaprastinimo užduotys. Redukcines formules mokiniai turėtų gerai įsisavinti, nes jos toliau bus naudojamos geometrijos, fizikos ir kitų susijusių disciplinų pamokose.

5 pavyzdys . Supaprastinkite išraiškas
.

Sprendimas. .

Atsakymas.
.

Užduotys savarankiškam sprendimui:

Supaprastinkite išraišką
.

Rasti
, jei
ir

Raskite išraiškos reikšmę
, jei
.

1.3. Skaitinių trigonometrinių reiškinių transformavimo užduotys.

Ugdant skaitinių trigonometrinių išraiškų konvertavimo užduočių įgūdžius ir gebėjimus, reikia atkreipti dėmesį į trigonometrinių funkcijų verčių lentelės žinias, trigonometrinių funkcijų pariteto ir periodiškumo savybes.

a) Naudojant tikslias trigonometrinių funkcijų vertes kai kuriems kampams.

6 pavyzdys . Apskaičiuoti
.

Sprendimas.
.

Atsakymas.
.

b) Naudojant pariteto savybes trigonometrinės funkcijos.

7 pavyzdys . Apskaičiuoti
.

Sprendimas. .

Atsakymas.

in) Periodiškumo savybių naudojimastrigonometrinės funkcijos.

8 pavyzdys . Raskite išraiškos reikšmę
.

Sprendimas. .

Atsakymas.
.

Užduotys savarankiškam sprendimui:

Raskite išraiškos reikšmę
.

2. Raskite išraiškos reikšmę
.

3. Raskite išraiškos reikšmę
. Atsakymas. 6

.

1.4 Mišrios užduotys.

Testinė sertifikavimo forma turi labai reikšmingų savybių, todėl svarbu atkreipti dėmesį į užduotis, susijusias su kelių trigonometrinių formulių naudojimu vienu metu.

9 pavyzdys Rasti
, jei
.

Sprendimas.
.

Atsakymas.
.

10 pavyzdys . Rasti
, jei
ir
.

Sprendimas. .

Nes , tada
.

Atsakymas.
.

11 pavyzdys. Rasti
, jei.

Sprendimas. , ,
,
,
,
,
.

Atsakymas.

12 pavyzdys. Apskaičiuoti
.

Sprendimas. .

Atsakymas.
.

13 pavyzdys Raskite išraiškos reikšmę
, jei
.

Sprendimas. .

Atsakymas.
.

Užduotys savarankiškam sprendimui:

Rasti
, jei
.

Rasti
, jei
.

3. Rasti
, jei.

4. Raskite išraiškos reikšmę
, jei
.

5. Raskite išraiškos reikšmę
, jei
.

2 skyrius. Metodologiniai aspektai baigiamojo temos „Trigonometrinių išraiškų transformacija“ pakartojimo organizavimas.

Vienas iš svarbiausių klausimų, prisidedančių prie tolesnio akademinių rezultatų gerinimo, gilių ir tvirtų žinių įgijimo tarp studentų yra anksčiau studijuotos medžiagos kartojimo klausimas. Praktika rodo, kad 10 klasėje tikslingiau organizuoti teminį kartojimą; 11 klasėje – baigiamasis pakartojimas.

2.1. Teminis kartojimas 10 klasėje.

Ypač dirbant su matematine medžiaga didelę reikšmęįgyja kiekvienos baigtos temos kartojimą arba visą kurso atkarpą.

Teminiu kartojimu studentų žinios šia tema sisteminamos paskutiniame jos ištraukimo etape arba po pertraukos.

Teminiam kartojimui skiriamos specialios pamokos, kuriose koncentruojama ir apibendrinta vienos konkrečios temos medžiaga.

Kartojimas pamokoje atliekamas pokalbio metu, į šį pokalbį plačiai įtraukiant mokinius. Po to studentai duoda užduotį pakartoti tam tikrą temą ir įspėjami, kad bus įskaitomas įskaitinis darbas.

Testas tam tikra tema turėtų apimti visus pagrindinius klausimus. Atlikus darbą, analizuojamos būdingos klaidos ir organizuojamas pakartojimas joms pašalinti.

Teminio kartojimo pamokoms siūlome išplėtotas bandomieji darbai tema „Trigonometrinių išraiškų konvertavimas“.

