Aukštesnių laipsnių tiesinių nevienalyčių diferencialinių lygčių sprendimas Lagranžo metodu. ODE

Dabar apsvarstykite tiesinę nehomogeninę lygtį
. (2)
Tegul y 1 ,y 2 ,.., y n yra pagrindinė sprendinių sistema, o atitinkamos homogeninės lygties L(y)=0 bendrasis sprendinys. Panašiai kaip ir pirmosios eilės lygčių atveju, mes ieškosime (2) lygties sprendimo formoje
. (3)
Patikrinkite, ar yra šios formos sprendimas. Norėdami tai padaryti, funkciją pakeičiame lygtyje. Norėdami pakeisti šią funkciją į lygtį, randame jos išvestinius. Pirmasis vedinys yra
. (4)
Skaičiuojant antrąją išvestinę, dešinėje (4) pusėje atsiranda keturi nariai, skaičiuojant trečiąją išvestinę – aštuonios ir pan. Todėl tolesnių skaičiavimų patogumui manoma, kad pirmasis (4) narys yra lygus nuliui. Turint tai omenyje, antroji išvestinė yra lygi
. (5)
Dėl tų pačių priežasčių, kaip ir anksčiau, (5) pirmąjį narį taip pat nustatėme lygų nuliui. Galiausiai n-oji išvestinė yra
. (6)
Pakeitę gautas išvestinių vertes į pradinę lygtį, turime
. (7)
Antrasis (7) narys yra lygus nuliui, nes funkcijos y j , j=1,2,..,n yra atitinkamos vienalytės lygties L(y)=0 sprendiniai. Sujungę su ankstesne, gauname algebrinių lygčių sistemą funkcijoms C" j (x) rasti
(8)
Šios sistemos determinantas yra atitinkamos vienalytės lygties L(y)=0 pagrindinių sprendinių y 1 ,y 2 ,..,y n sistemos Vronskio determinantas ir todėl nėra lygus nuliui. Todėl yra unikalus sistemos sprendimas (8). Jį suradę, gauname funkcijas C "j (x), j=1,2,…,n ir, atitinkamai, C j (x), j=1,2,…,n, pakeisdami šias reikšmes į (3), gauname tiesinės nehomogeninės lygties sprendimą.
Aprašytas metodas vadinamas savavališkos konstantos keitimo metodu arba Lagranžo metodu.

1 pavyzdys. Raskime bendrąjį lygties y "" + 4y" + 3y \u003d 9e -3 x sprendinį. Apsvarstykite atitinkamą vienalytę lygtį y "" + 4y" + 3y \u003d 0. Jai būdingos lygties r 2 + 4r šaknys + 3 \u003d 0 yra lygūs -1 ir - 3. Todėl pagrindinė vienalytės lygties sprendinių sistema susideda iš funkcijų y 1 = e - x ir y 2 = e -3 x. Mes ieškome nehomogeninės lygties, kurios forma y \u003d C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x, sprendimo. Norėdami rasti išvestines C " 1 , C" 2, sudarome lygčių sistemą (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′1e -x -3C′2e -3x =9e -3x
kurią išspręsdami randame , Integruodami gautas funkcijas, turime
Pagaliau gauname

2 pavyzdys. Išspręskite antros eilės tiesines diferencialines lygtis su pastoviais koeficientais savavališkų konstantų kitimo metodu:

y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

Sprendimas:
Ši diferencialinė lygtis priklauso tiesinėms diferencialinėms lygtims su pastoviais koeficientais.
Lygties sprendinio ieškosime forma y = e rx . Norėdami tai padaryti, sudarome būdingą tiesinės vienalytės diferencialinės lygties su pastoviais koeficientais lygtį:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Charakteristikos lygties šaknys: r 1 = 4, r 2 = 2
Todėl pagrindinė sprendinių sistema yra funkcijos: y 1 =e 4x , y 2 =e 2x
Bendrasis vienalytės lygties sprendinys turi tokią formą: y =C 1 e 4x +C 2 e 2x
Ieškokite konkretaus sprendimo savavališkos konstantos variacijos metodu.
Norėdami rasti C "i išvestinius, sudarome lygčių sistemą:
C′1e 4x +C′2e 2x =0
C′1 (4e 4x) + C′2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Išreikškite C" 1 iš pirmosios lygties:
C" 1 \u003d -c 2 e -2x
ir pakeiskite antruoju. Dėl to gauname:
C" 1 \u003d 2 / (e 2x + 2e 4x)
C" 2 \u003d -2e 2x / (e 2x + 2e 4x)
Integruojame gautas funkcijas C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Kadangi y \u003d C 1 e 4x + C 2 e 2x, tada gautas išraiškas rašome tokia forma:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2) e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Taigi bendras diferencialinės lygties sprendimas turi tokią formą:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
arba
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Mes randame konkretų sprendimą su sąlyga:
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

