Išraiškingą geometrinį racionaliųjų skaičių sistemos vaizdą galima gauti taip.
Ryžiai. 8. Skaičių ašis
Ant kažkokios tiesios linijos, „skaitinės ašies“, pažymėkite atkarpą nuo 0 iki 1 (8 pav.). Taip nustatomas vieneto segmento ilgis, kurį, paprastai kalbant, galima pasirinkti savavališkai. Tada teigiami ir neigiami sveikieji skaičiai vaizduojami kaip vienodai išdėstytų taškų skaičius skaitinėje ašyje, ty teigiami skaičiai pažymėti dešinėje, o neigiami - kairėje nuo taško 0. Norėdami vaizduoti skaičius su vardikliu, padalinkite kiekvieną iš gautų vieneto ilgio atkarpų į lygias dalis; padalijimo taškai pavaizduos trupmenas su vardikliu. Jei tai darysime su reikšmėmis, atitinkančiomis visus natūraliuosius skaičius, tada kiekvienas racionalusis skaičius bus pavaizduotas kokiu nors tašku skaitinėje ašyje. Šiuos punktus sutiksime vadinti „racionaliais“; apskritai terminai „racionalus skaičius“ ir „racionalus taškas“ bus vartojami kaip sinonimai.
I skyriaus 1 dalyje buvo apibrėžtas natūraliųjų skaičių nelygybės santykis. Skaičių ašyje šis santykis atsispindi taip: jei natūralusis skaičius A yra mažesnis už natūralųjį skaičių B, tada taškas A yra taško B kairėje. Kadangi nurodytas geometrinis ryšys nustatomas bet kuriai racionalių taškų porai, natūralu pabandyti apibendrinti aritmetinės nelygybės santykį taip, kad ši nagrinėjamų taškų geometrinė tvarka būtų išsaugota. Tai įmanoma, jei priimame tokį apibrėžimą: jie sako, kad racionalusis skaičius A yra mažesnis už racionalųjį skaičių arba kad skaičius B yra didesnis už skaičių, jei skirtumas yra teigiamas. Iš to išplaukia, kad taškai (skaičiai) tarp yra tie, kurie
vienu metu Kiekviena tokia taškų pora kartu su visais taškais tarp jų vadinama atkarpa (arba atkarpa) ir yra žymima (o vien tarpinių taškų rinkinys yra intervalas (arba intervalas), žymimas
Savavališko taško A atstumas nuo pradžios taško 0, laikomas teigiamu skaičiumi, vadinamas absoliučia A reikšme ir žymimas simboliu
„Absoliučios vertės“ sąvoka apibrėžiama taip: jei, tai jei tada Aišku, kad jei skaičiai turi tą patį ženklą, tai lygybė yra tiesa, jei jie turi skirtingus ženklus, tada. Sujungę šiuos du rezultatus kartu gauname bendrą nelygybę
kas yra tiesa, nepaisant ženklų
Esminės svarbos faktas išreiškiamas tokiu sakiniu: racionalūs taškai yra tankiai išdėstyti skaičių tiesėje. Šio teiginio prasmė ta, kad bet kuriame intervale, kad ir koks mažas jis būtų, yra racionalių taškų. Norint patikrinti pateikto teiginio teisingumą, pakanka paimti tokį didelį skaičių, kad intervalas (bus mažesnis už šį intervalą; tada bent vienas formos taškas bus šio intervalo viduje. Taigi nėra tokį skaičių ašies intervalą (net ir mažiausią, kurį galima įsivaizduoti), kurio viduje nebūtų racionalių taškų. Vadinasi, išplaukia dar viena pasekmė: kiekviename intervale yra begalė racionalių taškų. Iš tiesų, jei tam tikrame intervale būtų tik baigtinis racionaliųjų taškų skaičius, tada dviejų gretimų tokių taškų suformuotame intervale racionalių taškų nebebūtų, ir tai prieštarauja ką tik įrodytai.
Sąvokos „aibė“, „elementas“, „elemento priklausymas aibei“ yra pagrindinės matematikos sąvokos. Daug- bet kokia bet kokių daiktų kolekcija (kolekcija). .
A yra aibės B poaibis, jeigu kiekvienas aibės A elementas yra aibės B elementas, t.y. AÌB Û (xÎA Þ xÎB).
Du rinkiniai yra lygūs jei jie susideda iš tų pačių elementų. Kalbama apie aibės teorinę lygybę (nepainioti su lygybe tarp skaičių): A = B Û AÌB Ù BÌA.
Dviejų rinkinių sąjunga susideda iš elementų, priklausančių bent vienai iš aibių, t.y. хÎАÈВ Û хÎАÚ хÎВ.
Perėjimas susideda iš visų elementų, vienu metu priklausančių ir aibei A, ir aibei B: xÎAÇB Û xÎA Ù xÎB.
Skirtumas susideda iš visų elementų A, kurie nepriklauso B, t.y. xÎ A \ B Û xÎA ÙxÏB.
Dekarto gaminys Aibių A ir B C = A´B vadinama visų galimų porų aibe ( x, y), kur pirmasis elementas NS kiekviena pora priklauso A ir antrajam jos elementui adresu priklauso V.
Dekarto sandaugos A´B poaibis F vadinamas aibės A susiejimas su aibe B jei įvykdoma sąlyga: (" NSОА) ($! Pair ( xy) ÎF). Kartu jie rašo: A.
Sąvokos „ekranas“ ir „funkcija“ yra sinonimai. Jei ("хÎА) ($! УÎВ): ( x, y) ÎF, tada elementas adresuÎ V paskambino būdu NS rodydami F ir parašykite taip: adresu= F ( NS). Elementas NS tuo pat metu yra prototipas (vienas iš galimų) elementas y.
Apsvarstykite racionaliųjų skaičių aibė Q - visų sveikųjų skaičių aibė ir visų trupmenų (teigiamų ir neigiamų) aibė. Kiekvienas racionalus skaičius gali būti pavaizduotas kaip koeficientas, pavyzdžiui, 1 = 4/3 = 8/6 = 12/9 =…. Tokių idėjų yra daug, tačiau tik viena iš jų yra nepataisoma. .
V Bet kuris racionalusis skaičius gali būti vienareikšmiškai pavaizduotas kaip trupmena p / q, kur pÎZ, qÎN, skaičiai p, q yra pirminiai.
Rinkinio Q savybės:
1. Uždarumas aritmetinių operacijų atžvilgiu. Sudėjimo, atimties, daugybos, didinimo iki rezultatas natūralus laipsnis, racionaliųjų skaičių dalyba (išskyrus padalijimą iš 0) yra racionalusis skaičius:; ; 
.