1 testas

2 testas

3 testas

Atsakymų lentelė

Testas

2.2. Paskutinis kartojimas 11 klasėje.

Paskutinis kartojimas atliekamas baigiamajame pagrindinių matematikos kurso klausimų nagrinėjimo etape ir yra logiškai susijęs su šios dalies ar viso kurso mokomosios medžiagos studijavimu.

Galutinis mokomosios medžiagos kartojimas turi šiuos tikslus:

1. Viso mokymo kurso medžiagos aktyvinimas, siekiant paaiškinti jos loginę struktūrą ir sukurti sistemą dalykinių ir tarpdalykinių santykių viduje.

2. Kartojimo procese gilinti ir, esant galimybei, plėsti studentų žinias pagrindiniais kurso klausimais.

Atsižvelgiant į privalomą matematikos egzaminą visiems abiturientams, laipsniškas USE įdiegimas verčia mokytojus imtis naujo požiūrio į pamokų ruošimą ir vedimą, atsižvelgiant į poreikį užtikrinti, kad visi mokiniai įsisavintų mokomąją medžiagą pradiniu lygiu, taip pat galimybė motyvuotiems studentams, norintiems gauti aukštus stojimo į universitetus balus, dinamišką pažangą įsisavinant medžiagą aukštesniu ir aukštu lygiu.

Paskutinio kartojimo pamokose galite apsvarstyti šias užduotis:

Sprendimas. =
= =
=
=
=
=0,5.

Nurodykite didžiausią sveikojo skaičiaus reikšmę, kurią gali gauti išraiška
.

Sprendimas. Nes
gali įgauti bet kokią segmentui priklausančią reikšmę [–1; 1], tada
ima bet kurią atkarpos reikšmę [–0,4; 0,4], todėl . Išraiškos sveikasis skaičius yra vienas - skaičius 4.

Supaprastinkite išraišką
.

Sprendimas: Naudokime kubų sumos faktoringo formulę: . Mes turime

Mes turime:
.

Atsakymas: 1

4 pavyzdys Apskaičiuoti
.

Sprendimas. .

Atsakymas: 0,28

Baigiamojo kartojimo pamokoms siūlome parengtus testus tema „Trigonometrinių išraiškų konvertavimas“.

Nurodykite didžiausią sveikąjį skaičių, neviršijantį 1

Išvada.

Išsiaiškinęs atitinkamą metodinė literatūrašia tema galime daryti išvadą, kad gebėjimas ir įgūdžiai mokykliniame matematikos kurse spręsti uždavinius, susijusius su trigonometrinėmis transformacijomis, yra labai svarbūs.

Atliekant darbą buvo atlikta užduočių klasifikacija B7. Nagrinėjamos trigonometrinės formulės, dažniausiai naudojamos 2012 m. CMM. Pateikiami užduočių su sprendimais pavyzdžiai. Sukurti diferencijuojami testai, skirti organizuoti žinių kartojimą ir sisteminimą ruošiantis egzaminui.

Patartina tęsti pradėtą ​​darbą, apsvarstant paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimas B5 užduotyje, trigonometrinių funkcijų tyrimas B14 užduotyje, B12 užduotis, kurioje yra formulės, apibūdinančios fizikinius reiškinius ir turinčios trigonometrines funkcijas.

Baigdamas norėčiau pažymėti, kad efektyvumas išlaikęs egzaminą daugiausia priklauso nuo to, kaip efektyviai organizuojamas mokymo procesas visuose švietimo lygmenyse, dalyvaujant visų kategorijų studentams. O jei pavyks suformuoti mokinių savarankiškumą, atsakingumą ir pasirengimą toliau mokytis visą tolesnį gyvenimą, tuomet ne tik vykdysime valstybės ir visuomenės užsakymą, bet ir padidinsime savo pačių savigarbą.

Mokomosios medžiagos kartojimas reikalauja mokytojo kūrybinis darbas. Jis turi pateikti aiškų ryšį tarp kartojimo tipų, įgyvendinti giliai apgalvotą kartojimo sistemą. Įvaldyti kartojimo organizavimo meną yra mokytojo užduotis. Nuo jų sprendimo labai priklauso mokinių žinių stiprumas.

