Modulio numeris (absoliuti skaičiaus reikšmė), apibrėžimai, pavyzdžiai, savybės. Skaičių rodymas eilutėje

1 SKYRIUS. Kintamieji ir funkcijos

§1.1. Realūs skaičiai
Pirmoji pažintis su realiais skaičiais vyksta mokykliniame matematikos kurse. Bet koks realusis skaičius vaizduojamas baigtine arba begaline dešimtaine trupmena.

Tikrieji (realieji) skaičiai skirstomi į dvi klases: racionaliųjų ir neracionaliųjų skaičių. Racionalus vadinami skaičiais, kurie turi formą, kur m ir n- visuma tarpusavyje pirminiai skaičiai, bet
... (Racionalių skaičių rinkinys žymimas raide K). Likę tikrieji skaičiai vadinami neracionalus... Racionalieji skaičiai vaizduojami baigtine arba begaline periodine trupmena (taip pat kaip ir paprastosios trupmenos), tada neracionalūs bus tie ir tik tie realieji skaičiai, kuriuos galima pavaizduoti begalinėmis neperiodinėmis trupmenomis.

Pavyzdžiui, skaičius
- racionalus ir
,
,
ir tt - neracionalūs skaičiai.

Tikrieji skaičiai taip pat gali būti suskirstyti į algebrines - daugianario šaknis su racionaliais koeficientais (tai apima, visų pirma, visus racionalius skaičius - lygties šaknis
) – o transcendentinėje – visa kita (pavyzdžiui, skaičiai
kita).

Visų natūraliųjų, sveikųjų ir realiųjų skaičių aibės atitinkamai žymimos taip: NZ, R
(pradinės žodžių Naturel, Zahl, Reel raidės).

§1.2. Realiųjų skaičių atvaizdavimas skaičių ašyje. Intervalai

Geometriškai (aiškumo dėlei) tikrieji skaičiai vaizduojami kaip taškai begalinėje (abiejomis kryptimis) tiesėje, vadinamoje skaitinis ašį... Šiuo tikslu nagrinėjamoje tiesėje paimamas taškas (taškas yra 0), nurodoma teigiama kryptis, pavaizduota rodykle (dažniausiai į dešinę) ir pasirenkamas mastelio vienetas, kuris neribotam laikui atidedamas. abi kryptys nuo taško 0. Taip vaizduojami sveikieji skaičiai. Norint pavaizduoti skaičių su vienu skaitmeniu po kablelio, kiekvienas segmentas turi būti padalintas į dešimt dalių ir pan. Taigi kiekvienas tikrasis skaičius bus pavaizduotas tašku skaičių ašyje. Ir atvirkščiai, į kiekvieną tašką
atitinka realųjį skaičių, lygų atkarpos ilgiui
ir imamas su ženklu „+“ arba „-“, priklausomai nuo to, ar taškas yra į dešinę ar į kairę nuo pradžios. Taigi tarp visų realiųjų skaičių aibės ir visų skaitinės ašies taškų aibės nustatomas vienas su vienu atitikimas. Sąvokos „tikrasis skaičius“ ir „skaitinės ašies taškas“ vartojamos kaip sinonimai.

Simbolis pažymėsime ir tikrąjį skaičių, ir jį atitinkantį tašką. Teigiami skaičiai yra taško 0 dešinėje, neigiami - kairėje. Jeigu
, tada skaitinėje ašyje taškas yra taško kairėje ... Tegul taškas
atitinka skaičių, tada skaičius vadinamas taško koordinate, rašo jie
; dažniau pats taškas žymimas ta pačia raide kaip ir skaičius. 0 taškas yra pradžia. Ašis taip pat žymima raide (1.1 pav.).

Ryžiai. 1.1. Skaičių ašis.
Visų meluojančių skaičių rinkinys tarp duotus skaičius ir vadinamas intervalu arba intervalu; galai gali priklausyti jam arba nepriklausyti. Paaiškinkime tai. Leisti būti
... Sąlygą atitinkančių skaičių rinkinys
, vadinamas intervalu (siaurąja prasme) arba atviruoju intervalu, žymimu simboliu
(1.2 pav.).

Ryžiai. 1.2. Intervalas
Tokių skaičių rinkinys
vadinamas uždaru intervalu (segmentu, segmentu) ir žymimas
; skaičių ašyje pažymėta taip:

Ryžiai. 1.3. Uždaras intervalas
Nuo atviro tarpo jis skiriasi tik dviem taškais (galais) ir. Bet šis skirtumas yra esminis, esminis, kaip matysime vėliau, pavyzdžiui, tirdami funkcijų savybes.