2. Užsakymas: (" x, yÎQ, huy)®( x
Be to: 1) a> b, b> c Þ a> c; 2)a -b.
3. Tankis... Tarp bet kurių dviejų racionalių skaičių x, y yra trečias racionalus skaičius (pvz. c = ):
("x, yÎQ, x<y) ($ cÎQ): ( NS
Aibėje Q galite atlikti 4 aritmetinius veiksmus, spręsti tiesinių lygčių sistemas, bet formos kvadratines lygtis x 2 = a, aÎ N ne visada sprendžiami aibėje Q.
Teorema. Nėra numerio xÎQ kurio kvadratas yra 2.
g Tegu egzistuoja trupmena NS= p / q, kur skaičiai p ir q yra pirminiai ir NS 2 = 2. Tada (p / q) 2 = 2. Vadinasi,
Dešinė (1) pusė dalijasi iš 2, todėl p 2 yra lyginis skaičius. Taigi p = 2n (n-sveikasis skaičius). Tada q turi būti nelyginis.
Grįžtant prie (1), gauname 4n 2 = 2q 2. Todėl q 2 = 2n 2. Panašiai įsitikiname, kad q dalijasi iš 2, t.y. q yra lyginis skaičius. Teorema įrodoma prieštaravimu. N
racionaliųjų skaičių geometrinis vaizdas. Atidėję vieneto atkarpą nuo koordinačių pradžios 1, 2, 3… kartus į dešinę, gauname natūraliuosius skaičius atitinkančius koordinačių linijos taškus. Atidėję panašiai kaip į kairę, gauname taškus, atitinkančius neigiamus sveikuosius skaičius. Paimkime 1/q(q = 2,3,4 … ) vieneto segmento dalis ir ją atidėsime abiejose kilmės pusėse R kartą. Gauname tiesės taškus, atitinkančius formos skaičius ± p / q (pÎZ, qÎN). Jei p, q eina per visas pirminių skaičių poras, tai tiesėje turime visus taškus, atitinkančius trupmeninius skaičius. Taigi, kiekvienas racionalus skaičius pagal priimtą metodą atitinka vieną koordinačių linijos tašką.
Ar kiekvienam taškui galima nurodyti vieną racionalųjį skaičių? Ar tiesi linija visiškai užpildyta racionaliais skaičiais?
Pasirodo, kad koordinačių tiesėje yra taškų, kurie neatitinka jokių racionalių skaičių. Vienetinėje atkarpoje pastatykite lygiašonį stačiakampį trikampį. Taškas N neatitinka racionalaus skaičiaus, nes jei ĮJUNGTA = x- Tada racionaliai x 2 = 2, kurio negali būti.
Tiesioje linijoje yra be galo daug taškų, panašių į tašką N. Paimkite racionalias segmento dalis x = ĮJUNGTA, tie. NS... Jei atidėsime juos į dešinę, tada joks racionalus skaičius neatitiks kiekvieno iš tokių segmentų galo. Darant prielaidą, kad atkarpos ilgis išreiškiamas racionaliu skaičiumi x =, mes tai suprantame x =- racionalus. Tai prieštarauja tam, kas buvo įrodyta aukščiau.
Racionaliųjų skaičių neužtenka susieti kokį nors racionalųjį skaičių su kiekvienu koordinačių linijos tašku.
Pastatykime realiųjų skaičių aibė R skersai begalinės dešimtainės trupmenos.
Pagal „kampo“ padalijimo algoritmą bet kuris racionalusis skaičius gali būti pavaizduotas kaip baigtinė arba begalinė periodinė dešimtainė trupmena. Kai trupmena p / q neturi pirminių faktorių, išskyrus 2 ir 5, t.y. q = 2 m × 5 k, tada rezultatas bus galutinė dešimtainė trupmena p / q = a 0, a 1 a 2… a n. Likusios trupmenos gali turėti tik begalinius dešimtainius išplėtimus.
Žinodami begalinę periodinę dešimtainę trupmeną, galite rasti racionalųjį skaičių, kurį ji reiškia. Bet bet kuri galutinė dešimtainė trupmena gali būti pavaizduota kaip begalinė dešimtainė trupmena vienu iš šių būdų:
a 0, a 1 a 2… a n = a 0, a 1 a 2… a n 000… = a 0, a 1 a 2… (a n -1) 999… (2)
Pavyzdžiui, begaliniam dešimtainiui NS= 0, (9) turime 10 NS= 9, (9). Jei iš 10 kartų atimame pradinį skaičių, gauname 9 NS= 9 arba 1 = 1, (0) = 0, (9).
Visų racionalių skaičių aibės ir visų begalinių periodinių dešimtainių trupmenų aibės atitikimas vienas su vienu nustatomas, jei begalinė dešimtainė trupmena identifikuojama su skaitmeniu 9 periode su atitinkama begaline dešimtaine trupmena, kurios skaitmuo 0 laikotarpis pagal taisyklę (2).
Sutikime naudoti tokias begalines periodines trupmenas, kurios laikotarpyje neturi skaičiaus 9. Jei samprotavimo procese atsiranda begalinė periodinė dešimtainė trupmena su skaičiumi 9 periode, tai ją pakeisime begaline dešimtaine trupmena su nuliu periode, t.y. vietoj 1 999 ... imsime 2 000 ...
Iracionaliojo skaičiaus apibrėžimas. Be begalinių periodinių dešimtainių trupmenų, yra ir neperiodinių dešimtainių trupmenų. Pavyzdžiui, 0.1010010001 ... arba 27.1234567891011 ... (natūralūs skaičiai yra nuosekliai po kablelio).
Apsvarstykite begalinę dešimtainę formos trupmeną ± a 0, a 1 a 2 ... a n ... (3)
Ši trupmena nustatoma nurodant ženklą „+“ arba „-“, neneigiamą sveikąjį skaičių a 0 ir dešimtainių skaičių seką a 1, a 2, ..., an, ... (skaičių po kablelio rinkinys susideda iš dešimties skaičių: 0, 1, 2, ..., devyni).
Vadinama bet kuri formos (3) trupmena tikrasis (tikrasis) skaičius. Jei prieš trupmeną (3) yra ženklas „+“, jis paprastai praleidžiamas ir rašomas 0, a 1 a 2 ... a n ... (4).
Bus iškviestas formos numeris (4). neneigiamas realusis skaičius, ir tuo atveju, kai bent vienas iš skaičių a 0, a 1, a 2, ..., a n skiriasi nuo nulio, - teigiamas realusis skaičius... Jei (3) išraiškoje imamas ženklas „-“, tai yra neigiamas skaičius.