Literatūra.

Vygodsky Ya.Ya., Elementariosios matematikos vadovas. -M.: Nauka, 1970 m.

Padidinto sunkumo algebros užduotys ir analizės pradžia: Vadovėlis 10-11 kl. vidurinė mokykla/ B.M. Ivlevas, A.M. Abramovas, Yu.P. Dudnicynas, S.I. Švarcburdas. – M.: Švietimas, 1990 m.

Pagrindinių trigonometrinių formulių taikymas posakių transformavimui (10 kl.) // Pedagoginių idėjų festivalis. 2012–2013 m.

Korjanovas A.G. , Prokofjevas A.A. Egzaminui ruošiame gerus ir puikius mokinius. - M.: Pedagoginis universitetas "Rugsėjo pirmoji", 2012.- 103 p.

Kuznecova E.N. Trigonometrinių išraiškų supaprastinimas. Trigonometrinių lygčių sprendimas įvairių metodų(pasiruošimas egzaminui). 11 klasė. 2012–2013 m.

Kulanin E.D. 3000 konkurencinių matematikos problemų. 4 id., teisinga. ir papildomas – M.: Rolfas, 2000 m.

Mordkovičius A.G. Trigonometrijos mokymosi bendrojo lavinimo mokykloje metodinės problemos // Matematika mokykloje. 2002. Nr.6.

Pichurin L.F. Apie trigonometriją ir ne tik apie ją: -M. Švietimas, 1985 m

Reshetnikovas N.N. Trigonometrija mokykloje: -M. : Pedagoginis universitetas "Rugsėjo pirmoji", 2006, lk 1.

Shabuninas M.I., Prokofjevas A.A. Matematika. Algebra. Matematinės analizės pradžia Profilio lygis: vadovėlis 10 klasei - M .: BINOM. Žinių laboratorija, 2007 m.

Mokomasis portalas, skirtas pasiruošti egzaminui.

Pasiruošimas matematikos egzaminui „O šita trigonometrija! http://festival.1september.ru/articles/621971/

Projektas "Matematika? Lengva!!!" http://www.resolventa.ru/

Skyriai: Matematika

Klasė: 11

1-oji pamoka

Tema: 11 klasė (pasirengimas egzaminui)

Trigonometrinių išraiškų supaprastinimas.

Paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimas. (2 valandos)

Tikslai:

• Sisteminti, apibendrinti, plėsti mokinių žinias ir įgūdžius, susijusius su trigonometrijos formulių naudojimu ir paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimu.

Įranga pamokai:

Pamokos struktūra:

1. Orgmomentas
2. Testavimas nešiojamuose kompiuteriuose. Rezultatų aptarimas.
3. Trigonometrinių išraiškų supaprastinimas
4. Paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimas
5. Savarankiškas darbas.
6. Pamokos santrauka. Namų darbų paaiškinimas.

1. Organizacinis momentas. (2 minutės.)

Mokytojas pasisveikina su auditorija, paskelbia pamokos temą, primena, kad anksčiau buvo duota užduotis pakartoti trigonometrijos formules ir paruošia mokinius testavimui.

2. Testavimas. (15min + 3min diskusija)

Tikslas – pasitikrinti trigonometrinių formulių žinias ir gebėjimus jas taikyti. Kiekvienas studentas ant savo stalo turi nešiojamąjį kompiuterį, kuriame yra testavimo parinktis.

Gali būti daugybė variantų, pateiksiu vieną iš jų pavyzdį:

I variantas.

Supaprastinkite išraiškas:

a) pagrindinės trigonometrinės tapatybės

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) sudėjimo formulės

3. sin5x - sin3x;

c) sandaugos pavertimas suma

6. 2sin8y cos3y;

d) dvigubo kampo formules

7.2sin5x cos5x;

e) pusės kampo formulės

f) trigubo kampo formules

g) universalus pakeitimas

h) laipsnio mažinimas

16. cos 2 (3x/7);

Mokiniai, dirbantys nešiojamajame kompiuteryje, priešais kiekvieną formulę mato savo atsakymus.

Darbas akimirksniu patikrinamas kompiuteriu. Rezultatai rodomi dideliame ekrane, kad visi galėtų matyti.

