Peamised lahendusmeetodid trigonomeetrilised võrrandid on: võrrandite taandamine kõige lihtsamaks (kasutades trigonomeetrilised valemid), uute muutujate kasutuselevõtt, faktoriseerimine. Vaatleme nende rakendamist näidetega. Pöörake tähelepanu trigonomeetriliste võrrandite lahendi registreerimisele.
Trigonomeetriliste võrrandite eduka lahendamise vajalik tingimus on trigonomeetriliste valemite tundmine (6. töö 13. teema).
Näited.
1. Lihtsaima taandamise võrrandid.
1) Lahenda võrrand
Lahendus:
Vastus:
2) Leidke võrrandi juured
(sinx + cosx) 2 = 1 – segmenti kuuluv sinxcosx .
Lahendus:
Vastus:
2. Ruutvõrranditeks taandavad võrrandid.
1) Lahendage võrrand 2 sin 2 x - cosx -1 = 0.
Lahendus: Kasutades patu valem 2 x \u003d 1 - cos 2 x, saame
Vastus:
2) Lahendage võrrand cos 2x = 1 + 4 cosx.
Lahendus: Kasutades valemit cos 2x = 2 cos 2 x - 1, saame
Vastus:
3) Lahendage võrrand tgx - 2ctgx + 1 = 0
Lahendus:
Vastus:
3. Homogeensed võrrandid
1) Lahendage võrrand 2sinx - 3cosx = 0
Lahendus: Olgu cosx = 0, siis 2sinx = 0 ja sinx = 0 – vastuolu sellega, et sin 2 x + cos 2 x = 1. Seega cosx ≠ 0 ja võrrandi saab jagada cosx-iga. Hangi
Vastus:
2) Lahendage võrrand 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x
Lahendus:
Kasutades valemeid 1 = sin 2 x + cos 2 x ja sin 2x = 2 sinxcosx, saame
sin2x + cos2x + 7cos2x = 6sinxcosx
sin2x – 6sinxcosx+ 8cos2x = 0
Olgu cosx = 0, siis sin 2 x = 0 ja sinx = 0 - vastuolu sellega, et sin 2 x + cos 2 x = 1.
Seega cosx ≠ 0 ja saame võrrandi jagada cos 2 x-ga .
Hangi
tg 2x – 6 tgx + 8 = 0
Tähistage tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2=2
a) tanx = 4, x = arctg4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x = arctg2 + 2 k, k .
Vastus: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k, k
4. Vormi võrrandid a sinx + b cosx = koos, koos≠ 0.
1) Lahenda võrrand.
Lahendus:
Vastus:
5. Faktoriseerimisega lahendatud võrrandid.
1) Lahendage võrrand sin2x - sinx = 0.
Võrrandi juur f (X) = φ ( X) saab olla ainult number 0. Kontrollime seda:
cos 0 = 0 + 1 - võrdus on tõene.
Arv 0 on selle võrrandi ainus juur.
Vastus: 0.
Teema:"Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodid".
Tunni eesmärgid:
hariv:
Kujundada oskusi eristada trigonomeetriliste võrrandite tüüpe;
Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetoditest arusaamise süvendamine;
hariv:
Kognitiivse huvi kasvatamine haridusprotsessi vastu;
Ülesande analüüsivõime kujunemine;
arendamine:
Kujundada oskus olukorda analüüsida, valides sellest kõige ratsionaalsema väljapääsu.
Varustus: plakat põhiliste trigonomeetriliste valemitega, arvuti, projektor, ekraan.
Alustame õppetundi, korrates mis tahes võrrandi lahendamise põhitehnikat: taandada see standardvormile. Transformatsiooni kaudu lineaarvõrrandid taandada vormile kirves \u003d sisse, ruut - vormile ax2+bx +c=0. Trigonomeetriliste võrrandite puhul on vaja need taandada lihtsaimaks, kujul: sinx \u003d a, cosx \u003d a, tgx \u003d a, mida saab kergesti lahendada.
Esiteks on selleks muidugi vaja kasutada põhilisi trigonomeetrilisi valemeid, mis plakatil on: liitmise valemid, topeltnurga valemid, võrrandi kordsuse vähendamine. Me juba teame, kuidas selliseid võrrandeid lahendada. Kordame mõnda neist:
Samas on võrrandeid, mille lahendamine eeldab mõne eritehnika tundmist.
Meie tunni teemaks on nende tehnikate käsitlemine ja trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodite süstematiseerimine.
Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodid.
1. Teisendamine ruutvõrrandiks mis tahes suhtes trigonomeetriline funktsioon millele järgneb muutuja muutus.
Vaatleme kõiki loetletud meetodeid näidetega, kuid peatume kahel viimasel üksikasjalikumalt, kuna kahte esimest oleme võrrandite lahendamisel juba kasutanud.
1. Teisendamine ruutvõrrandiks mis tahes trigonomeetrilise funktsiooni suhtes.
2. Võrrandite lahendamine faktoriseerimise meetodil.
3. Homogeensete võrrandite lahendus.
Esimese ja teise astme homogeenseid võrrandeid nimetatakse järgmise vormi võrranditeks:
vastavalt (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0).
Homogeensete võrrandite lahendamisel jagatakse võrrandi mõlemad osad termini kaupa võrrandi (1) jaoks cosx ja (2) jaoks cos 2 x. Selline jaotus on võimalik, kuna sinx ja cosx ei ole samal ajal võrdsed nulliga - nad kaovad erinevates punktides. Vaatleme näiteid esimese ja teise astme homogeensete võrrandite lahendamisest.
Pidage meeles seda võrrandit: kui kaalute järgmist meetodit - abiargumendi sisseviimist, lahendame selle erineval viisil.
4. Abiargumendi sissejuhatus.
Vaatleme võrrandit, mis on juba eelmise meetodiga lahendatud:
Nagu näete, saadakse sama tulemus.
Vaatame teist näidet:
Vaadeldavates näidetes oli üldiselt selge, milleks tuleb algne võrrand abiargumendi sisseviimiseks jagada. Kuid võib juhtuda, et pole selge, millist jagajat valida. Selleks on spetsiaalne tehnika, mida me nüüd üldiselt kaalume. Olgu võrrand antud.
Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodid Sisu
- Muutuv asendusmeetod
- Faktoriseerimise meetod
- Homogeensed trigonomeetrilised võrrandid
- Kasutades trigonomeetrilisi valemeid:
- Lisamise valemid
- Valatud valemid
- Topeltargumendi valemid
Asendades t = sinx või t = cosx, kus t∈ [−1;1] algvõrrandi lahend taandatakse ruut- või muu algebralise võrrandi lahendiks.
Vaata näiteid 1–3
Mõnikord kasutatakse universaalset trigonomeetrilist asendust: t = tg
Näide 1 Näide 2 Näide 3 Faktooringumeetod
Selle meetodi olemus seisneb selles, et mitme teguri korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks neist on võrdne nulliga, samas kui teised ei kaota oma tähendust:
f(x) g(x) h(x) … = 0⟺ f(x) = 0 või g(x) = 0 või h(x) = 0
jne. eeldusel, et kõik tegurid on olemas
Vaata näiteid 4–5
Näide 4 Näide 5 Homogeensed trigonomeetrilised võrrandid Võrrandit kujul a sin x + b cos x = 0 nimetatakse esimese astme homogeenseks trigonomeetriliseks võrrandiks.
a sin x + b cos x = 0
kommenteerida.
Cos x-ga jagamine kehtib, kuna võrrandi cos x = 0 lahendid ei ole võrrandi a sin x + b cos x = 0 lahendid.
a sin x b cos x 0
a tg x + b = 0
tg x = -
Homogeensed trigonomeetrilised võrrandid
a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0
Võrrandit kujul a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0 nimetatakse teise astme homogeenseks trigonomeetriliseks võrrandiks.
a tg2x + b tg x + c = 0
a sin2x b sin x cos x c cos2x 0
kommenteerida. Kui selles võrrandis a \u003d 0 või c \u003d 0, siis lahendatakse võrrand laiendusmeetodiga
kordajate jaoks.
Näide 6
Näide 8 Näide 9 Näide 10 Näide 11 1. Lisamisvalemid:
sin(x + y) = sinx hubane + cosx siny
cos (x + y) = cosx hubane − sinx siny
tgx + tgy
tg(x + y) =
1 − tgx tgy
sin(x − y) = sinx hubane + cosx siny
cos(x − y) = cosx cozy + sinx siny
tgx − tgy
tg (x − y) =
1 + tgx tgy
сtgx сtgy − 1
ctg (x + y) =
сtgу + с tgх
ctgx ctgy + 1
сtg (x − y) =
сtgу − с tgх
Näide 12 Näide 13 Trigonomeetriliste valemite kasutamine 2. Valamisvalemid:
hobuse reegel
Vanadel headel aegadel elas hajameelne matemaatik, kes vastust otsides funktsiooni nime muutis või ei muuda ( sinus peal koosinus) vaatas oma nutikat hobust ja ta noogutas pead mööda koordinaattelge, mis kuulus argumendi esimesele liikmele vastavasse punkti. π/ 2 + α või π + α .
Kui hobune noogutas pead mööda telge OU, siis arvas matemaatik, et vastus on saadud "jah, muutu" kui piki telge Oh, siis "ei, ära vaheta".
Trigonomeetriliste valemite kasutamine 3. Topeltargumendi valemid:
sin2x = 2sinx cosx
cos2x = cos2x – sin2x
cos2x = 2cos2x - 1
cos2x = 1 – 2sin2x
1-tg2x
ctg 2x =
ctg2x – 1
Näide 14 Trigonomeetriliste valemite kasutamine 4. Kraadide vähendamise valemid:
5. Poolnurga valemid:
Trigonomeetriliste valemite kasutamine 6. Summa ja vahe valemid: Trigonomeetriliste valemite kasutamine 7. Tootevalemid: Mnemooniline reegel "Trigonomeetria teie peopesal"
Väga sageli on vaja tähendusi peast teada cos, patt, tg, ctg nurkade jaoks 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
Aga kui äkki mõni väärtus ununeb, siis võid kasutada käereeglit.
Reegel: Kui tõmbate jooned läbi väikese sõrme ja pöidla,
siis ristuvad need punktis, mida nimetatakse "Kuu künkaks".
Moodustub 90° nurk. Väikese sõrme joon moodustab 0° nurga.
Kui olete tõmmanud kiiri "Kuu künkast" läbi rõnga, keskmise ja nimetissõrme, saame vastavalt 30 °, 45 °, 60 ° nurgad.
Selle asemel asendamine n: 0, 1, 2, 3, 4, saame väärtused patt, nurkade jaoks 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
Sest cos loendamine toimub vastupidises järjekorras.