Racionaliųjų ir iracionaliųjų skaičių aibių sąjunga sudaro realiųjų skaičių aibę (QÈJ = R). Jei begalinė dešimtainė trupmena (3) yra periodinė, tai yra racionalusis skaičius, kai trupmena neperiodinė – neracionali.
Du neneigiami realieji skaičiai a = a 0, a 1 a 2… a n…, b = b 0, b 1 b 2… b n…. yra vadinami lygus(rašyk a = b), jeigu a n = b n adresu n = 0,1,2 ... Skaičius a yra mažesnis už skaičių b(rašyk a<b), jei kuri nors a 0 arba a 0 = b 0 ir yra toks skaičius m, ką a k = b k (k = 0,1,2, ... m-1), a esu , t.y. a Û (0 Ú ($mÎN: a k = b k (k =), a m ). Sąvoka " a>b».
Norėdami palyginti savavališkus realius skaičius, pristatome sąvoką " skaičiaus a modulis» . Pagal realaus skaičiaus modulį a = ± a 0, a 1 a 2 ... a n ... vadinamas toks neneigiamas realusis skaičius, vaizduojamas ta pačia begaline dešimtaine trupmena, bet paimtas su ženklu „+“, t.y. ½ a½= a 0, a 1 a 2 ... a n ... ir 1/2 a½³0. Jeigu a - ne neigiamas, b Yra neigiamas skaičius, tada jis laikomas a> b... Jei abu skaičiai yra neigiami ( a<0, b<0 ), tada manysime, kad: 1) a = b jei ½ a½ = ½ b½; 2) a jei ½ a½ > ½ b½.
Rinkinio savybės R:
aš. Užsakyti savybes:
1. Kiekvienai realiųjų skaičių porai a ir b yra vienas ir vienintelis ryšys: a = b, a
2. Jeigu a
3. Jeigu a , tada yra toks skaičius c, kad a< с .
II. Sudėjimo ir atimties veiksmų savybės:
4. a + b = b + a(keičiamumas).
5. (a + b) + c = a + (b + c) (asociatyvumas).
6. a + 0 = a.
7. a + (- a) = 0.
8.nuo a Þ a + c
III. Daugybos ir dalybos veiksmų savybės:
9. a × b = b × a .
10. (a × b) × c = a × (b × c).
11. a × 1 = a.
12. a × (1 / a) = 1 (a¹0).
13. (a + b) × c = ac + bc(paskirstymas).
14.jei a ir c> 0, tada a × c
IV. Archimedo nuosavybė("cÎR) ($ nÎN): (n> c).
Kad ir koks būtų skaičius cÎR, yra nÎN, kad n> c.
V. Realiųjų skaičių tęstinumo savybė. Tegul dvi netuščios aibės АÌR ir BÌR yra tokios, kad bet kuris elementas aÎА daugiau nebus ( a£ b) bet kurio elemento bÎB. Tada Dedekind tęstinumo principas tvirtina tokio skaičiaus egzistavimą su tuo visiems aОА ir bÎB sąlyga a£ c £ b:
("AÌR, BÌR) :(" aÎA, bÎB ® a£ b) ($ cÎR): (" aÎA, bÎB® a£ c £ b).
Aibę R identifikuosime su realiosios tiesės taškų aibe, o realiuosius skaičius vadinsime taškais.
TIKRAI SKAIČIAI II
§ 37 Geometrinis racionaliųjų skaičių vaizdavimas
Leisti būti Δ yra atkarpa, imama kaip ilgio vienetas, ir l - savavališka tiesi linija (51 pav.). Paimkime tam tikrą tašką ir pažymėkime jį raide O.
Prie kiekvieno teigiamo racionalaus skaičiaus m / n korespondencijai dedame tiesės tašką l esantis dešinėje nuo C atstumu m / n ilgio vienetų.
Pavyzdžiui, skaičius 2 atitiks tašką A, esantį dešinėje nuo O 2 ilgio vienetų atstumu, ir 5/4 tašką B, esantį dešinėje nuo O 5/4 vienetų atstumu. ilgio. Prie kiekvieno neigiamo racionalaus skaičiaus k / l korespondencijai pateikiame tiesės tašką, esantį į kairę nuo O, | atstumu k / l | ilgio vienetų. Taigi skaičius - 3 atitiks tašką C, esantį kairėje nuo O 3 ilgio vienetų atstumu, o skaičių - 3/2 taško D, kuris yra kairėje nuo O atstumu nuo O. 3/2 ilgio vienetų. Galiausiai su racionaliuoju skaičiumi „nulis“ susiejame tašką O.
Akivaizdu, kad su pasirinkta atitiktimi vienodi racionalūs skaičiai (pavyzdžiui, 1/2 ir 2/4) atitiks tą patį tašką, o ne vienodus skaičius, skirtingus tiesės taškus. Tarkime, kad skaičius m / n atitinka tašką P ir skaičių k / l taškas Q. Tada jei m / n > k / l , tada taškas P bus taško Q dešinėje (52 pav., a); jeigu m / n < k / l , tada taškas P bus taško Q kairėje (52 pav., b).
Taigi, bet koks racionalus skaičius gali būti geometriškai pavaizduotas kaip tam tikras, tiksliai apibrėžtas tiesės taškas. Ar atvirkščiai yra tiesa? Ar bet kurį tiesės tašką galima laikyti kokio nors racionalaus skaičiaus geometriniu atvaizdu? Šio klausimo sprendimą atidėsime iki § 44.
Pratimai
296. Tiesės taškais nubrėžkite šiuos racionalius skaičius:
3; - 7 / 2 ; 0 ; 2,6.
297. Yra žinoma, kad taškas A (53 pav.) tarnauja geometrinis vaizdas racionalus skaičius 1/3. Kokie skaičiai žymi taškus B, C ir D?
298. Tiesėje pateikti du taškai, kurie yra racionaliųjų skaičių geometrinis atvaizdas a ir b a + b ir a - b .
299. Tiesėje yra du taškai, kurie yra racionaliųjų skaičių geometrinis atvaizdas a + b ir a - b ... Raskite šioje eilutėje taškus, žyminčius skaičius a ir b .
BILIETAS 1
Racionalus skaičiai yra skaičiai, parašyti kaip p / q, kur q yra natūralusis. skaičius, o p yra sveikas skaičius.
Du skaičiai a = p1 / q1 ir b = p2 / q2 vadinami lygiais, jei p1q2 = p2q1, ir p2q1 ir a> b, jei p1q2
BILIETAS 2
Sudėtingi skaičiai. Sudėtingi skaičiai
Algebrinė lygtis yra tokios formos lygtis: P n ( x) = 0, kur P n ( x) – daugianario n- O laipsnis. Pora realių skaičių x ir adresu bus vadinamas užsakytas, jei bus nurodyta, kuris iš jų laikomas pirmuoju, o kuris – antruoju. Užsakytos poros žymėjimas: ( x, y). Kompleksinis skaičius yra savavališkai sutvarkyta realiųjų skaičių pora. z = (x, y) - kompleksinis skaičius.
x-medžiaginė dalis z, y- įsivaizduojama dalis z... Jeigu x= 0 ir y= 0, tada z= 0. Apsvarstykite z 1 = (x 1, y 1) ir z 2 = (x 2, y 2).
1 apibrėžimas. z 1 = z 2, jei x 1 = x 2 ir y 1 = y 2.
Sąvokos> ir< для комплексных чисел не вводятся.
Geometrinis vaizdavimas ir kompleksinių skaičių trigonometrinė forma.
M ( x, y) « z = x + oi.
½ OM½ = r = ½ z½ =. (Nuotrauka)
r vadinamas kompleksinio skaičiaus moduliu z.
j vadinamas kompleksinio skaičiaus argumentu z... Jis nustatomas ± 2p tikslumu n.
NS= rcosj, y= rsinj.
z= x+ oi= r (cosj + i sinj) yra kompleksinių skaičių trigonometrinė forma.
3 teiginys.
= (cos + i nuodėmė),
= (cos + i nuodėmė), tada
= (cos (+) + i nuodėmė (+)),
= (cos (-) + i sin (-)) už 0.
4 teiginys.
Jeigu z= r (cosj + i sinj), tada „natūralus n:
= (cos nj + i nuodėmė nj),
3 SEZONAS
Leisti būti X-skaitmenų rinkinys, kuriame yra bent vienas skaičius (netuščias rinkinys).
xÎ X- x esantis NS. ; xÏ X- x nepriklausyti NS.
Apibrėžimas: Daug NS vadinamas ribotu aukščiau (žemiau), jei yra skaičius M(m) toks, kad bet kuriam x Î X nelygybė galioja x £ M (x ³ m), o skaičius M vadinama viršutine (apatinė) aibės riba NS... Daug NS vadinamas ribotu iš viršaus, jei $ M, " x Î NS: x £ M. Apibrėžimas nustatytas neapribotas iš viršaus. Daug X vadinamas neapribotu iš viršaus, jei " M $ x Î NS: x> M. Apibrėžimas daug X vadinamas ribotu, jei jis apribotas aukščiau ir žemiau, tai yra, $ M, m toks kad " x Î NS: m £ x £ M. Lygiavertis ogre mn-va apibrėžimas: Nustatyti X vadinamas ribotu, jei $ A > 0, " x Î X: ½ x½£ A... Apibrėžimas: mažiausia iš aukščiau apribotos aibės viršutinių ribų NS vadinama tikslia jos viršutine riba ir žymima Sup NS
(supremum). = Sup NS... Panašiai galite tiksliai nustatyti
apatinis kraštas. Lygiavertis apibrėžimas tikslus viršutinis kraštas:
Skaičius vadinamas tikslia viršutine aibės riba NS, jei: 1) " x Î X: NS£ (ši sąlyga rodo, kad tai yra viena iš viršutinių ribų). 2) " < $ x Î X: NS> (ši sąlyga rodo, kad
mažiausias iš viršutinių paviršių).
Sup X= :
1. " xÎ X: x £ .
2. " < $ xÎ X: x> .
inf X(infimum) yra tikslus apatinis kraštas. Užduokime klausimą: ar kiekviena apribota aibė turi aštrius kraštus?
Pavyzdys: NS= {x: x> 0) neturi mažiausio skaičiaus.
Teorema apie tikslaus viršutinio (apatinio) veido egzistavimą... Bet kuri netuščia viršutinė (apatinė) rinkinio xÎR riba turi viršutinę (apatinę) ribą.
Skaitmeninio mn-in atskyrimo teorema:▀▀▄
4 SEZONAS
Jei kiekvienam gamtos skaičiui n (n = 1,2,3 ..) priskiriamas tam tikras skaičius Xn, tada jie sako, kad jis yra apibrėžtas ir duotas seka x1, x2 ..., parašykite (Xn), (Xn).Pavyzdys: Xn = (- 1) ^ n: -1,1, -1,1, ... Tada pavadinimas yra ribotas. viršuje (apačioje), jei daug taškų x = x1, x2,… xn, esančių skaičių ašyje, yra apriboti iš viršaus (apačios), t.y. $ С: Xn £ C " Sekos apribojimas: skaičius a vadinamas paskutiniojo riba, jei bet kuriam ε> 0 $: N (N = N / (ε)). "n> N nelygybė | Xn-a |<ε. Т.е. – ε
adresu n> N.
Apriboti unikalumą apribota ir susiliejanti seka
Savybė1: konverguojanti seka turi tik vieną ribą.
Įrodymas: prieštaravimu, tegul a ir b konverguojančios sekos ribos (x n), kur a nelygu b. apsvarstykite be galo mažas sekas (α n) = (x n -a) ir (β n) = (x n -b). Nes visi elementai yra b.m. sekos (α n -β n) turi tą pačią reikšmę b-a, tada pagal b.m savybę. sekos b-a = 0 t.y. b = a ir pasiekiame prieštaravimą.
Savybė2: konverguojanti seka yra ribojama.
Įrodymas: Tegu a yra konvergencinės sekos (x n) riba, tada α n = x n -a yra be galo mažos vietos elementas. seka. Paimame kokį nors ε> 0 ir iš jo randame N ε: / x n -a /< ε при n>N ε. Pažymėkime b didžiausią iš skaičių ε + / a /, / x1 /, / x2 /, ..., / x N ε-1 /, x N ε. Akivaizdu, kad / x n /
Pastaba: apribota seka negali būti konverguojanti.
6 SEZONAS
Seka a n vadinama be galo maža, o tai reiškia, kad šios sekos riba po lygi 0.
a n yra be galo maža Û lim (n ® + ¥) a n = 0, tai yra, esant bet kuriam ε> 0, egzistuoja N taip, kad bet kuriam n> N |a n |<ε
Teorema. Begalinio mažumo suma yra be galo maža.
a n b n ®begalinis Þ a n + b n - be galo mažas.
Įrodymas.
a n – be galo mažas Û "ε> 0 $ N 1:" n> N 1 Þ | a n |<ε
b n – begalinis Û "ε> 0 $ N 2:" n> N 2 Þ | b n |<ε
Įdedame N = max (N 1, N 2), tada bet kuriai n> N Þ abi nelygybės galioja vienu metu:
| a n |<ε |a n +b n |£|a n |+|b n |<ε+ε=2ε=ε 1 "n>N
Nustatome "ε 1> 0, įdedame ε = ε 1/2. Tada bet kuriam ε 1> 0 $ N = maxN 1 N 2:" n> N Þ | a n + b n |<ε 1 Û lim(n ® ¥)(a n +b n)=0, то
yra a n + b n – be galo maža.
Teorema Begalinio mažumo sandauga yra be galo maža.
a n, b n - be galo maža Þ a n b n - be galo maža.
Įrodymas:
Nustatome "ε 1> 0, įdedame ε = Öε 1, nes a n ir b n yra be galo maži šiam ε> 0, tada yra N 1:" n> N Þ | a n |<ε
$ N 2: "n> N 2 Þ | b n |<ε
Paimkite N = max (N 1; N 2), tada "n> N = | a n |<ε
| a n b n | = | a n || b n |<ε 2 =ε 1
"ε 1> 0 $ N:" n> N | a n b n |<ε 2 =ε 1
lim a n b n = 0 Û a n b n yra be galo maža, kaip reikia.
Teorema Apribotos sekos sandauga iš be galo mažos sekos yra be galo maža seka
ir n yra ribota seka
a n – be galo maža seka Þ a n a n – be galo maža seka.
Įrodymas: Kadangi n yra ribojamas Û $ С> 0: "nÎ NÞ | a n | £ C
Nustatome "ε 1> 0; įdedame ε = ε 1 / C; kadangi a n yra be galo mažas, tada ε> 0 $ N:" n> NÞ | a n |<εÞ |a n a n |=|a n ||a n | "ε 1> 0 $ N:" n> N Þ | a n a n | = Cε = ε 1 Þ lim (n ® ¥) a n a n = 0 a n a n - be galo maža Seka vadinama BBP(iš eilės), jei Rašyti. Akivaizdu, kad BBP nėra ribojamas. Priešingas teiginys paprastai nėra teisingas (pavyzdys). Jei dideliems n nariai, tada parašykite tai reiškia, kad kuo greičiau. Panašiai apibrėžiama ir žymėjimo reikšmė Be galo didelės sekos a n = 2 n ;
b n = (- 1) n 2 n, c n = -2 n Apibrėžimas(be galo didelės sekos) 1) lim (n ® ¥) a n = + ¥, jei "ε> 0 $ N:" n> N Þ a n> ε kur ε yra savavališkai mažas. 2) lim (n ® ¥) a n = - ¥ jei "ε> 0 $ N:" n> N Þ a n<-ε 3) lim (n ® ¥) a n = ¥ Û "ε> 0 $ N:" n> N Þ | a n |> ε 7 SEZONAS Teorema „Apie monotonišką konvergenciją. paskutinis" Bet kokia monotoniška žinutė susilieja, t.y. turi ribas. Dok Tegul paskutinis (xn) yra monotoniškai didėjantis. ir apribota iš viršaus. X – visi skaičiai, kurie gauna šio pranešimo el. laišką pagal konv. Teoremų yra daug ribotų. Todėl acc. Teoremoje ji turi baigtinę aštrią viršutinę ribą. supX xn®supX (supX žymime x *). Nes x * tiksli viršus. veidas, tada xn £ x * "n." e> 0 išvestis yra $ xm (tebūnie m n su dangteliu): xm> x * -e "n> m =>" iš nurodytų 2 nelygybių gauname antroji nelygybė x * -e £ xn £ x * + e n> m yra lygi 1 xn-x * 1 8 SEZONAS Rodiklis arba skaičius e R formos ratlankio numeris. siųsti su bendru terminu xn = (1 + 1 / n) ^ n (į laipsnį n) (1). Pasirodo, kad paskutinis (1) pakyla monotoniškai, yra apribotas iš viršaus ir lėtai susilieja, šio posto riba vadinama eksponentine ir žymima simboliu e "2.7128 ... Skaičius e 9 SEZONAS Įdėtos linijos principas Tegu atkarpų skaičius pateikiamas skaičių eilutėje ,, ... ,, ... Be to, šie segmentai tenkina sl. konv.: 1) kiekvienas paskutinis yra įdėtas į ankstesnįjį, t.y. Ì, "n = 1,2, ...; 2) atkarpų ilgiai ®0 su didėjančiu n, tai yra, lim (n® ¥) (bn-an) = 0. Siųsti su nurodytu sv-būsite vadinamas įdėtu. Teorema Bet kuriame paskutiniame įdėtame segmente yra vienas t-ku, priklausantis visiems segmentams, paskutinis tuo pačiu metu, su bendru visų segmentų, su kuriais jie susitraukia, tašku. Dok(an) -siųsti kairiuosius segmentų yavl galinius taškus. monotoniškai nemažėjantis ir iš viršaus apribotas skaičiumi b1. (bn) -dešiniųjų galų seka monotoniškai nedidėja, todėl šios sekos yra susilieja, t.y. yra skaičiai с1 = lim (n® ¥) an ir c2 = lim (n® ¥) bn => c1 = c2 => c - jų bendra reikšmė. Iš tiesų, lim (n® ¥) (bn-an) = lim (n® ¥) (bn) - lim (n® ¥) (an) pagal 2 sąlygą) o = lim (n® ¥) (bn-an) = c2-c1 => c1 = c2 = c Aišku, kad m. C yra bendras visoms atkarpoms, nes "n an £ c £ mlrd. Dabar įrodysime, kad tai vienas. Tarkime, kad $ skiriasi nuo ', į kurį nubrėžiami visi segmentai. Jei imsime bet kokius nejungtus segmentus su ir c ', tai vienoje pusėje visa sekų (an), (bn) „uodega“ turi būti šalia t-ki c' ' (nes an ir bn susilieja į c ir c tuo pačiu metu). Prieštaravimas įrodo t-mu. 10 SEZONAS Bolzano-Weierstrasso teorema
Iš bet kurio aspekto. po to galite pasirinkti išėjimą. atsiųsk jį. 1. Kadangi paskutinis yra ribojamas, tada $ m ir M, kad "m £ xn £ M", n. D1 = - atkarpa, kurioje yra visi paskutiniai taškai. Padalinkime per pusę. Bent vienoje iš pusių bus nah-xia begalinis t-k skaičius paskutinis. D2 – ta pusė, kurioje yra begalinis skaičius t iki paskutinio. Padalijame per pusę. Išilgai kraštų, bent vienoje neg. D2 nah-Xia begalinis skaičius t iki paskutinio. Ši pusė yra D3. Daliname atkarpą D3 ... ir pan. gauname paskutinius įdėtus segmentus, kurių ilgiai linkę į 0. Pagal n-tuosius įdėtus segmentus $ vienetai. t-ka C, kat. priedai į visus segmentus D1, bet kurį m-ku Dn1. Atkarpoje D2 renkuosi t-ku xn2, kad n2> n1. Atkarpoje D3 ... ir kt. Dėl to išsiųsiu jį xnkÎDk. 11 SEZONAS 12 SEZONAS esminis Pabaigoje panagrinėkime skaitinės sekos konvergencijos kriterijaus klausimą. Tegul tai yra: Gavome tokį pareiškimą: Jei seka susilieja, sąlyga tenkinama Koši: Vadinama skaitinė seka, atitinkanti Koši sąlygą esminis... Galima įrodyti, kad yra ir atvirkščiai. Taigi, turime kriterijų (būtiną ir pakankamą sąlygą) sekos konvergencijai. Košio kriterijus. Kad seka turėtų ribą, būtina ir pakanka, kad ji būtų esminė. Antroji Koši kriterijaus reikšmė. Sekos nariai ir kur n ir m- bet kuris artėja be galo at. 13 SEZONAS Vienpusės ribos. Apibrėžimas 13.11. Skaičius A vadinama funkcijos riba y = f (x) adresu NS siekiantis x 0 kairėje (dešinėje), jei toks, kad | f (x) -A|<ε при x 0 - x< δ
(x - x 0< δ
). Legenda: 13.1 teorema (antrasis ribos apibrėžimas). Funkcija y = f (x) turi pas NS, siekiantis NS 0, riba lygi A, tada ir tik tada, kai abi jo vienpusės ribos šiuo metu egzistuoja ir yra lygios A. Įrodymas. 1) Jei, tai už x 0 - x< δ, и для x - x 0< δ
|f (x) – A|<ε, то есть 1) Jei, tada egzistuoja δ 1: | f (x) – A| < ε при x 0 - x< δ 1 и δ 2: |f (x) – A| < ε при x - x 0<
δ 2. Pasirinkę mažesnįjį iš skaičių δ 1 ir δ 2 ir paėmę jį kaip δ, gauname, kad | x - x 0| < δ |f (x) – A| < ε, то есть . Теорема доказана. komentuoti. Kadangi įrodytas 13.7 ribos apibrėžime esančių reikalavimų ir vienašalių limitų egzistavimo ir lygybės sąlygų lygiavertiškumas, šią sąlygą galima laikyti antruoju ribos apibrėžimu. 4 apibrėžimas (pagal Heine) Skaičius A vadinama funkcijos riba, jei bet kuris argumento reikšmių BBP, atitinkamų funkcijos reikšmių seka susilieja į A. 4 apibrėžimas (pagal Cauchy). Skaičius A paskambino jei. Įrodyta, kad šie apibrėžimai yra lygiaverčiai. 14 ir 15 SEZONAI Ribinės f-ties taške savybės 1) Jei riba egzistuoja t-ke, tai ji yra vienintelė 2) Jei ties x0 funkcijos f (x) riba lim (x®x0) f (x) = A lim (x®x0) g (x) £ B => tada šiame m-k $ yra sumos, skirtumo, sandaugos ir dalinio riba. Šių 2 f-jų šaka. a) lim (x®x0) (f (x) ± g (x)) = A ± B b) lim (x®x0) (f (x) * g (x)) = A * B c) lim (x®x0) (f (x): g (x)) = A / B d) lim (x®x0) C = C e) lim (x®x0) C * f (x) = C * A 3 teorema. Jei ( atitinkamai A ) tada $ kaimynystė, kurioje nelygybė > B (atitinkamai Nustatymas 3 teoremoje B = 0, gauname: jei ( resp), tada $, visuose taškuose, kurie bus > 0 (atitinkamai<0),
tie. funkcija išlaiko savo ribos ženklą. 4 teorema(dėl perėjimo prie nelygybės ribos). Jei kurioje nors taško kaimynystėje (išskyrus patį tašką) sąlyga yra įvykdyta ir šios funkcijos taške turi ribas, tada. Kalboje ir. Supažindinkime su funkcija. Aišku, kad šalia esančios vadinamosios. Tada pagal funkcijos išsaugojimo teoremą turime jos ribos reikšmę, bet 5 teorema.(apie tarpinės funkcijos ribą). (1) Jei 16 SEZONAS Apibrėžimas 14.1. Funkcija y = α (x) vadinamas be galo mažu x → x 0, jeigu Begalybės mažumo savybės. 1. Dviejų be galo mažų dydžių suma yra be galo maža. Įrodymas. Jeigu α (x) ir β (x) yra be galo maži x → x 0, tada egzistuoja δ 1 ir δ 2, kad | α (x)|<ε/2 и |β(x)|<ε/2 для выбранного значения ε. Тогда |α (x) + β (x) | ≤ | α (x) | + | β (x))|<ε, то есть |(α (x) + β (x))-0|<ε. Следовательно, komentuoti. Iš to išplaukia, kad bet kurio baigtinio begalinio mažumo skaičiaus suma yra be galo maža. 2. Jei α ( NS) Yra be galo mažas x → x 0, a f (x) Yra funkcija, ribojama tam tikroje kaimynystėje x 0, tada α (x) f (x) Yra be galo mažas x → x 0. Įrodymas. Išsirinkime skaičių M toks, kad | f (x) | Išvada 1. Be galo mažo ir baigtinio skaičiaus sandauga yra be galo maža. Išvada 2. Dviejų ar daugiau be galo mažų sandauga yra be galo maža. Išvada 3. Tiesinis begalinio mažumo derinys yra be galo mažas. 3. (Trečias ribos apibrėžimas). Jei, tai būtina ir pakankama sąlyga yra ta, kad funkcija f (x) gali būti pavaizduotas kaip f (x) = A + α (x), kur α (x) Yra be galo mažas x → x 0. Įrodymas. 1)
Tegul Tada | f (x) -A|<ε при x → x 0, tai yra α (x) = f (x) -A- be galo mažas at x → x 0. Vadinasi , f (x) = A + α (x). 2) Leiskite f (x) = A + α (x). Tada komentuoti. Taigi gaunamas kitas ribos apibrėžimas, kuris yra lygiavertis dviem ankstesniems. Be galo didelės funkcijos. Apibrėžimas 15.1. Funkcija f (x) vadinama be galo didele, jei x x 0 Be galo dideliems, galite įdiegti tą pačią klasifikavimo sistemą kaip ir be galo mažiems, būtent: 1. Be galo dideli f (x) ir g (x) laikomi tos pačios eilės dydžiais, jei 2. Jei, tai f (x) laikoma be galo dideliu, aukštesnės eilės nei g (x). 3. Be galo didelis f (x) vadinamas k-ąja eile be galo didelio g (x) atžvilgiu, jei. komentuoti. Atkreipkite dėmesį, kad a x yra be galo didelė (jeigu a> 1 ir x) aukštesnė nei x k eilė bet kuriam k, o log a x yra be galo didelė, mažesnė už bet kurią x k laipsnį. 15.1 teorema. Jei α (x) yra be galo mažas kaip x → x 0, tai 1 / α (x) yra be galo didelis kaip x → x 0. Įrodymas. Įrodykime, kad | x - x 0 |< δ. Для этого достаточно выбрать в качестве ε 1/M. Тогда при |x - x 0 | < δ |α(x)|<1/M, следовательно, | 1 / α (x) |> M. Vadinasi, tai yra, 1 / α (x) yra be galo didelis kaip x → x 0. 17 SEZONAS 14.7 teorema (pirma žymi riba). ... Įrodymas. Apsvarstykite vienetinio spindulio apskritimą, kurio centras yra taške, ir manykite, kad AOB kampas yra x (radianas). Palyginkime AOB trikampio, AOB sektoriaus ir AOC trikampio sritis, kur tiesė OS yra apskritimo, einančio per tašką (1; 0), liestinė. Akivaizdu, kad. Naudodami atitinkamas geometrines figūrų plotų formules, iš čia gauname, kad §1.1. Realūs skaičiai Tikrieji (realieji) skaičiai skirstomi į dvi klases: racionaliųjų ir neracionaliųjų skaičių. Racionalus yra skaičiai, turintys formą, kur m ir n Ar pirmieji sveikieji skaičiai, bet Pavyzdžiui, skaičius Tikrieji skaičiai taip pat gali būti suskirstyti į algebrinius - daugianario šaknis su racionaliais koeficientais (tai apima, visų pirma, visus racionalius skaičius - lygties šaknis Visų natūraliųjų, sveikųjų, realiųjų skaičių aibės žymimos taip: NZ, R §1.2. Realiųjų skaičių atvaizdavimas skaičių ašyje. Intervalai Geometriškai (aiškumo dėlei) tikrieji skaičiai vaizduojami kaip taškai begalinėje (abiejomis kryptimis) tiesėje, vadinamoje skaitinis
ašį... Šiuo tikslu nagrinėjamoje tiesėje paimamas taškas (taškas yra 0), nurodoma teigiama kryptis, pavaizduota rodykle (dažniausiai į dešinę) ir pasirenkamas mastelio vienetas, kuris atidedamas neribotam laikui. abiem kryptimis nuo taško 0. Taip vaizduojami sveikieji skaičiai. Norint pavaizduoti skaičių su vienu skaitmeniu po kablelio, kiekvienas segmentas turi būti padalintas į dešimt dalių ir pan. Taigi kiekvienas tikrasis skaičius bus pavaizduotas tašku skaičių ašyje. Ir atvirkščiai, į kiekvieną tašką Simbolis Ryžiai. 1.1. Skaičių ašis. Ryžiai. 1.2. Intervalas Ryžiai. 1.3. Uždaras intervalas Praleidžiant žodžius „visų skaičių (taškų) rinkinys x taip, kad "ir tt, toliau pažymime: §1.3. Realiojo skaičiaus absoliuti reikšmė (arba modulis). Pavyzdžiui, Geometriškai reiškia taško atstumą a prie kilmės. Jei turime du taškus ir, tada atstumas tarp jų gali būti pavaizduotas kaip Absoliučių dydžių savybės. 1. Iš apibrėžimo išplaukia, kad 2. Sumos ir skirtumo absoliuti reikšmė neviršija absoliučių dydžių sumos: 3. 4. 5. 6. Nelygybė 7. Nelygybė 8. §1.4. Kai kurios sąvokos, pavadinimai 1
... Koncepcija minios yra vienas iš pagrindinių matematikos dalykų, originalus, universalus ir todėl prieštarauja apibrėžimui. Jį galima tik apibūdinti (pakeisti sinonimais): tai rinkinys, kažkokių daiktų, daiktų, vienijamų bet kokiais ženklais, rinkinys. Šie objektai vadinami elementai rinkiniai. Pavyzdžiai: daug smėlio grūdelių krante, žvaigždės visatoje, mokiniai klasėje, lygties šaknys, tiesės taškai. Vadinamos aibės, kurių elementai yra skaičiai skaitiniai rinkiniai... Kai kuriems standartiniams rinkiniams įvedami specialūs pavadinimai, pavyzdžiui, N,Z,R -žr. § 1.1. Leisti būti A- nustatyti ir x yra jo elementas, tada jie rašo: Jeigu x yra bendras rinkinio elementų žymėjimas A tada rašyk Rinkinys vadinamas galutinis jei jis susideda iš baigtinio elementų skaičiaus. Jei bet kuriam natūraliajam skaičiui N imtume, aibėje A tada yra daugiau nei N elementų A paskambino begalinis rinkinys: joje yra be galo daug elementų. Jei kiekvienas rinkinio elementas ^ A priklauso rinkiniui B, tada Abiejų rinkinių elementų kolekcija A ir B paskambino susijungimas aibės ir žymimi Jei tarp aibių elementų galima nustatyti „vienas su vienu“ atitikimą, jie sako, kad šios aibės yra lygiavertės ir rašo 2
... Tebūnie du teiginiai, du faktai: ir Įrašas: 
kartu su natūraliuoju skaičiumi paskutinę nelygybę galima pakeisti kitu natūraliu skaičiumi 
, tada
ir sąlyga (2) tenkinama kai kuriose m apylinkėse (išskyrus patį m), tada funkcija turi ribą ties m ir ši riba yra lygi A. pagal sąlygą (1) $ už (čia yra mažiausia taško kaimynystė). Bet tada pagal sąlygą (2) reikšmė taip pat bus taško kaimynystėje A, tie. ...
, tai yra α (x) + β (x) Yra be galo mažas.
reiškia, | f (x) -A|<ε при |x - x 0| < δ(ε). Cледовательно, .
, arba sinx
Pirmoji pažintis su realiais skaičiais vyksta mokykliniame matematikos kurse. Bet koks realusis skaičius vaizduojamas baigtine arba begaline dešimtaine trupmena.
... (Racionalių skaičių rinkinys žymimas raide K). Likę tikrieji skaičiai vadinami neracionalus... Racionalieji skaičiai vaizduojami baigtine arba begaline periodine trupmena (taip pat kaip ir paprastosios trupmenos), tada neracionalūs bus tie ir tik tie realieji skaičiai, kuriuos galima pavaizduoti begalinėmis neperiodinėmis trupmenomis.
- racionalus ir 
, 
, 
ir tt - neracionalūs skaičiai.
) – o transcendentinėje – visa kita (pavyzdžiui, skaičiai 
kita).
(pradinės žodžių Naturel, Zahl, Reel raidės).
atitinka realųjį skaičių, lygų atkarpos ilgiui 
ir imamas su ženklu „+“ arba „-“, priklausomai nuo to, ar taškas yra į dešinę ar į kairę nuo pradžios. Taigi tarp visų realiųjų skaičių aibės ir visų skaitinės ašies taškų aibės nustatomas vienas su vienu atitikimas. Sąvokos „tikrasis skaičius“ ir „skaitinės ašies taškas“ vartojamos kaip sinonimai. 
pažymėsime ir tikrąjį skaičių, ir jį atitinkantį tašką. Teigiami skaičiai yra taško 0 dešinėje, neigiami - kairėje. Jeigu 
, tada skaitinėje ašyje taškas 
yra taško kairėje 
... Tegul taškas 
atitinka skaičių, tada skaičius vadinamas taško koordinate, rašo jie 
; dažniau pats taškas žymimas ta pačia raide kaip ir skaičius. 0 taškas yra pradžia. Ašis taip pat žymima raide 
(1.1 pav.).
Visų meluojančių skaičių rinkinys tarp duotus skaičius ir vadinamas intervalu arba intervalu; galai gali priklausyti jam arba nepriklausyti. Paaiškinkime tai. Leisti būti 
... Sąlygą atitinkančių skaičių rinkinys 
, vadinamas intervalu (siaurąja prasme) arba atviruoju intervalu, žymimu simboliu 
(1.2 pav.).
Tokių skaičių rinkinys 
vadinamas uždaru intervalu (segmentu, segmentu) ir žymimas 
; skaičių ašyje pažymėta taip:
Nuo atviro tarpo jis skiriasi tik dviem taškais (galais) ir. Bet šis skirtumas yra esminis, esminis, kaip matysime vėliau, pavyzdžiui, tirdami funkcijų savybes.
ir 
, pažymėta 
ir 
pusiau atviri arba pusiau uždaryti intervalai (kartais: pusiau intervalai);
arba 
reiškia: 
arba 
ir žymimas 
arba 
;
arba 
reiškia 
arba 
ir žymimas 
arba 
;
, pažymėta 
visų realiųjų skaičių aibė. Ženkliukai 
„begalybės“ simboliai; jie vadinami netinkamais arba idealiais skaičiais. 
Apibrėžimas. Absoliuti vertė (arba modulis) skaičiai vadinami pačiu šiuo skaičiumi, jei 
arba 
jeigu 
... Absoliuti reikšmė nurodoma simboliu 
... Taigi, 
, 
, 
.
(arba 
). Pavyzdžiui, 
Atstumas 
.
, 
, tai yra 
.
. 
1) Jei 
, tada 
... 2) Jei 
, tada. ▲
.
, tada pagal 2 savybę: 
, t.y. 
... Panašiai, jei įsivaizduosime 
, tada prieiname prie nelygybės 
▲ 
- išplaukia iš apibrėžimo: apsvarstykite atvejus 
ir 
. 
, su sąlyga 
Tai taip pat išplaukia iš apibrėžimo.
,
reiškia 
... Šią nelygybę patenkina taškai, esantys tarp 
ir 
.
prilygsta nelygybei 
, t.y. ... Tai intervalas, kurio centras yra ilgio taške 
... Tai vadinama 
taško (skaičiaus) kaimynystė. Jeigu 
, tada kaimynystė vadinama pradurta: tai arba 
... (1.4 pav.).
iš kur išplaukia, kad nelygybė 
(
) yra lygiavertis nelygybei 
arba 
; ir nelygybė 
apibrėžia taškų, už kuriuos 
, t.y. tai taškai, esantys už segmento ribų 
, tiksliai: 
ir 
.
Štai keletas dažniausiai vartojamų sąvokų, aibių teorijos, matematinės logikos ir kitų šiuolaikinės matematikos šakų pavadinimų.
; skaito" x priklauso A» ( 
elementų įtraukimo ženklas). Jei objektas x neįtrauktas į A tada rašyk 
; skaito: " x nepriklausyti A“. Pavyzdžiui, 
N; 8,51
N; bet 8.51 
R.
... Jei įmanoma užsirašyti visų elementų žymėjimą, tada parašykite 
, 
ir tt Aibė, kurioje nėra elemento, vadinama tuščia aibe ir žymima simboliu ; pavyzdžiui, lygties šaknų aibė (tikroji). 
yra tuščias.
vadinama aibės dalimi arba poaibiu B ir parašyk 
; skaito" A esantis B» ( 
yra rinkinių įtraukimo ženklas). Pavyzdžiui, NZR. Jeigu 
, tada jie sako, kad rinkiniai A ir B lygus ir rašyti 
... Kitu atveju rašykite 
... Pavyzdžiui, jei 
, a 
lygties šaknų rinkinys 
, tada.
(kartais 
). Elementų, priklausančių ir A ir B vadinamas kirtimas aibės ir žymimi 
... Visų rinkinio elementų kolekcija ^ A kurių nėra B vadinamas skirtumas aibės ir žymimi 
... Šias operacijas galima schematiškai pavaizduoti taip:
... Kiekviena daugybė A, lygiavertis natūraliųjų skaičių aibei N= paskambino skaičiuojamas arba skaičiuojamas. Kitaip tariant, aibė vadinama skaičiuojama, jei jos elementus galima sunumeruoti, išdėstyti begalinėje seka 
, kurių visi nariai yra skirtingi: 
adresu 
, ir jis gali būti parašytas kaip. Kitos begalinės aibės vadinamos nesuskaičiuojamas... Galima skaičiuoti, išskyrus patį rinkinį N, bus, pavyzdžiui, rinkiniai 
, Z. Pasirodo, visų racionaliųjų ir algebrinių skaičių aibės yra skaičiuojamos, o visų iracionaliųjų, transcendentinių, realiųjų skaičių ir bet kurio intervalo taškų ekvivalentinės aibės yra nesuskaičiuojamos. Jie sako, kad pastarieji turi kontinuumo kardinalumą (kardinalumas yra begalinės aibės elementų skaičiaus (skaičiaus) sampratos apibendrinimas).
... Simbolis 
reiškia: „jei tiesa, tada tiesa ir“ arba „iš toliau“, „tai reiškia, kad lygties šaknis turi savybę iš anglų kalbos Egzistuoti- egzistuoja.
, arba 
, reiškia: yra (bent vienas) objektas su nuosavybe 
... Ir rekordas 
, arba 
, reiškia: visi turi nuosavybę. Visų pirma galime rašyti: 
ir .