Taip pat, pasibaigus darbui, mokinių nešiojamuosiuose kompiuteriuose rodomi teisingi atsakymai. Kiekvienas mokinys mato, kur buvo padaryta klaida ir kokias formules jam reikia kartoti.

3. Trigonometrinių išraiškų supaprastinimas. (25 min.)

Tikslas – pakartoti, išsiaiškinti ir įtvirtinti pagrindinių trigonometrijos formulių taikymą. B7 uždavinių sprendimas iš egzamino.

Ant šis etapas klasę patartina suskirstyti į stiprių (dirba savarankiškai su vėlesniu patikrinimu) ir silpnų mokinių, dirbančių su mokytoju, grupes.

Užduotis stipriems mokiniams (iš anksto paruošta spausdintu pagrindu). Pagal USE 2011 pagrindinis dėmesys skiriamas sumažinimo ir dvigubo kampo formulėms.

Supaprastinkite posakius (stipriems besimokantiems):

Lygiagrečiai mokytojas dirba su silpnais mokiniais, diskutuodamas ir sprendžiant užduotis ekrane pagal mokinių diktavimą.

Apskaičiuoti:

5) sin (270º - α) + cos (270º + α)

6)

Supaprastinti:

Atėjo eilė aptarti stiprios grupės darbo rezultatus.

Ekrane pasirodo atsakymai, taip pat vaizdo kameros pagalba atvaizduojami 5 skirtingų mokinių darbai (kiekvienam po vieną užduotį).

Silpnoji grupė mato sąlygą ir sprendimo būdą. Vyksta diskusija ir analizė. Naudojant technines priemones, tai įvyksta greitai.

4. Paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimas. (30 minučių.)

Tikslas – atkartoti, susisteminti ir apibendrinti paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimą, fiksuojant jų šaknis. Uždavinio B3 sprendimas.

Bet koks trigonometrinė lygtis, nesvarbu, kaip ją išspręstume, veda prie paprasčiausio.

Atlikdami užduotį, mokiniai turėtų atkreipti dėmesį į konkrečių atvejų ir bendrosios formos lygčių šaknų užrašymą bei šaknų parinkimą paskutinėje lygtyje.

Išspręskite lygtis:

Užrašykite mažiausią teigiamą atsakymo šaknį.

5. Savarankiškas darbas (10 min.)

Tikslas – išbandyti įgytus įgūdžius, nustatyti problemas, klaidas ir būdus joms pašalinti.

Mokinio pasirinkimu siūlomi įvairūs darbai.

„3“ parinktis

1) Raskite išraiškos reikšmę

2) Supaprastinkite išraišką 1 – sin 2 3α – cos 2 3α

3) Išspręskite lygtį

„4“ parinktis

1) Raskite išraiškos reikšmę

2) Išspręskite lygtį Užrašykite mažiausią teigiamą savo atsakymo šaknį.

„5“ parinktis

1) Raskite tgα jei

2) Raskite lygties šaknį Užrašykite mažiausią teigiamą savo atsakymo šaknį.

6. Pamokos santrauka (5 min.)

Mokytojas apibendrina tai, kad pamokoje buvo kartojamos ir konsoliduojamos trigonometrinės formulės, paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimas.

Duota namų darbai(parengta spausdintu pagrindu iš anksto) su patikrinimu vietoje kitoje pamokoje.

Išspręskite lygtis:

9)

10) Atsakymą pateikite kaip mažiausią teigiamą šaknį.

2 pamoka

Tema: 11 klasė (pasirengimas egzaminui)

Trigonometrinių lygčių sprendimo būdai. Šaknų pasirinkimas. (2 valandos)

Tikslai:

• Apibendrinti ir sisteminti žinias apie įvairių tipų trigonometrinių lygčių sprendimą.
• Skatinti ugdyti mokinių matematinį mąstymą, gebėjimą stebėti, lyginti, apibendrinti, klasifikuoti.
• Skatinti mokinius įveikti sunkumus protinės veiklos procese, susivaldyti, įsigilinti į savo veiklą.

Įranga pamokai: KRMu, nešiojamieji kompiuteriai kiekvienam mokiniui.

Pamokos struktūra:

1. Orgmomentas
2. Diskusija d / s ir samot. paskutinės pamokos darbas
3. Trigonometrinių lygčių sprendimo metodų kartojimas.
4. Trigonometrinių lygčių sprendimas
5. Šaknų parinkimas trigonometrinėse lygtyse.
6. Savarankiškas darbas.
7. Pamokos santrauka. Namų darbai.

1. Organizavimo momentas (2 min.)

Mokytojas pasisveikina su auditorija, paskelbia pamokos temą ir darbo planą.

2. a) Namų darbų analizė (5 min.)

Tikslas yra patikrinti našumą. Vienas darbas vaizdo kameros pagalba rodomas ekrane, likusieji pasirinktinai surenkami mokytojui patikrinti.

b) Savarankiško darbo analizė (3 min.)

Tikslas – ištaisyti klaidas, nurodyti būdus joms įveikti.

Ekrane yra atsakymai ir sprendimai, mokiniai iš anksto paskelbė savo darbus. Analizė vyksta greitai.

3. Trigonometrinių lygčių sprendimo metodų kartojimas (5 min.)

Tikslas – prisiminti trigonometrinių lygčių sprendimo būdus.

Paklauskite mokinių, kokius trigonometrinių lygčių sprendimo būdus jie žino. Pabrėžkite, kad yra vadinamieji pagrindiniai (dažnai naudojami) metodai:

• kintamasis pakeitimas,
• faktorizavimas,
• vienalytės lygtys,

ir yra taikomi metodai:

• pagal sumos pavertimo sandauga ir sandaugos į sumą formules,
• pagal redukcijos formules,
• universalus trigonometrinis pakeitimas
• įžanga pagalbinis kampas,
• padauginus iš kai kurių trigonometrinė funkcija.

Taip pat reikėtų prisiminti, kad vieną lygtį galima išspręsti įvairiais būdais.

4. Trigonometrinių lygčių sprendimas (30 min.)

Tikslas – apibendrinti ir įtvirtinti žinias ir įgūdžius šia tema, pasiruošti C1 sprendimui iš USE.

Manau, kad kiekvieno metodo lygtis tikslinga spręsti kartu su studentais.

Mokinys padiktuoja sprendimą, mokytojas užsirašo planšete, visas procesas rodomas ekrane. Tai leis greitai ir efektyviai atkurti anksčiau uždengtą medžiagą atmintyje.

Išspręskite lygtis:

1) kintamojo pokytis 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktorizavimas 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) vienalytis nuodėmės lygtys 2x + 3cos 2x - 2sin2x = 0

4) sumos konvertavimas į sandaugą cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) sandaugą paverčiant suma 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) sin2x laipsnio sumažinimas - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) universalus trigonometrinis pakaitalas sinx + 5cosx + 5 = 0.

Sprendžiant šią lygtį, reikia pažymėti, kad naudojimas šis metodas veda prie apibrėžimo srities susiaurėjimo, nes sinusas ir kosinusas pakeičiami tg(x/2). Todėl prieš išrašant atsakymą reikia patikrinti, ar skaičiai iš aibės π + 2πn, n Z yra šios lygties arkliai.

8) pagalbinio kampo įvedimas √3sinx + cosx - √2 = 0

9) daugyba iš kokios nors trigonometrinės funkcijos cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Trigonometrinių lygčių šaknų parinkimas (20 min.)

Kadangi aršios konkurencijos sąlygomis stojant į universitetus neužtenka vienos pirmosios egzamino dalies sprendimo, dauguma studentų turėtų atkreipti dėmesį į antrosios dalies (C1, C2, C3) užduotis.

Todėl šio pamokos etapo tikslas – prisiminti anksčiau išstuduotą medžiagą, pasiruošti C1 uždavinio sprendimui iš NAUDOJIMO 2011 m.

Yra trigonometrinių lygčių, kuriose rašant atsakymą reikia pasirinkti šaknis. Taip yra dėl kai kurių apribojimų, pavyzdžiui: trupmenos vardiklis nelygus nuliui, išraiška po lyginio laipsnio šaknimi yra neneigiama, išraiška po logaritmo ženklu yra teigiama ir t.

Tokios lygtys laikomos padidinto sudėtingumo lygtimis egzamino versija yra antroje dalyje, būtent C1.

Išspręskite lygtį:

Trupmena lygi nuliui, jei tada naudojant vieneto ratas pasirinksime šaknis (žr. 1 pav.)

1 paveikslas.

gauname x = π + 2πn, n Z

Atsakymas: π + 2πn, n Z

Ekrane šaknų pasirinkimas rodomas apskritime spalvotame paveikslėlyje.

Produktas yra lygus nuliui, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui, o lankas tuo pačiu nepraranda savo reikšmės. Tada

Naudodami vieneto apskritimą, pasirinkite šaknis (žr. 2 pav.)

2 pav.

5)

Eikime į sistemą:

Pirmoje sistemos lygtyje pakeičiame log 2 (sinx) = y, tada gauname lygtį , atgal į sistemą

naudodamiesi vieneto apskritimu, pasirenkame šaknis (žr. 5 pav.),

5 pav

6. Savarankiškas darbas (15 min.)

Tikslas – konsoliduoti ir patikrinti medžiagos įsisavinimą, nustatyti klaidas ir apibūdinti būdus, kaip jas ištaisyti.

Darbas siūlomas trimis versijomis, iš anksto parengtomis spausdintiniu pagrindu, studentų pasirinkimu.

Lygtis galima išspręsti bet kokiu būdu.

„3“ parinktis

Išspręskite lygtis:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 = 0

2) sin2x = √3cosx

„4“ parinktis

Išspręskite lygtis:

1) cos2x = 11sinx - 5

2) (2sinx + √3)log 8 (cosx) = 0

„5“ parinktis

Išspręskite lygtis:

1) 2sinx - 3cosx = 2

2)

7. Pamokos apibendrinimas, namų darbai (5 min.)

Mokytojas apibendrina pamoką, dar kartą atkreipia dėmesį į tai, kad trigonometrinę lygtį galima išspręsti keliais būdais. Dauguma Geriausias būdas norint pasiekti greitą rezultatą, būtent tokį, kurį geriausiai išmoksta konkretus mokinys.

Ruošiantis egzaminui reikia sistemingai kartoti formules ir lygčių sprendimo būdus.

Išdalinami namų darbai (iš anksto parengti spausdintiniu būdu) ir komentuojami kai kurių lygčių sprendimo būdai.

Išspręskite lygtis:

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) – cos(x/3) + 3 = 0

3) 4sin 2x + sin2x = 3

4) nuodėmė 2 x + nuodėmė 2 2x - nuodėmė 2 3x - nuodėmė 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx – 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8) cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8) cos15x

9) (2sin 2 x - sinx)log 3 (2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x - √3cosx)log 7 (-tgx) = 0

11)

Vaizdo pamoka „Trigonometrinių raiškų supaprastinimas“ skirta ugdyti mokinių gebėjimus sprendžiant trigonometrinius uždavinius naudojant pagrindinius trigonometrinius tapatumus. Vaizdo pamokos metu nagrinėjami trigonometrinių tapatybių tipai, uždavinių sprendimo pavyzdžiai juos naudojant. Naudojant vaizdines priemones, mokytojui lengviau pasiekti pamokos tikslus. Ryškus medžiagos pateikimas padeda įsiminti svarbius dalykus. Animacijos efektų ir balso vaidybos naudojimas leidžia visiškai pakeisti mokytoją medžiagos paaiškinimo etape. Taigi, naudodamas šią vaizdinę priemonę matematikos pamokose, mokytojas gali padidinti mokymo efektyvumą.

Vaizdo pamokos pradžioje skelbiama jos tema. Tada prisimenamos anksčiau tyrinėtos trigonometrinės tapatybės. Ekrane rodomos lygybės sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, kur t≠π/2+πk kϵZ, ctg t=cos t/sin t, teisinga t≠πk, kur kϵZ, tan t · ctg t=1, kai t≠πk/2, kur kϵZ, vadinamos pagrindinėmis trigonometrinėmis tapatybėmis. Pažymima, kad šios tapatybės dažnai naudojamos sprendžiant problemas, kai reikia įrodyti lygybę ar supaprastinti išraišką.

Toliau nagrinėjami šių tapatybių taikymo sprendžiant problemas pavyzdžiai. Pirma, siūloma apsvarstyti posakių supaprastinimo problemų sprendimą. 1 pavyzdyje reikia supaprastinti išraišką cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Norint išspręsti pavyzdį, pirmiausia skliausteliuose pateikiamas bendras koeficientas cos 2 t. Dėl tokios transformacijos skliausteliuose gaunama išraiška 1-cos 2 t, kurios reikšmė iš pagrindinės trigonometrijos tapatybės yra lygi sin 2 t. Po išraiškos transformacijos akivaizdu, kad iš skliaustų galima ištraukti dar vieną bendrą veiksnį sin 2 t, po kurio išraiška įgauna formą sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t). Iš tos pačios pagrindinės tapatybės išvedame reiškinio reikšmę skliausteliuose, lygius 1. Supaprastinimo rezultate gauname cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

2 pavyzdyje išraiška kaina/(1- sint)+ kaina/(1+ sint) taip pat turi būti supaprastinta. Kadangi išraiškos kaina yra abiejų trupmenų skaitikliuose, ją galima skliausteliuose pateikti kaip bendrą veiksnį. Tada trupmenos skliausteliuose sumažinamos iki bendro vardiklio, dauginant (1- sint)(1+ sint). Sumažinus panašius narius, skaitiklyje lieka 2, o vardiklyje 1 - sin 2 t. Dešinėje ekrano pusėje primenama pagrindinė trigonometrinė tapatybė sin 2 t+cos 2 t=1. Naudodamiesi juo randame trupmenos cos 2 t vardiklį. Sumažinus trupmeną, gauname supaprastintą išraiškos kainą / (1- sint) + kaina / (1 + sint) \u003d 2 / kaina.

Toliau nagrinėjame tapatybių įrodinėjimo pavyzdžius, kuriuose pritaikomos įgytos žinios apie pagrindines trigonometrijos tapatybes. 3 pavyzdyje būtina įrodyti tapatumą (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Dešinėje ekrano pusėje rodomos trys tapatybės, kurių prireiks įrodymui – tg t ctg t=1, ctg t=cos t/sin t ir tg t=sin t/cos t su apribojimais. Tapatumui įrodyti pirmiausiai atveriami skliaustai, po kurių susidaro sandauga, atspindinti pagrindinės trigonometrinės tapatybės išraišką tg t·ctg t=1. Tada pagal tapatybę iš kotangento apibrėžimo transformuojamas ctg 2 t. Transformacijų rezultate gaunama išraiška 1-cos 2 t. Naudodami pagrindinę tapatybę, randame išraiškos reikšmę. Taigi įrodyta, kad (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

4 pavyzdyje reikia rasti išraiškos tg 2 t+ctg 2 t reikšmę, jei tg t+ctg t=6. Norėdami įvertinti išraišką, pirmiausia pakelkite kvadratą dešinioji ir kairioji lygties (tg t+ctg t) 2 =6 2 pusės. Sutrumpinta daugybos formulė rodoma dešinėje ekrano pusėje. Atvėrus skliaustus kairėje išraiškos pusėje, susidaro suma tg 2 t+2 tg t ctg t+ctg 2 t, kurios transformacijai galima pritaikyti vieną iš trigonometrinių tapatybių tg t ctg t=1, kurios forma primenama dešinėje ekrano pusėje. Po transformacijos gaunama lygybė tg 2 t+ctg 2 t=34. Kairioji lygybės pusė sutampa su uždavinio sąlyga, todėl atsakymas yra 34. Uždavinys išspręstas.

Vaizdo pamoką „Trigonometrinių išraiškų supaprastinimas“ rekomenduojama naudoti tradicinėje mokyklinėje matematikos pamokoje. Be to, medžiaga bus naudinga mokytojui, vykdant nuotolinio mokymosi. Siekiant suformuoti trigonometrinių uždavinių sprendimo įgūdžius.

TEKSTO AIŠKINIMAS:

„Trigonometrinių išraiškų supaprastinimas“.

Lygybė

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinuso kvadratas te plius kosinuso kvadratas te lygus vienetui)

2) tgt =, esant t ≠ + πk, kϵZ (te liestinė yra lygi te sinuso ir te kosinuso santykiui, kai te nelygus pi iš dviejų plius pi ka, ka priklauso zet)

3) ctgt = , esant t ≠ πk, kϵZ (te kotangentas yra lygus te kosinuso ir te sinuso santykiui, kai te nėra lygus ka smailei, kuri priklauso z).

4) tgt ∙ ctgt = 1, kai t ≠ , kϵZ

vadinamos pagrindinėmis trigonometrinėmis tapatybėmis.

Dažnai jie naudojami supaprastinant ir įrodant trigonometrines išraiškas.

Apsvarstykite šių formulių naudojimo pavyzdžius, kai supaprastinate trigonometrines išraiškas.

PAVYZDYS 1. Supaprastinkite išraišką: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (kosinuso kvadrato te, atėmus ketvirtojo te laipsnio kosinuso ir ketvirtojo te laipsnio sinuso, išraiška).

Sprendimas. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1= sin 2 t

(išimame bendrą koeficientą kosinuso kvadratas te, skliausteliuose gauname skirtumą tarp vieneto ir kvadrato kosinuso te, kuris lygus sinuso te kvadratui pagal pirmąją tapatybę. Gauname ketvirtojo sinuso sumą kosinuso kvadrato te ir sinuso kvadrato te sandaugos laipsnis te. Iš skliaustų išimame bendrą koeficientą sinuso kvadrato te, skliaustuose gauname kosinuso ir sinuso kvadratų sumą, kuri pagal pagrindinį trigonometrinį tapatumas, yra lygus 1. Dėl to gauname sinuso te kvadratą).

2 PAVYZDYS. Supaprastinkite išraišką: + .

(išraiška yra dviejų trupmenų suma pirmojo kosinuso te skaitiklyje vardiklyje vienas atėmus sinusus te, antrojo kosinuso skaitiklyje te antrojo vardiklyje plius sinusus te).

(Iš skliaustų išimame bendrą koeficientą kosinusą te, o skliausteliuose pateikiame jį į bendrą vardiklį, kuris yra vieno minus sinuso te sandauga iš vieno plius sinuso te.

Skaitiklyje gauname: vienas plius sinusas te plius vienas minus sinusas te, pateikiame panašius, skaitiklis lygus dviem atvedus panašius.

Vardiklyje galite pritaikyti sutrumpintą daugybos formulę (kvadratų skirtumas) ir gauti skirtumą tarp vieneto ir sinuso te kvadrato, kuris pagal pagrindinę trigonometrinę tapatybę

yra lygus kosinuso te kvadratui. Sumažinę kosinusu te, gauname galutinį atsakymą: du padalinti iš kosinuso te).

Apsvarstykite šių formulių naudojimo pavyzdžius trigonometrinių išraiškų įrodyme.

3 PAVYZDYS. Įrodykite tapatumą (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d sin 2 t (te liestinės ir te sinuso kvadratų skirtumo sandauga ir kotangento kvadrato te yra lygus te sinuso kvadratui).

Įrodymas.

Transformuokime kairę lygybės pusę:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ = 1 - 2 t = sin 2 t

(Atverkime skliaustus, iš anksčiau gauto santykio žinoma, kad te liestinės kvadratų sandauga su kotangentu te lygi vienetui. Prisiminkime, kad te kotangentas yra lygus kosinuso santykiui te į sinusą te, o tai reiškia, kad kotangento kvadratas yra te kosinuso kvadrato ir te sinuso kvadrato santykis.

Sumažinę te sinuso kvadratu, gauname skirtumą tarp vienybės ir kvadrato te kosinuso, kuris yra lygus te kvadrato sinusui). Q.E.D.

4 PAVYZDYS. Raskite išraiškos tg 2 t + ctg 2 t reikšmę, jei tgt + ctgt = 6.

(te liestinės ir kotangento kvadratų suma, jei liestinės ir kotangento suma yra šeši).

Sprendimas. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Palyginkime abi pradinės lygybės dalis:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (te liestinės ir te kotangento sumos kvadratas yra šeši kvadratai). Prisiminkite sutrumpintą daugybos formulę: Dviejų dydžių sumos kvadratas yra lygus pirmojo kvadratui plius dvigubai pirmojo ir antrojo plius antrojo kvadratui. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Gauname tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 .

Kadangi te liestinės ir te kotangento sandauga yra lygi vienetui, tada tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (te liestinės ir te ir du kotangento kvadratų suma yra trisdešimt šeši),