Rastoje lygtyje pakeitę x = 0, gauname:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Randame pirmąją gauto bendrojo sprendinio išvestinę:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln (2e 2x +1) -2)
Pakeitę x = 0, gauname:
y'(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Gauname dviejų lygčių sistemą:
3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3 n3
4C 1 + 2C 2 +10ln(3) -4 = 10ln3
arba
C * 1 + C * 2 = 2
4C1 + 2C2 = 4
arba
C * 1 + C * 2 = 2
2C1 + C2 = 2
Iš: C 1 = 0, C * 2 = 2
Konkretus sprendimas bus parašytas taip:
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

Nagrinėjamas aukštesnio laipsnio tiesinių nevienalyčių diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais sprendimo Lagranžo konstantų variacijos metodu metodas. Lagranžo metodas taip pat taikomas sprendžiant bet kokias tiesines nehomogenines lygtis, jei yra žinoma pagrindinė homogeninės lygties sprendinių sistema.

Turinys

Taip pat žiūrėkite:

Lagranžo metodas (konstantų kitimas)

Apsvarstykite tiesinę nehomogeninę diferencialinę lygtį su pastoviais savavališkos n-osios eilės koeficientais:
(1) .
Pastovios variacijos metodas, kurį laikėme pirmosios eilės lygtims, taip pat taikomas aukštesnės eilės lygtims.

Sprendimas atliekamas dviem etapais. Pirmajame etape atmetame dešinę pusę ir išsprendžiame homogeninę lygtį. Dėl to gauname sprendimą, kuriame yra n savavališkų konstantų. Antrame žingsnyje keičiame konstantas. Tai yra, mes manome, kad šios konstantos yra nepriklausomo kintamojo x funkcijos ir randame šių funkcijų formą.

Nors čia svarstome lygtis su pastoviais koeficientais, bet Lagranžo metodas taip pat taikomas sprendžiant bet kokias tiesines nehomogenines lygtis. Tačiau tam reikia žinoti pagrindinę homogeninės lygties sprendinių sistemą.

1 žingsnis. Homogeninės lygties sprendimas

Kaip ir pirmosios eilės lygčių atveju, pirmiausia ieškome bendro homogeninės lygties sprendinio, dešiniąją nehomogeninę dalį prilygindami nuliui:
(2) .
Bendras tokios lygties sprendimas turi tokią formą:
(3) .
Čia yra savavališkos konstantos; - n tiesiškai nepriklausomų homogeninės lygties (2) sprendinių, kurie sudaro pagrindinę šios lygties sprendinių sistemą.

2 veiksmas. Konstantų keitimas – konstantų pakeitimas funkcijomis

Antrame žingsnyje nagrinėsime konstantų kitimą. Kitaip tariant, konstantas pakeisime nepriklausomo kintamojo x funkcijomis:
.
Tai yra, mes ieškome pradinės (1) lygties sprendimo tokia forma:
(4) .

Jei (4) pakeisime į (1), gausime vieną diferencialinę lygtį n funkcijų. Šiuo atveju šias funkcijas galime susieti papildomomis lygtimis. Tada gausite n lygčių, iš kurių galite nustatyti n funkcijų. Papildomas lygtis galima parašyti įvairiais būdais. Bet mes tai padarysime taip, kad sprendimas būtų paprasčiausios formos. Norėdami tai padaryti, diferencijuodami turite prilyginti nuliui terminus, kuriuose yra funkcijų išvestinės. Parodykime tai.

Norėdami pakeisti siūlomą sprendinį (4) į pradinę lygtį (1), turime rasti (4) forma užrašytos funkcijos pirmųjų n eilių išvestinius. Atskirkite (4) taikydami sumos ir sandaugos diferencijavimo taisykles:
.
Sugrupuokime narius. Pirmiausia išrašome terminus su išvestiniais iš , o tada terminus su išvestiniais iš :

.
Mes nustatome pirmąją sąlygą funkcijoms:
(5.1) .
Tada pirmosios išvestinės išraiška bus paprastesnė:
(6.1) .

Tuo pačiu būdu randame antrąją išvestinę:

.
Funkcijoms keliame antrąją sąlygą:
(5.2) .
Tada
(6.2) .
ir kt. Esant papildomoms sąlygoms, terminus, kuriuose yra funkcijų išvestinės, prilyginame nuliui.

Taigi, jei funkcijoms pasirinksime šias papildomas lygtis:
(5.k) ,
tada pirmieji išvestiniai bus paprasčiausios formos:
(6.k) .
čia .

Randame n-tąją išvestinę:
(6.n)
.

Į pradinę lygtį (1) pakeičiame:
(1) ;

.
Atsižvelgiame į tai, kad visos funkcijos atitinka (2) lygtį:
.
Tada terminų suma, kurią sudaro nulis. Dėl to gauname:
(7) .

Dėl to gavome išvestinių tiesinių lygčių sistemą:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7') .

Išspręsdami šią sistemą, randame išvestinių išraiškas kaip x funkcijas. Integruodami gauname:
.
Čia yra konstantos, kurios nebepriklauso nuo x. Pakeitę į (4), gauname bendrąjį pradinės lygties sprendinį.

Atkreipkite dėmesį, kad išvestinių verčių nustatymui niekada nenaudojome fakto, kad koeficientai a i yra pastovūs. Štai kodėl Lagranžo metodas tinka bet kurioms tiesinėms nehomogeninėms lygtims išspręsti, jei žinoma homogeninės (2) lygties sprendinių pagrindinė sistema.

Pavyzdžiai

Išspręskite lygtis konstantų kitimo metodu (Lagrange).

Pavyzdžių sprendimas >>>

Taip pat žiūrėkite: Pirmosios eilės lygčių sprendimas pastovios variacijos metodu (Lagrange)
Aukštesnės eilės lygčių sprendimas Bernulio metodu
Tiesinių nehomogeninių aukštesnės eilės diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais sprendimas tiesiniu pakeitimu

44 paskaita. Antrosios eilės tiesinės nehomogeninės lygtys. Savavališkų konstantų kitimo metodas. Antros eilės tiesinės nehomogeninės lygtys su pastoviais koeficientais. (speciali dešinė pusė).

Socialinės transformacijos. Valstybė ir Bažnyčia.

Bolševikų socialinę politiką daugiausia lėmė klasinis požiūris. 1917 m. lapkričio 10 d. dekretu buvo panaikinta dvarų sistema, panaikinti ikirevoliuciniai laipsniai, titulai ir apdovanojimai. Nustatyti teisėjų rinkimai; buvo vykdoma civilinių valstybių sekuliarizacija. Įsteigtas nemokamas švietimas ir medicininė priežiūra (1918 m. spalio 31 d. dekretas). Moterų teisės buvo sulygintos su vyrais (1917 m. gruodžio 16 ir 18 d. dekretai). Dekretu dėl santuokos buvo įvestas civilinės santuokos institutas.

1918 m. sausio 20 d. Liaudies komisarų tarybos dekretu bažnyčia buvo atskirta nuo valstybės ir nuo švietimo sistemos. Didžioji bažnyčios turto dalis buvo konfiskuota. Maskvos ir visos Rusijos patriarchas Tichonas (išrinktas 1917 m. lapkričio 5 d.) 1918 m. sausio 19 d. sugriovė sovietų valdžią ir paragino kovoti su bolševikais.

Apsvarstykite tiesinę nehomogeninę antros eilės lygtį

Tokios lygties bendrojo sprendimo struktūra nustatoma pagal šią teoremą:

1 teorema. Bendrasis nehomogeninės lygties (1) sprendinys pavaizduotas kaip tam tikro šios lygties sprendinio ir atitinkamos vienarūšės lygties bendrojo sprendinio suma

Įrodymas. Turime įrodyti, kad suma

yra (1) lygties bendrasis sprendinys. Pirmiausia įrodykime, kad funkcija (3) yra (1) lygties sprendinys.

Sumos pakeitimas į (1) lygtį, o ne adresu, turėsiu

Kadangi yra (2) lygties sprendimas, pirmuosiuose skliaustuose esanti išraiška yra identiška nuliui. Kadangi yra (1) lygties sprendimas, antruose skliaustuose esanti išraiška yra lygi f(x). Todėl lygybė (4) yra tapatybė. Taigi įrodyta pirmoji teoremos dalis.

Įrodykime antrąjį teiginį: (3) išraiška yra bendras(1) lygties sprendimas. Turime įrodyti, kad į šią išraišką įtrauktos savavališkos konstantos gali būti parinktos taip, kad būtų įvykdytos pradinės sąlygos:

kad ir kokie būtų skaičiai x 0, y 0 ir (jei tik x 0 buvo paimtas iš srities, kurioje vykdo funkcijas a 1, a 2 Ir f(x) tęstinis).

Pastebėjus, kad galima atvaizduoti formoje . Tada, remiantis sąlygomis (5), turime

Išspręskime šią sistemą ir suraskime Nuo 1 Ir Nuo 2. Perrašykime sistemą taip:

Atkreipkite dėmesį, kad šios sistemos determinantas yra funkcijų Wronsky determinantas 1 Ir 2 val taške x=x 0. Kadangi šios funkcijos pagal prielaidą yra tiesiškai nepriklausomos, Wronsky determinantas nėra lygus nuliui; vadinasi, sistema (6) turi konkretų sprendimą Nuo 1 Ir Nuo 2, t.y. yra tokių vertybių Nuo 1 Ir Nuo 2, kuriai formulė (3) nustato (1) lygties sprendimą, tenkinantį pateiktas pradines sąlygas. Q.E.D.

Pereikime prie bendro metodo, kaip rasti konkrečius nehomogeninės lygties sprendinius.

Parašykime homogeninės lygties (2) bendrąjį sprendinį.

Mes ieškosime konkretaus nehomogeninės lygties (1) sprendinio formoje (7), atsižvelgdami į Nuo 1 Ir Nuo 2 kaip kai kurios dar nežinomos funkcijos iš X.

Išskirkime lygybę (7):

Pasirenkame norimas funkcijas Nuo 1 Ir Nuo 2 kad lygybė

Jei atsižvelgiama į šią papildomą sąlygą, tada pirmoji išvestinė įgauna formą

Dabar, atskirdami šią išraišką, randame:

Pakeitę į (1) lygtį, gauname

Pirmuose dviejuose skliausteliuose esantys posakiai išnyksta, nes y 1 Ir y2 yra vienalytės lygties sprendiniai. Todėl paskutinė lygybė įgauna formą

Taigi funkcija (7) bus nehomogeninės lygties (1) sprendimas, jei funkcijos Nuo 1 Ir Nuo 2 tenkina (8) ir (9) lygtis. Iš (8) ir (9) lygčių sudarykime lygčių sistemą.

Kadangi šios sistemos determinantas yra tiesiškai nepriklausomų sprendimų Vronskio determinantas y 1 Ir y2 lygtis (2), tada ji nėra lygi nuliui. Todėl, išspręsdami sistemą, rasime abi tam tikras funkcijas X:

Išspręsdami šią sistemą randame , iš kur integracijos rezultatu gauname . Toliau rastąsias funkcijas pakeičiame į formulę , gauname bendrą nehomogeninės lygties sprendinį , kur yra savavališkos konstantos.

Savavališkos konstantos kitimo metodas arba Lagranžo metodas yra dar vienas būdas išspręsti pirmosios eilės tiesines diferencialines lygtis ir Bernulio lygtį.

Pirmosios eilės tiesinės diferencialinės lygtys yra y’+p(x)y=q(x) formos lygtys. Jei dešinioji pusė lygi nuliui: y’+p(x)y=0, tai yra tiesinė vienalytis 1 eilės lygtis. Atitinkamai lygtis su ne nuline dešine puse, y’+p(x)y=q(x), — nevienalytis 1 eilės tiesinė lygtis.

Savavališkas pastovios variacijos metodas (Lagrange metodas) susideda iš šių dalių:

1) Ieškome bendro vienarūšės lygties y’+p(x)y=0: y=y* sprendinio.

2) Bendrajame sprendime C laikomas ne konstanta, o x funkcija: C=C(x). Surandame bendrojo sprendinio (y*)' išvestinę ir gautą išraišką y* ir (y*)' pakeičiame pradine sąlyga. Iš gautos lygties randame funkciją С(x).

3) Bendrajame vienalytės lygties sprendime vietoj C pakeičiame rastą išraišką C (x).

Apsvarstykite savavališkos konstantos kitimo metodo pavyzdžius. Paimkime tas pačias užduotis kaip ir , palyginkime sprendimo eigą ir įsitikinkime, kad gauti atsakymai yra vienodi.

1) y'=3x-y/x

Perrašykime lygtį standartine forma (priešingai nei Bernulio metodu, kur mums reikėjo žymėjimo tik tam, kad pamatytume, jog lygtis yra tiesinė).

y'+y/x = 3x (I). Dabar einame pagal planą.

1) Išsprendžiame vienalytę lygtį y’+y/x=0. Tai yra atskiriama kintamųjų lygtis. Pavaizduokite y’=dy/dx, pakeiskite: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Abi lygties dalis padauginame iš dx ir padalijame iš xy≠0: dy/y=-dx/x. Mes integruojame:

2) Gautame bendrame homogeninės lygties sprendime С laikysime ne konstanta, o x funkcija: С=С(x). Iš čia

Gautos išraiškos pakeičiamos sąlyga (I):

Integruojame abi lygties dalis:

čia C jau kažkokia nauja konstanta.

3) Bendrajame vienalytės lygties y \u003d C / x sprendime, kur mes atsižvelgėme į C \u003d C (x), tai yra, y \u003d C (x) / x, vietoj C (x) pakeičiame rasta išraiška x³ + C: y \u003d (x³ +C)/x arba y=x²+C/x. Gavome tą patį atsakymą, kaip ir spręsdami Bernulio metodu.

Atsakymas: y=x²+C/x.

2) y'+y=cosx.

Čia lygtis jau parašyta standartine forma, konvertuoti nereikia.

1) Išsprendžiame vienalytę tiesinę lygtį y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Mes integruojame:

Norėdami gauti patogesnį žymėjimą, laipsnį paimsime C laipsniu kaip naują C:

Ši transformacija atlikta tam, kad būtų patogiau rasti išvestinę.

2) Gautame bendrame tiesinės vienalytės lygties sprendime С laikome ne konstanta, o x funkcija: С=С(x). Esant šiai sąlygai

Gautos išraiškos y ir y' pakeičiamos į sąlygą:

Padauginkite abi lygties puses iš

Mes integruojame abi lygties dalis naudodami integravimo pagal dalis formulę, gauname:

Čia C jau ne funkcija, o įprasta konstanta.

3) Į homogeninės lygties bendrąjį sprendinį

pakeičiame rastą funkciją С(x):

Gavome tą patį atsakymą, kaip ir spręsdami Bernulio metodu.

Savavališkos konstantos kitimo metodas taip pat taikomas sprendžiant .

y'x+y=-xy².

Lygtį pateikiame į standartinę formą: y’+y/x=-y² (II).

1) Išsprendžiame vienalytę lygtį y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Abi lygties puses padauginkite iš dx ir padalinkite iš y: dy/y=-dx/x. Dabar integruokime:

Gautas išraiškas pakeičiame sąlyga (II):

Supaprastinimas:

Gavome lygtį su atskiriamais C ir x kintamaisiais:

Čia C jau įprasta konstanta. Integravimo procese vietoj C(x) mes tiesiog parašėme C, kad nebūtų perkrautas žymėjimas. Ir pabaigoje grįžome prie C(x), kad nesupainiotume C(x) su naujuoju C.

3) Rastą funkciją С(x) pakeičiame į bendrą homogeninės lygties y=C(x)/x sprendinį: