Lõpetage õppetunnid – teadmiste hüpermarket. Nelinurga definitsioon

Üks huvitavamaid geomeetria teemasid koolikursusest on "Nelinurgad" (8. klass). Mis tüüpi selliseid kujusid eksisteerib, millised erilised omadused neil on? Mille poolest on üheksakümnekraadised nelinurgad ainulaadsed? Vaatame seda kõike.

Millist geomeetrilist kujundit nimetatakse nelinurgaks

Hulknurki, mis koosnevad neljast küljest ja vastavalt neljast tipust (nurgast), nimetatakse Eukleidilises geomeetrias nelinurkadeks.

Huvitav on seda tüüpi figuuride nimede ajalugu. Vene keeles moodustatakse nimisõna "nelinurk" fraasist "neli nurka" (nagu "kolmnurk" - kolm nurka, "viisnurk" - viis nurka jne).

Ladina keeles (mille kaudu jõudsid paljud geomeetrilised terminid enamikusse maailma keeltesse) nimetatakse seda aga nelinurgaks. See sõna on moodustatud arvsõnast neli (neli) ja nimisõna latus (külg). Seega võime järeldada, et iidsed inimesed nimetasid seda hulknurka "neljapoolseks".

Muide, see nimi (rõhuga seda tüüpi kujunditel nelja külje, mitte nurkade olemasolul) on mõnes tänapäeva keeles säilinud. Näiteks inglise keeles on see quadrilateral ja prantsuse keeles quadrilatère.

Veelgi enam, enamikus slaavi keeltes tuvastatakse kõnealuste kujundite tüüp ikkagi nurkade, mitte külgede arvu järgi. Näiteks slovaki keeles (štvoruholník), bulgaaria keeles (“chetyr'g'lnik”), valgevene keeles (“chatyrokhkutnik”), ukraina keeles (“chotirikutnik”), tšehhi keeles (čtyřúhelník), poola keeles aga nimetatakse nelinurka. külgede arvu järgi - cz.

Mis tüüpi nelinurki õpitakse kooli õppekavas

Kaasaegses geomeetrias on 4 tüüpi nelja küljega hulknurki.

Mõnede nende liiga keeruliste omaduste tõttu tutvustatakse koolilastele aga geomeetriatundides vaid kahte tüüpi.

• Parallelogramm Sellise nelinurga vastasküljed on paarikaupa üksteisega paralleelsed ja on vastavalt ka paarikaupa võrdsed.
• Trapets (trapets või trapets). See nelinurk koosneb kahest vastasküljest, mis on üksteisega paralleelsed. Teisel küljepaaril seda funktsiooni aga pole.

Nelinurkade tüübid, mida kooli geomeetria kursusel ei õpitud

Lisaks eelmainitule on veel kahte tüüpi nelinurki, mida kooliõpilastele geomeetriatundides nende erilise keerukuse tõttu ei tutvustata.

• Deltaliha (lohe)- kujund, kus kaks paari külgnevaid külgi on üksteisega võrdse pikkusega. Selline nelinurk sai oma nime tänu sellele, et välimuselt meenutab see üsna tugevalt kreeka tähestiku tähte - "delta".
• Antiparallelogramm- see kujund on sama keeruline kui selle nimi. Selles on kaks vastaskülge võrdsed, kuid samal ajal ei ole nad üksteisega paralleelsed. Lisaks ristuvad selle nelinurga pikad vastasküljed, nagu ka kahe teise, lühema külje pikendused.

Rööpküliku tüübid

Olles käsitlenud nelinurkade põhitüüpe, peaksite pöörama tähelepanu selle alamliikidele. Seega jagunevad kõik rööpkülikud omakorda nelja rühma.

• Klassikaline rööpkülik.
• Romb (romb)- võrdsete külgedega nelinurkne kujund. Selle diagonaalid lõikuvad täisnurga all, jagades rombi neljaks võrdseks täisnurkseks kolmnurgaks.
• Ristkülik Nimi räägib enda eest. Kuna see on täisnurksega ristkülik (igaüks neist võrdub üheksakümne kraadiga). Selle vastasküljed pole mitte ainult paralleelsed, vaid ka võrdsed.
• Ruut Nagu ristkülik, on see täisnurkne ristkülik, kuid selle kõik küljed on võrdsed. See muudab selle kujundi rombi lähedaseks. Seega võib väita, et ruut on rombi ja ristküliku rist.

Ristküliku eriomadused

Arvestades arve, kus iga külgedevaheline nurk on võrdne üheksakümne kraadiga, tasub ristkülikule rohkem tähelepanu pöörata. Niisiis, millised on eripärad, mis eristavad seda teistest rööpkülikutest?

Et väita, et kõnealune rööpkülik on ristkülik, peavad selle diagonaalid olema üksteisega võrdsed ja kõik nurgad peavad olema sirged. Lisaks peab selle diagonaalide ruut vastama selle joonise kahe külgneva külje ruutude summale. Teisisõnu, klassikaline ristkülik koosneb kahest täisnurksest kolmnurgast ja neis, nagu teada, toimib vaadeldava nelinurga diagonaal hüpotenuusina.

Selle kujundi loetletud omadustest viimane on ka selle eriline omadus. Peale selle on veel teisigi. Näiteks asjaolu, et uuritava nelinurga kõik täisnurksed küljed on samal ajal ka selle kõrgused.

Lisaks, kui joonistate ringi ümber mis tahes ristküliku, on selle läbimõõt võrdne kirjutatud joonise diagonaaliga.

Selle nelinurga muude omaduste hulgas on see tasane ja seda ei eksisteeri mitteeukleidilises geomeetrias. See on tingitud asjaolust, et sellises süsteemis pole nelinurkseid kujundeid, mille nurkade summa on kolmsada kuuskümmend kraadi.

Ruut ja selle omadused

Olles käsitlenud ristküliku märke ja omadusi, tasub pöörata tähelepanu teisele teadusele teadaolevale täisnurksega nelinurgale (see on ruut).

Olles tegelikult sama ristkülik, kuid võrdsete külgedega, on sellel joonisel kõik selle omadused. Kuid erinevalt temast esineb ruut mitteeukleidilises geomeetrias.

Lisaks on sellel kujundil muid omapäraseid tunnuseid. Näiteks asjaolu, et ruudu diagonaalid ei ole lihtsalt üksteisega võrdsed, vaid ka ristuvad täisnurga all. Seega, nagu romb, koosneb ruut neljast täisnurksest kolmnurgast, milleks see on jagatud diagonaalidega.

Lisaks on see näitaja kõigist nelinurkadest kõige sümmeetrilisem.

Mis on nelinurga nurkade summa

Arvestades Eukleidilise geomeetria nelinurkade iseärasusi, tasub pöörata tähelepanu nende nurkadele.

Seega on kõigil ülaltoodud joonistel, olenemata sellest, kas sellel on täisnurgad või mitte, nende kogusumma alati sama - kolmsada kuuskümmend kraadi. See on seda tüüpi figuuri ainulaadne omadus.

Nelinurkade ümbermõõt

Olles välja mõelnud, millega võrdub seda tüüpi kujundite nelinurga nurkade ja muude eriomaduste summa, tasub välja selgitada, milliseid valemeid on nende ümbermõõdu ja pindala arvutamiseks kõige parem kasutada.

Iga nelinurga ümbermõõdu määramiseks peate lihtsalt liitma selle kõigi külgede pikkuse.

Näiteks KLMN-i kujundis saab selle ümbermõõtu arvutada järgmise valemi abil: P = KL + LM + MN + KN. Kui asendate siin arvud, saate: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

Kui kõnealune kujund on romb või ruut, saate perimeetri leidmiseks valemit lihtsustada, korrutades selle ühe külje pikkuse lihtsalt neljaga: P = KL x 4. Näiteks: 6 x 4 = 24 (cm).

Pindala nelinurga valemid

Olles välja mõelnud, kuidas leida nelja nurga ja küljega mis tahes kuju ümbermõõt, tasub kaaluda selle ala leidmiseks kõige populaarsemaid ja lihtsamaid viise.

Nelinurkade muud omadused: sissekirjutatud ja piiritletud ringid

Võttes arvesse nelinurga kui Eukleidilise geomeetria kujundi tunnuseid ja omadusi, tasub pöörata tähelepanu võimalusele kirjeldada või kirjutada selle sisse ringe:

• Kui joonise vastasnurkade summad on igaüks sada kaheksakümmend kraadi ja on paarikaupa võrdsed, siis saab sellise nelinurga ümber vabalt kirjeldada ringi.
• Ptolemaiose teoreemi kohaselt, kui ringjoont kirjeldatakse väljaspool nelja küljega hulknurka, on selle diagonaalide korrutis võrdne selle joonise vastaskülgede korrutistega. Seega näeb valem välja selline: KM x LN = KL x MN + LM x KN.
• Kui ehitada nelinurk, mille vastaskülgede summad on üksteisega võrdsed, saab sellesse kirjutada ringi.

Olles välja mõelnud, mis on nelinurk, millised on selle liigid, millistel neist on ainult täisnurgad külgede vahel ja millised omadused neil on, tasub kogu seda materjali meeles pidada. Eelkõige vaadeldavate hulknurkade perimeetri ja pindala leidmise valem. Sellise kujuga figuurid on ju ühed levinumad ja need teadmised võivad reaalses elus arvutustes kasuks tulla.

Nelja nurga ja nelja küljega. Nelinurga moodustab neljast lülist koosnev suletud polüjoon ja tasandi osa, mis asub polüliini sees.

Nelinurga tähistus koosneb selle tippudes olevatest tähtedest, nimetades need järjekorras. Näiteks öeldakse või kirjutatakse: nelinurk ABCD :

Nelinurgas ABCD punktid A, B, C ja D- see nelinurga tipud, segmendid AB, eKr, CD ja DA - peod.

Ühele poole kuuluvaid tippe nimetatakse naaber, nimetatakse tippe, mis ei ole kõrvuti vastanduv:

Nelinurgas ABCD topsid A ja B, B ja C, C ja D, D ja A- külgnevad ja tipud A ja C, B ja D- vastu. Külgnevates tippudes asuvaid nurki nimetatakse ka külgnevateks ja vastastippudes vastupidisteks.

Nelinurga küljed saab jagada ka paarikaupa kõrvuti asuvateks ja vastandlikeks: külgi, millel on ühine tipp, nimetatakse nn. naaber(või külgnevad), küljed, millel pole ühiseid tippe - vastanduv:

Peod AB ja eKr, eKr ja CD, CD ja DA, DA ja AB- külgnevad ja küljed AB ja DC, AD ja eKr- vastu.

Kui vastassuunalised tipud on segmendiga ühendatud, kutsutakse sellist lõiku nelinurga diagonaali järgi... Arvestades, et nelinurgas on ainult kaks paari vastandlikke tippe, saab diagonaale olla ainult kaks:

Segmendid AC ja BD- diagonaalid.

Mõelge kumerate nelinurkade peamistele tüüpidele:

• Trapets- nelinurk, milles üks vastaskülgede paar on üksteisega paralleelne ja teine ​​paar ei ole paralleelne.
  • Võrdhaarne trapets- trapets, mille küljed on võrdsed.
  • Ristkülikukujuline trapets- trapets, mille üks nurk on sirge.
• Parallelogramm- nelinurk, milles mõlemad vastaskülgede paarid on üksteisega paralleelsed.
  • Ristkülik- rööpkülik, mille kõik nurgad on võrdsed.
  • Romb- rööpkülik, mille kõik küljed on võrdsed.
  • Ruut- rööpkülik, mille mõlemad küljed ja nurgad on võrdsed. Nii ristkülik kui ka romb võivad olla ruudukujulised.

Kumerate nelinurksete nurkade omadused

Kõigil kumeratel nelinurkadel on kaks järgmist omadust:

1. Iga sisenurk, mis on väiksem kui 180 °.
2. Sisemised nurgad on kokku 360°.

Kooli õppekavas geomeetria tundides tuleb tegeleda erinevat tüüpi nelinurkadega: rombid, rööpkülikud, ristkülikud, trapetsid, ruudud. Esimesed uuritavad kujundid on ristkülik ja ruut.

Mis siis täpselt on ristkülik? Üldhariduskooli 2. klassi määratlus näeb välja selline: see on nelinurk, mille kõik neli nurka on sirged. Pole raske ette kujutada, kuidas ristkülik välja näeb: see on kujund, millel on 4 täisnurka ja küljed on paarikaupa paralleelsed.

Kokkupuutel

Kuidas mõista järgmist geomeetrilist ülesannet lahendades, millise nelinurgaga me tegeleme? Seal on kolm peamist märki, mille abil saate täpselt kindlaks teha, et me räägime ristkülikust. Nimetagem neid:

• joonis on nelinurk, mille kolm nurka on 90 °;
• esitatud nelinurk on võrdsete diagonaalidega rööpkülik;
• rööpkülik, millel on vähemalt üks täisnurk.

Huvitav teada: mis on kumer, selle omadused ja märgid.

Kuna ristkülik on rööpkülik (st nelinurk, mille vastasküljed on paarikaupa paralleelsed), siis kõik selle omadused ja tunnused on selle jaoks täidetud.

Valemid külgede pikkuse arvutamiseks

Ristkülikuna vastasküljed on võrdsed ja üksteisega paralleelsed. Pikemat külge nimetatakse tavaliselt pikkuseks (tähistatakse a-ga), lühemat - laiuseks (tähistatakse b-ga). Pildil olevas ristkülikus on pikkused küljed AB ja CD ning laiused AC ja B. D. Need on samuti risti alustega (st need on kõrgused).

Poolte leidmiseks võite kasutada allolevaid valemeid. Nad võtsid kasutusele kokkulepped: a on ristküliku pikkus, b on selle laius, d on diagonaal (segment, mis ühendab kahe üksteise vastas asuva nurga tippe), S on joonise pindala, P on ümbermõõt. , α on nurk diagonaali ja pikkuse vahel, β on mõlema diagonaali poolt moodustatud teravnurk. Külgede pikkuste leidmise viisid:

• Kasutades diagonaali ja teadaolevat külge: a = √ (d ² - b ²), b = √ (d ² - a ²).
• Joonise pindala ja selle ühe külje järgi: a = S / b, b = S / a.
• Kasutades perimeetrit ja teadaolevat külge: a = (P - 2 b) / 2, b = (P - 2 a) / 2.
• Läbi diagonaali ning selle ja pikkuse vahelise nurga: a = d sinα, b = d cosα.
• Läbi diagonaali ja nurga β: a = d sin 0,5 β, b = d cos 0,5 β.

Perimeeter ja pindala

Nelinurga ümbermõõtu nimetatakse selle kõigi külgede pikkuste summa. Perimeetri arvutamiseks saab kasutada järgmisi valemeid:

• Läbi mõlema külje: P = 2 (a + b).
• Läbi ala ja ühe külje: P = (2S + 2a ²) / a, P = (2S + 2b ²) / b.

Ala on perimeetriga piiratud ruum... Pindala arvutamiseks on kolm peamist viisi:

• Läbi mõlema külje pikkuste: S = a * b.
• Perimeetri ja mis tahes teadaoleva külje abil: S = (Pa - 2 a ²) / 2; S = (Pb - 2 b²) / 2.
• Diagonaal ja nurk β: S = 0,5 d ² sinβ.

Matemaatika koolikursuse ülesannetes nõutakse sageli head valdamist ristküliku diagonaalide omadused... Loetleme peamised:

1. Diagonaalid on üksteisega võrdsed ja jagatakse nende ristumispunktis kaheks võrdseks lõiguks.
2. Diagonaal on määratletud kui mõlema külje summa ruudu juur (tuleneb Pythagorase teoreemist).
3. Diagonaal jagab ristküliku kaheks täisnurkseks kolmnurgaks.
4. Lõikepunkt langeb kokku piiritletud ringi keskpunktiga ja diagonaalid ise - selle läbimõõduga.

Diagonaali pikkuse arvutamiseks kasutatakse järgmisi valemeid:

• Kasutades kujundi pikkust ja laiust: d = √ (a ² + b ²).
• Kasutades nelinurga ümber oleva ringi raadiust: d = 2 R.

Ruudu definitsioon ja omadused

Ruut on rombi, rööpküliku või ristküliku erijuht. See erineb nendest joonistest selle poolest, et kõik selle nurgad on sirged ja kõik neli külge on võrdsed. Ruut on korrapärane nelinurk.

Nelinurka nimetatakse ruuduks järgmistel juhtudel:

1. Kui see on ristkülik, mille pikkus a ja laius b on võrdsed.
2. Kui see on võrdsete diagonaalide pikkuste ja nelja täisnurgaga romb.

Ruudu atribuudid hõlmavad kõiki varem käsitletud ristkülikuga seotud omadusi, aga ka järgmist:

1. Diagonaalid on üksteisega risti (rombi omadus).
2. Lõikepunkt on sisse kirjutatud ringi keskpunkt.
3. Mõlemad diagonaalid jagavad nelinurga neljaks identseks täisnurkseks ja võrdhaarseks kolmnurgaks.

Tutvustame sageli kasutatavaid valemeid perimeetri, pindala ja ruudu elementide arvutamine:

• Diagonaal d = a √2.
• Ümbermõõt P = 4 a.
• Pindala S = a ².
• Piiratud ringi raadius on pool diagonaalist: R = 0,5 a √2.
• Sissekirjutatud ringi raadius on määratletud kui külje poolpikkus: r = a / 2.

Näited küsimustest ja ülesannetest

Analüüsime mõningaid küsimusi, millega võib koolis matemaatikakursust õppides kokku puutuda, ning lahendame paar lihtsat ülesannet.

Probleem 1... Kuidas muutub ristküliku pindala, kui suurendada selle külgede pikkust kolm korda?

Lahendus : Tähistame algkujundi pindala S0 ja kolmnurga pindala, mille külgede pikkus on kolm korda suurem - S1. Varem vaadeldud valemiga saame: S0 = ab. Nüüd suurendame pikkust ja laiust 3 korda ja kirjutame: S1 = 3 a 3 b = 9 ab. Võrreldes S0 ja S1, saab selgeks, et teine ​​ala on 9 korda suurem kui esimene.

Küsimus 1. Täisnurkne ristkülik on ruut?

Lahendus : Definitsioonist järeldub, et täisnurkse kujuga kujund on ruut ainult siis, kui selle kõigi külgede pikkused on võrdsed. Vastasel juhul on kujund ristkülik.

2. ülesanne... Ristküliku diagonaalid moodustavad 60 kraadise nurga. Ristküliku laius on 8. Arvuta diagonaali väärtus.

Lahendus: Tuletame meelde, et diagonaalid poolitatakse lõikepunktiga. Seega on tegemist võrdhaarse kolmnurgaga, mille tipunurk on võrdne 60 °. Kuna kolmnurk on võrdhaarne, on ka aluse nurgad samad. Lihtsate arvutuste abil leiame, et igaüks neist on 60 °. Sellest järeldub, et kolmnurk on võrdkülgne. Laius, mida me teame, on kolmnurga alus, seega on pool diagonaalist samuti 8 ja kogu diagonaali pikkus on kaks korda suurem ja võrdne 16-ga.

Küsimus 2. Kas ristküliku kõik küljed on võrdsed või mitte?

Lahendus : Piisab, kui meenutada, et ruudu kõik küljed peavad olema võrdsed, mis on ristküliku erijuhtum. Kõigil muudel juhtudel on piisav tingimus vähemalt 3 täisnurga olemasolu. Poolte võrdsus on vabatahtlik.

Probleem 3... Ruudu pindala on teada ja võrdub 289. Leidke sissekirjutatud ja piiritletud ringide raadiused.

Lahendus : Kasutades ruudu valemeid, teostame järgmised arvutused:

• Määratleme, millega ruudu põhielemendid on võrdsed: a = √ S = √289 = 17; d = a √2 = 1 7√2.
• Arvutame välja, millega võrdub ümber nelinurga ümbritsetud ringi raadius: R = 0,5 d = 8,5√2.
• Leidke sisse kirjutatud ringi raadius: r = a / 2 = 17/2 = 8,5.

Definitsioon. Rööpkülik on nelinurk, mille vastasküljed on paarikaupa paralleelsed.

Kinnisvara. Rööpküliku vastasküljed on võrdsed ja vastasnurgad on võrdsed.

Kinnisvara. Rööpküliku diagonaalid poolitatakse lõikepunkti võrra.

1 rööpkülikumärk. Kui nelinurga kaks külge on võrdsed ja paralleelsed, siis on see nelinurk rööpkülik.

2 rööpküliku märk. Kui nelinurga vastasküljed on paarikaupa võrdsed, siis on see nelinurk rööpkülik.

3 rööpküliku märk. Kui nelinurgas lõikuvad diagonaalid ja lõikepunkt jagatakse pooleks, siis on see nelinurk rööpkülik.

Definitsioon. Trapets on nelinurk, mille kaks külge on paralleelsed ja ülejäänud kaks külge ei ole paralleelsed. Paralleelseid külgi nimetatakse põhjustel.

Trapetsi nimetatakse võrdhaarne (võrdhaarne) kui selle küljed on võrdsed. Võrdhaarse trapetsi korral on aluste nurgad võrdsed.

Nimetatakse trapetsi, mille üks nurk on sirge ristkülikukujuline.

Külgede keskpunkte ühendavat lõiku nimetatakse trapetsi keskjoon... Keskmine joon on paralleelne alustega ja võrdne nende poolsummaga.

Definitsioon. Ristkülik on rööpkülik, mille kõik nurgad on sirged.

Kinnisvara. Ristküliku diagonaalid on võrdsed.

Ristküliku atribuut. Kui rööpküliku diagonaalid on võrdsed, on see rööpkülik ristkülik.

Definitsioon. Rombi nimetatakse rööpkülikuks, mille kõik küljed on võrdsed.

Kinnisvara. Rombi diagonaalid on üksteisega risti ja poolitavad selle nurgad.

Definitsioon. Ruut on ristkülik, mille kõik küljed on võrdsed.

Ruut on ristküliku konkreetne vaade, samuti konkreetne vaade rombil. Seetõttu on sellel kõik oma omadused.

Omadused:
1. Kõik ruudu nurgad on sirged

2. Ruudu diagonaalid on võrdsed, üksteisega risti, lõikepunkt on pooleks ja ruudu nurgad pooleks.

Tunni teema

• Nelinurga definitsioon.

Tunni eesmärgid

• Hariduslik - teadmiste kordamine, üldistamine ja testimine teemal: "Neliknurk"; põhioskuste arendamine.
• Arendav - arendada õpilaste tähelepanu, visadust, visadust, loogilist mõtlemist, matemaatilist kõnet.
• Hariv - õppetunni kaudu üksteisesse tähelepaneliku suhtumise kasvatamine, seltsimeeste kuulamise oskus, vastastikune abi, iseseisvus.

Tunni eesmärgid

• Arendada oskusi nelinurga ehitamisel, kasutades mõõtkava joonlauda ja joonistuskolmnurka.
• Testige õpilaste oskust probleeme lahendada.

Tunniplaan

1. Ajaloo viide. Mitteeukleidiline geomeetria.
2. Nelinurk.
3. Nelinurkade tüübid.

Mitteeukleidiline geomeetria

Mitteeukleidiline geomeetria, geomeetriaga sarnane geomeetria Euclid selle poolest, et figuuride liikumine on selles määratletud, kuid see erineb eukleidilisest geomeetriast selle poolest, et üks selle viiest postulaadist (teine ​​või viies) on asendatud selle eitusega. Ühe eukleidilise postulaadi (1825) eitamine oli mõtteloos märkimisväärne sündmus, sest see oli esimene samm relatiivsusteooria.

Eukleidese teine ​​postulaat väidab seda mis tahes sirge lõiku võib jätkata lõputult... Ilmselt uskus Euclid, et see postulaat sisaldab ka väidet, et joone pikkus on lõpmatu. aga "elliptilises" geomeetrias on iga sirge lõplik ja nagu ringjoon, on suletud.

Viies postulaat ütleb, et kui sirge lõikub kahte etteantud sirget nii, et selle ühel küljel olevad kaks sisenurka on kokku väiksemad kui kaks täisnurka, siis need kaks sirget, kui nad jätkuvad määramata aja jooksul, ristuvad küljel kus nende nurkade summa on väiksem kui kahe sirge summa. Kuid "hüperboolses" geomeetrias võib olla sirge CB (vt joonis), mis on punktis C risti etteantud sirgega r ja lõikab punktis B teravnurga all teist sirget s, kuid sellest hoolimata on lõpmatud sirged r ja s ei ristu kunagi ...

Nendest muudetud postulaatidest järeldas, et kolmnurga nurkade summa, mis võrdub 180 ° Eukleidilise geomeetriaga, on suurem kui 180 ° elliptilises geomeetrias ja väiksem kui 180 ° hüperboolses geomeetrias.

Nelinurk