Praleidžiant žodžius „visų skaičių (taškų) rinkinys x taip, kad "ir tt, toliau pažymime:

ir
, pažymėta
ir
pusiau atviri arba pusiau uždaryti intervalai (kartais: pusiau intervalai);

arba
reiškia:
arba
ir žymimas
arba
;

arba
reiškia
arba
ir žymimas
arba
;

, pažymėta
visų realiųjų skaičių aibė. Ženkliukai
„begalybės“ simboliai; jie vadinami netinkamais arba idealiais skaičiais.

§1.3. Absoliuti vertė (arba modulis) tikras numeris
Apibrėžimas. Absoliuti vertė (arba modulis) skaičiai vadinami pačiu šiuo skaičiumi, jei
arba
jeigu
... Absoliuti reikšmė nurodoma simboliu ... Taigi,

Pavyzdžiui,
,
,
.

Geometriškai reiškia taško atstumą a prie kilmės. Jei turime du taškus ir, tada atstumas tarp jų gali būti pavaizduotas kaip
(arba
). Pavyzdžiui,
Atstumas
.

Absoliučių dydžių savybės.

1. Iš apibrėžimo išplaukia, kad

,
, tai yra
.

2. Sumos ir skirtumo absoliuti reikšmė neviršija absoliučių dydžių sumos:
.

1) Jei
, tada
... 2) Jei
, tada. ▲

3.
.

, tada pagal 2 savybę:
, t.y.
... Panašiai, jei įsivaizduosime
, tada prieiname prie nelygybės
▲

4.
- išplaukia iš apibrėžimo: apsvarstykite atvejus
ir
.

5.
, su sąlyga
Tai taip pat išplaukia iš apibrėžimo.

6. Nelygybė
,
reiškia
... Šią nelygybę tenkina taškai, esantys tarp
ir
.

7. Nelygybė
prilygsta nelygybei
, t.y. ... Tai intervalas, kurio centras yra ilgio taške
... Tai vadinama
taško (skaičiaus) kaimynystė. Jeigu
, tada kaimynystė vadinama pradurta: tai arba
... (1.4 pav.).

8.
iš kur išplaukia, kad nelygybė
(
) yra lygiavertis nelygybei
arba
; ir nelygybė
apibrėžia taškų, už kuriuos
, t.y. tai taškai, esantys už segmento ribų
, tiksliai:
ir
.

§1.4. Kai kurios sąvokos, pavadinimai
Štai keletas dažniausiai vartojamų sąvokų, aibių teorijos, matematinės logikos ir kitų šiuolaikinės matematikos šakų pavadinimų.

1 ... Koncepcija minios yra vienas iš pagrindinių matematikos dalykų, originalus, universalus ir todėl prieštarauja apibrėžimui. Ją galima tik apibūdinti (pakeisti sinonimais): tai rinkinys, kažkokių daiktų, daiktų, vienijamų kažkokių ženklų, rinkinys. Šie objektai vadinami elementai rinkiniai. Pavyzdžiai: daug smėlio grūdelių krante, žvaigždės visatoje, mokiniai klasėje, lygties šaknys, tiesės taškai. Vadinamos aibės, kurių elementai yra skaičiai skaitiniai rinkiniai... Kai kuriems standartiniams rinkiniams įvedami specialūs pavadinimai, pavyzdžiui, N,Z,R -žr. § 1.1.

Leisti būti A- nustatyti ir x yra jo elementas, tada jie rašo:
; skaito" x priklauso A» (
elementų įtraukimo ženklas). Jei objektas x neįtrauktas į A tada rašyk
; skaito: " x nepriklausyti A“. Pavyzdžiui,
N; 8,51N; bet 8.51 R.

Jeigu x yra bendras žymėjimas rinkinio elementai A tada rašyk
... Jei įmanoma užsirašyti visų elementų žymėjimą, tada parašykite
,
ir tt Aibė, kurioje nėra elemento, vadinama tuščia aibe ir žymima simboliu ; pavyzdžiui, lygties šaknų aibė (tikroji).
yra tuščias.

Rinkinys vadinamas galutinis jei jis susideda iš baigtinio elementų skaičiaus. Jei bet kuriam natūraliajam skaičiui N imtume, aibėje A tada yra daugiau nei N elementų A paskambino begalinis rinkinys: joje yra be galo daug elementų.

Jei kiekvienas rinkinio elementas ^ A priklauso rinkiniui B, tada vadinama aibės dalimi arba poaibiu B ir parašyk
; skaito" A esantis B» (
yra rinkinių įtraukimo ženklas). Pavyzdžiui, NZR. Jeigu
, tada jie sako, kad rinkiniai A ir B lygus ir rašyti
... Kitu atveju rašykite
... Pavyzdžiui, jei
, a
lygties šaknų rinkinys
, tada.

Abiejų rinkinių elementų kolekcija A ir B paskambino susijungimas aibės ir žymimi
(kartais
). Elementų, priklausančių ir A ir B vadinamas kirtimas aibės ir žymimi
... Visų rinkinio elementų kolekcija ^ A kurių nėra B vadinamas skirtumas aibės ir žymimi
... Šias operacijas galima schematiškai pavaizduoti taip:

Jei tarp aibių elementų galima nustatyti „vienas su vienu“ atitikimą, jie sako, kad šios aibės yra lygiavertės ir rašo
... Kiekviena daugybė A lygiavertis rinkiniui natūraliuosius skaičius N= paskambino skaičiuojamas arba skaičiuojamas. Kitaip tariant, aibė vadinama skaičiuojama, jei jos elementus galima sunumeruoti, išdėstyti begalinėje seka
, kurių visi nariai yra skirtingi:
adresu
, ir jis gali būti parašytas kaip. Kitos begalinės aibės vadinamos nesuskaičiuojamas... Galima skaičiuoti, išskyrus patį rinkinį N, bus, pavyzdžiui, rinkiniai
, Z. Pasirodo, visų racionaliųjų ir algebrinių skaičių aibės yra skaičiuojamos, o visų iracionaliųjų, transcendentinių, realiųjų skaičių ir bet kurio intervalo taškų ekvivalentinės aibės yra nesuskaičiuojamos. Jie sako, kad pastarieji turi kontinuumo kardinalumą (kardinalumas yra begalinės aibės elementų skaičiaus (skaičiaus) sampratos apibendrinimas).

2 ... Tebūnie du teiginiai, du faktai: ir
... Simbolis
reiškia: „jei tiesa, tada tiesa ir“ arba „iš toliau“, „tai reiškia, kad lygties šaknis turi savybę iš anglų kalbos Egzistuoti- egzistuoja.

Įrašas:

, arba
, reiškia: yra (bent vienas) objektas su nuosavybe ... Ir rekordas
, arba
, reiškia: visi turi nuosavybę. Visų pirma galime rašyti:
ir .

TIKRAI SKAIČIAI II

44 skyrius Geometrinis realiųjų skaičių vaizdavimas

Geometriškai realieji skaičiai, kaip ir racionalieji skaičiai, yra pavaizduoti taškais tiesėje.

Leisti būti l - savavališka linija, o O - kai kurios jos taško (58 pav.). Prie kiekvieno teigiamo tikrojo skaičiaus α mes korespondencijai įdedame tašką A, esantį dešinėje nuo O atstumu nuo α ilgio vienetų.

Jei pvz. α = 2,1356 ..., tada

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

ir tt Akivaizdu, kad taškas A šiuo atveju turi būti tiesėje l skaičių atitinkančių taškų dešinėje

2; 2,1; 2,13; ... ,

bet į kairę nuo skaičių atitinkančių taškų

3; 2,2; 2,14; ... .

Galima parodyti, kad šios sąlygos lemia liniją l vienintelis taškas A, kurį laikome geometriniu tikrojo skaičiaus vaizdu α = 2,1356... .

Taip pat kiekvienam neigiamam realiajam skaičiui β korespondencijai pateikiame tašką B, esantį kairėje nuo O, atstumu | β | ilgio vienetų. Galiausiai skaičius „nulis“ yra susietas su tašku O.

Taigi, eilutėje bus rodomas skaičius 1 l taškas A, esantis į dešinę nuo O vieno ilgio vieneto atstumu (59 pav.), skaičius - √2 - taškas B, esantis į kairę nuo O √2 ilgio vienetų atstumu ir kt.

Parodykime, kaip tiesia linija l naudodamiesi kompasu ir liniuote galite rasti taškus, atitinkančius realius skaičius √2, √3, √4, √5 ir tt Norėdami tai padaryti, pirmiausia parodysime, kaip galite sudaryti atkarpas, kurių ilgis yra išreikštas šiais skaičiais. Tegu AB yra atkarpa, paimta kaip ilgio vienetas (60 pav.).

Taške A pakeliame statmeną šiai atkarpai ir uždedame ant jos atkarpą AC, lygią atkarpai AB. Tada, pritaikę Pitagoro teoremą stačiakampiam trikampiui ABC, gauname; ВС = √АВ 2 + АС 2 = √1 + 1 = √2

Vadinasi, atkarpos BC ilgis yra √2. Dabar atstatysime atkarpos BC statmeną taške C ir jame parinksime tašką D, kad atkarpa CD būtų lygi ilgio vienetui AB. Tada iš stačiakampio trikampio BCD randame:

ВD = √ВC 2 + СD 2 = √2 + 1 = √3

Vadinasi, segmento BD ilgis yra √3. Tęsdami aprašytą procesą toliau, galėtume gauti atkarpas BE, BF, ..., kurių ilgiai išreiškiami skaičiais √4, √5 ir kt.

Dabar tiesiai l nesunku rasti tuos taškus, kurie naudojami kaip geometrinis skaičių √2, √3, √4, √5 ir kt.

Atidėjus, pavyzdžiui, į dešinę nuo taško O atkarpos BC (61 pav.), gauname tašką C, kuris yra geometrinis skaičiaus √2 atvaizdas. Lygiai taip pat, padėję atkarpą BD į dešinę nuo taško O, gauname tašką D “, kuris yra geometrinis skaičiaus √3 vaizdas ir pan.

Tačiau nereikėtų manyti, kad pasitelkus kompasą ir liniuotę skaičių tiesėje l galite rasti tašką, atitinkantį bet kurį realųjį skaičių. Įrodyta, kad, pavyzdžiui, turint tik kompasą ir liniuotę, neįmanoma sukurti atkarpos, kurios ilgis išreiškiamas skaičiumi. π = 3,14 .... Todėl skaičių eilutėje l tokių konstrukcijų pagalba neįmanoma nurodyti šį skaičių atitinkančio taško.. Vis dėlto toks taškas egzistuoja.

Taigi, kiekvienas tikrasis skaičius α gali būti susietas su kokiu nors tiksliai apibrėžtu tiesės tašku l ... Šis taškas bus nutolęs nuo pradinio taško O atstumu | α | ilgio vienetų ir būti dešinėje nuo O, jei α > 0 ir į kairę nuo 0, jei α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой l ... Iš tiesų, tegul skaičius α atitinka tašką A ir skaičių β - taškas B. Tada, jei α > β , tada A bus dešinėje nuo B (62 pav., a); jeigu α < β , tada A gulės kairėje nuo B (62 pav., b).

Kalbėdami § 37 apie racionaliųjų skaičių geometrinį vaizdą, mes iškėlėme klausimą: ar bet kuris linijos taškas gali būti laikomas geometriniu kai kurių atvaizdu racionalus skaičiai? Tada negalėjome atsakyti į šį klausimą; dabar galime į tai atsakyti visiškai neabejotinai. Tiesėje yra taškai, kurie naudojami kaip neracionalių skaičių geometrinis vaizdas (pavyzdžiui, √2). Todėl ne kiekvienas linijos taškas reiškia racionalųjį skaičių. Tačiau šiuo atveju kyla kitas klausimas: ar bet kurį skaičių linijos tašką galima laikyti geometriniu kai kurių atvaizdu faktinis skaičiai? Ši problema jau sprendžiama teigiamai.

Iš tiesų, tegul A yra savavališkas tiesės taškas l gulintis O dešinėje (63 pav.).

Atkarpos OA ilgis išreiškiamas kokiu nors teigiamu realiuoju skaičiumi α (žr. § 41). Todėl taškas A yra geometrinis skaičiaus vaizdas α ... Panašiai nustatyta, kad kiekvienas taškas B, esantis kairėje nuo O, gali būti laikomas neigiamo tikrojo skaičiaus geometriniu atvaizdu - β , kur β yra VO segmento ilgis. Galiausiai, taškas O yra geometrinis skaičiaus nulis vaizdas. Akivaizdu, kad du skirtingi linijos taškai l geometriškai negali būti toks pat tikrasis skaičius.

Dėl pirmiau nurodytų priežasčių tiesi linija, kurioje tam tikras taškas O nurodytas kaip "pradinis" (tam tikram ilgio vienetui), vadinama skaičių eilutė.

Išvestis. Visų realiųjų skaičių aibė ir visų skaičių linijos taškų aibė atitinka vienas su vienu.

Tai reiškia, kad kiekvienas tikrasis skaičius atitinka vieną, tiksliai apibrėžtą skaičių linijos tašką ir, atvirkščiai, kiekvieną skaičių linijos tašką, esant tokiai atitikčiai, atitinka vieną, tiksliai apibrėžtą realųjį skaičių.

Pratimai

320. Sužinok, kuris iš dviejų taškų yra skaičių tiesėje į kairę, o kuris į dešinę, jei šie taškai atitinka skaičius:

a) 1,454545 ... ir 1,455454 ...; c) 0 ir - 1,56673 ...;

b) - 12 0003 ... ir - 12 0002 ...; d) 13.24 ... ir 13.00 ....

321. Sužinok, kuris iš dviejų taškų yra skaičių tiesėje toliau nuo pradžios taško O, jei šie taškai atitinka skaičius:

a) 5,2397 ... ir 4,4996 ...; .. c) -0,3567 ... ir 0,3557 ....

d) - 15 0001 ir - 15 1000 ...;

322. Šioje dalyje buvo parodyta, kad √ ilgio atkarpai sudaryti n naudodamiesi kompasu ir liniuote galite atlikti šiuos veiksmus: pirmiausia sukurkite atkarpą, kurios ilgis √2, tada atkarpą, kurios ilgis √3 ir pan., kol pasieksime atkarpą, kurios ilgis √ n ... Bet už kiekvieną fiksuotą NS > 3 šis procesas gali būti paspartintas. Kaip, pavyzdžiui, pradėtumėte kurti √10 ilgio segmentą?

323*. Kaip naudotis kompasu ir liniuote skaičių eilutėje rasti tašką, atitinkantį skaičių 1 / α jei skaičių atitinkančio taško padėtis α , tu žinai?

Lygtys su moduliais, sprendimų metodai. 1 dalis.

Prieš pradedant tiesioginį tokių lygčių sprendimo metodų tyrimą, svarbu suprasti modulio esmę, jo geometrinę prasmę. Modulio apibrėžimo supratimas ir jo geometrinė prasmė yra išdėstyti pagrindiniai tokių lygčių sprendimo metodai. Vadinamasis intervalų metodas plečiant modulinius skliaustus yra toks efektyvus, kad jį naudojant moduliais galima išspręsti absoliučiai bet kokią lygtį ar nelygybę. Šioje dalyje išsamiai išnagrinėsime du standartinius metodus: intervalų metodą ir lygčių pakeitimo aibėmis metodą.

Tačiau, kaip matysime, šie metodai visada yra veiksmingi, tačiau ne visada patogūs ir gali lemti ilgus ir net nelabai patogius skaičiavimus, kuriems išspręsti natūraliai prireiks daugiau laiko. Todėl svarbu žinoti tuos metodus, kurie labai supaprastina tam tikrų lygčių struktūrų sprendimą. Abiejų lygties pusių kvadratūra, naujo kintamojo įvedimo metodas, grafinis metodas, lygčių, turinčių modulį po modulio ženklu, sprendimas. Šiuos metodus apžvelgsime kitoje dalyje.

Skaičiaus modulio nustatymas. Modulio geometrinė reikšmė.

Pirmiausia susipažinkime su geometrine modulio reikšme:

Pagal skaičiaus modulį a (| a |) yra atstumas skaičių tiesėje nuo pradžios (taško 0) iki taško A (a).

Remdamiesi šiuo apibrėžimu, apsvarstykite keletą pavyzdžių:

|7| - tai atstumas nuo 0 iki taško 7, žinoma, lygus 7. → | 7 |=7

| -5 | yra atstumas nuo 0 iki taško -5 ir jis lygus: 5. → |-5| = 5

Visi suprantame, kad atstumas negali būti neigiamas! Todėl | x | ≥ 0 visada!

Išspręskime lygtį: | x | = 4

Šią lygtį galima perskaityti taip: atstumas nuo taško 0 iki taško x yra 4. Taip, pasirodo, kad nuo 0 galime judėti tiek į kairę, tiek į dešinę, o tai reiškia, kad judame į kairę atstumu, lygiu 4 atsidursime taške: -4, o judėdami į dešinę atsidursime taške: 4. Iš tiesų, | -4 | = 4 ir | 4 | = 4.

Taigi atsakymas yra x = ± 4.

Atidžiau panagrinėję ankstesnę lygtį, pastebėsite, kad: atstumas į dešinę išilgai skaičių linijos nuo 0 iki taško yra lygus pačiam taškui, o atstumas į kairę nuo 0 iki skaičiaus yra lygus priešingai numeris! Suprasdami, kad į dešinę nuo 0 yra teigiami skaičiai, o į kairę nuo 0 yra neigiami, suformuluojame skaičiaus modulio nustatymas: skaičiaus modulis (absoliuti reikšmė). NS(| x |) yra pats skaičius NS jei x ≥0, o skaičius - NS jei x<0.

Čia reikia rasti skaičių tiesės taškų aibę, kurios atstumas nuo 0 bus mažesnis nei 3, įsivaizduokime skaičių tiesę, joje tašką 0, eikime į kairę ir suskaičiuokime vieną (-1), du (- 2) ir trys (-3), sustokite. Toliau eis taškai, esantys toliau nei 3 arba atstumas, iki kurio nuo 0 yra didesnis nei 3, dabar einame į dešinę: vienas, du, trys, vėl sustokite. Dabar pasirenkame visus savo taškus ir gauname intervalą x: (- 3; 3).

Svarbu, kad tai aiškiai matytumėte, jei vis tiek nepavyksta, nupieškite ant popieriaus ir pamatysite, kad ši iliustracija jums visiškai suprantama, nepatingėkite ir pabandykite mintyse įžvelgti šių užduočių sprendimus:

| x | = 11, x =? | x | = -5, x =?

| x |<8, х-? |х| <-6, х-?

| x |> 2, x-? | x |> -3, x-?

| π-3 | =? | -x²-10 | =?

| √5-2 | =? | 2x-x²-3 | =?

| x² + 2 | =? | x² + 4 | = 0

| x² + 3x + 4 | =? | -x² + 9 | ≤0

Pastebite keistus uždavinius antrajame stulpelyje? Iš tiesų, atstumas negali būti neigiamas, todėl: | x | = -5- neturi sprendinių, žinoma, jis negali būti mažesnis už 0, todėl: | x |<-6 тоже не имеет решений, ну и естественно, что любое расстояние будет больше отрицательного числа, значит решением |x|>-3 yra visi skaičiai.

Sužinoję, kaip greitai pamatyti paveikslėlius su sprendimais, skaitykite toliau.

Jau žinome, kad realiųjų skaičių aibę $ R $ sudaro racionalieji ir neracionalieji skaičiai.

Racionalieji skaičiai visada gali būti pateikiami kaip dešimtainės trupmenos (ribinės arba begalinės periodinės).

Iracionalūs skaičiai rašomi kaip begalinės, bet neperiodinės dešimtainės trupmenos.

Realiųjų skaičių aibė $ R $ taip pat apima elementus $ - \ infty $ ir $ + \ infty $, kurių nelygybės $ - \ infty

Apsvarstykite būdus, kaip pateikti tikrus skaičius.

Taisyklingosios trupmenos

Paprastosios trupmenos rašomos naudojant du natūraliuosius skaičius ir horizontalią trupmenų juostą. Dalies juosta iš tikrųjų pakeičia padalijimo ženklą. Skaičius po eilute yra trupmenos vardiklis (daliklis), skaičius virš eilutės yra skaitiklis (daliklis).

Apibrėžimas

Trupmena vadinama teisinga, jei jos skaitiklis yra mažesnis už vardiklį. Ir atvirkščiai, trupmena vadinama neteisinga, jei jos skaitiklis yra didesnis už vardiklį arba jam lygus.

Paprastoms trupmenoms taikomos paprastos, beveik akivaizdžios palyginimo taisyklės ($ m $, $ n $, $ p $ yra natūralūs skaičiai):

iš dviejų trupmenų, turinčių tą patį vardiklį, didesnė yra ta, kurios skaitiklis yra didesnis, ty $ \ frac (m) (p)> \ frac (n) (p) $ už $ m> n $;
iš dviejų trupmenų su tais pačiais skaitikliais, didesnė yra ta, kurios vardiklis yra mažesnis, ty $ \ frac (p) (m)> \ frac (p) (n) $ už $ m
reguliarioji trupmena visada mažesnė už vienetą; neteisinga trupmena visada yra didesnė už vienetą; trupmena, kurios skaitiklis lygus vardikliui, yra lygi vienetui;
bet kuri netaisyklinga trupmena yra didesnė už bet kurią teisingą.

Dešimtainiai skaičiai

Dešimtainis skaičius (dešimtainė trupmena) rašoma tokia forma: sveikoji dalis, dešimtainė kablelis, trupmeninė dalis. Taisyklingosios trupmenos dešimtainį žymėjimą galima gauti padalijus skaitiklio „kampą“ iš vardiklio. Dėl to gali susidaryti arba baigtinė dešimtainė trupmena, arba begalinė periodinė dešimtainė trupmena.

Apibrėžimas

Trupmeniniai skaičiai vadinami dešimtainiais skaičiais. Šiuo atveju pirmoji vieta po kablelio vadinama dešimtąja vieta, antroji - šimta vieta, trečia - tūkstantąja ir t.t.

1 pavyzdys

Nustatykite dešimtainio skaičiaus reikšmę 3,74. Gauname: 3,74 USD = 3 + \ frak (7) (10) + \ frak (4) (100) USD.

Dešimtainį skaičių galima suapvalinti. Tokiu atveju turėtumėte nurodyti skaitmenį, iki kurio atliekamas apvalinimas.

Apvalinimo taisyklė yra tokia:

visi skaitmenys, esantys į dešinę nuo šio skaitmens, pakeičiami nuliais (jei šie skaitmenys yra prieš kablelį) arba išbraukiami (jei šie skaitmenys yra po kablelio);
jei pirmasis skaitmuo po šio skaitmens yra mažesnis nei 5, tai šio skaitmens skaitmuo nekeičiamas;
jei pirmasis skaitmuo po šio skaitmens yra 5 ar daugiau, tada šio skaitmens skaitmuo padidinamas vienu.

2 pavyzdys

Suapvalinkime skaičių 17302 iki tūkstančių: 17000.
Suapvalinkime skaičių 17378 iki šimtų: 17400.
Suapvalinkime skaičių 17378,45 iki dešimčių: 17380.
Suapvalinkime skaičių 378,91434 iki šimtųjų dalių: 378,91.
Suapvalinkime skaičių 378,91534 iki šimtųjų dalių: 378,92.

Paverskite dešimtainį skaičių į trupmeną.

1 atvejis

Dešimtainis skaičius yra paskutinė dešimtainė trupmena.

Konversijos metodas parodytas toliau pateiktame pavyzdyje.

2 pavyzdys

Mes turime: 3,74 USD = 3 + \ frak (7) (10) + \ frak (4) (100) USD.

Mes surandame bendrą vardiklį ir gauname:

Trupmeną galima sumažinti: $ 3,74 = \ frac (374) (100) = \ frac (187) (50) $.

2 atvejis

Dešimtainis skaičius yra begalinė periodinė dešimtainė trupmena.

Perskaičiavimo metodas pagrįstas tuo, kad periodinės dešimtainės trupmenos periodinė dalis gali būti laikoma begalinės mažėjančios geometrinės progresijos narių suma.

4 pavyzdys

$ 0, \ kairėje (74 \ dešinėje) = \ frac (74) (100) + \ frac (74) (10000) + \ frac (74) (1000000) + \ ltaškai $. Pirmasis progresijos narys yra $ a = 0,74 $, progresijos vardiklis yra $ q = 0,01 $.

5 pavyzdys

0,5 USD \ kairėje (8 \ dešinėje) = \ Frac (5) (10) + \ Frac (8) (100) + \ Frac (8) (1000) + \ Frac (8) (10 000) + \ ltaškai $ . .. Pirmasis progresijos narys yra $ a = 0,08 $, progresijos vardiklis yra $ q = 0,1 $.

Begalinės mažėjančios geometrinės progresijos narių suma apskaičiuojama pagal formulę $ s = \ frac (a) (1-q) $, kur $ a $ yra pirmasis narys, o $ q $ yra progresijos vardiklis $\ liko (0

6 pavyzdys

Paverskime begalinę periodinę dešimtainę trupmeną $ 0, \ left (72 \ right) $ į įprastą.

Pirmasis progresijos narys yra $ a = 0,72 $, progresijos vardiklis yra $ q = 0,01 $. Gauname: $ s = \ frac (a) (1-q) = \ frac (0,72) (1-0,01) = \ frac (0,72) (0,99) = \ frac (72) ( 99) = \ frac (8 ) (11) $. Taigi 0 $, \ kairė (72 \ dešinė) = \ frac (8) (11) $.

7 pavyzdys

Paverskime begalinę periodinę dešimtainę trupmeną $ 0,5 \ left (3 \ right) $ į įprastą.

Pirmasis progresijos narys yra $ a = 0,03 $, progresijos vardiklis yra $ q = 0,1 $. Gauname: $ s = \ frac (a) (1-q) = \ frac (0,03) (1-0,1) = \ frac (0,03) (0,9) = \ frac (3) ( 90) = \ frac (1 ) (30) USD.

Taigi 0,5 USD \ į kairę (3 \ į dešinę) = \ frac (5) (10) + \ frac (1) (30) = \ frac (5 \ cdot 3) (10 \ cdot 3) + \ frac ( 1) ( 30) = \ Frac (15) (30) + \ Frac (1) (30) = \ Frac (16) (30) = \ Frac (8) (15) $.

Tikrieji skaičiai gali būti pavaizduoti skaitinės ašies taškais.

Šiuo atveju skaitine ašimi vadiname begaline tiese, kurioje pasirenkama pradžia (taškas $ O $), teigiama kryptis (rodoma rodykle) ir skalė (reikšmėms rodyti).

Tarp visų realiųjų skaičių ir visų skaitinės ašies taškų yra vienas su vienu atitikimas: kiekvienas taškas atitinka vieną skaičių ir, atvirkščiai, vienas taškas atitinka kiekvieną skaičių. Todėl realiųjų skaičių aibė yra ištisinė ir begalinė, kaip ir skaičių ašis yra ištisinė ir begalinė.

Kai kurie realiųjų skaičių aibės poaibiai vadinami skaitiniais intervalais. Skaitinio intervalo elementai yra skaičiai $ x \ R $, kurie tenkina tam tikrą nelygybę. Tegul $ a \ R $, $ b \ R $ ir $ a \ le b $. Šiuo atveju spragų tipai gali būti tokie:

Tarpai $ \ kairėje (a, \; b \ dešinėje) $. Be to, $ a
$ \ segmentas liko $. Be to, $ a \ le x \ le b $.
Pusiau segmentai arba pusės intervalai $ \ liko $. Be to, $ a \ le x
Begaliniai tarpai, pvz., $ a

Taip pat svarbu yra tam tikras tarpas, vadinamas taško kaimynyste. Duoto taško $ x_ (0) \ kaimynystė R $ yra savavališkas intervalas $ \ left (a, \; b \ right) $, turintis šį tašką savo viduje, tai yra, $ a 0 $ - spindulys.

Absoliuti skaičiaus reikšmė

Realiojo skaičiaus $ x $ absoliuti vertė (arba modulis) yra neneigiamas realusis skaičius $ \ left | x \ right | $, nustatomas pagal formulę: $ \ left | x \ right | = \ left \ (\ pradėti (masyvas) (c) (\; \; x \; \; (\ rm for) \; \; x \ ge 0) \\ (-x \; \; (\ rm for) \; \; x

Geometriškai $ \ kairė | x \ dešinė | $ reiškia atstumą tarp taškų $ x $ ir 0 skaičių ašyje.

Absoliučių verčių savybės:

iš apibrėžimo išplaukia, kad $ \ kairė | x \ dešinė | \ ge 0 $, $ \ kairė | x \ dešinė | = \ kairė | -x \ dešinė | $;
sumos modulis ir dviejų skaičių skirtumo modulis tenkina nelygybes $ \ left | x + y \ right | \ le \ left | x \ right | + \ left | y \ right | $, $ \ left | xy \ dešinė | \ le \ kairė | x \ dešinė | + \ kairė | y \ dešinė | $ taip pat $ \ kairė | x + y \ dešinė | \ ge \ kairė | x \ dešinė | - \ kairė | y \ dešinė | $, $ \ kairė | xy \ dešinė | \ ge \ kairė | x \ dešinė | - \ kairė | y \ dešinė | $;
sandaugos modulis ir dviejų skaičių dalinio modulis tenkina lygybes $ \ left | x \ cdot y \ right | = \ left | x \ right | \ cdot \ left | y \ right | $ ir $ \ left | \ frac (x) ( y) \ dešinė | = \ frac (\ kairė | x \ dešinė |) (\ kairė | y \ dešinė |) $.

Remiantis savavališko skaičiaus $ a> 0 $ absoliučios vertės apibrėžimu, taip pat galima nustatyti šių nelygybių porų ekvivalentiškumą:

jei $ \ kairė | x \ dešinė |
jei $ \ kairėje | x \ dešinėje | \ le a $, tada $ -a \ le x \ le a $;
jei $ \ kairėje | x \ dešinėje |> a $, tada arba $ xa $;
jei $ \ kairėje | x \ dešinėje | \ ge a $, tada $ x \ le -a $ arba $ x \ ge a $.

8 pavyzdys

Išspręskite nelygybę $ \ left | 2 \ cdot x + 1 \ right |

Ši nelygybė yra lygi nelygybėms -7 USD

Iš čia gauname: -8 USD

Atgal į priekį

Dėmesio! Skaidrių peržiūros yra skirtos tik informaciniams tikslams ir gali neatspindėti visų pristatymo parinkčių. Jeigu tu susidomėjai Šis darbas atsisiųskite pilną versiją.

Tikslai:

Įranga: projektorius, ekranas, asmeninis kompiuteris, multimedijos pristatymas

Per užsiėmimus

1. Organizacinis momentas.

2. Studentų žinių aktualizavimas.

2.1. Atsakykite į mokinių namų darbų klausimus.

2.2. Išspręskite kryžiažodį (teorinės medžiagos kartojimas) (2 skaidrė):

Kai kuriuos išreiškiančių matematinių ženklų derinys

pareiškimas. ( Formulė.)
Begalinės dešimtainės neperiodinės trupmenos. ( Neracionalus skaičiai)

Skaičius arba skaitmenų grupė, besikartojanti begaline dešimtaine trupmena. ( Laikotarpis.)

Skaičiai, naudojami daiktams skaičiuoti. ( Natūralus skaičiai.)

Begalinės dešimtainės periodinės trupmenos. (Racionalus numeriai .)

Racionalūs numeriai + neracionalūs skaičiai = ? (galioja numeriai .)

- Išsprendę kryžiažodį, paryškintame vertikaliame stulpelyje perskaitykite šios dienos pamokos temos pavadinimą. (3, 4 skaidrės)

3. Naujos temos paaiškinimas.

3.1. - Vaikinai, jūs jau susipažinote su modulio koncepcija, naudojote pavadinimą | a| ... Anksčiau buvo kalbama tik apie racionalius skaičius. Dabar reikia įvesti bet kurio realaus skaičiaus modulio sąvoką.

Kiekvienas realusis skaičius atitinka vieną skaičių eilutės tašką, ir, atvirkščiai, kiekvienas skaičių linijos taškas atitinka vieną realųjį skaičių. Realiesiems skaičiams išsaugomos visos pagrindinės veiksmų, susijusių su racionaliaisiais skaičiais, savybės.

Supažindinama su realiojo skaičiaus modulio samprata. (5 skaidrė).

Apibrėžimas. Pagal neneigiamo realaus skaičiaus modulį x skambinti šiuo numeriu: | x| = x; neigiamo tikrojo skaičiaus modulis NS skambinti kitu numeriu: | x| = – x .

– Į sąsiuvinius surašykite pamokos temą, modulio apibrėžimą: